天津市靜海區(qū)大邱莊中學2025屆數(shù)學高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是拋物線上的點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，若，則（）A1011 B.2020C.2021 D.20222．若一個正方體的全面積是72，則它的對角線長為（）A. B.12C. D.63．已知圓：，點是直線：上的動點，過點引圓的兩條切線、，其中、為切點，則直線經(jīng)過定點（）A. B.C. D.4．在平行六面體中，點P在上，若，則（）A. B.C. D.5．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若對任意實數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式解集是A. B.C. D.6．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比，且滿足，則（）A.8 B.4C.2 D.17．已知雙曲線C：-=1的焦距為10，點P（2,1）在C的漸近線上，則C的方程為A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=18．已知數(shù)列的前n項和為，且對任意正整數(shù)n都有，若，則（）A.2019 B.2020C.2021 D.20229．拋物線的準線方程為，則實數(shù)的值為（）A. B.C. D.10．已知△的頂點B，C在橢圓上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另一個焦點在BC邊上，則△的周長是（）A. B.C.8 D.1611．過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程為（）A B.C. D.12．過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為．若，則雙曲線的離心率是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是___________.14．已知正方體的棱長為為的中點，為面內(nèi)一點．若點到面的距離與到直線的距離相等，則三棱錐體積的最小值為__________15．已知數(shù)列滿足，，則使得成立的n的最小值為__________.16．若x，y滿足約束條件，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列和滿足，（1）若，求的通項公式；（2）若，，證明為等差數(shù)列，并求和的通項公式18．（12分）在平面直角坐標系中，設點，直線，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，也是PF的中點．，（1）求動點Q的軌跡的方程E；（2）過點F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設AB、CD的中點分別為M，N．求直線MN過定點R的坐標19．（12分）某公園有一形狀可抽象為圓柱的標志性景觀建筑物，該建筑物底面直徑為8米，在其南面有一條東西走向的觀景直道，建筑物的東西兩側有與觀景直道平行的兩段輔道，觀景直道與輔道距離10米．在建筑物底面中心O的東北方向米的點A處，有一全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物的高度（1）在西輔道上距離建筑物1米處的游客，是否在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)？（2）求觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度20．（12分）在平面直角坐標系中，已知雙曲線C的焦點為、，實軸長為.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，且Q恰好為線段的中點，求直線l的方程.21．（12分）2021年7月29日，中國游泳隊獲得了女子米自由泳接力決賽冠軍并打破世界紀錄.受奧運精神的鼓舞，某游泳俱樂部組織100名游泳愛好者進行自由泳1500米測試，并記錄他們的時間（單位：分鐘），將所得數(shù)據(jù)分成5組：，，，，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求出直方圖中m的值；（2）利用樣本估計總體的思想，估計這100位游泳愛好者1500米自由泳測試時間的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表）.22．（10分）已知橢圓，焦點，A，B是上關于原點對稱的兩點，的周長的最小值為（1）求的方程；（2）直線FA與交于點M（異于點A），直線FB與交于點N（異于點B），證明：直線MN過定點

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】結合向量坐標運算以及拋物線的定義求得正確答案.【詳解】設，因為是拋物線上的點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，所以，準線為：，因此，所以，即，由拋物線的定義可得，所以故選：C2、D【解析】根據(jù)全面積得到正方體的棱長，再由勾股定理計算對角線.【詳解】設正方體的棱長為，對角線長為，則有，解得，從而，解得.故選：D3、D【解析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結合圓的標準方程、圓與圓的位置關系進行求解即可.【詳解】因為、是圓的兩條切線，所以，因此點、在以為直徑的圓上，因為點是直線：上的動點，所以設，點，因此的中點的橫坐標為：，縱坐標為：，，因此以為直徑的圓的標準方程為：，而圓：，得：，即為直線的方程，由，所以直線經(jīng)過定點，故選：D【點睛】關鍵點睛：由圓的切線性質(zhì)得到點、在以為直徑的圓上，運用圓與圓的位置關系進行求解是解題的關鍵.4、C【解析】利用空間向量基本定理，結合空間向量加法的法則進行求解即可.【詳解】因為，，所以有，因此，故選：C5、B【解析】設．由，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減．由為奇函數(shù)，所以．不等式等價于，即，結合函數(shù)的單調(diào)性可得，從而不等式的解集為，故答案為B.考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【方法點晴】本題考查了導數(shù)的綜合應用及函數(shù)的性質(zhì)的應用，構造函數(shù)的思想，閱讀分析問題的能力，屬于中檔題．常見的構造思想是使含有導數(shù)的不等式一邊變?yōu)?，即得，當是形如時構造；當是時構造，在本題中令，（），從而求導，從而可判斷單調(diào)遞減，從而可得到不等式的解集6、A【解析】根據(jù)是等比數(shù)列，則通項為，然后根據(jù)條件可解出，進而求得【詳解】由為等比數(shù)列，不妨設首項為由，可得：又，則有：則故選：A7、A【解析】由題意得，雙曲線的焦距為，即，又雙曲線的漸近線方程為，點在的漸近線上，所以，聯(lián)立方程組可得，所以雙曲線的方程為考點：雙曲線的標準方程及簡單的幾何性質(zhì)8、C【解析】先令代入中，求得，再根據(jù)遞推式得到，將與已知相減，可判斷數(shù)列是等比數(shù)列，進而確定，求得答案.【詳解】因為，令，則，又，故，即，故數(shù)列是等比數(shù)列，則，所以，所以，故選：C.9、B【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：拋物線的準線方程為，所以.