專題27.9相似章末十大題型總結(jié)(培優(yōu)篇)

【人教版】

＞題型梳理

【題型1由比例的性質(zhì)求值或證明】............................................................1

【題型2由平行判斷成比例的線段】............................................................4

【題型3黃金分割】...........................................................................9

【題型4證明兩三角形相似】..................................................................12

【題型5證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例】........................................................17

【題型6確定相似三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】.........................................................21

【題型7相似與翻折】........................................................................25

【題型8利用相似求坐標(biāo)】....................................................................33

【題型9在網(wǎng)格中作位似圖形】...............................................................40

【題型10相似三角形的應(yīng)用】.................................................................45

〉舉一反三

【題型1由比例的性質(zhì)求值或證明】

【例I】(2023秋?安徽馬鞍山?九年級(jí)安徽省馬鞍山市第七中學(xué)校考期中)已知詈=詈=￡^,求

(a+b)S+c)(c+a)的值

abc

【答案】8或一1

【分析】觀察婦處=~=誓與(a?S：c)(c+a)發(fā)現(xiàn)，后者是通過前者相乘得來，那么只要找出

cababc

—=—的值解出，因此設(shè)=~=穿=々通過變換化為(a+b+c)(k-2)=0那么

ca.bcab

可能是a+b+c=0或k=2對(duì)這兩種情況分別討論；

■、平心、▼、幾a+bb+cC+Qa

【詳解】設(shè)丁=k=丁=*，

則a+b=kc,b+c=ka,c+a=kb

(a+6)+(b+c)+(c+Q)=kc+ka+kb

2(a+b+c)=k(a+b+c)

即(Q+b+c)(k-2)=0

所以Q+b+c=0或k=2

當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a+b=-c,

所以g+b)(b+c)(c+a)=*(^c)(￡±a)X(-1)=一1

abccxaxb=

當(dāng)k=2時(shí)，

(a+f?)(b+c)(c+a)

—^=~-^=2

所以(a+b)(b+c)(c+a)=32x(b±c)x(c±a)=2x2x2=8

abccab

故答案為8或-1

【點(diǎn)睛】做好本題的關(guān)鍵是找出a、b、c三個(gè)變量間的關(guān)系，因而假設(shè)￥=等=詈=乜做到這步已經(jīng)成

功了一半，因而同學(xué)們?cè)诮忸}中一定要仔細(xì)觀察已知與結(jié)論找出其存在或隱含的關(guān)系

【變式1-1](2023秋?安徽六安?九年級(jí)?？计谥?已知a、氏c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且三W，a+b+c=

24,求△ABC三邊的長(zhǎng).

【答案】△ABC三邊的長(zhǎng)為6,8,10

【分析】設(shè)g=1=g=k,則a=3k,b=4k,c=5k,根據(jù)a+b+c=24進(jìn)行計(jì)算求Hlk的值即可.

【詳解】解：設(shè)g=t=(=k，則a=3k，b=4k,c=5k,

；a+b+c=24,

:.3k+4k+5k=24,

解得：k=2t

???a=3k=6,b=4k=8,c=5k=10,

???△力8C'二邊的長(zhǎng)為6,8,10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2](2023秋?浙江嘉興?九年級(jí)校聯(lián)考期中)已知線段a、b滿足a:6=1:2,且a+2b=10.

⑴求a、b的值；

⑵若線段c是線段a、b的比例中項(xiàng)，求c的值.

【答案】(l)a=2,b=4

(2)c=2V2

【分析】(1)利用a:b=l:2,可設(shè)a=k,b=2k,則k+4k=10,然后解出k的值即可得到a、I的值;

（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到c2=Qb,即。2=8,然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解.

【詳解】（1）a:b=1:2

二設(shè)a=k,b=2k,

a+2b=10,

???k+4k=10,

:?k=2,

???a=2,b=4

（2）是a、b的比例中項(xiàng),

：?c2=ab=8?

???c是線段，c>0,

C=2V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段Q,瓦C,d,如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩

條線段的比相等，如a:b=c:d（即ad=加），我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.注意利用

代數(shù)的方法解決較為簡(jiǎn)便.

【變式1-3］（2023秋?廣東珠海?九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a,b,c,d都是互不相等的正數(shù).

（1）若：=2,：=2,貝附色，-（用"V"或"=〃填空）；

bda-cc-d

（2）若？=5,請(qǐng)判斷三和三的大小關(guān)系，并證明；

bda+bc+d

（3）令g=?=t,若分式史上一筆+2的值為3,求，的值.

cda-cb-d

【答案】（）（）二二三，理由見解析；（）；

1=;=;2a.+hc+d32

【分析】（1）由？=2,：=2,得到a=2b,c=2d,代入化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論；

（2）設(shè)戶3則*3得到。=初，c="代入化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論；

（3）由已知得到：a=ch從力.代入分式，化簡(jiǎn)后解方程即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）吟=2,”2,

回。=2b,c=2d,

nbd1b2aa

ac2d2cc

故答案為：==；

由FGIIBN,得些于是GC=3NG；設(shè)EN=NG=a,則GC=3a,EC=5a,AC=—a,從而得空=—.

