-2025學年昆明市三中高二數(shù)學上學期10月測試卷考試時間120分鐘，滿分150分一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題列出的4個選項中，僅有一項符合題意）1.若直線的一個方向向量為，則它的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知先求出直線的斜率，進而可求直線的傾斜角．【詳解】因為直線的一個方向向量為，所以直線的斜率，故直線的傾斜角為．故選：B．2.如圖，空間四邊形中，，，，點M在上，且，點N為中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的線性運算法則求解.【詳解】.故選：B.3.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A.（4，0，3） B.（4，0，3} C.（2，2，-1） D.（2，2，-1）【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量的概念求解即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為，故選：C4.已知點，，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出直線、的斜率，然后結(jié)合圖象即可寫出答案．【詳解】解：記為點，直線的斜率，直線的斜率，因為直線l過點，且與線段相交，結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．故選：B．5.點關(guān)于直線的對稱點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出垂直于直線且過點的表達式，求出交點坐標，即可得出關(guān)于直線的對稱點.【詳解】由題意，在直線中，斜率為，垂直于直線且過點的直線方程為，即，設兩直線交點為，由，解得：，∴,∴點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，即，故選：C.6.如圖，二面角等于，是棱上兩點，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長等于（）A. B. C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，可得，再由空間向量的模長計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故選：C.7.已知曲線，則的最大值，最小值分別為（）A.＋2，－2 B.＋2，C.，－2 D.，【答案】C【解析】【分析】由題意可得曲線表示的圖形為以為圓心，2為半徑的半圓，表示半圓上的動點與點的距離，作出圖象，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】由，可知，，且有，表示的圖形為以為圓心，2為半徑的半圓，如圖所示：又因為表示半圓上的動點與點的距離，又因為，所以的最小值為，當動點與圖中點重合時，取最大值，故選：C．8.阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點為軸上一點，且，若點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點的軌跡方程可得，結(jié)合條件可得，即得.【詳解】設，，所以，又，所以．因為且，所以，整理可得，又動點M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因為，所以的最小值為．故選：C．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．每小題有多個選項符合題意，全部選對得6分．若正確選項有2個，每選對一個得3分；若正確選項有3個，選對1個得2分，選對2個得4分；選有錯誤選項的得0分）9.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角的取值范圍是B.“”是“直線與直線互相平行”的充要條件C.直線恒過定點D.過點且在軸，軸截距相等的直線方程為【答案】AC【解析】【分析】求出直線斜率范圍，進而求出傾斜角范圍判斷A；根據(jù)兩條直線垂直求出a的值，進而可判斷B；將直線方程進行重新整理，利用參數(shù)分離法進行求解可判斷C；需注意截距相等還包括都為0的情況可判斷D.【詳解】對于A，直線的斜率，則，，故A正確；對于B，直線與直線互相平行，則，解得：，當時，直線與直線重合，當時，直線與直線互相平行，故“”是“直線與直線互相平行”的必要不充分條件，故B錯誤；對于C，，，，，所以直線恒過定點,故C正確;對于D項，因過點且在軸?軸上的截距相等的直線還有，故D錯誤.故選：AC.10.已知直線，圓為圓上任意一點，則下列說法正確的是（）A.直線與圓相切時，B.的最大值為C.圓心到直線的距離最大為4D.的最大值為5【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、點和圓的位置關(guān)系等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】圓的方程可化為，所以圓的圓心為，半徑.直線，即，過定點，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離為2，即，解得，所以A選項正確.如圖所示，當直線的斜率大于零且與圓相切時，最大，此時，且，B選項正確.圓心到直線的距離，當時，，當時，，所以C選項錯誤.又，是圓上的點，所以的最大值為，D選項錯誤.故選：AB.11.如圖，在正方體中，點在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.異面直線與所成角的取值范圍是C.平面與平面所成夾角的余弦值取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，利用線面平行的判定定理，得出平面，再根據(jù)三棱錐的體積的計算方法，即可進行判斷；對于B，利用異面直線所成角的計算方法，即可進行判斷；對于CD，通過建立空間直角坐標系，利用坐標法求出平面與平面所成角的余弦值和直線與平面所成角的正弦值，然后借助二次函數(shù)，即可進行判斷.【詳解】對于A，，平面，平面，平面，點在線段上運動，點到平面的距離為定值，又的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B，，異面直線與所成的角即為與所成的角，當點位于點時，與所成的角為，當點位于的中點時，平面，，，此時，與所成的角為，異面直線與所成角的取值范圍是，故B錯誤；對于C，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，，，則，A1,0,0，設平面的法向量，設平面的法向量，，則，即，令，則，則得，面與平面所成夾角為，所以，因為，，所以，，所以平面與平面所成夾角的余弦值取值范圍是，故C正確；對于D，則，，，，，，設平面的法向量n=x,y,z，則，即，令，則，得，所以直線與平面所成角的正弦值為：，當時，直線與平面所成角的正弦值取得最大值，最大值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.