重難點(diǎn)03三角形中“A”字模型【知識(shí)梳理】“A”字模型三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.【考點(diǎn)剖析】一．選擇題（共3小題）1．（2022春?耒陽市期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，若按圖中虛線剪去∠B，則∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．270° D．315°【分析】如圖，根據(jù)題意可知∠1＝90°+∠BNM，∠2＝90°+∠BMN，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可推出∠1+∠2的度數(shù)．【解答】解：如圖．∵△ABC為直角三角形，∠B＝90°，∴∠BNM+∠BMN＝90°，∵∠1＝90°+∠BNM，∠2＝90°+∠BMN，∴∠1+∠2＝270°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵在于得出∠1＝90°+∠BNM，∠2＝90°+∠BMN．2．（2022秋?東莞市校級(jí)期中）如圖所示，在△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，并且CD、BE交于點(diǎn)P，若∠A＝60°，則∠BPC等于（）A．90° B．120° C．150° D．160°【分析】首先根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，求得∠ABE的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理的推論進(jìn)行求解．【解答】解：∵∠A＝60°，BE⊥AC，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，又∵CD⊥AB，∴∠BDP＝90°，∴∠BPC＝90°+∠ABE＝120°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)．3．（2022?上杭縣校級(jí)開學(xué)）如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，E，F(xiàn)分別是AD，BE的中點(diǎn)，若△EFD的面積為3，則△ABC的面積等于（）A．18 B．24 C．36 D．48【分析】由于F是BE的中點(diǎn)，BF＝EF，那么△EFD和△BFD可看作等底同高的兩個(gè)三角形，根據(jù)三角形的面積公式，得出△EFD和△BFD的面積相等，進(jìn)而得出△BDE的面積等于△BFD的面積的2倍；同理，由于E是AD的中點(diǎn)，得出△ADB的面積等于△BDE面積的2倍；由于AD是BC邊上的中線，得出△ABC的面積等于△ABD面積的2倍，代入求解即可．【解答】解：∵F是BE的中點(diǎn)，∴BF＝EF，∴S△EFD＝S△BFD，又∵S△BDE＝S△EFD+S△BFD，∴S△BDE＝2S△BFD＝2×3＝6．同理，S△ABC＝2S△ABD＝2×2S△BDE＝4×6＝24．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積公式，難度中等．掌握三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共7小題）4．（2022秋?惠陽區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2＝220度．【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求解．【解答】解：∠1+∠2＝180°+40°＝220°．故答案為：220°．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系．（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和．（2）三角形的內(nèi)角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件．5．（2021秋?威縣校級(jí)期末）如圖，∠1+∠2+∠3+∠4＝280°．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，∠1+∠2+40°＝180°，∠3+∠4+40°＝180°，計(jì)算即可得出答案．【解答】解：∵∠1+∠2+40°＝180°，∠3+∠4+40°＝180°，∴∠1+∠2＝140°，∠3+∠4＝140°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝140°+140°＝280°．故答案為：280．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵的關(guān)鍵．6．（2022秋?濟(jì)寧期末）如圖，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，將△ABC沿EF折疊，A點(diǎn)落在形內(nèi)的A′，則∠1+∠2的度數(shù)為60°．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，進(jìn)而可得出∠A′EF+∠A′FE的度數(shù)，根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出∠AEF+∠AFE的度數(shù)，再由四邊形的內(nèi)角和為360°即可得出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，∴∠A′＝30°，∴∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝180°﹣30°＝150°，∵△AFE由△A′FE翻折而成，∴∠AEF+∠AFE＝∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝150°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C﹣（∠AEF+∠AFE）＝360°﹣80°﹣70°﹣150°＝60°．故答案為：60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．7．（2022秋?拱墅區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB＝AC，AE＝ED＝DB＝BC，∠A＝＝．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出方程解答即可．【解答】解：設(shè)∠A＝x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝，∵AE＝ED，∴∠A＝∠ADE＝x，∴∠BED＝2x，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝，∵∠A+∠EBD＝∠BDC，∴x+2x＝，解得：x＝，即∠A＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的等邊對(duì)等角解答．8．（2022春?濮陽期中）如圖，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分線交于點(diǎn)A2021，得∠A2021，∠A2021BC和∠A2021CD的平分線交于點(diǎn)A2022，得∠A2022，則∠A2022＝度．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠A1CD＝∠ACD，∠A1BD＝∠ABC，再根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠A1＝∠A，找出規(guī)律即可求出∠A2022．