FCGC33AC20

【詳解】解：過點(diǎn)尸作FGIIBN交4c于點(diǎn)G,

那=四=1

GNFM

(SEN=GN.

回DEIIBC,

底=絲二.

ECDB3

團(tuán)EC=3AE.

0EF||AB,

造=生=>

ECFC3

MGIION,

爛=空二.

FCGC3

(3GC=3NG.

設(shè)EN=NG=a,則GC=3Q,

團(tuán)EC=EN+NG+GC=5a

團(tuán)EC=3AE=Sa.

^AE=-a.

3

520

團(tuán)4c=AE+EC=-Q+5Q=——a.

33

嗖嗦T

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理；由平行線得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1]（2023秋?陜西榆林?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D,4D與BC相交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在80上，且4BIIEFIICD,

若E尸=2,CD=3,求力8的長(zhǎng).

A

【答案】6

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論一一“平行于三角形一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截

得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例〃，先由即18,得黑=黑，再由4引呼得賓二谿即可

CDBDABDO

求解.

【詳解】解：回△BCD中，EFWCD,

0FF=2、CD=3,

相

^ABWEF,

理=變一，

ABDB3

BAB=3EF=6.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題的關(guān)鍵是從圖形中找準(zhǔn)成比例的線段.

【變式2-2](2023春?安徽合肥?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在△ABC中，。是4；邊上的中點(diǎn)，E在BC上，且

EC=2BE,則空=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【詳解】取CE的中點(diǎn)M,連接。M,根據(jù)三角形中位線定理得。M||AE,DM=\AE,再根據(jù)平行線分線段

成比例得照=警即可得出答案.

UMDMN

【解答】解：如圖，取CE的中點(diǎn)連接DM,

^DM|AE,DM=\AE,EM=MC

團(tuán)EC=2BE,

raEFBE1

~~BM-2^

貂F十M,

成AE=2EF,

^AE=4EF,

嘮=3,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理，本題輔助線的作法是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2023秋?四川成都?九年級(jí)校考期中）如圖，已知AABC,&DCE,△尸EG是三個(gè)全等的等腰

三角形，底邊BC,CE,EG在同一直線上，RAB=V3,BC=1,分別交4C，OC,DE于P,Q,R,貝IJPQ的

【答案】:

【分析】過點(diǎn)尸作PH1BG于點(diǎn)H,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出EH=HG=\EG==FH

y/EF2-EH2="，BF=VFH2+BH2=3,根據(jù)平行線的判定得出ACIIDE||FG,得出黑=絲=2，根

Z￡>CCccG

據(jù)BC=CE=EG=1,結(jié)合B尸=3,得出BP=PR=RF=1,根據(jù)平行線的判定得出C。||EF,得出券=

號(hào)=1,從而求出BQ=QP=：BP=3，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：過點(diǎn)尸作尸H1BG于點(diǎn)H,

0A/IFC,ADCE,^FEG是三個(gè)全等的等腰三角形，

團(tuán)BC=CE=EG=1,AB=AC=DC=DE=EF=FG=V3,

/.ABC=Z.ACB=乙OCE=乙DEC=Z-FEG=4FGE,

^FH1BG,

團(tuán)EH=HG=-EG=-,

22

0FH=yjEF2-EH2=烏，

2

=BC+CE+EH2

WF=\/FH24-BH2=3,

回乙4cB=乙DEC,

^AC||DE,

同理可得：OEIIFG,

團(tuán)ACIIDE||FG,

團(tuán)BC=CE=EG=1,

(3BP=PR=RF,

(3BP+PR+R尸=8尸=3,

團(tuán)BP=PR=RF=1,

^Z-BCD=180°-zDCE,Z.BEF=1800-Z.FEG,

又回匕OCE=乙FEG,

團(tuán)乙BCD=Z.BEF,

BCD||EF,

喘喏?

13

MQ=QP=”P=；,

團(tuán)PQ=BQ-BP=；1=/

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，平行線分線段成

比例定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出3P=1,BQ=g

【題型3黃金分割的運(yùn)用】

【例3】（2023秋?河南鄭州?九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┪褰切鞘俏覀兩钪谐Ｒ姷囊环N圖形，在如

圖所示的正五角星中，點(diǎn)C,。為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且43=2,則圖中五邊形CDE/G的周長(zhǎng)為（）

A.2V5-2B-7C.10V5-20D.10V5-10

【答案】C

【分析】根據(jù)點(diǎn)C,。分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點(diǎn)，可得AC=BD=亨48=再一1,

8。=亨80=3-遍，再根據(jù)CD=8。一BC求出CO的長(zhǎng)度，然后乘以5即可求解.

