課時2用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式九年級上

人教版學習目標新課引入新知學習課堂小結12341.會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.2.能靈活運用二次函數(shù)的不同形式求函數(shù)解析式.學習目標難點重點我們學過的二次函數(shù)解析式都有哪些？新課引入y＝ax2(a≠0)y=ax2+k(a≠0)y=a(x-h)2(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y

=ax2＋bx＋c(a≠0)問題1

已知一次函數(shù)過（2,3），（-1,-3）兩點，求此一次函數(shù)的解析函數(shù).寫（還原）:(寫解析式)解：設一次函數(shù)解析式為：y=kx+b(k≠0),待定系數(shù)法設：（解析式）代：（坐標代入）解得：解：方程（組）∴解析式為y=2x-1代入（2,3），（-1,-3）得：探究新知學習已知一個二次函數(shù)的圖象過點(2,5)、(-5,12)、

求這個函數(shù)的解析式.(-1,-4)，解：設所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c(a≠0).由已知得：4a+2b+c=525a-5b+c=12三個未知數(shù)，兩個等量關系，這個方程組能解嗎？狀元成才路不能，還少一個點坐標a-b+c=-4有三個待定系數(shù)，需要三個點的坐標，聯(lián)立三個方程求解解得所求二次函數(shù)解析式為y=x2+2x-3.總結：（1）當函數(shù)是一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)，且三個系數(shù)都不知道的時候，有幾個點的坐標可以確定函數(shù)解析式？例

如果一個二次函數(shù)的圖象經過(-1,10

)，(1,4)，(2,7)三點，能求出這個二次函數(shù)的解析式嗎？如果能，求出這個二次函數(shù)的解析式.所求二次函數(shù)解析式為y=2x2-3x+5.解：設所求二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）.圖象經過(-1,10)，(1,4)，(2,7)三點，代入得關于a，b，c的三元一次方程組解得確定函數(shù)表達式.待定系數(shù)法設：（解析式）代：（坐標代入）解：方程（組）例2已知二次函數(shù)的頂點是(-2，1)，且過點(0，-3)，求二次函數(shù)的解析式.故所求二次函數(shù)的解析式是y=-x2-4x-3.法一：解：設這個二次函數(shù)的解析式是y=ax2+bx+c（a≠0），由頂點坐標為(-2，1)，且與y軸的交點為(0，3)可得:你還有更簡單的解法嗎？可以設頂點式進行求解.例2已知二次函數(shù)的頂點是(-2，1)，且過點(0，3)，求二次函數(shù)的解析式.故所求二次函數(shù)的解析式是

y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.法二：

解：設這個二次函數(shù)的解析式是y=a(x-h)2+k，把頂點(-2，1)的坐標代入y=a(x-h)2+k，得y=a(x+2)2+1，再把點(1，-8)的坐標代入上式，得a(1+2)2+1=-8，解得a=-1.例3已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中自變量x與函數(shù)值y的部分對應值如下表，求二次函數(shù)的解析式.x…-101…y=x2…

…

-2-20法一：解：設這個二次函數(shù)的解析式是y=ax2+bx+c（a≠0），代入表中

這三點可得故所求二次函數(shù)的解析式是

y=-x2+x-2.x…-101…y=x2…

…

-2-20法二：解：設這個二次函數(shù)的解析式是y=ax2+bx+c（a≠0），由已知，過點（0，-2），得

c=2則二次函數(shù)為y=ax2+bx-2由于過點（-1，-2），（1,0），得故所求二次函數(shù)的解析式是

y=-x2+x-2.x…-101…y=x2…

…

-2-20兩點對稱，對稱軸為直線頂點坐標為法三：

解：設這個二次函數(shù)的解析式是y=a(x-h)2+k，把頂點

的坐標代入y=a(x-h)2+k，得再把點(1，0)的坐標代入上式，得

，解得a=1.故所求二次函數(shù)的解析式是

.由例2和例3你能不能總結出什么情況下，用頂點式求解析式更為方便？思考

適用特點：當已知頂點坐標，最值，對稱軸時，可設頂點式解題歸納

這種知道拋物線的頂點坐標，求表達式的方法叫做頂點式法.

