§18.2.2.2菱形的判定知識(shí)導(dǎo)航菱形的判定類(lèi)別判定方法符號(hào)語(yǔ)言圖形邊有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形在中，，是菱形四條邊相等的四邊形是菱形在四邊形中，∵∴四邊形是菱形對(duì)角線(xiàn)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形在中，是菱形重難點(diǎn)突破重點(diǎn)1利用對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形進(jìn)行判定如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點(diǎn)，且DE=BF，AC⊥EF，求證：四邊形AECF是菱形．【分析】根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形即可證明【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．變式1-1如圖，在?ABCD中，作對(duì)角線(xiàn)BD的垂直平分線(xiàn)EF，垂足為O，分別交AD，BC于E，F(xiàn)，連接BE，DF．求證：四邊形BFDE是菱形．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法證明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進(jìn)而利用對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形得出四邊形BFDE為菱形．【詳解】∵在?ABCD中，O為對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）,∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∵EF⊥BD，∴四邊形BFDE為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出OE=OF是解題關(guān)鍵．變式1-2已知：如圖，矩形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)的直線(xiàn)EF與AB、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)分別相交于點(diǎn)E、F．（1）求證：△BOE≌△DOF；（2）當(dāng)EF與AC滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，以A、E、C、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？并給出證明．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)：OB=OD，AECF，進(jìn)一步即可證明△BOE≌△DOF；（2）若四邊形為菱形，則對(duì)角線(xiàn)互相垂直，因此可添加條件：EF⊥AC，再根據(jù)（1）的結(jié)論和題目條件證明OA=OC，OE=OF，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分的四邊形是菱形得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OD，∵AECF，∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF，在△BOE與△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（AAS）；（2）當(dāng)EF⊥AC時(shí)，四邊形AECF是菱形．證明：∵△BOE≌△DOF，∴OE=OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形得判定等知識(shí)，證明定理的綜合運(yùn)用能力是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．重點(diǎn)點(diǎn)撥：用判定方法“對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形”證明四邊形是菱形的前提條件是該四邊形是平行四邊形；對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形不一定是菱形．重點(diǎn)2重點(diǎn)點(diǎn)撥：用判定方法“對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形”證明四邊形是菱形的前提條件是該四邊形是平行四邊形；對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形不一定是菱形．如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接.求證：四邊形是菱形；【分析】由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四邊形AEBD是平行四邊形，再根據(jù)BD=AD可得結(jié)論；【詳解】∵四邊形是平行四邊形∴，∴∵是的中點(diǎn)，∴∴在與中，∵，∴四邊形是平行四邊形∵，∴四邊形是菱形【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．變式2如圖，在ABCD中，E是對(duì)角線(xiàn)BD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥DB，且CF＝DE，連接AE，BF，EF（1）求證：△ADE≌△BCF；（2）若∠ABE+∠BFC＝180°，則四邊形ABFE是什么特殊四邊形？說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定以及菱形的判定解答即可．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵CF∥DB，∴∠BCF=∠DBC，∴∠ADB=∠BCF在△ADE與△BCF中∴△ADE≌△BCF（SAS）．（2）四邊形ABFE是菱形理由：∵CF∥DB，且CF=DE，∴四邊形CFED是平行四邊形，∴CD=EF，CD∥EF．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴AB=EF，AB∥EF，∴四邊形ABFE是平行四邊形．∵△ADE≌△BCF，∴∠AED=∠BFC．∵∠AED+∠AEB=180°，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴四邊形ABFE是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，牢記平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定以及菱形的判定知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：菱形必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等．重點(diǎn)3利用四條邊相等的四邊形是菱形進(jìn)行判定如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點(diǎn)，BE交AC于F，連接DF，（1）證明：∠BAC=∠DAC．（2）若∠BEC=∠ABE，試證明四邊形ABCD是菱形．【分析】由AB=AD，CB=CD結(jié)合AC=AC可得△ABC≌△ADC，由此可得∠BAC=∠DAC，再證△ABF≌△ADF即可得到∠AFB=∠AFD，結(jié)合∠AFB=∠CFE即可得到∠AFD=∠CFE；（2）由AB∥CD可得∠DCA=∠BAC結(jié)合∠BAC=∠DAC可得∠DCA=∠DAC，由此可得AD=CD結(jié)合AB=AD，CB=CD可得AB=BC=CD=AD，即可得到四邊形ABCD是菱形.【詳解】（1）在△ABC和△ADC中，∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AF=AF，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB=∠AFD．（2）證明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠ACD=∠CAD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊平行四邊形的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)及菱形的判定是解題的關(guān)鍵．變式3如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：①分別以A，C為圓心，大于eq\f(1,2)AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于P，Q兩點(diǎn)；②作直線(xiàn)PQ，分別交AB，AC于點(diǎn)E，D，連接CE；③過(guò)C作CF∥AB交PQ于點(diǎn)F，連接AF.(1)求證：△AED≌△CFD；(2)求證：四邊形AECF是菱形．【分析】(1)由作圖知PQ為線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，從而得到AE＝CE，AD＝CD.然后根據(jù)CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用“AAS”證得兩三角形全等即可；(2)根據(jù)(1)中全等得到AE＝CF.然后根據(jù)EF為線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，得到EC＝EA，F(xiàn)C＝FA.從而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用“四邊相等的四邊形是菱形”判定四邊形AECF為菱形．【詳解】(1)由作圖知PQ為線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，∴AE＝CE，AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED在△AED與△CFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAC＝∠FCA，,∠AED＝∠CFD，,AD＝CD，))∴△AED≌△CFD(AAS)∵△AED≌△CFD∴AE＝CF∵EF為線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)∴EC＝EA，F(xiàn)C＝FA∴EC＝EA＝FC＝FA∴四邊形AECF為菱形．【點(diǎn)睛】判定一個(gè)四邊形是菱形把握以下兩起點(diǎn)：(1)以四邊形為起點(diǎn)進(jìn)行判定；(2)以平行四邊形為起點(diǎn)進(jìn)行判定．重點(diǎn)點(diǎn)撥：在無(wú)法確定一個(gè)四邊形是平行四邊形的情況下，要證明該四邊形是菱形，可考慮利用“四條邊相等的四邊形是菱形”進(jìn)行證明.重點(diǎn)點(diǎn)撥：在無(wú)法確定一個(gè)四邊形是平行四邊形的情況下，要證明該四邊形是菱形，可考慮利用“四條邊相等的四邊形是菱形”進(jìn)行證明.如圖，矩形中，，，點(diǎn)、分別在、上，且.（1）求證：四邊形是菱形；（2）求線(xiàn)段的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，，求得，根據(jù)勾股定理得到，于是得到結(jié)論；（2）過(guò)作于，得到四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵在矩形中，，，∴，，，，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：過(guò)作于，則四邊形是矩形，∴，，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式4如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形ADCF是菱形；(2)若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面積．【分析】（1）可先證得△AEF≌△DEB，可求得AF=DB，可證得四邊形ADCF為平行四邊形，再利用直角三角形的性質(zhì)可求得AD=CD，可證得結(jié)論；（2）將菱形ADCF的面積轉(zhuǎn)換成△ABC的面積，再用S△ABC=AB?AC，結(jié)合條件可求得答案．【詳解】（1）證明：∵E是AD的中點(diǎn)，

