六函數(shù)的概念及其表示(時間:45分鐘分值:105分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)(2024·三明模擬)已知集合A={x|2<x≤1},B={x|0<x≤4},則下列對應(yīng)關(guān)系中是從集合A到集合B的函數(shù)的是 ()A.f:x→y=x+1 B.f:x→y=exC.f:x→y=x2 D.f:x→y=|x|【解析】選B.對于A,當(dāng)x=1時,由f:x→y=x+1得y=0,但0?B,故A錯誤;對于B,因為從A={x|2<x≤1}中任取一個元素,通過f:x→y=ex在B={x|0<x≤4}中都有唯一的元素與之對應(yīng),故B正確;對于C,當(dāng)x=0時,由f:x→y=x2得y=0,但0?B,故C錯誤;對于D,當(dāng)x=0時,由f:x→y=|x|得y=0,但0?B,故D錯誤.2.(5分)下列函數(shù)f(x),g(x)表示相同函數(shù)的是 ()A.f(x)=3x,g(x)=log3xB.f(x)=|x|,g(x)=xC.f(x)=x,g(x)=xD.f(x)=2lgx,g(x)=lg(2x)【解析】選B.對于A,f(x),g(x)一個為指數(shù)函數(shù)、一個為對數(shù)函數(shù),對應(yīng)法則不同,因此不是相同函數(shù);對于B,g(x)=x2=|x|=f(x),是相同函數(shù)對于C,函數(shù)f(x)的定義域為R,函數(shù)g(x)的定義域為{x|x≠0},因此不是相同函數(shù);對于D,g(x)=lg(2x)=lg2+lgx與函數(shù)f(x)=2lgx對應(yīng)法則不同,因此不是相同函數(shù).3.(5分)函數(shù)f(x)=lnxx-1A.(0,+∞) B.(0,1)∪(1,+∞)C.[0,+∞) D.[0,1)∪(1,+∞)【解析】選B.由題意得x解得x>0且x≠1,所以函數(shù)的定義域為(0,1)∪(1,+∞).4.(5分)已知f(2x+1)=lgx,則f(x)的解析式為 (A.f(x)=lg2x+1(B.f(x)=lg2x-1C.f(x)=lg12x-D.f(x)=lg12x+1【解析】選B.由題知x>0,令2x+1=t(t則x=2t-1,所以f(t)=lg2所以f(x)=lg2x-1(5.(5分)(2023·山東省部分學(xué)校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=2x+1,x<1,A.2 B.9 C.65 D.513【解析】選A.f(9)=f(93)=f(6)=f(3)=f(0)=20+1=2.6.(5分)(2023·無錫模擬)若函數(shù)f(x2+1)的定義域為[1,1],則f(lgx)的定義域為 ()A.[1,1] B.[1,2]C.[10,100] D.[0,lg2]【解析】選C.因為f(x2+1)的定義域為[1,1],則1≤x≤1,故0≤x2≤1,所以1≤x2+1≤2.因為f(x2+1)與f(lgx)是同一個對應(yīng)法則,所以1≤lgx≤2,即10≤x≤100,所以函數(shù)f(lgx)的定義域為[10,100].7.(5分)(多選題)(2023·泉州模擬)已知函數(shù)f(x)=log3(xA.f(5)=1 B.f(f(5))=1C.f(3)=9 D.f(f(3))=log37【解析】選AB.對于A,f(5)=log3(52)=log33=1,A正確;對于B,f(f(5))=f(1)=30=1,B正確;對于C,f(3)=log3(32)=log31=0,C錯誤;對于D,f(f(3))=f(0)=31=13,D錯誤8.(5分)已知f(x)=x1,則f(x)=________.

