專題15.7軸對稱圖形中的最值問題十大考點【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1兩點之間線段最短】 1【題型2垂線段最短】 4【題型3平行線之間的距離最短】 9【題型4將軍飲馬（兩定一動）】 14【題型5三點共線（兩定一動最大值）】 18【題型6雙對稱周長最小】 22【題型7兩定兩動】 29【題型8兩定一定長】 36【題型9兩動一定】 41【題型10費馬點】 45【題型1兩點之間線段最短】【例1】（2023春·福建寧德·八年級?？计谥校┤鐖D，平地上A，B兩點位分別位于一條排水溝的兩旁，其上用鋼梁覆蓋，位于A處的螞蟻從第號鋼梁上通過到達B處，才能使得全程路程最短．

【答案】4【分析】將點A向右移動兩個鋼梁之間的距離長度，得到點A'，再連接A【詳解】解：將點A向右移動兩個鋼梁之間的距離長度，得到點A'，再連接A

線段A'B與4號鋼梁相交，則從故答案為：4【點睛】此題考查了兩點之間線段最短，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎知識，先對A點進行平移．【變式11】（2023春·遼寧沈陽·八年級沈陽市第七中學?？计谀┰谕黄矫鎯龋€段AB=5cm，C為任意一點，則AC+【答案】5【分析】分三種情況討論∶當點C在線段AB上時，當點C在線段AB的延長線或反向延長線上時，點C在線段AB外時，結合兩點之間，線段最短，即可求解．【詳解】解：當點C在線段AB上時，AC+當點C在線段AB的延長線或反向延長線上時，∴AC+點C在線段AB外時，∵兩點之間，線段最短，∴AC+綜上所述，AC+BC的最小值為5故答案為：5cm【點睛】本題主要考查了線段之間的數(shù)量關系，熟練掌握兩點之間，線段最短是解題的關鍵．【變式12】（2023春·山西運城·八年級統(tǒng)考期末）小王準備在紅旗街道旁建一個送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應該在（）．A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題利用軸對稱的性質，將折線最短問題轉化為兩點之間，線段最短問題，結合三角形的三邊關系解題即可．【詳解】解：如圖：作點A關于街道的對稱點A'，連接A'B∴A'∴AC+在街道上任取除點C以外的一點C'，連接A'C'，∴AC在ΔA∴A'∴AC∴點C到兩小區(qū)送奶站距離之和最?。?/p>

故選：C．【點睛】本題考查軸對稱最短路線的問題，將折線最短問題轉化為兩點之間，線段最短問題．會作對稱點是解此類問題的基礎，要求學生能熟練掌握，并熟練應用．另外本題的解決還應用了三角形的三邊關系：三角形的兩邊之和大于第三邊．本題還會有變式：請你找出點C的位置．【變式13】（2023春·全國·八年級課堂例題）[應用意識]如圖，P，Q兩村之間隔著兩條河，需要架設兩座橋，橋與河岸垂直．設兩條河的寬度相同且保持不變，則橋建在何處才能使兩村之間的路程最短？（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析【分析】根據兩點之間線段最短，利用平移思想進行作圖即可．【詳解】解：如圖所示：

（1）過點P作PA⊥l1，垂足為A，過點Q作QB（2）分別在PA和QB上截取PC=（3）連接CD，分別交l2和l3于點E和（4）過點E和M分別作l1和l4的垂線段，垂足分別為F和（5）連接PF和QN．則橋建在FE和MN處才能使兩村之間的路程最短．【點睛】本題考查最短路徑問題．解題的關鍵是掌握兩點之間線段最短，利用平移思想進行轉化求解．【題型2垂線段最短】【例2】（2023春·四川成都·八年級校考開學考試）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點D在線段BC上，CD=3.3，點E是AC邊上一動點，將線段DE繞點D順時針旋轉90°得到線段DF，連接BF

【答案】1.3【分析】過D作BD垂線且使得B'D=BD，連接B'E，構造△B'DE≌△BDF得BF=B'E，根據點到直線垂線段最短知B【詳解】解：如圖，過D作BD垂線且使得B'D=BD，連接B

