專題16.5二次根式的乘除（知識梳理與考點分類講解）【知識點一】二次根式的乘法兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即a·b=ab（a≥0，b≥0）特別提醒ab·cd=abbd（b≥0，d≥0）；2.a·b·c=abc（a≥0，b≥0，c≥0）；【知識點二】二次根式的除法二次根式的除法法則是ab特別提醒只有當a≥0，b≥時，a·b=ab；ab=a只有當a≥0，b＞0時，ab=ab、ab格法則中a、b既可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式.如果被開方數(shù)是帶分數(shù)，應先將帶分數(shù)化為假分數(shù)，再化簡最后結(jié)果中被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，且不含分母.【知識點三】積的算術(shù)平方根積的算術(shù)平方根等于積中各個因式的算術(shù)平方根的乘積，即ab=a·b（a≥0，b≥0）特別解讀積的算術(shù)平方根可以推廣，即ab·······c=a·【知識點四】商的算術(shù)平方根商的算數(shù)平方根等于被除式的算數(shù)平方根，即ab=a特別解讀ma【知識點五】最簡二次根式定義：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開的盡方的因數(shù)或因式.把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如22，3010特別解讀二次根式的運算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡二次根式或整式.【考點目錄】【考點1】最簡二次根式的判斷；【考點2】化簡為最簡二次根式；【考點3】由最簡二次根式?求參數(shù)；【考點4】二次根式乘法運算；【考點5】二次根式除法運算；【考點6】二次根式混合運算.【考點1】最簡二次根式的判斷；【例1】（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）判斷下列二次根式是不是最簡二次根式：（1）； （2）； （3）．【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是【分析】根據(jù)最簡二次根式定義：（1）被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1；（2）被開方數(shù)不含分母．同時符合上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式，先利用二次根式性質(zhì)化簡，再結(jié)合最簡二次根式定義判斷即可得到答案．（1）解：，不是最簡二次根式；（2）解：，不是最簡二次根式；（3）解：，不是最簡二次根式．【點撥】本題考查二次根式性質(zhì)及最簡二次根式的概念，熟記最簡二次根式定義是解決問題的關(guān)鍵．【變式1】（2023上·上海奉賢·八年級?？计谥校┫铝卸胃街?，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查最簡二次根式，根據(jù)最簡二次根式“被開方數(shù)是整式且不含有能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式是最簡二次根式”進行判斷即可．解：A.，不是最簡二次根式，不合題意；B.，不是最簡二次根式，不合題意；C.，不是最簡二次根式，不合題意；D.，是最簡二次根式，符合題意；故選：D．【變式2】（2020上·上海浦東新·八年級校考階段練習）在二次根式中，最簡二次根式是．【答案】【分析】根據(jù)最簡二次根式的意義逐項進行判斷即可．解：，因此不是最簡二次根式；由于時，所以是最簡二次根式；，因此不是最簡二次根式；，因此不是最簡二次根式，故答案為：．【點撥】本題考查最簡二次根式，理解最簡二次根式的意義是正確判斷的關(guān)鍵．【考點2】化簡為最簡二次根式；【例2】（2022上·寧夏銀川·八年級?？茧A段練習）化簡：（1） （2） （3）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）（2）（3）利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．解：（1）；（2）；（3）．【點撥】本題考查了二次根式的化簡，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)．【變式1】（2023上·上海長寧·八年級上海市西延安中學?？计谥校┫铝袕淖蟮接业淖冃尾灰欢ㄕ_的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查的是二次根式的化簡，二次根式的乘法與除法運算，本題根據(jù)二次根式的乘法與除法運算，結(jié)合化為最簡二次根式的知識逐一分析即可．解：，運算正確，故A不符合題意；當，時，不成立，故B符合題意，，運算正確，故C不符合題意；，運算正確，故D不符合題意；故選B【變式2】（2023上·上海楊浦·八年級統(tǒng)考期中）已知，化簡：．【答案】【分析】此題主要考查了二次根式的化簡求值．先根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)確定m，n的取值范圍，然后化簡二次根式是解題關(guān)鍵．解：∵，∴，∴，故答案為：．【考點3】由最簡二次根式?求參數(shù)；【例3】（2018上·九年級單元測試）已知和是相等的最簡二次根式．求，的值；求的值．【答案】的值是，的值是；（2）．【分析】（1）根據(jù)題意，它們的被開方數(shù)相同，列出方程組求出a，b的值；（2）根據(jù)算術(shù)平方根的概念解答即可．解：∵和是相等的最簡二次根式，∴．解得，，∴的值是，的值是；（2）．【點撥】考查最簡二次根式的定義，根據(jù)最簡二次根式的定義列出關(guān)于a，b的方程組是解題的關(guān)鍵.【變式1】（2023下·山東泰安·八年級?？茧A段練習）若是最簡二次根式，則m，n的值為（