【解析】令t=x,則t≥0,x=t2,所以f(t)=t21(t≥0),即f(x)=x21(x≥0).答案:x21(x≥0)9.(5分)已知函數(shù)f(x)=cosx,x<0,f(x【解析】由已知得f(11π3)=f(8π3)=f(=f(2π3)=f(π3)=cos(π3)答案:110.(10分)已知函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=3(1)求f(32),f(1π),f(1)(2)畫出這個函數(shù)的圖象;(3)求f(x)的最大值.【解析】(1)因為32>1,所以f(32)=2×3因為0<1π<1,所以f(1π)=1π因為1<0,所以f(1)=3+5=2.(2)這個函數(shù)的圖象如圖.在函數(shù)f(x)=3x+5的圖象上截取x≤0的部分,在函數(shù)f(x)=x+5的圖象上截取0<x≤1的部分,在函數(shù)f(x)=2x+8的圖象上截取x>1的部分.圖中實(shí)線組成的圖形就是函數(shù)f(x)的圖象.(3)由函數(shù)圖象可知,當(dāng)x=1時,f(x)取得最大值6.【能力提升練】11.(5分)(2024·廣州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1x)+2f(x)=x2+1,則f(1)等于 ()A.1 B.1 C.13 D.【解析】選B.因為定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1x)+2f(x)=x2+1,所以當(dāng)x=0時,f(1)+2f(0)=1,①當(dāng)x=1時,f(0)+2f(1)=2,②②×2①,得3f(1)=3,解得f(1)=1.12.(5分)如圖,點(diǎn)P在邊長為1的正方形的邊上運(yùn)動,M是CD的中點(diǎn),當(dāng)P沿ABCM運(yùn)動時,設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過的路程為x,△APM的面積為y,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是 ()【解析】選A.由題意可得y=f(x)=12x,0≤13.(5分)(多選題)設(shè)f(x)=ex-e-x2,g(x)=A.[g(x)]2[f(x)]2=1B.[g(x)]2+[f(x)]2=g(2x)C.g(2x)=2f(x)g(x)D.f(2x)=2f(x)g(x)【解析】選ABD.因為[g(x)]2[f(x)]2=(g(x)+f(x))·(g(x)f(x))=ex·ex=1,所以A正確;因為[g(x)]2+[f(x)]2=e2x+e-2x2,g(2因為2f(x)g(x)=e2x-e-2x2,g(2因為f(2x)=e2x-e-2x2,2f(x)g(14.(5分)(2023·紹興模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=(13)

x-8,x≤0,lgx,x>0,【解析】因為函數(shù)f(x)=(所以f(1)=lg1=0,f(f(1))=f(0)=(13)08=7f(a)>1?a>0,解得a>10或a<2,所以若f(a)>1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(∞,2)∪(10,+∞).答案:7(∞,2)∪(10,+∞)15.(10分)已知函數(shù)f(x)=x2(1)求f(2)與f(12),f(3)與f(13(2)由(1)中求得的結(jié)果,你能發(fā)現(xiàn)f(x)與f(1x)有什么關(guān)系?證明你的發(fā)現(xiàn)(3)求f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+…+f(2023)+f(12【解析】(1)因為f(x)=x21+x所以f(2)=1122+1f(12)=1114f(3)=1132+1f(13)=1119(2)由(1)中求得的結(jié)果發(fā)現(xiàn)f(x)+f(1x)=1.證明如下f(x)+f(1x)=x21+x2+1x(3)由(2)知f(x)+f(1x)所以f(2)+f(12)=1,f(3)+f(13f(4)+f(14)=1,…,f(2023)+f(12所以f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+…+f(2023)+f(1216.(10分)行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用,要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下,這段距離叫做剎車距離.在某種路面上,某種型號汽車的剎車距離y(m)與汽車的車速x(km/h)滿足下列關(guān)系:y=x2200+mx+n(m,n是常數(shù)).如圖是根據(jù)多次實(shí)驗數(shù)據(jù)繪制的剎車距離y(m)與汽車的車速x(km/h)(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;(2)如果要求剎車距離不超過25.2m,求行駛的最大速度.【解析】(1)由題意及題中函數(shù)圖象,得402200+40m+n所以y=x2200+x100((2)令x2200+x100≤25.2,得72≤因為x≥0,所以0≤x≤70,故行駛的最大速度是70km/h.【素養(yǎng)創(chuàng)新練】17.(5分)圖中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”,是甘肅禮縣出土的青銅器皿,其身流線自若、紋理分明,展現(xiàn)了古代中國精湛的制造技術(shù).科研人員為了測量其容積,以恒定的流速向其內(nèi)注水,恰好用時30s注滿,設(shè)注水過程中,壺中水面高度為h,注水時間為t,則下面選項中最符合h關(guān)于t的函數(shù)圖象的是 ()【解析】選A.壺的結(jié)構(gòu)為底端與上端細(xì)、中間粗,所以在注水速度恒定的情況下,開始水的高度增加得快,中間增加得慢,最后又變快,由題圖可知選項A符合題意.18.(5分)(多選題)德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著,函數(shù)F(x)=1,x為有理數(shù),0是 ()A.F(F(x))=0B.對任意x∈R,恒有F(x)=F(x)成立C.任取一個不為0的實(shí)數(shù)T,F(x+T)=F(x)對任意實(shí)數(shù)x均成立D.存在三個點(diǎn)A(x1,F(x1)),B(x2,F(x2)),C(x3,F(x3)),使得△ABC為等邊三角形【解析】選BD.因為當(dāng)x為有理數(shù)時,F(x)=1,當(dāng)x為無理數(shù)時,F(x)=0,所以當(dāng)x為有理數(shù)時,F(F(x))=F(1)=1,當(dāng)x為無理數(shù)時,F(F(x))=F(0)=1,所以F(F(x))=1恒成立,故A錯誤.因為有理數(shù)的相反數(shù)是有理數(shù),無理數(shù)的相反數(shù)是無理數(shù),所以對任意x∈R,恒有