∵∠EDF=∠B'∴∠BDF+∠B'DF=∠B'DF∴∠BDF=∠B'在△B'DE與△B'∴△B'DE∴BF=B'∵點到直線垂線段最短，∴B'E⊥AC時，B過點B'作B'G⊥AC交∵∠C=∠CDB'=∠CG∴AC∥BD,∴B'G=CD=3.3，CG=∴BF取最小值時AE故答案為：1.3．【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，點到直線垂線段最短，平行線之間的距離相等，作出輔助線構造△B'DE【變式21】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，邊長為4的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點，連接MB，將線段BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接HN．則在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是．

【答案】1【分析】取CB的中點G，連接MG，根據等邊三角形的性質可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根據旋轉的性質可得MB=NB，然后利用“邊角邊”證明△【詳解】解：取BC的中點G，連接MG，如圖所示：

∵旋轉角為60°，∴∠MBH又∵∠MBH∴∠HBN∵CH是等邊△∴HB∴HB又∵MB旋轉到BN∴BM在△MBG和△BG=∴△MBG∴MG根據垂線段最短，當MG⊥CH時，MG最短，此時即∵∠BCH=1在Rt△CGM中，∠MCG=30°，∴HN故答案為：1．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短的性質，含30°的直角三角形等，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．【變式22】（2023春·全國·八年級課堂例題）如圖，OB平分∠MON,A為OB的中點，AE⊥ON，垂足為E,AE=3,D為OM

【答案】6【分析】根據BC∥OM，OA=AB，可以證明△OAD≌△BAC，得到AD【詳解】∵BC∥∴∠DOA∵點A為OB的中點∴OA=∵∠DOA∴△OAD∴AD=∴CD=2∴線段CD的最小值轉化為線段DA得最小值，根據垂線段最短，∴DA⊥∵AE⊥ON，OB平分∴AE=∵AE=3∴AD=3∴CD=2故答案為：6．【點睛】本題考查了角的平分線性質定理，三角形全等的判定和性質，垂線段最短原理，熟練掌握角的平分線性質定理，三角形全等，垂線段最短是解題的關鍵．【變式23】（2023春·江蘇無錫·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D為AC上一動點，連接BD，以AD，BD為鄰邊作?ADBE，連接

【答案】9.6【分析】過B作BF⊥AC于點F，利用勾股定理建立方程便可求得BF，由垂線段最短可知，當DE⊥AC時，【詳解】解：過B作BF⊥AC于點

∵平行四邊形ADBE中，AD∥BE，即∵AB=AC=10設CF=x，則AF∵BF即122解得，x=7.2∴CF=3.6∴BF=B由垂線段最短可知，當DE⊥AC時，由于平行線間的距離處處相等，AC∥BE，故這個最小值也就是∴DE的最小值為9.6．故答案為：9.6．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、勾股定理、垂線段最短等知識；構造直角形求出BF是解題的關鍵．【題型3平行線之間的距離最短】【例3】如圖，直線，且a，b之間相距．點P是直線a上一定點，點Q在直線b上運動，則在Q點的運動過程中，線段的最小值是．

【答案】8【分析】根據垂線段最短進行求解即可【詳解】解：∵直線，點P是直線a上一定點，點Q在直線b上運動，∴根據垂線段最短可知，在運動過程中，當時，線段有最小值，∵a，b之間相距，∴線段的最小值為，故答案為：8．【點睛】本題考查了平行線之間的距離的定義和垂線段最短，牢記平行線之間距離的定義和垂線段最短是本題的關鍵．【變式31】如圖，，且相鄰兩條直線間的距離都是2，A，B，C分別為，，上的動點，連接AB、AC、BC，AC與交于點D，，則BD的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以轉化為求點B到直線AC的距離，當BD⊥AC時，BD有最小值，根據題意求解即可．【詳解】解：由題意可知當BD⊥AC時，BD有最小值，此時，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=AC=2，∴BD的最小值為2．故選：A．【點睛】本題考查平行線的性質，需結合圖形，根據平行線的性質推出相關角的關系從而進行求解．【變式32】（2023春·北京海淀·八年級首都師范大學附屬中學?？奸_學考試）直線，對平面內不在上，且不在上的任意一點，若到，的距離分別為，，則記．(1)若，則線段與的公共點個數(shù)可能為______；(2)若取最小值且，則的取值范圍是______．【答案】(1)0或1(2)【分析】（1）分兩種情況進行討論：當點A和B均在直線上方且到的距離相等時；當點A和B在直線，之間時，作出相應圖形即可求解；（2）根據題意得出，分兩種情況分析：當點P在上方或下方時，當點P在，之間時，結合圖形求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，當點A和B均在直線上方且到的距離相等時，此時線段與的公共點個數(shù)為0；