【解答】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1CD＝∠ACD，∠A1BD＝∠ABC，∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BD＝∠ACD∠﹣∠ABC＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1＝∠A，∴∠A2022＝∠A，∵∠A＝m°，∴∠A2022＝°，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)與規(guī)律的綜合，涉及三角形外角性質(zhì)，找出∠A1和∠A之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．9．（2022春?煙臺(tái)期中）如圖，在三角形紙片ABC中∠A＝65°，∠B＝75°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為30°．【分析】根據(jù)題意，已知∠A＝65°，∠B＝75°，可結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和折疊變換的性質(zhì)求解．【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣330°＝30°．故答案為：30°．【點(diǎn)評(píng)】本題通過折疊變換考查三角形、四邊形內(nèi)角和定理．注意折疊前后圖形全等；三角形內(nèi)角和為180°；四邊形內(nèi)角和等于360度．10．（2021秋?庫車市期末）如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的兩點(diǎn)，∠1+∠2＝214°，則∠A＝34度．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知，要求∠A只要求出∠AEF+∠AFE的度數(shù)或者∠B+∠C的度數(shù)即可，結(jié)合補(bǔ)角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和為360°可以解決問題．【解答】解：方法一：∵∠1+∠AEF＝180°，∠2+∠AFE＝180°∴∠1+∠AEF+∠2+∠AFE＝360°∵∠1+∠2＝214°∴∠AEF+∠AFE＝360°﹣214°＝146°∵在△AEF中：∠A+∠AEF+∠AFE＝180°（三角形內(nèi)角和定理）∴∠A＝180°﹣146°＝34°方法二：∵在四邊形BCEF中：∠B+∠C+∠1+∠2＝360°（四邊形內(nèi)角和為360°）∠1+∠2＝214°∴∠B+∠C＝360°﹣214°＝146°∵在△ABC中：∠A+∠B+∠C＝180°（三角形內(nèi)角和定理）∴∠A＝180°﹣146°＝34°【點(diǎn)評(píng)】本題是有關(guān)三角形角的計(jì)算問題．主要考查三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用和計(jì)算，找到∠A所在的三角形是關(guān)鍵．同時(shí)對(duì)鄰補(bǔ)角的定義和四邊形的內(nèi)角和360°都有所涉及，對(duì)學(xué)生的推演能力有一定要求．三．解答題（共7小題）11．（2022春?澗西區(qū)期中）如圖，在△ABC中，E，G分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)，D是BC上的點(diǎn)，連接EF，AD，DG，已知AD∥EF，∠1+∠2＝180°．（1）求證：AB∥DG；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠B＝35°，求∠2的度數(shù)．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠DAE，由∠1+∠2＝180°可得∠DAE+∠2＝180°，即可證明；（2）首先利用已知條件可以去求出∠1＝∠DAG＝35°，然后利用平行線的性質(zhì)求出∠2．【解答】（1）證明：∵AD∥EF，∴∠BAD+∠2＝180°．∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD＝∠1．∴AB∥DG；（2）解：∵DG是∠ADC的平分線，且AB∥DG，∴∠1＝∠GDC＝∠B＝35°，∴∠1＝∠DAB＝35°，∵AD∥EF，∴∠2＝180°﹣∠DAB＝180°﹣35°＝145°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．12．（2022秋?平橋區(qū)期末）探索歸納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A＝90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2＝270°．（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2＝220°．（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關(guān)系是180°+∠A．（4）如圖3，若沒有剪掉∠A，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1+∠2與∠A的關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）利用了四邊形內(nèi)角和為360°和直角三角形的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求解；（3）根據(jù)（1）（2）可以直接寫出結(jié)果；（4）根據(jù)折疊的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)角相等，以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）：∵四邊形的內(nèi)角和為360°，直角三角形中兩個(gè)銳角和為90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故答案為：270°；（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，故答案是：220°；（3）∠1+∠2與∠A的關(guān)系是：∠1+∠2＝180°+∠A；故答案為：180°+∠A；（4）∵△EFP是由△EFA折疊得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系．（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和．（2）三角形的內(nèi)角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件．13．（2022秋?運(yùn)城期末）一個(gè)三角形紙片ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處．（點(diǎn)A′在△ABC的內(nèi)部）（1）如圖1，若∠A＝45°，則∠1+∠2＝90°．