∴AE＝DE．

∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE．在△AEF和△DEB中∴△AEF≌△DEB（AAS），

∴AF＝DB．∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD=AF，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∵∠BAC＝90°，

∴AD＝CD＝BC．∴四邊形ADCF是菱形；(2)解：設(shè)AF到CD的距離為h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，∴S菱形ADCF＝CD?h＝BC?h＝S△ABC＝AB?AC＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．難點(diǎn)點(diǎn)撥：難點(diǎn)點(diǎn)撥：利用菱形的性質(zhì)和判定解決問(wèn)題，一般是先判定一個(gè)四邊形是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)解決其他問(wèn)題.判定一個(gè)四邊形是菱形的思路：提升訓(xùn)練如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，添加下列條件不能判定四邊形ABCD是矩形的是（

）A．AC⊥BD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2【答案】A【分析】根據(jù)菱形和矩形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、由對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形可知，添加能判定是菱形，不一定是矩形，則此項(xiàng)符合題意；B、由有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可知，添加能判定是矩形，則此項(xiàng)不符題意；C、由對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形可知，添加能判定是矩形，則此項(xiàng)不符題意；D、，，四邊形是平行四邊形，，，是矩形，即添加能判定是矩形，則此項(xiàng)不符題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形和矩形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定方法是解題關(guān)鍵．順次連接矩形的各邊中點(diǎn)，所得的四邊形一定是（