【詳解】解：團(tuán)點(diǎn)C,。分別為線段力8的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點(diǎn)，

0/4C==—/IF=V5-1,AD=BC=—FD=3-V5,

22

0CD=5D-SC=V5-1-3+V5=2V5-4,

13五邊形CDE尸G的周長(zhǎng)5（2遙-4）=10V5-20.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點(diǎn)把線段分為較長(zhǎng)線段和較短線段，若較長(zhǎng)線段是較短線

段和整個(gè)線段的比例中項(xiàng)，則這個(gè)點(diǎn)叫這條線段的黃金分割點(diǎn).

【變式3-1］（2023春.山東威海?九年級(jí)校聯(lián)考期末）在學(xué)習(xí)面線段的黃金分割點(diǎn)時(shí)，小明過點(diǎn)B作的

垂線BC,取AB的中點(diǎn)M,以點(diǎn)B為圓心，3M為半徑畫弧交射線3c于點(diǎn)。，連接40,再以點(diǎn)。為圓心，DB為

半徑畫弧，前后所畫的兩弧分別與AD交于E,F兩點(diǎn),最后，以A為圓心，“國(guó)”的長(zhǎng)度為半徑畫弧交于點(diǎn)

H,點(diǎn)H即為AB的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，這里的“酎'指的是線段.

【答案】AF

【分析】根據(jù)作圖可知，乙480=90。，DB=DF=BM=）B,設(shè)。3則48=2a,根據(jù)勾股

定理得，AD=yjAB2+BD2=V5a,求出力F=VIa-Q,得出某=空，即可得出結(jié)論.

AB2

【詳解】解：根據(jù)作圖可知，^ABD=90%DB=DF=BM

設(shè)D8=DR=Q,則4B=2a,

二根據(jù)勾股定理得，AD=7AB2+BD2=府a(chǎn),

AF=AD-DF=V5a—a,

AFV5a-aV5-1

:.—=----=----,

AB2a2

???以A為圓心，"AF"的長(zhǎng)度為半徑畫弧交AB于點(diǎn)H,點(diǎn)H即為AB的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn).

故答案為：AF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，黃金分割，解的關(guān)鍵是求出蕓=粵士=亨.

AB2a2

【變式3-2］（2023秋?遼寧錦州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割,

黃金分割在日常生活中處處可見；例如I：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感

覺最好.若舞臺(tái)長(zhǎng)48=20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)8進(jìn)入，她至少走米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分

割點(diǎn)上.（結(jié)果保留根號(hào)）

APB

【答案】（30-10花）

【分析】根據(jù)黃金分割的概念，可求出力P,BP,即可求解.

【詳解】由題意知AB=20米，

BP_AP_yf5-l

而=耘=方''

AP=20X亨=（10V5-10）,

BP=20-（10V5-10）=（30-106）米，

故主持人從舞臺(tái)一側(cè)點(diǎn)B進(jìn)入，則他至少走（30-10V5）米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上，

故答案為：（30-10V5）.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2023春?江蘇蘇州?九年級(jí)蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谀┮阎€段48=2,點(diǎn)P是線段48的黃

金分割點(diǎn)（4P>BP）,

⑴求線段AP的長(zhǎng)；

⑵以48為三角形的一邊作△ABQ,使得BQ=AP,連接QP,若QP平分乙4QB,求AQ的長(zhǎng).

【答案】（1）函一1

（2）2

【分析】（1）根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義得出8P=亨、48=晶一1；

⑵根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出P到AQ、EQ的距離相等，可得出受"=鐵=焉求出PB=AB-4P=3—

S&PBQBQPB

V5,即可得出答案.

【詳解】（1）解：目點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（4P>BP）,

0/4P=—xAB=—x2=V5-1；

22

（2）解：I3QP平分入4QP,

團(tuán)尸到AQ、BQ的距離相等，

肥3=絲=絲，

SRPBQBQPB

又由（1）AP=BQ=y[5-l,

團(tuán)4B=2,

團(tuán)PB=AB-AP=2-（石-1）=3-倔

西Q=q=^#=2.

yPB3-V5

【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割點(diǎn)的定義，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用.

【題型4證明兩三角形相似】

【例4】（2023秋?廣東清遠(yuǎn)?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形A8CD中，8E平分NDBC且交CD邊于點(diǎn)E,

將A8CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ADC尸的位置，并延長(zhǎng)8E交DF于點(diǎn)G.求證：

（1）ABDGDEG；

（2）BG1DF.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】（1）先判斷出4FDC=4E8C,再利用角平分線判斷出乙FOC=NEBC,即可得出結(jié)論;

（2）由三角形的內(nèi)角和定理可求40GE=/BCE=9O。，可得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)可知：ABCE=ADCF,

Z.FDC=Z.EBC.

???BE平分WBC,

Z.DBE=Z.EBC,

:.Z.FDC=乙DRE,

,:乙DGE=乙DGB,

???△BDGDEG；

(2)證明：..?4E8C=NGDE,乙BEC=LDEG,

???乙DGE=乙BCE=90°.