當點A和B在直線，之間時，如圖所示：此時線段與的公共點個數(shù)為1；

故答案為：0或1；（2）當取最小值且時，如圖所示：此時點A恰好在，的中間直線上，∴，之間的距離為2，即，

當點P在上方或下方時，如圖所示：

此時即為，之間的距離為2；當點P在，之間時，如圖所示：

∵，∴當點P在，的中間直線上時，，當點P不在，的中間直線上時，；綜上可得：，故答案為：．【點睛】題目主要考查垂線的定義及點到直線的距離，理解題意，作出相應圖形求解是解題關鍵．【變式33】（2023春·八年級課時練習）如圖，直線，點A，D在直線b上，射線AB交直線a于點B，于點C，交射線AB于點E，，，P為射線AB上一動點，P從A點出發(fā)沿射線AB方向運動，速度為1cm/s，設點P運動時間為t，M為直線a上一定點，連接PC，PD．（1）當時，有最小值，求m的值；（2）當（m為（1）中的取值）時，探究、與的關系，并說明理由；（3）當（m為（1）中的取值）時，直接寫出、與的關系．【答案】（1）10；（2），見解析；（3）或【分析】（1）根據P、C、D三點共線時，即點P與點E重合時PC+PD的值最小，解答即可；（2）當t＜m時，過P在AE上，過點P作PH∥a∥b，根據平行線的性質可得結論；（3）分兩種情況討論，當點P在線段BE上時，當點P在線段AB的延長線上時，然后仿照第（2）問的證明方法，作出輔助線，根據平行線的性質可得結論．【詳解】解：（1）當點P與E不重合時，在中，，當點P與E重合時，此時最小，∴．∵，，∴．∴．故時，值最??；（2），理由如下：如圖，當即時，點P在AE上，過點P作，∵，∴．∴，，∴．∵，∴；（3）當m＜t≤15即10＜t≤15時，點P在線段BE上，過點P作PHa，如圖：又∵ab，∴PHab，∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，即當10＜t≤15時，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°；當t＞15時，點P在線段AB的延長線上，過點P作PGa，如圖：又∵ab，∴PGab，∴∠PCM+∠CPG＝180°，∠PDA+∠DPG＝180°，∴∠CPG＝180°－∠PCM，∠DPG＝180°－∠PDA，又∵∠CPD＝∠DPG－∠CPG，∴∠CPD＝（180°－∠PDA）－（180°－∠PCM）＝180°－∠PDA－180°＋∠PCM＝∠PCM－∠PDA，∴∠PCM＝∠CPD+∠PDA．綜上所述，當t＞10時，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．【點睛】本題主要考查平行線的性質及平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質及正確作出輔助線是解題的關鍵．【題型4將軍飲馬（兩定一動）】【例4】（2023春·廣東揭陽·八年級統(tǒng)考期末）△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，P為線段AB【答案】5【分析】作C點關于AB的對稱點C'，連接C'D交AB于P點，連接C'B，根據勾股定理即可求出C【詳解】解：如圖，作C點關于AB的對稱點C'，連接C'D交AB于P點，則PC+PD=P連接C'∵∠∴∠ABC∵C點與C'關于AB∴∴∠∵BC=2,D為∴∴∴PC+PD故答案為：5．【點睛】本題主要考查了軸對稱以及求最短路徑問題，熟練掌握將軍飲馬模型是解題的關鍵.【變式41】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級校考階段練習）如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

【答案】17【分析】如圖（見詳解），將小河看成直線MN，由題意先作A關于MN的對稱點A'，連接A'B，構建直角三角形，則A'B就是最短路線；在Rt△A'DB【詳解】如圖，做出點A關于小河MN的對稱點A'，連接A'B交MN于點P

