試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2020-2021學(xué)年天津市南開(kāi)中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．是虛數(shù)單位，（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.【詳解】，故選：A2．在中，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理可得，滿足，故，由即可得解.【詳解】由，可得，所以，可得，，所以滿足，所以，所以，故選：C3．如圖，已知，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算法則，取為基底，通過(guò)運(yùn)算，即可得答案；【詳解】，，故選：B.4．設(shè)是兩條不同的直線，是平面，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】利用線線、線面的位置關(guān)系，舉出反例，即可得答案；【詳解】對(duì)A，有可能，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，可能異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)D，可能異面，也可能相交，故D錯(cuò)誤；利用排除法可得C正確；故選：C.5．如圖是某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)(單位：分)的頻率分布直方圖，其中成績(jī)分組區(qū)間是：，，則分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為（）A．9 B．15 C．12 D．6【答案】A【分析】由頻率分布直方圖先求出成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率，由此能求出成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻數(shù)．【詳解】解：由圖得，解得,由頻率分布直方圖得成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為：成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻數(shù)為：．故選A.6．如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線EF與所成的角為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，即為所求角，在中求解.【詳解】連結(jié)，，因?yàn)闉檎叫?，所以既是中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以，所以與所成的角為，而為等邊三角形，所以.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．7．在中，分別是角的對(duì)邊，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理將邊化成角，再將C化為A,B，展開(kāi)化簡(jiǎn)即可求得.【詳解】由正弦定理可得：，又∵，∴，而，∴，又，所以.故選：C.8．如圖所示，在三棱錐中，且，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）①平面平面②平面平面③平面平面④平面平面⑤平面平面⑥平面平面A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)題意可得該幾何體中面，面，再根據(jù)平行、垂直的判定定理，即可得到答案；【詳解】，，，，平面，，，，；對(duì)①，平面平面，故①正確；對(duì)②，平面，平面平面平面，故②正確；對(duì)③，為二面角的平面角，，故③錯(cuò)誤；對(duì)④，若平面平面，可過(guò)A作于，則，平面，矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，故④錯(cuò)誤；對(duì)⑤，為二面角的平面角，，故⑤錯(cuò)誤；對(duì)⑥，平面，平面平面平面，故⑥正確；故選：A.9．如圖，在矩形中，為上一點(diǎn)，，若，則的值為（）A． B． C． D．1【答案】D【分析】借助于矩形建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解.【詳解】建立如圖示坐標(biāo)系，由則有：因?yàn)镋為上一點(diǎn)，可設(shè)所以.因?yàn)?，所以，即，解得：，所?由得：，解得：，所以.故選：D10．已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且，的面積為，則（）A．. B．C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)可得，解得，由，可得，再結(jié)合余弦定理可得，即可得解.【詳解】由，根據(jù)正弦定理可得：，由三角形內(nèi)角和為，所以，所以，可得，在中，，所以，所以，，由，所以，所以，，所以，由可得：，即，又，所以，滿足.故選：C二、填空題11．我國(guó)古代數(shù)學(xué)算經(jīng)十書(shū)之一的《九章算術(shù)》有一衰分問(wèn)題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)九千人，南鄉(xiāng)五千四百人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役五百，意思是用分層抽樣的方法從這三個(gè)鄉(xiāng)中抽出500人服役，則北鄉(xiāng)比南鄉(xiāng)多抽_(kāi)_________人．【答案】60【分析】先由題中數(shù)據(jù)求出抽樣比，確定每鄉(xiāng)抽取的人數(shù)，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得，三鄉(xiāng)共有人，從中抽取500人，因此抽樣比為，所以北鄉(xiāng)共抽取人；南鄉(xiāng)共抽取人，所以北鄉(xiāng)比南鄉(xiāng)多抽人.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣，只需依題意確定抽樣比即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.12．設(shè)向量且，則___________.【答案】【分析】由可得到，解得，由可解得，計(jì)算即可得解.【詳解】由可得到，解得，，由可得，解得，，所以.故答案為：.13．為做好?“新冠肺炎”，疫情防接工作；天津市各學(xué)校堅(jiān)持落實(shí)“雙測(cè)溫報(bào)告”，制度，以下是南開(kāi)中學(xué)高二5班第二的8名同學(xué)某日上午的體溫記錄：36.1，36.1，35.7，36.8，36.5，36.6，36.3，36.4(單位)，則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為_(kāi)__________.