???BG1DF.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題

是本題的關(guān)鍵.

【變式4-1](2023秋?浙江紹興?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，已知NB=ZE=90°,AB=6,BF=3,CF=5,DE=

15,DF=25.

⑴求CE的長(zhǎng)；

(2)求證：小ABC~ADEF.

【答案】(1)CE=15

⑵見解析

【分析】(1)利用勾股定理求出EF,再用EF—C/即可求出CE的長(zhǎng)；

(2)先求出BC的長(zhǎng)，得到黑=能再根據(jù)=NE=90。，即可得證.

DEEr

【詳解】(1)解：BOE=15,OF=25,NE=90。，

(3EF=y/DF2-DE2=20,

團(tuán)CE=EF-CF=15；

(2)證明：回BF=3,CF=5,

^BC=BF+CF=8,

團(tuán)4B=zE=90°,

ABC5sDEF.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定.熟練掌握勾股定理，相似三角形的判定方法，是解題的

關(guān)鍵.

【變式4-2](2023秋?貴州貴陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在RCA4BC中，乙4cB=90。，CDLAB,垂足為

點(diǎn)。，點(diǎn)M是4c上的一點(diǎn)，連接BM,作且交AB于點(diǎn)N.

(1)求證：ABCP?AMAN；

(2)除(1)中的相似三角形外，圖中還有其它的相似三角形嗎？若有，請(qǐng)將它們?nèi)恐苯訉懗鰜?

【答案】(1)詳見解析；(2)44co?。4BC；AACD^ABCD；/BCD?44BC；ABDP?ABMN.

【分析】(1)由乙4cB=90。，。0_148證得乙4=乙3。0,再利用MN_L8M證得乙4MN=々CBM,即可得

至IJ/L4CD?44BC；

(2)利用直角與公共角的關(guān)系得至必ACO~zL43C；AACD-ABCD；ABCD^AABC,4BDP?ABMN.

【詳解】(1)-ABLCD,ACLBC,

LA+Z.ACD=90°,￡BCD+LACD=90;

Z.A=乙BCD,

又NM1BM,AC1BC,

???Z.AMN+乙BMC=90°,4CBM+/BMC=90°,

:./.AMN=NCBM,

AAMN-ACBP；

(2)-ABLCD,ACIBC,

00ACB=(?lADC=aBCD=9Oo,

配A=SA,

WCD?44BC;

00ABC=(3CBDZ

助BCD?2MBC;

^AACD^ABCD：

團(tuán)MN1BM,

00BMN=0BDP=9O°,

X00DBP=0MBNz

⑦ABDP?ABMN.

團(tuán)共4對(duì)相fcl三角形：AACD^AABC；AACD^ABCD；ABCD^AABC^ABDP?ABMN.

【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定，注意公共角在證明三角形相似中的作月，再由已知條件所給的都是

關(guān)于角的條件，因此通過證明兩組角分別相等證明兩個(gè)三角形相似比較簡(jiǎn)單.

【變式4-3］（2023秋?安徽阜陽(yáng)?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，把△ADE沿AE

翻折，使點(diǎn)。恰好落在8c邊上的點(diǎn)F處.

（1）求證：尸?ZiFCE：

（2）若48=2g，AD=4,求CE的長(zhǎng).

⑶當(dāng)點(diǎn)尸是線段8c的中點(diǎn)時(shí)，求證：AF2=ABAE.

【答案】⑴證明見解析

陪

⑶證明見解析

【分析】（1）利用同角的余角相等，先說明4B4F=再利用相似三角形的判定得結(jié)論;

（2）先利用勾股定理求出8尸，再利用相收三角形的性質(zhì)得方程，求解即可.

(3)由△ABFSAFCE,可得”=”=荔，結(jié)合F為的中點(diǎn)，可得荔=在，結(jié)合乙4FE==90。，可

CrCEEFBFEr

得△A8F?從而可得答案.

【詳解】(1)證明：團(tuán)四邊形ABCD是矩形，

團(tuán)/B=zC=ZD=90°.

0AAOE沿AE翻折得至1」△AFE,

回ND=Z.AFE=90°.

團(tuán)NB4F+Z.AFB=90°=Z.AFB+乙EFC,

回48AF=Z.EFC.

又回乙B=乙C,

H1AABF?△FCE.

(2)團(tuán)四邊形A6C。是矩形，AB=2V3,AD=4,

^AB=CD=2V3,AD=BC=4,

0A4DE沿AE翻折得至AFE,

^AD=AF=4,DE=EF.

在RtAA8尸中，BF=VAF^-AB2=2.

設(shè)CE的長(zhǎng)為x,則DE=EF=28一%.

ISAABF—△FCE?

醉=竺.

CEFE

團(tuán)CEAF=BFEF,

即4%=2(273-x).

0x=<

3

即EC#.