其步驟是：

①設函數(shù)表達式為y=a(x-h)2+k(a≠0)

；

②代入頂點坐標，得到關于a的一元一次方程；

③將另一點的坐標代入②中的式子求出a值；

④寫出函數(shù)表達式.歸納這種已知三點坐標求二次函數(shù)解析式的方法叫做一般式法.步驟為：①設函數(shù)表達式為y=ax2+bx+c(a≠0)；②代入圖象上三個點的坐標得到一個三元一次方程組；③解方程組得到a，b，c的值；④確定函數(shù)表達式.例4已知二次函數(shù)的圖象與

x

軸交于點A(

1,0

)，B(5,0

)，且過點

C(

0,-5)，求拋物線的解析式.注意：這道題我們除了可以設一般式外，還可以設交點式.交點式：

y＝a(x－x1)(x－x2)x1、x2分別是函數(shù)與x軸交點的橫坐標解：∵拋物線與x軸交于點A(1,0)，B(5,0)，∴可設拋物線解析式為y＝a(x－1)(x－5)(a≠0)

把(0,-5)代入得：5a＝-5，解得：a＝-1，故拋物線的解析式為y＝-(x－1)(x－5)，即y＝-x2＋6x－5.歸納這種知道拋物線與x軸的兩個交點坐標和拋物線上除這兩交點以外的任意一點的坐標，求表達式的方法叫做交點式法.其步驟是：①設函數(shù)表達式是y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)；②先代入交點坐標，得到關于a的一元二次方程；③將另一點的坐標代入原方程求出a值；④a用數(shù)值替換，寫出函數(shù)表達式.

1.一個二次函數(shù)的圖象經點(0,1)，它的頂點坐標為(8,9)，求這個二次函數(shù)的表達式.解：因為這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為(8，9)，因此，可以設函數(shù)表達式為

y=a(x-8)2+9(a≠0).又由于它的圖象經過點(0,1)，可得1=a(0-8)2+9.解得a=∴所求的二次函數(shù)的解析式是隨堂練習2.一個二次函數(shù)，當自變量x＝0時，函數(shù)值y＝-1，當x＝-2與

時，y＝0，求這個二次函數(shù)的解析式.解：設這個二次函數(shù)的解析式是y=ax2+bx+c（a≠0），由已知，過點（0，-1），得

c=-1則二次函數(shù)為y=ax2+bx-1由于過點（-2，0），

，得故所求二次函數(shù)的解析式是

.3.二次函數(shù)的圖象經過點A(1,0)，B(0,-3)，對稱軸是直線x=2，求該二次函數(shù)的解析式.解：∵圖象經過點A(1,0)，對稱軸是直線x=2，∴圖象經過另一點(3,0).∴設該二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)(x-3).將點(0,-3)代入，得-3=a·(0-1)(0-3)解得a=-1.∴該二次函數(shù)的解析式為

y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3.4.已知拋物線

y＝ax2＋bx＋c

的最小值為-4，它的圖像經過點(-2,0

)，(6,0

)，求拋物線的解析式.解：由已知A(-2,0)，B(6,0)是一對對稱點，

則拋物線的對稱軸為直線x=2，由已知最小值為-4，

得到拋物線頂點坐標為(2,-4)

設所求函數(shù)為y=a(x-2)2-4(a≠0)，

又由于它的圖象經過點(6，0)，可得0=a(6-2)2-4，即

故拋物線的解析式為.5.

一個二次函數(shù)的圖像經過(0,0)，(-1,-1)，(1,9)三點，求這個二次函數(shù)的解析式.解:設所求二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0).由已知，函數(shù)圖像經過(0,0)，(-1,-1)，(1,9)三點，得關于a，b，c的三元一次方程組c=0，a-b+c=-1，a+b+c=9，a=4，b=5，c=0.解得所求二次函數(shù)的解析式是y=4x2+5x.6.如圖，拋物線對稱軸為直線x=1,且拋物線與直線y=x+1交于A，B兩點，A在坐標軸上，B點的縱坐標為3，

求拋物線的解析式；解：由已知可得A的坐標為（-1,0），B（2，3）∵拋物線的對稱軸為直線x=1∴設函數(shù)表達式為

y=

a(x-1)2+k(a≠0).代入（2,3），（-1,0）得，B所求二次函數(shù)的解析式是y=

-(x-1)2+4.一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)已知x軸的兩個交點坐標再加任意一點的坐標選取解析式條件頂點式y(tǒng)=

a(x-h)2+k(a≠0)已知任意三點交點式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)課堂小結頂點，再加任意一點解析式有幾個未知數(shù)要幾個點坐標

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的步驟1.設：根據(jù)題中已知條件，合理設出二次函數(shù)的解析式，如y=