課時(shí)作業(yè)提升(四十二)空間中的垂直關(guān)系A(chǔ)組夯實(shí)基礎(chǔ)1．(2018·西安聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且mα B．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β解析：選C由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知C正確．2．如圖，O為正方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，則下列直線中與B1O垂直的是A．A1D B．AA1C．A1D1 D．A1C解析：選D由題易知A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D，所以A1C1⊥B13．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A．若α⊥β，mα，nβ，則m⊥nB．若α∥β，mα，nβ，則m∥nC．若m⊥n，mα，nβ，則α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β解析：選DA中，m與n可垂直、可異面、可平行；B中，m與n可平行、可異面；C中，若α∥β，仍然滿足m⊥n，mα，nβ，故C錯誤；故選D．4．如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC解析：選D因?yàn)锽C∥DF，DF平面PDF，BCeq\o(?,/)平面PDF，所以BC∥平面PDF，故選項(xiàng)A正確．在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面PAE，則DF⊥平面PAE，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項(xiàng)B，C均正確．5．如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部解析：選A由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.因?yàn)锳C平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上．6．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1解析：連接A1C1，則∠AC1A1為AC1與平面A1B1C1D因?yàn)锳B＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2eq\r(2)，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝eq\f(AA1,AC1)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)7．△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一個(gè)動點(diǎn)，則PM的最小值為________．解析：作CH⊥AB于H，連接PH.因?yàn)镻C⊥平面ABC，AB平面ABC，∴PC⊥AB.又CH⊥AB，且PC∩CH＝C，∴AB⊥平面PCH，PH平面PCH.所以PH⊥AB，PH為PM的最小值，等于2eq\r(7).答案：2eq\r(7)8．已知a、b、l表示三條不同的直線，α、β、γ表示三個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，則α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，bβ，a⊥b，則b⊥α；④若aα，bα，l⊥a，l⊥b，leq\o(?,/)α，則l⊥α.其中正確命題的序號是________．解析：若平面α，β，γ兩兩相交于三條直線，則有交線平行，故①不正確．因?yàn)閍，b相交，假設(shè)其確定的平面為γ，根據(jù)a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正確．由面面垂直的性質(zhì)定理知③正確．當(dāng)a∥b時(shí)，l垂直于平面α內(nèi)兩條不相交直線，不能得出l⊥α，④錯誤．答案：②③9．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.證明：(1)因?yàn)镾A＝SC，D是AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因?yàn)锳B＝BC，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.B組能力提升1．(2017·全國卷Ⅲ)如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)證明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．(1)證明：如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO.因?yàn)锳D＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO，BO∩DO＝O，從而AC⊥平面DOB，BD平面DOB.故AC⊥BD.(2)解：連接EO.由(1)及題設(shè)知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.由題設(shè)知△AEC為直角三角形，所以EO＝eq\f(1,2)AC.又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝eq\f(1,2)BD.故E為BD的中點(diǎn)，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的eq\f(1,2)，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的eq\f(1,2)，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1∶1.2．⊙O的直徑AB＝4，點(diǎn)C，D為⊙O上兩點(diǎn)，且∠CAB＝45°，F(xiàn)為eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中點(diǎn)．沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直(如圖②)．①②(1)求證：OF∥平面ACD；(2)在AD上是否存在點(diǎn)E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，試指出點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由．(1)證明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，又因?yàn)镕為eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中點(diǎn)，所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC，又AC平面ACD，OFeq\o(?,/)平面ACD，所以O(shè)F∥平面ACD.(2)解：存在，E為AD中點(diǎn)，因?yàn)镺A＝OD，所以O(shè)E⊥AD.又OC⊥AB且兩半圓所在平面互相垂直．所以O(shè)C⊥平面OAD.又AD平面OAD，所以AD⊥OC，由于OE，OC是平面OCE內(nèi)的兩條相交直線，所以AD⊥平面OCE.又AD平面ACD，所以平面OCE⊥平面ACD.3．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F(xiàn)分別在線段BC，AD上，EF∥AB，將矩形ABEF沿EF折起，記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.(1)求證：NC∥平面MFD；(2)若EC＝3，求證：ND⊥FC；(3)求四面體N－EFD體積的最大值．(1)證明：∵平行四邊形MNEF和EFDC都是矩形，∴MN∥EF，EF∥CD，MN＝EF＝CD，∴MN∥CD.∴四邊形MNCD是平行四邊形．∴NC∥MD.∵NCeq\o(?,/)平面MFD，MD平面MFD，∴NC∥平面MFD.(2)證明：連接ED，交FC于點(diǎn)O，如圖所示．∵平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，平面MNEF∩平面ECDF＝EF，NE平面MNEF，∴NE⊥平面ECDF.∵FC平面ECDF，∴FC⊥NE.∵EC＝CD，∴四邊形ECDF為正方形，∴FC⊥ED.又∵ED∩NE＝E，ED，NE平面NED，∴FC⊥平面NED.∵ND平面NED，∴ND⊥FC.(3)解：設(shè)NE＝x，則FD＝EC＝4－x，其中0<x<4，由(2)