3

(3)SAABF八FCE,

團(tuán)"為BC的中點(diǎn),

團(tuán)BF=CF,

櫻=竺，

BFEF

^Z-AFE=Z.B=90°,

0AABF-AAFE,

造=竺，

AFAE

0AF2=AB-AE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握“矩形的四個(gè)角都是直

角、矩形的對(duì)邊相等"、"折疊前后的兩個(gè)圖形全等"、"兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似"及"相似三角形的對(duì)

應(yīng)邊的比相等“是解決本題的關(guān)鍵.

【題型5證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例】

【例5】（2023春?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A/IBC中在48、4c上分別截取80=CE,DE,BC

的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)凡證明：ABDF=ACEF.

【答案】見解析

【分析】過點(diǎn)E作EM〃/18交BC于點(diǎn)M,可得到ACEMYEB,AFEM^AFDB,進(jìn)而有罌=竿，

翳晦，根據(jù)BD=CE,可得到*急即證.

【詳解】如圖，過點(diǎn)E作交BC于點(diǎn)、M,

^EM//AB,

SACEM~ACAB,△FEM~AFDB,

EM_EF

DB~DF

(3AB?CE=EM?AC,

R/BEM

即——AC二—CE,

團(tuán)BD=CE

靜=型,

CEDB

嗤喑

^ABDF=ACEF

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì).

【變式5-1](2023春?江西南昌?九年級(jí)統(tǒng)考期末)⑴已知拋物線、=。%2一6%+，的圖象經(jīng)過點(diǎn)(?2,-1),

其對(duì)稱軸為x=l.求拋物線的解析式.

(2)如圖，在0ABe中，AB=AC,點(diǎn)D,E分別是BC,AB邊上的點(diǎn)，K0ADE=0C.

求證：BD-CD=BE-AC

【答案】(1)、=一3%2一6%-1；(2)詳見解析.

【分析】1)利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

(2)由AB=AC可得EIBWC,由已知條件0ADE=SC可證團(tuán)BDEWCAD,根據(jù)相似三角形的判定定理即可證

回BDE幽CAD,由相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】⑴解：由題意得，[,解得｛；二二；

_16=_1

團(tuán)拋物線的解析式為y=一3一一6%-1

(2)證明：0AB=AC

E0B=3C

00ADB=0C+0DAC@ADE=0C.

0ADB=0ADE+0BDE

00DAC=0BDE

00BDE03CAD

國(guó)BDCD=BE-AC.

故答案為(1)y=-3x2-6x-l.(2)詳見解析.

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠掌握并

熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí).

【變式5-2](2023?上海松江?統(tǒng)考一模)如圖，已知梯形4BCD中，AD\\BC.E是邊AB上一點(diǎn)，CE與對(duì)角

線8。交于點(diǎn)F,且BE2=EF-EC.

求證：

(1)AABDFCB；

(2)BD-BE=ADCE.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】（1）由BE?=EF?EC可證△BEFCEB,得至I」乙E8F=乙ECB,再由40||8C得至I]4408=乙DCB,

即可證明△48。一△FCB；

（2）由?ZkCEB得至1]更=空，△48。?△FCB得至IJ絲=吧=絲，進(jìn)而得到.=絲，即可得到BD?

BCCEFCBCBFCEBD

BE=ADCE.

【詳解】（1）05E2=EFEC,

爬=生

EFBE

團(tuán)4BEF=乙CEB,

SABEF~&CEB

^LEBF=乙ECB

團(tuán)4OUBC,

團(tuán)乙4DB=Z.DCB

ABDFCB；

(2)BEF?ACEB,

BCCE

ABDFCB,

AB_BD_AD

FC~~BC~~BF

胖=絲

BCBD

爬=絲

CEBD

田BEBD=ADCE.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形判定方法是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3］（2023春?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，在0ABC中，回AC3的平分線CD交AB于D,過

B作BE0CD交AC的延K線于點(diǎn)E.

【答案】證明見解析.

【分析】根據(jù)CD平分（3ACB,可知回ACDWBCD：ftlBE0CD,可求出ABCE是等腰三角形，故BC=CE；根據(jù)平

行線的性質(zhì)及BC=CE可得出結(jié)論.

【詳解】解：證明：回CD平分團(tuán)ACB,

00ACD=0BCD.

X0BE3CD,

（30CBE=0BCD,0CEB=0ACD.

00ACD=0BCD,

釀CBEWCEB.

團(tuán)BC=CE.

團(tuán)BE團(tuán)8,

喘吟

又團(tuán)BC=CE,

碎=些.

DBCB

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)和角平分線定理、平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是熟

練掌握平行線分線段成比例定理和平行線的性質(zhì).

【題型6確定相似三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】

【例6】(2023春?江蘇蘇州?九年級(jí)校聯(lián)考期末)如圖，已知點(diǎn)4(1,0),點(diǎn)B(b,0)(b>l),點(diǎn)P

是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)明，若△尸OA和△掰B相似，則符合務(wù)件的尸點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

4

【答案】D

【分析】利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，分①團(tuán)限000必B,②(3以00團(tuán)刖尸兩種情況分別求解即可.