）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形【答案】B【分析】題中給出的條件是中點(diǎn)，所以利用三角形中位線(xiàn)性質(zhì)，以及矩形對(duì)角線(xiàn)相等去證明四條邊都相等，從而說(shuō)明是一個(gè)菱形．【詳解】解：連接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四邊形EFGH為菱形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線(xiàn)定理、矩形的性質(zhì)和菱形的判定方法，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法有：有一組鄰邊相等的平行四邊形稱(chēng)為菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形；對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形是菱形．如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點(diǎn)，EF∥CB，交AB于點(diǎn)F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．24 B．18 C．12 D．9【答案】A【分析】易得BC長(zhǎng)為EF長(zhǎng)的2倍，那么菱形ABCD的周長(zhǎng)=4BC問(wèn)題得解．【詳解】∵E是AC中點(diǎn)，∵EF∥BC，交AB于點(diǎn)F，∴EF是△ABC的中位線(xiàn)，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)是4×6=24，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)及菱形的周長(zhǎng)公式，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，∠ABC的平分線(xiàn)交AD于點(diǎn)F，若BF=12，AB=10，則AE的長(zhǎng)為（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【分析】先證明四邊形ABEF是平行四邊形，再證明鄰邊相等即可得出四邊形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的長(zhǎng)．【詳解】如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠BAD的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，同理可得AB=AF，∴AF=BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB=AF，∴四邊形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，∴OA==8，∴AE=2OA=16．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明四邊形ABEF是菱形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．如圖，在矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別與AB，CD交于點(diǎn)E、F，連接BF交AC于點(diǎn)M，連接DE，BO．若，．則下列結(jié)論：①FB垂直平分OC；②四邊形DEBF為菱形；③；④；⑤．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】C【分析】證明△OFB≌△CFB，可判斷結(jié)論①正確；利用菱形的定義，可判斷結(jié)論②正確；根據(jù)OC=OB，斜邊大于直角邊，可判斷結(jié)論③錯(cuò)誤；根據(jù)30度角的性質(zhì)，可判斷AB=2BM，故結(jié)論④是錯(cuò)誤的；證NE∥BM，AN=NO=OM，所以BM=3NE，AO=2OM，利用三角形面積公式計(jì)算判斷，結(jié)論⑤正確.【詳解】連接BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O為AC中點(diǎn)，∴BD也過(guò)O點(diǎn)，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，∵FO=FC，BF=BF∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF與△CBF關(guān)于直線(xiàn)BF對(duì)稱(chēng)，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正確，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，F(xiàn)C=AE，∴DF=BE，DF∥BE，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴BE=BF，∴四邊形EBFD是菱形，∴結(jié)論②正確；∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴FB＞OB，∵OB=OC，∴FB＞OC，∴③錯(cuò)誤，在直角三角形AMB中，∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，∴AB=2BM，∴④錯(cuò)誤，設(shè)ED與AC的交點(diǎn)為N，設(shè)AE=OE=2x，則NE=x，BE=4x，∴AB=6x，∴BM=3x，∴==3:2，結(jié)論⑤正確.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)，全等三角形，直角三角形30°角的性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握，靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.如圖，將兩張對(duì)邊平行且相等的紙條交叉疊放在一起，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD_________菱形（是，或不是）．【答案】是【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)“兩張對(duì)邊平行且相等的紙條”得出，再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)菱形的判定即可得．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)B作，交DA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作，交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F由題意得：四邊形ABCD是平行四邊形在和中，平行四邊形ABCD是菱形故答案為：是．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形與菱形的判定、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形與菱形的判定是解題關(guān)鍵．已知四邊形是矩形，點(diǎn)是矩形的邊上的點(diǎn)，且．若，，則的長(zhǎng)是___．【答案】或【分析】根據(jù)，則在的中垂線(xiàn)上，作的中垂線(xiàn)交于交于，所以：如圖的都符合題意，先證明四邊形是菱形，再利用菱形的性質(zhì)與勾股定理可得答案．【詳解】，在的中垂線(xiàn)上，作的中垂線(xiàn)交于交于，所以：如圖的都符合題意，矩形四邊形是菱形，，，，設(shè)則的長(zhǎng)為：或【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．如圖平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，BD＝2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①FE＝GE；②AE＝GF；③AE⊥GF；④FE⊥GE；⑤∠ADB＝2∠CBE；⑥GF平分∠AGE，其中正確的有_____．【答案】①③⑤⑥【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得證明△BOC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE⊥AC，根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)定理得GE＝AB，由三角形中位線(xiàn)得EF＝CD，進(jìn)而得到EG＝EF，可判斷①；證明四邊形AGEF是菱形可判斷②③⑥；④易證BE⊥AE，四邊形BEFG是平行四邊形，由EG＝EF，要使EF⊥GE，則∠EFG＝∠EBA＝∠EAB＝45°，沒(méi)有條件AE＝BE，或∠BAC＝45°，可判斷④；根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可判斷⑤．【詳解】①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，AD＝BC，DO＝BO＝BD，∵BD＝2AD，∴AD＝DO，BC＝BO，∴△BOC是等腰三角形，∵E是CO中點(diǎn)，∴EB⊥CO，∴∠BEA＝90°，∵G為AB中點(diǎn)，∴EG＝AB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∵E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，∴EF＝CD，∴EG＝EF，故①正確；②連接AF，Rt△AEB中，G是AB的中點(diǎn)，∴EG＝AB＝AG，∵EG＝EF，∴AG＝EF，∵E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，∴EF//CD，∵AB//CD，∴AG//EF，∴四邊形AGEF是菱形，∴AE⊥FG，GF平分∠AGE，故②錯(cuò)誤，③⑥正確；③∵E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，∴EF//DC，∵DC//AB，∴EF//AB，∴∠EFG＝∠AGF，∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠EGF，∴∠EGF＝∠AGF，∴GF平分∠AGE，故③正確；④由①知：BE⊥AE，由②、③得：EF//AB，EF＝CD＝AB＝BG，∴四邊形BEFG是平行四邊形，∵EG＝EF，∴要使EF⊥GE，則∠EFG＝∠EBA＝∠EAB＝45°，沒(méi)有條件AE＝BE，或∠BAC＝45°，故④錯(cuò)誤；⑤∵AD//BC，∴∠ADB＝∠CBD＝2∠CBE，∴故⑤正確；本題正確的有：①③⑤⑥．故答案為：①③⑤⑥．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理、等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）證明四邊