（2）利用圖1，探索∠1，∠2與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖2，把△ABC折疊后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中得出的結(jié)論求∠BA′C的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的兩個(gè)外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，據(jù)此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，繼而可得答案；（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A知∠A＝54°，根據(jù)BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A沿DE折疊落在點(diǎn)A′的位置，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠ADE＝（180°﹣∠1），∠AED＝（180°﹣∠2），在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴45°+（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝180°，整理得∠1+∠2＝90°；故答案為：90；（2）∠1+∠2＝2∠A，理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的兩個(gè)外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A；（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，∴∠A＝54°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+×54°＝117°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，三角形的內(nèi)角和等于180°，綜合題，但難度不大，熟記性質(zhì)準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋?慈溪市月考）如圖，△ABC中，CE，CF分別是∠ACB及外角∠ACD的平分線，且CE交AB于點(diǎn)E，連結(jié)EF交AC于點(diǎn)M，已知EF∥BC．（1）求證：M為EF的中點(diǎn)；（2）若∠A＝56°，∠B＝44°，求∠F的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線可知∠MCE＝∠BCE，∠MCF＝∠DCF，由EF∥BC可知：∠MEC＝∠BCE，∠MFC＝∠DCF，由等腰三角形的性質(zhì)可知，EM＝MC＝MF，從而得證．（2）根據(jù)∠A與∠B的度數(shù)求出∠ACD的度數(shù)，利用角平分線的定義可知∠F的度數(shù)．【解答】（1）證：∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACE＝∠BCE，∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠BCE，∴∠ACE＝∠CEF，∴EM＝CM，同理，MF＝CM，∴EM＝MF，∴M為EF的中點(diǎn)；（2）解：∵∠A＝56°，∠B＝44°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝56°+44°＝100°，∵CF是外角∠ACD的平分線，∴∠DCF＝∠ACD＝50°，∵EF∥BC，∴∠F＝∠DCF＝50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的定義求出∠MCE＝∠BCE，∠MCF＝∠DCF，本題涉及等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，本題屬于基礎(chǔ)題型．15．（2021秋?武功縣期末）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，連接DC、DE，在CD上取一點(diǎn)F，連接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求證：DE∥BC．【分析】先利用平行線的判定定理判定AB∥EF，利用平行線的性質(zhì)定理得到∠3＝∠ADE，利用等量代換得到∠B＝∠ADE，最后利用同位角相等，兩直線平行判定即可．【解答】證明：∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠2＝∠DFE．∴AB∥EF．∴∠3＝∠ADE．∵∠3＝∠B，∴∠B＝∠ADE．∴DE∥BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確使用平行線的判定與性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?贛州期中）如圖1，已知∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，我們?nèi)菀鬃C明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？嘗試探究：（1）如圖2，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，則∠DBC+∠ECB＝∠A+180°（橫線上填＞、＜或＝）初步應(yīng)用：（2）如圖3，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1＝135°，則∠2﹣∠C＝45°．（3）解決問題：如圖4，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫出答案∠P＝90°﹣∠A．（4）如圖5，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，請(qǐng)利用上面的結(jié)論探究∠P與∠A、∠D的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得：∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，兩式相加可得結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，將∠1＝135°代入可得結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的定義得：∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的結(jié)論：∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，可得：∠P＝90°﹣∠A；（4）根據(jù)平角的定義得：∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，由角平分線得：∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，相加可得：∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），再由四邊形的內(nèi)角和與三角形的內(nèi)角和可得結(jié)論．【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，理由是：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB＝2∠A+∠ACB+∠ABC＝180°+∠A，∴∠DBC+∠ECB＝∠A+180°．故答案為：＝．（2）∠2﹣∠C＝45°．理由是：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，∠1＝135°，∴∠2﹣∠C+135°＝180°，∴∠2﹣∠C＝45°．故答案為：45°；（3）∠P＝90°﹣∠A，理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，∴∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，∵△BPC中，∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣（∠DBC+∠ECB），∵∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∴∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A．故答案為：∠P＝90°﹣∠A，（4）∠P＝180°﹣（∠A+∠D）．