【詳解】團(tuán)點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為々

(3點(diǎn)P在直線)，=：上，

①當(dāng)團(tuán)以O(shè)03B4B時(shí)，48=8-1=04=1,助=2,則P(l,|)；

②團(tuán)當(dāng)團(tuán)R4OS團(tuán)8Ap時(shí)，B4：AB=OA：PA,

團(tuán)"2=AA?OA,

產(chǎn)="1,

16

0(/?-8/=48,

解得6=8±46，

□P(l,2+V5)或(1,2-V3),

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有3個(gè)，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正確地分類討論是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1］（2023春?江蘇蘇州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列五幅圖均是由邊長(zhǎng)為1的16個(gè)小正方形組成的

正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的一:角形的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，那么在下列右邊四幅圖中的一：角形，與左圖

中的0ABe相似的個(gè)數(shù)有（）

B.2個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】可利用正方形的邊把對(duì)應(yīng)的線段表示出來，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例兩個(gè)三角形相似，分別計(jì)算各邊

的長(zhǎng)度即可解題.

【詳解】解：根據(jù)題意得：AC=Vl2+I2=y[2,BC=V22+22=242,AB=Vl2+32=V10,

^AC24-BC2=AB2,

團(tuán)該三角形為直角三角形，且兩直角邊的比為翌=2,

4c

第1個(gè)圖形中，有兩邊為2,4,且為直角三角三角形，則兩直角邊的比為2,故第1個(gè)圖形中三角形與她8C

相似;

第2個(gè)圖形中，三邊長(zhǎng)分別為A//+22=V5,“2+22=V5,3+32=V10,

0(V5)2+(V5)2=(VTO)2,

則該三角形是直角三角形，兩直角邊的比為1,故第2個(gè)圖形中三角形不與財(cái)BC相似;

第3個(gè)圖形中，三邊長(zhǎng)分別為,12+22=%,V32+22=V13,Vl2+32=710,

<V5)2+(VTO)2^(V13)2,

則該三角形不是直角三角形，故第3個(gè)圖形中三角形不與蜘8C相似:

第4個(gè)圖形中，三邊長(zhǎng)分別為-12+22=遍,V42+22=2V5,"42+32=5,

0(V5)2+(2A/5)2=52,

則該三角形是直角三角形，兩直角邊的比為2,故第4個(gè)圖形中三角形與財(cái)8c相似；

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等判定三角形相似的方法，本

題中根據(jù)勾股定理計(jì)算三角形的三邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2］（2023秋?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在A4BC中，AB=4cm,AC=3cm,8C=6cm,。是AC上

一點(diǎn)，AD=2cm,點(diǎn)P從C出發(fā)沿CTBTA方向，以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A處，線段DP將△力8c分成兩

部分，可以使其中一部分與△4BC相似的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理“有兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似"，按點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡，一次進(jìn)行

判斷艮」可.

【詳解】解：①當(dāng)/。P。=2力時(shí)，&ABdPDC,

③當(dāng)"=時(shí)，AABC?△4PO,

A

④當(dāng)ZAPD=4C時(shí)，AABC?AADP,

A

綜上：一共有4個(gè)，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握“有兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形

相似

【變式6-3］（2023秋?安徽宣城?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在（MBC中，04=60°,AB=4,4C=6,將財(cái)BC

沿圖示中的虛線剪開，有如下幾種剪法，其中滿足剪下的陰影三角形與財(cái)5c相似的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】先利用勾股定理和直角三角形的性質(zhì)求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的判定逐個(gè)判斷即可得.

【詳解】解：如圖1,過點(diǎn)B作于點(diǎn)F,

???Lh=60°,AB=4,

：?AF=-AB=2,BF=\iAB2-AF2=2百,

：.CF=AC-AF=6-2=4,

BC=y/BF2-+CFZ=+42=2V7*AC,

???〃wz_B,

在ABDE和△BAC中，N="=；，但乙4H48或者,B=但處工普，

ABAC2ABBC

則ABDE與ABAC不相彳以；

如圖2,VAB=4,AC=6,AD=AB-BD=3,AE=AC-CE=

-A-D=AE1,

ACAB2

AD_A￡_1

就一方一3,

{Z.A=Z.A

ADE~&ACB；

如圖3和圖4,剪下的陰影二角形均與△43C有一組公共角乙C,還有一組大小均為60。的相等的角,

所以圖3和圖4中，剪下的陰影三角形均與AABC相似；

綜上，滿足剪下的陰影三角形與aABC相似的個(gè)數(shù)是3個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定是解題

關(guān)鍵.

【題型7相似與翻折】

【例7】（2023秋?河南潦河?九年級(jí)漂河行實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）在Rt△力BC中，8c=5,AC=12,點(diǎn)O,

E是線段48,AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A,B,C重合）沿DE翻折△ADE使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸恰好落在直線BC

上，當(dāng)OF與RtAABC的一條邊垂直的時(shí)候，線段力。的長(zhǎng)為.