兩條平行直線與之間的距離為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行可求得，由平行直線間距離公式可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：，，即，之間的距離.故答案為：.13.已知O為坐標原點，向量，，，點Q在直線OP上運動，則最小值為______．【答案】【解析】【分析】由已知設，，，求出向量，的坐標，代入空間向量的數(shù)量積運算公式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得到滿足條件的的值，進而得到最小值．【詳解】，點在直線上運動，設，，又向量，，，，，，，則易得當時，取得最小值為．故答案為：14.歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條線稱之為三角形的歐拉線.已知，，，且為圓內(nèi)接三角形，則的歐拉線方程為________.【答案】##【解析】【分析】首先將點的坐標代入圓的方程，即可求出、，從而得到圓心坐標即的外心坐標，再確定的重心坐標，即可得解.【詳解】依題意，解得，所以圓，即，故圓心坐標為，即的外心坐標為，又的重心坐標為，又點、均在直線上，所以歐拉線方程為.故答案為：四、解答題（本大題共5題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.圓經(jīng)過坐標原點和點，且圓心在軸上.（1）求圓的標準方程；（2）已知直線l：與圓相交于兩點，求弦長的值；（3）過點引圓的切線，求切線的方程.【答案】（1）（2）（3）和【解析】【分析】（1）求出圓心和半徑，寫出圓的方程；（2）求出圓心到直線距離，進而求出弦長.（3）當斜率不存在時，符合題意，當斜率存在時，設出直線方程，根據(jù)，求出斜率，寫出方程.【小問1詳解】由題意可得，圓心為，半徑為2，則圓的方程為；【小問2詳解】由（1）可知：圓的半徑，設圓心到的距離為，則，所以.【小問3詳解】當斜率不存在時，為過點的圓C的切線.當斜率存在時，設切線方程為，即，解得綜上所述：切線的方程為和.16.已知的頂點，頂點在軸上，邊上的高所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為．（1）求直線方程；（2）求的值；（3）求外接圓方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程；（2）設點，求出線段的中點的坐標，將點的坐標代入直線的方程，求出的值，可得出點的坐標，再將點的坐標代入直線的方程，即可求出實數(shù)的值.（3）分別求得邊的垂直平分線方程，求得外接圓圓心坐標，再根據(jù)兩點之間距離公式求得半徑即可求解．【小問1詳解】解：由條件知邊上的高所在的直線的斜率為，所以直線的斜率為，又因為，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】因為點在軸上．所以設，則線段的中點為，點在直線上，所以，得，即，又點在直線上，所以，解得．【小問3詳解】因為直線的方程為，邊上的中線所在的直線方程為，所以聯(lián)立，解得：，所以，又因為，，所以的中點坐標為，，所以線段垂直平分線方程為，即，同理可得線段的垂直平分線方程為，由得，，所以的外接圓圓心為，所以的外接圓半徑為，所以的外接圓方程為．17.如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，，垂足為.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面的夾角.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立如圖所示空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，由直線的方向向量與平面的法向量垂直及線面平行的條件得證；（2）由空間向量法求線面角；（3）由空間向量法求二面角．【小問1詳解】如圖，以A為坐標原點，直線為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則解得，令，得.因為，所以.又平面，所以平面.【小問2詳解】設，則.因為，所以.即，解得，所以.所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】設平面的一個法向量為，則解得令，得.因為，所以.所以平面與平面夾角為.18.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，．E為PD的中點，點F在PC上，且，設點G是線段PB上的一點．（1）求證：CD⊥平面PAD；（2）若．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．（3）設CG與平面AEF所成角為，求的范圍.【答案】（1）證明見解析（2）直線在平面內(nèi)，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）由⊥平面可得，結(jié)合利用線面垂直判定定理可證；（2）由代入坐標建立方程組，由方程組有解可得直線在平面內(nèi)；（3）由點G是線段PB上的一點．設，進而得坐標，求平面的一個法向量，由向量方法表示出，再利用換元法求函數(shù)值域可得.【小問1詳解】因為⊥平面，平面，所以，又因為，，平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在底面中，過作，交于，由題意可知，又平面，則以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系.則，，，，、、、.，，，若平面，則且，使得，則有，解得，故.所以直線平面.【小問3詳解】由（2）可知，.設，則，設平面的法向量為，則，即，令，有，故.故，令，則，而，，故.19.已知圓與直線交于、兩點，點為線段的中點，為坐標原點，直線的斜率為.（1）求的值；（2）求的面積；（3）若圓與軸交于兩點，點是圓上異于的任意一點，直線、分別交于兩點.當點變化時，以為直徑的圓是否過圓內(nèi)的一定點，若過定點，請求出定點；若不過定點，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）過定點，【解析】【分析】（1）先確定直線的方程，聯(lián)立直線方程求得點坐標，利用垂徑定理及兩直線垂直的斜率關(guān)系計算可得；（2）根據(jù)點到直線的距離公式、弦長公式計算求面積即可；（3）設方程，含參表示方程，求出坐標，從而求出以為直徑的圓的方程，利用待定系數(shù)法計算即可.【小問1詳解】由題知：直線方程為，則由，得到，即，點為線