由題意知：A'D=4+4+7=15km，在Rt△A'則他要完成這件事情所走的最短路程是17km【點睛】本題考查了軸對稱—最短路線問題，掌握軸對稱的性質和勾股定理是解題的關鍵．【變式42】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，正△ABC的邊長為2，過點B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關于直線l對稱，D為線段BC′上一動點，則AD+CD的最小值是．【答案】4【分析】根據等邊三角形的性質及軸對稱的性質得到∠ABC=∠A'BC'=60°，A'B=AB=BC=2，證明△CBD≌△A'BD，得到CD=A'D，推出當A、D、A'三點共線時，AD+CD最小，此時AD【詳解】解：如圖，連接A'D∵正△ABC的邊長為2，△ABC與△A′BC′關于直線l對稱，∴∠ABC=∠A'BC'=60°，A'∴∠CBC'=60°∴∠CBC'=∠A'B∵BD=BD，∴△CBD≌△A'BD∴CD=A'D∴AD+CD=A'D+CD∴當A、D、A'三點共線時，AD+CD最小，此時AD+CD=A'B+AB=故答案為：4．．【點睛】此題考查了等邊三角形的性質，軸對稱的性質，全等三角形的判定及性質，最短路徑問題，正確掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．【變式43】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB邊的垂直平分線DE(1)求BC的長；(2)若點P是直線DE上的動點，直接寫出PA+PC的最小值為【答案】(1)9(2)9【分析】（1）根據垂直平分線的性質可證△ABE為等腰三角形，由角度可證△ACE為30°直角三角形，再由線段之間的關系即可求出（2）根據將軍飲馬原理即可得出PA+PC的最小值為【詳解】（1）解：∵AB=AC∴∠∵AB邊的垂直平分線交AB于點D，∴BE=∴∠∴∠在Rt△CAE∴CE∴BC（2）解：如圖，取點A關于直線DE的對稱點，即點B；連接B,C兩點，與直線DE交于點∵PA∴PA根據兩點之間線段最短則BC即為PA+PC【點睛】本題考查了圖形的軸對稱，相關知識點有：垂直平分線的性質、將軍飲馬等，軸對稱性質的充分利用是解題關鍵．【題型5三點共線（兩定一動最大值）】【例5】（2023春·廣東廣州·八年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分線交AC于點N，交AB于點M，AB=12cm，△BMC的周長是20cm【答案】8【分析】根據垂直平分線的性質得到MA=【詳解】解：∵MN垂直平分AC∴MA又∵C△BMC∴BC在MN上取點P，連接PA、PB、PC，∵MN垂直平分AC∴PA∴PA在△PBC中PC當P、B、C共線時，即P運動到與P'重合時，(此時PC-故答案為：8cm【點睛】本題考查了線段之差的最大值，熟練運用三角形邊角關系與垂直平分線的性質是解題的關鍵．【變式51】（2023春·全國·八年級專題練習）已知：如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1，點A、B、C、M、N都在格點上．（1）畫出△ABC關于直線MN對稱的△A1B1C1．（2）在直線MN上找點P，使|PB﹣PA|最大，在圖形上畫出點P的位置，并直接寫出|PB﹣PA|的最大值．【答案】（1）見解析；（2）見解析，|PB﹣PA|的最大值為3．【分析】（1）利用網格特點，先畫出A、B、C關于直線MN的對稱點A1、B1、C1，再順次連接即可；（2）由于PA=PA1，則|PB﹣PA|=|PB﹣PA1|，而由三角形的三邊關系可得|PB﹣PA1|≤A1B，當P、A1、B三點共線時取等號，從而可得答案．【詳解】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；（2）如圖，點P為所作，|PB﹣PA|的最大值是A1B的長，為3．【點睛】本題考查了作圖—軸對稱變換、軸對稱的性質和三角形的三邊關系，屬于常考題型，熟練掌握上述知識是解題的關鍵．【變式52】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點，P是△ABC的中線AD上的動點，且AB=6，則BP【答案】3【分析】連接PC，則BP=CP，BP-PE=CPPE，當點P與點A重合時，CPPE=【詳解】解：連接PC，∵在等邊△ABC中，AB=6，P是△ABC∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴BP-PE=CP∵在△CPE中，CPPE＜CE∴當點P與點A重合時，CPPE=CE，∵E是AC邊的中點，∴BP-PE的最大值故答案是：3．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質，三角形三邊長關系，連接CP，得到BP-PE=CP【變式53】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，AB=AC=5，∠BAC=110°，AD是∠BAC內的一條射線，且∠BAD=25°，P【答案】5【分析】作點B關于射線AD的對稱點B'，連接AB'、CB'、B'P．則AB=AB'，PB'=PB，△AB'C是等邊三角形，在△PB【詳解】解：如圖，作點B關于射線AD的對稱點B'，連接AB'、C則AB=AB'，PB∵AB=∴AB∴△A∴B'在△PB'當P、B'、C在同一直線上時，PB'-PC∴PB'-故答案為：5．【點睛】本題考查了線段之差的最小值問題，正確作出點B的對稱點是解題的關鍵．【題型6雙對稱周長最小】【例6】（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一個點M，N