故選：B10、D【解析】根據(jù)橢圓定義求解【詳解】由橢圓定義得△的周長是，故選：D.11、D【解析】設雙曲線的方程為，再代點解方程即得解.【詳解】解：由得，所以橢圓的焦點為.設雙曲線的方程為，因為雙曲線過點，所以.所以雙曲線的方程為.故選：D12、C【解析】直線l：y=-x+a與漸近線l1：bx-ay=0交于B，l與漸近線l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），∴，∵，∴，b=2a，∴，∴，∴考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；雙曲線的簡單性質(zhì)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先對求導，可得，令，解可得答案【詳解】解：由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是故答案為：【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.14、##【解析】由題意可知，點在平面內(nèi)的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，如圖在底面建立平面直角坐標系，求出拋物線方程，直線的方程，將直線向拋物線平移，恰好與拋物線相切時，切點為點，此時的面積最小，則三棱錐體積的最小【詳解】因為為面內(nèi)一點，且點到面的距離與到直線的距離相等，所以點在平面內(nèi)的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，如圖在底面，以所在的直線為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標系，則,設拋物線方程為，則，得，所以拋物線方程為，，直線的方程為，即，設與直線平行且與拋物線相切的直線方程為，由，得，由，得，所以與拋物線相切的直線為，此時切點為，且的面積最小，因為點到直線的距離為，所以的面積的最小值為，所以三棱錐體積的最小值為，故答案為：15、11【解析】由題設可得，結合等比數(shù)列的定義知從第二項開始是公比為2的等比數(shù)列，進而寫出的通項公式，即可求使成立的最小值n.【詳解】因為，所以，兩式相除得，整理得.因為，故從第二項開始是等比數(shù)列，且公比為2，因為，則，所以，則，由得：，故故答案為：11.16、##【解析】作出可行域，進而根據(jù)z的幾何意義求得答案.【詳解】如圖，作出可行域，由z的幾何意義可知當過點B時取得最小值.聯(lián)立，則最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析，，【解析】（1）代入可得，變形得構造等比數(shù)列求的通項公式；（2）先由已知得，先分別求出，的通項公式，然后合并可得的通項公式，進而可得的通項公式【小問1詳解】當，時，，所以，即，整理得，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列故，即【小問2詳解】當時，由，，得，所以因為，所以，則是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，，；是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，，綜上所述，所以，，故是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列當時，，且滿足，所以18、（1）（2）【解析】（1）由圖中的幾何關系可知,故可知動點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，但不能和原點重合，即可直接寫出拋物線的方程；（2）設出直線AB的方程，把點、的坐標代入拋物線方程，兩式作差后，再利用中點坐標公式求出點M的坐標，同理求出點的坐標，即可求出直線MN的方程，最后可求出直線MN過哪一定點.【小問1詳解】∵直線的方程為，點R是線段FP的中點且，∴RQ是線段FP的垂直平分線,∵,∴是點Q到直線l的距離,∵點Q在線段FP的垂直平分線，∴,則動點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，但不能和原點重合，即動點Q軌跡的方程為.【小問2詳解】設，，由題意直線AB斜率存在且不為0，設直線AB的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點M的坐標為，同理設，，直線的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點的坐標為，則直線MN的斜率為，即方程為，整理得，故直線MN恒過定點.19、（1）不在（2）17.5米【解析】（1）以O為原點，正東方向為x軸正方向建立如圖所示的直角坐標系，求出直線AB方程，判斷直線AB與圓O的位置關系即可；（2）攝像頭監(jiān)控不會被建筑物遮擋，只需求出過點A的直線l與圓O相切時的直線方程即可.【小問1詳解】以O為原點，正東方向為x軸正方向建立如圖所示的直角坐標系則，觀景直道所在直線的方程為依題意得：游客所在點為則直線AB的方程為，化簡得，所以圓心O到直線AB的距離，故直線AB與圓O相交，所以游客不在該攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi).【小問2詳解】由圖易知：過點A的直線l與圓O相切或相離時，攝像頭監(jiān)控不會被建筑物遮擋，所以設直線l過A且恰與圓O相切，①若直線l垂直于x軸，則l不可能與圓O相切；②若直線l不垂直于x軸，設，整理得所以圓心O到直線l的距離為，解得或，所以直線l的方程為或，即或，設這兩條直線與交于D，E由，解得，由，解得，所以，觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度為17.5米.20、（1）（2）.【解析】（1）根據(jù)條件，結合雙曲線定義即可求得雙曲線的標準方程.（2）當斜率不存在時，不符合題意；當斜率存在時，設出直線方程，聯(lián)立雙曲線，變形后由中點坐標公式可求得斜率，即可求得直線方程.【詳解】（1）根據(jù)題意，焦點在軸上，且，所以，雙曲線的標準方程為C：.（2）過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，且Q恰好為線段的中點，當直線斜率不存在時，直線方程為，則由雙曲線對稱性可知線段的中點在軸上，所以不滿足題意；當斜率存在時，設直線方程為，設，則，化簡可得，因為有兩個交點，所以化簡可得恒成立，所以，因為恰好為線段的中點，則，化簡可得，所以直線方程為，即.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線定義求雙曲線標準方程，直線與雙曲線的位置關系，由中點坐標求直線方程，屬于中檔題.21、（1）（2），【解析】（1）利用頻率之和也即各矩形的面積和為1即可求解.（2）利用平均數(shù)和中位數(shù)的計算方法求解即可.【小問1詳解】由，可得.【小問2詳解】平均數(shù)為：，設中位數(shù)為，則，解得.22、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設橢圓的左焦點為，根據(jù)橢圓的對稱性可得，則三角形的周長為，再設根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到，即可求出的周長的最小值為，從而得到，再根據(jù)，即可求出、，從而求出橢圓方程；（2）設直線MN的方程，，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，再設直線的方程、，直線的方程、，聯(lián)立直線方程，消元列出