）A．0， B．，0 C．1， D．0，0【答案】A【分析】根據(jù)最簡根式的定義可知a、b的指數(shù)都為1，據(jù)此列式求解即可．解：∵是最簡二次根式，∴，∴，故選A．【點撥】本題主要考查了最簡二次根式的定義，熟知最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵：被開方數(shù)不含能開的盡的因數(shù)或因式；被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式．．【變式2】（2023下·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）若兩個最簡二次根式與能合并，則．【答案】1【分析】由最簡二次根式與能合并可得，計算即可.解：最簡二次根式與能合并，∴，解得,故答案為：1．【點撥】本題主要考查了同類二次根式及最簡二次根式，熟記定義并能靈活運用是解決本題的關(guān)鍵.【考點4】二次根式乘法運算；【例4】（2022下·八年級課時練習）計算：（1）． （2）．· （3）． （4）．【答案】（1）12；（2）；（3）；（4）6000【分析】（1）根據(jù)，開方計算即可．（2）根據(jù)，開方計算即可．（3）根據(jù)，開方計算即可．（4）根據(jù)，開方計算即可．（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）．【點撥】本題考查了二次根式的乘法運算，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)及運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2016上·四川資陽·八年級統(tǒng)考期中）把根號外的因式移入根號內(nèi)的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)被開放數(shù)不為負數(shù)可得出，首先將的負號移出，再將移入根號內(nèi)進行計算即可．解：，，，，故選：B．【點撥】本題主要考查了二次根式有意義的條件，二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的有意義的條件：被開方數(shù)不為負數(shù)，是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022下·福建龍巖·八年級校考階段練習）當時，化簡的結(jié)果是．【答案】【分析】根據(jù)二次根式乘法公式得到，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可得到結(jié)論．解：，，故答案為：．【點撥】本題考查二次根式的乘法及利用二次根式性質(zhì)化簡代數(shù)式，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及公式是解決問題的關(guān)鍵．【考點5】二次根式除法運算；【例5】（2021上·八年級課時練習）計算：（1）；

（2）；

（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】利用二次根式乘除法法則計算即可；解：（1）；（2）；（3）．【點撥】本題主要考查了二次根式的乘除法，屬于基礎(chǔ)計算題，熟記相關(guān)計算法則即可解題．【變式1】（2023下·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）能使等式成立的條件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】利用二次根式的性質(zhì)得出，，進而求出即可．解：成立，，，解得：．故選：C．【點撥】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)，正確利用二次根式的性質(zhì)求出是解題關(guān)鍵．【變式2】（2022上·上?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）計算：．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的除法運算法則進行計算即可．解：，故答案為：．【點撥】本題考查了二次根式的除法以及二次根式的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)運算法則是解本題的關(guān)鍵．【考點6】二次根式混合運算.【例6】（2022上·四川達州·八年級四川省渠縣中學校考期中）計算：（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先利用乘法公式進行二次根式的計算，然后合并即可；（2）先進行平方差公式的運算，然后合并．（1）解：；（2）解：．【點撥】此題考查乘法公式、立方根以及二次根式的混合運算，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則．【變式1】（2022下·四川成都·八年級四川師范大學附屬中學?？计谀┫铝懈魇秸_的是（

）A．×＝9 B．（4）2＝8 C．÷ D．＝7－4【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的運算法則分別對各項進行計算然后判斷即可．解：A．×＝3，故該選項錯誤；B．（4）2＝32，故該選項錯誤；C．÷＝=3，故該選項錯誤；D．∵4＝，7＝，<，即4<7，∴＝7－4，故選：D【點撥】本題考查了二次根式的運算和求算術(shù)平方根