【答案】150【分析】要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和CD的對稱點A'，A″，即可得出∠【詳解】解：作A關于BC和CD的對稱點A'，A″，連接A'A″，交BC于M，交CD于N

∵∠DAB∴∠A∵∠A'=∠MAA'，∴∠故答案為：150．【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到平面內最短路線問題求法以及三角形的外角的性質和垂直平分線的性質等知識，根據已知得出M，N的位置是解題關鍵．【變式61】（2023春·遼寧遼陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A-2,3，B(1)請在圖中作出△ABC關于y軸對稱的△A1B1(2)△ABC的面積是________(3)在y軸上有一點P，使得△ABP的周長最小，請直接寫出點P的坐標及△【答案】(1)畫圖見解析，A(2)5.5(3)P（0，115），【分析】（1）利用關于y軸對稱的點的坐標特征得到A1、B1、C1的坐標，然后描點并順次連接A1、B1（2）利用割補法計算△ABC（3）如圖，連接A1B交y軸于點P'，連接P'A，PA1，根據軸對稱的性質可推出當A1、B、【詳解】（1）解：如圖，△A∴A1

（2）解：△ABC的面積=4×5-（3）解：如圖，連接A1B交y軸于點P'，連接P∴PA=∴△ABP的周長=∴當A1、B、P三點共線時，PA1+PB設直線A1B解析式為y∴-3解得k=∴直線A1B解析式為在y=25x+∴P'∵A1∴點P的坐標為0，115，△

【點睛】本題考查了，一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，割補法求面積，坐標與圖形變化——軸對稱：作軸對稱后的圖形的依據是軸對稱的性質，掌握其基本作法是解決問題的關鍵（先確定圖形的關鍵點；利用軸對稱性質作出關鍵點的對稱點；按原圖形中的方式順次連接對稱點）．也考查了最短路徑問題．【變式62】（2023春·全國·八年級專題練習）已知：如圖，點M在銳角∠AOB的內部，在OA邊上求作一點P，在OB邊上求作一點Q，使得△PMQ的周長最?。敬鸢浮恳娊馕觯痉治觥扛鶕S對稱確定最短路線問題，作出點M關于OA和OB的對稱點M′和M″，連接M′M″交OA于P，交OB于點Q，則M′M″即為△PMQ最小周長．【詳解】解：如圖，作出點M關于OA和OB的對稱點M′和M″，連接M′M″交OA于P，交OB于點Q，則M′M″即為△PMQ最小周長．所以點P，點Q即為所求．【點睛】此題主要考查對稱性的應用，解題的關鍵是根據題意找到對稱點．【變式63】（2023春·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習）將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標系中，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=10，OC=8．如圖1在OC邊上取一點D，將△BCD沿BD折疊，使點C恰好落在OA

(1)求點E的坐標及折痕DB的長；(2)如圖2，在OC、CB邊上選取適當?shù)狞cF、G，將△FCG沿FG折疊，使點C落在OA上，記為H點，設OH=x，GC=y(3)在x軸上取兩點M、N（點M在點N的左側），且MN=5，取線段BA段的中點為F，當點M運動到哪里時，四邊形BMNF【答案】(1)E4,0；(2)y(3)圖見解析，周長最小值為22【分析】（1）根據矩形的性質得到BC=OA=10，AB=OC=8，再根據折疊的性質得到BC=BE=10，DC=DE，易得AE=6，則