理由是：∵∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，∴∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，∴∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），∵四邊形ABCD中，∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D），又∵△PBC中，∠P＝180°﹣（∠3+∠4）＝（∠1+∠2），∴∠P＝×[360°﹣（∠A+∠D）]＝180°﹣（∠A+∠D）．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形和三角形的綜合問題，考查了三角形和四邊形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，難度適中，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是關(guān)鍵．17．（2021秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以2cm/s的速度沿A→B→C的方向移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始以1cm/s的速度沿C→A→B的方向移動(dòng)．若AB＝16cm，AC＝12cm，BC＝20cm，已知點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）如圖①，若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段CA上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，QA＝AP；（2）如圖②，點(diǎn)Q在線段CA上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，△QAB的面積等于△ABC面積的；（3）當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，AQ＝BP．【分析】（1）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，Q在線段CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CQ＝t厘米，AP＝2t厘米，則AQ＝（12﹣t）厘米，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．（2）當(dāng)Q在線段CA上時(shí)，CQ＝t厘米，則AQ＝（12﹣t）厘米，根據(jù)三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的，列出方程即可解決問題．（3）分三種情形討論即可①當(dāng)0＜t≤8時(shí)，P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，Q在線段CA上運(yùn)動(dòng)．②當(dāng)8＜t≤12時(shí)，Q在線段CA上運(yùn)動(dòng)，P在線段BC上運(yùn)動(dòng)．③當(dāng)t＞12時(shí)，Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)，P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別列出方程求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，Q在線段CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CQ＝t厘米，AP＝2t厘米，則AQ＝（12﹣t）厘米，∵QA＝AP，∴12﹣t＝2t，∴t＝4．即t＝4秒時(shí)，QA＝AP；（2）當(dāng)Q在線段CA上時(shí)，CQ＝t厘米，則AQ＝（12﹣t）厘米，∵三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的，∴?AB?AQ＝×?AB?AC，∴×16×（12﹣t）＝×16×12，解得：t＝9．即t＝9秒時(shí)，三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的；（3）由題意可知，Q在線段CA上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為12秒，P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為8秒，①當(dāng)0＜t≤8時(shí)，P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，Q在線段CA上運(yùn)動(dòng)，CQ＝t厘米，AP＝2t厘米，則AQ＝（12﹣t）厘米，BP＝（16﹣2t）厘米，∵AQ＝BP，∴12﹣t＝（16﹣2t），解得t＝4；②當(dāng)8＜t≤12時(shí)，Q在線段CA上運(yùn)動(dòng)，P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，CQ＝t厘米，則AQ＝（12﹣t）厘米，BP＝（2t﹣16）厘米，∵AQ＝BP，∴12﹣t＝（2t﹣16），解得t＝；③當(dāng)t＞12時(shí)，Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)，P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則AQ＝（t﹣12）厘米，BP＝（2t﹣16）厘米，∵AQ＝BP，∴t﹣12＝（2t﹣16），解得t＝4，不合題意舍去綜上所述，t為4或時(shí)，AQ＝BP．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形面積、一元一次方程以及分類討論等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．【過關(guān)檢測(cè)】1．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，中，，直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，，，故選：D．2．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為_________．【答案】【詳解】解：如圖，，，，，故答案為：．3．如圖，已知四邊形ABCD中，∠C＝90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．270° D．315°【解答】解：∵三角形的內(nèi)角和等于180°，∴可得∠1和∠2的鄰補(bǔ)角等于90°，∴∠1+∠2＝2×180°﹣90°＝270°．故選：C．4．（2022春?云龍區(qū)校級(jí)月考）已知如圖，△ABC為直角三角形，∠C＝90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于（）A．315° B．270° C．180° D．135°【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，即∠1+∠2＝2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4＝180°﹣∠C＝90°，∴∠1+∠2＝2×90°+90°＝270°．故選：B．5．（2021春?東臺(tái)市月考）如圖，△ABC中，∠C＝75°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2＝°．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝75°，∴∠A+∠B＝180°﹣75°＝105°，∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣105°＝255°．故答案為：255．6．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，三角形兩外角的角平分線交于點(diǎn)E，則_____