【答案】爰或旨

【分析】設(shè)40=。尸=，則BD=13-X,分兩種情況討論：DF1BC,DFLAB,依據(jù)相似三角形的對(duì)

應(yīng)邊成比例，即可得到比例式，進(jìn)而得出A0的長(zhǎng).

【詳解】團(tuán)RtAA8C中，BC=5,AC=12,

^AB=yjAC2+BC2=13,

設(shè)==則BD=13一%,

①如圖，當(dāng)DPIBC時(shí),Z-DFB=Z-ACB=90°,

團(tuán)ACIIDF,

ABC^△DBF,

脛=型，即二=廿，

ACBA1213

解得"受；

②如圖，當(dāng)。尸時(shí)，Z.ACB=Z.BDB=90°,而乙ABC=4FBD,

A

ABCS△FBD,

座=變，即工=工，

FDBDx13-x

解得x=詈；

綜上所述，線段40的長(zhǎng)為詈或詈，

故答案為：詈或詈.

【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列比例式求

解.

【變式7-1](2023秋?重慶沙坪壩?九年級(jí)重慶八中?？计谀?如圖，在△4BC中，點(diǎn)。是4c邊上的中點(diǎn)，

連接BD,把△A8D沿若BD翻折，得至ijaABD.連接AC.若AC=6,LA'CD=30°,BD=4,則AB為()

A.V3B.2C.3D.2V3

【答案】B

【分析】延長(zhǎng)48,G4'交于點(diǎn)H,連接/L4',過點(diǎn)4'作AE1{〃于E,由折疊性質(zhì)可知48=AfB,AD=A'D=

DC,UDB=iBDA',易證△4BD?△AHC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得*=啜=器=J進(jìn)而可得C，=

ACAHCH2

2BD,AH=2AB,根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可得乙4AC=90。，根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可求

得AA=2V5,進(jìn)而在RtAA477中，由勾股定理得4”，進(jìn)而即可求解.

【詳解】如圖，延長(zhǎng)48,CA交于點(diǎn)H,連接力A,過點(diǎn)4作于E,

團(tuán)點(diǎn)。是AC邊上的中點(diǎn)，

04D=DC,

(3把△ABD沿若翻折，得至IJAAB。，

^AB=A'B,AD=A'D=DC,Z,ADB=LBDA1,

^DCAf=LDA!C.

^LADB+LA'DB=LDCA'+LDA!C.

^LADB=LACA',

(3BDIICH,

QAABDAHC

櫻_也_處」

AH~CH~2f

⑦CH=2BD,AH=2AB,

團(tuán)力'C=6,BD=4,

團(tuán)CH=8=A,C+A'H,

團(tuán)AH=2,

^AD=A'D=DCf

^AA'C=90°,

團(tuán)乙4c?=30°,

團(tuán)4'C=V3AAf=6,

回44=2V3,

團(tuán)在RS44'H中，由勾股定理，得：

AH=y/AfA2+AfH2=J(2⑹2+22=%

^AB=-AH=-x4=2,

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所

學(xué)性質(zhì).

【變式7?2】（2023春?上海徐匯?九年級(jí)上海市西南模范中學(xué)?？计谀┘褐涸谥苯翘菪蜛8C。中，AD\\BC,

乙4=90。，AA8D沿直線8。翻折，點(diǎn)4恰好落在腰CD上的點(diǎn)E處.

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E是腰的中點(diǎn)時(shí)，求證：是等邊三角形；

⑵延長(zhǎng)BE交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接6,如果腹2=。小。。，求證：四邊形4BCF是矩形.

【答窠】⑴見解析

⑵見解析

【分析】（1）由垂直平分線的性質(zhì)得到OE=BC,通過折疊、等邊對(duì)等角、平行線的性質(zhì)得到N80E=ZC=

^ADB=60°,從而證明△BCD是等邊三角形；

（2）過點(diǎn)。作_LBC于〃，得到四邊形力BHO是矩形，從而4。=8H,AB=DHf再由折疊得到角之間

的關(guān)系從而證明ABCE三△/）（；”，得到DC=BC,CE=CH；由得到△FDEBCE,進(jìn)而竺二型,

DEDF

結(jié)合已知條件CE2=DE?OC得到。F=CE=CH,進(jìn)一步得到4尸=BC,所以四邊形力BCF是平行四邊形，

又44=90。，所以證明得到四邊形A8CF是矩形.