【答案】36.6.【分析】將數(shù)據(jù)從小到大依次排序共有8個(gè)數(shù)據(jù)，利用，即可得答案；【詳解】，將數(shù)據(jù)從小到大依次排序35.7，36.1，36.1，36.3，36.4，36.5，36.6，36.8，該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為36.6.故答案為：36.6.14．為迎接2022年北京冬奧會(huì)，某工廣生產(chǎn)了一批滑雪板，這批產(chǎn)品中按質(zhì)量分為一等品，二等品，三等品.從這批滑雪板中隨機(jī)抽取一件滑雪板檢測(cè)，已知抽到不是三等品的概率為0.97，抽到一等品或三等品的概率為0.88，則抽到一等品的概率為_(kāi)__________.【答案】0.85【分析】由互斥事件的概率加法公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)抽到一等品，二等品，三等品的事件分別為，，，則，解得，所以抽到一等品的概率為0.85．故答案為：0.85．15．如圖為一個(gè)盛滿水的圓錐形玻璃杯，現(xiàn)將一個(gè)球狀物體放入其中，使其完全浸沒(méi)于杯中，球面與圓錐側(cè)面相切，且與玻璃杯口所在平面相切，則溢出水的體積為_(kāi)__________.【答案】【分析】由已知求出球的半徑，再由球的體積公式得答案．【詳解】解：作出圓錐的軸截面如圖所示，球心為截面三角形的中心，截面為正三角形，且邊長(zhǎng)為2，則球的半徑為．溢出溶液的體積等于球的體積為．故答案為：．16．在迎接夏天的日子里，我校學(xué)生自發(fā)組織了熱烈的籃球比賽.如圖，是籃球場(chǎng)地的部分示意圖.在高為4的等腰梯形中，點(diǎn)是以為直徑的半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)是半徑為6的半圓上的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)為半圓上任一點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，已知.設(shè)點(diǎn)為線段上任一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題，求最值即可.【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意得：，則，所以，整理得：①，兩邊平方得：②，又，則，聯(lián)立①②，解得:,所以，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)有最小值，.故答案為：.三、解答題17．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正六邊形中，是其中心，.設(shè)，.（1）用分別表示及；（2）求；（3）求與夾角的余弦值.【答案】（1），；（2）；（3）【分析】(1)根據(jù)向量的加法原則即可求解.(2)根據(jù)第（1）問(wèn)，先平方再在開(kāi)根號(hào)即可;(3)根據(jù)數(shù)量積的公式即可求解.【詳解】解：(1)根據(jù)正六邊形的特征，可得，.(2).(3),所以.18．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且（1）求；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算可得；（2）利用正弦定理將角化邊得到，再由余弦定理得到，從而得到，，再根據(jù)三角形面積求出，即可得到、，從而得到三角形周長(zhǎng)；【詳解】解：（1）因?yàn)樗运运运运?，因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，由正弦定理可得，即，又由余弦定理可得，即，即，所以，所以，所以，解得，所以，即，所以，所以，所以，所?9．2021年6月17日，神舟十二號(hào)載人飛船順利升空并于6.5小時(shí)后與天和核心艙成功對(duì)接，這是中國(guó)航天史上的又一里程碑，我校南蒼穹同學(xué)既是航天迷，又熱愛(ài)數(shù)學(xué)，于是他為正在參加期末檢測(cè)的你們編就了這道題目，如圖，是神舟十二號(hào)飛船推進(jìn)艙及其推進(jìn)器的簡(jiǎn)化示意圖，半徑相等的圓與圓柱底面相切于四點(diǎn)，且圓與與與與分別外切，線段為圓柱的母線.點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.已知圓柱，底面半徑為.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求二面角的余弦值；（4）如圖，是飛船推進(jìn)艙與即將對(duì)接的天和核心艙的相對(duì)位置的簡(jiǎn)化示意圖.天和核心艙為底面半徑為2的圓柱，它與飛船推進(jìn)艙共軸，即共線.核心艙體兩側(cè)伸展出太陽(yáng)翼，其中三角形為以為斜邊的等腰直角三角形，四邊形為矩形.已知推進(jìn)艙與核心艙的距離為4，即，且，.在對(duì)接過(guò)程中，核心艙相對(duì)于推進(jìn)艙可能會(huì)相對(duì)作出逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你求出在艙體相對(duì)距離保持不變的情況下，在艙體相對(duì)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）具體見(jiàn)解析；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）先證明AM∥ON，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出AE的長(zhǎng)度，利用線面垂直求出長(zhǎng)度即可；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求出內(nèi)切圓的半徑，得出各點(diǎn)的坐標(biāo)，用法向量夾角公式即可解得；（4）將矩形PQRS視作靜止，則作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，寫(xiě)出坐標(biāo)，用空間向量線面角公式求出夾角的正弦值.【詳解】（1）如圖1，分別是點(diǎn)M、N在線段AC上的投影，則為AO的中點(diǎn)，為OC的三等分點(diǎn).所以，，所以,所以AM∥ON，如圖2，又因?yàn)槠矫鍮DN，ON平面BDN，所以AM∥平面BDN.（2）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以所在方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)，所以,,若OE⊥平面BDN，則，即時(shí)，OE⊥平面BDN.（3）設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，由題意可知是等腰直角三角形，所以，因?yàn)?，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令x=1，則，同理可得平面的法向量，所以，由圖可知二面角為銳角，則其