【詳解】（1）由折疊得：乙ADB=4BDE,LA=Z.DEB=90°

團(tuán)點(diǎn)E是腰CD的中點(diǎn)

（3BE是。C的垂直平分線

DB=BC

???Z.BDE=Z.C

乙BDE=zC=Z.ADB

vAD\\BC

Z.ADC+ZC=180°

?.乙BDE+NC+Z.ADB=180°

:.Z.BDE=zC=Z-ADB=60°

BOO是等邊三角形

（2）過點(diǎn)。作?！?3C,垂足為”,

:.乙DHB=Z.DHC=90°,

vAD\\BC,LA=90°,

^ABC=180°-乙4=90°,

回四邊形力8HD是矩形，

.-.AD=BH,AB=DH,

由折疊得：/-A=WEB=90°,AB=BE,

Z.BEC=180°-乙DEB=90°,DH=BE,

???乙BEC=Z-DHC=90°,乙BCE=乙DCH：

BCE=△OCH(AAS),

:.DC=BC,CE=CH,

-AD\\BC,

:.Z.DFE=乙EBC,乙FDE=乙ECB,

???△b'DE-△BCE,

曜喑

?:CE2=DEDC,

CE_DC

"DE-CE*

.BC_DC

''~DF~'CEf

DF=CE,

CH=DF,

..ADDF=BH+CH,

:.AF=BC,

國(guó)四邊形42CF是平行四邊形,

v乙4=90°,

回四邊形4BCF是矩形.

【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定，矩形的判定.相似三角形的判定與性質(zhì)，圖中

角和線段的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3］（2023春?山西太原?九年級(jí)山西大附中校考期中）如圖，已知乙48c=135°,AB=3仿BC=6,

點(diǎn)P是邊4c上任意一點(diǎn)，連接BP,將ACPB沿PB翻折，得到AUP8.當(dāng)。P_LAC時(shí)，4P的長(zhǎng)為.

【答案】蜉或手

【分析】分兩種情況討論，根據(jù)翻折的性質(zhì)證明ACPB?△CB4或△4PB?△力BC,過點(diǎn)C作C”148交延

長(zhǎng)線于點(diǎn)H,結(jié)合勾股定理即可求出CP的長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】解：①由翻折可知：乙CPB=LC'PB,

???“'PC=90°,

:.乙CPB=135%

???乙CPB=Z.CBA,

回匕ACB=乙BCP,

CPB?△CBA?

CP_CF

'CB=CAf

過點(diǎn)C作CH148交48延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

：?Z.CBH=45°,BC=6,

CH=BH=3V2,

AH=6或，

在RtACA”中，CA=y/CH2+AH2=48+72=3V10,

由翻折可知：4CPB=NC'PB,

???"'PC=90。，

???乙CPB=45°,

4APB=135°,

乙APB=乙ABC,

0Z/1=4A

：△APBABC,

AP_AB

"AB~AC1

AB2=AC-AP,

vAB=3V2,AC=3^,

.?"P=爭(zhēng),

...AP的長(zhǎng)為蜉或蜉，

故答案為：字或平.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵.

【題型8利用相似求坐標(biāo)】

【例G(2023秋.湖北隨州?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4、B的坐標(biāo)分別為(-4,0)、

(0,4),點(diǎn)。(3,九)在第一象限內(nèi)，連接AC、BC.已知乙BCA=24。40,則n=.

【分析】過點(diǎn)C作。％》軸，交y軸于點(diǎn)。，則CD〃AO,先證△CO￡0ACO5(ASA),進(jìn)而可得OE=O8

=4—%再證△AO￡0ZkCOE,講而可得;=譬，由此計(jì)算即可求得答案.

34-n

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作軸，交y軸于點(diǎn)O,則CD〃A。，

團(tuán)團(tuán)80=2回C4O,

00BCA=20DCE,

^DCE=^DCB,

(3801y軸，

00CDE=0CDB=9O°,

又用CZ)=CO,

0ACD￡0ACDB(ASA),

0DE=DB,

班(0,4),C(3,n),

0CD=3,0D=n,08=4,

田DE=DB=0B—0D=4—n,

WE=OD-DE

=n—(4—n)

=2n-4,

0A（-4,0）,

MO=4,

0CD0AO,

0AAOE0ACDE>

心”,

CDDE

膜=吆，

34-n

解得：九=￡，

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)的應(yīng)用，熟練

掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【變式8-1］（2023秋?四川綿陽(yáng)?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（4,0）和

B點(diǎn)（0,3）,點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上，若以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與HAOB相似，那么點(diǎn)P

的坐標(biāo)是.

【分析】設(shè)P（X,0）,可表示出AP的長(zhǎng)，分HAPO30AOB和團(tuán)ACPG0AOB,利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)

于t的方程，可求得P點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】解:團(tuán)A（4,0）和B點(diǎn)（0,3）,

回0A=4,OB=3,

0AB=5,

班是AB的中點(diǎn),

0AC=2.5,

設(shè)P(x,0),

由題意可知點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，

0AP=4-x,

團(tuán)以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與0AOB相似，

團(tuán)有團(tuán)APCE0AOB和HACP雕1A0B兩種情況，

當(dāng)團(tuán)APC03AOB時(shí)，則啜=與，即々=警，解得x=2,

AOAB45

0P(2,0)；

當(dāng)0ACP00AOB時(shí)，則竺二竺，即竺二