江淮十校2024屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，19題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，，則（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和值域的求法可分別確定集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】由得：或，即；，，即，故選：B.2.若為虛數(shù)單位，，則的最大值為（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，進(jìn)而求出的最大值.【詳解】根據(jù)題意，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，所求式子的幾何意義表示點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最大值，如圖所示，最大值為.故選：D.3.學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣5種菜，甲、乙2名同學(xué)每人從中選一種或兩種，且兩人之間不會(huì)互相影響，則不同的選法種數(shù)為（）A.20 B.25 C.225 D.450【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.【詳解】甲和乙的選擇方法分別有種方法，所以甲和乙不同的選擇方法有種.故選：C4.在中，邊上的高等于，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)，結(jié)合圖形，即可求解.【詳解】如圖，邊上的高為，，且，所以，則，則，，所以，則.故選：B5.已知直線，圓，則該動(dòng)直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.不確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得直線表示過(guò)定點(diǎn)，且除去的直線，點(diǎn)在圓上，可判斷直線與圓相交.【詳解】因?yàn)橹本€，即，當(dāng)時(shí)，，解得，所以直線表示過(guò)定點(diǎn)，且除去的直線，將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)椋c(diǎn)在圓上，所以直線與圓可能相交，可能相切，相切時(shí)直線為，不合題意，所以直線與圓相交.故選：C.6.已知，且，則的最小值為（）A.2 B.4 C.8 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，將所求式子變形利用基本不等式求解.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號(hào)成立.故選：A.7.如圖，直線在初始位置與等邊的底邊重合，之后開(kāi)始在平面上按逆時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過(guò)），它掃過(guò)的三角形內(nèi)陰影部分的面積是時(shí)間的函數(shù)．這個(gè)函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為，求得，令，其中，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切危傻?，設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為，且，其中，可得，又由的面積為，可得，且，則的面積為，令，其中，可得，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，又由余弦函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以陰影部分面積一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)C符合題意.故選：C.8.已知函數(shù)滿足，且，則（）A. B. C.0 D.2024【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求出是的一個(gè)周期，利用周期性求解答案.【詳解】，，，所以是的一個(gè)周期，又，，，所以..故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件判斷是的一個(gè)周期，再求出，，利用周期性求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.是的一個(gè)周期B.在上遞減C.將圖象向左平移個(gè)單位可得到的圖象D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】由三角函數(shù)的最小正周期公式可判斷A；通過(guò)的單調(diào)性可判斷B；通過(guò)函數(shù)圖象左右平移作用于自變量，且左加右減可判斷C；由題代入求出，再通過(guò)誘導(dǎo)公式和二倍角公式湊角求值可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題意，函數(shù)，可得的最小正周期為，所以是的一個(gè)周期，故A正確；對(duì)于B，由，可得，所以函數(shù)在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將的圖象向左平移個(gè)單位可得，，即，故C正確；對(duì)于D，若，即，即，所以，故D正確.故選：ACD.10.設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.的軌跡方程為B.的軌跡與橢圓共焦點(diǎn)C.是的軌跡的一條漸近線D.過(guò)能做4條直線與的軌跡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】對(duì)A，設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)條件列式求出軌跡方程可判斷；對(duì)B，由點(diǎn)的軌跡方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)可判斷；對(duì)C，點(diǎn)的軌跡方程求出漸近線方程可判斷；對(duì)D，點(diǎn)在軸上，過(guò)點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn)，只有兩條切線，其中與漸近線平行的直線過(guò)點(diǎn)不合題意.【詳解】對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)，，則，，所以，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A選項(xiàng)，點(diǎn)的軌跡的焦點(diǎn)為與橢圓共焦點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)曲線的漸近線為，故C正確；對(duì)于D，點(diǎn)在軸上，設(shè)，則，，所以直線，與漸近線平行，但點(diǎn)不在點(diǎn)的軌跡上，故過(guò)點(diǎn)只能作點(diǎn)軌跡兩條切線，如圖所示，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.如圖，正三棱柱的各棱長(zhǎng)相等，且均為2，在內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得平面B.若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.為中點(diǎn)，若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為【答案】BCD【解析】【分析】取的中點(diǎn)，證得平面平面，得到平面，結(jié)合，可判定A；由，求得，得到點(diǎn)的軌跡為圓弧，可判定B；點(diǎn)為中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，證得平面平面，得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段，可判定C；結(jié)合，可判定D.【詳解】對(duì)于A中，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)為，連接，由為等邊三角形，所以，又由正三棱柱中，可得，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，因?yàn)槠矫嫫矫妫^(guò)作于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，在矩形中，，所以，如圖所示，此時(shí)的延長(zhǎng)線與線段無(wú)公共點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)，使得平面，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，因?yàn)椋谥苯侵?，可得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓弧，又因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，所以B正確；對(duì)于C中，由點(diǎn)為中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，可得，，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平面，同理可得平面，又因?yàn)椋移矫?，所以平面平面，因平面平面，由平面，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡為線段，其長(zhǎng)度為，所以C正確；對(duì)于D中，由，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可得，因?yàn)椋源嬖邳c(diǎn)，使得三棱錐的體積為，所以D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡與存在性性問(wèn)題的求解策略1、立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長(zhǎng)度及動(dòng)角的范圍等問(wèn)題；2、解答方法：一般時(shí)根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；3、對(duì)于線面位置關(guān)系的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；4、對(duì)于探索性問(wèn)題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問(wèn)題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無(wú)解則不存在.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知為等邊的中心，若，則________．（用表示）【答案】【解析】【分析】等邊三角形的中心即三邊中線的交點(diǎn)，由重心的結(jié)論：，結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解.詳解】解：由題可得如圖：是的重心，，O是各邊中線的交點(diǎn)，，，又D為的中點(diǎn)，，故：,所以：，故答案為：.13.某小學(xué)對(duì)四年級(jí)的某個(gè)班進(jìn)行數(shù)學(xué)測(cè)試，男生的平均分和方差分別為91和11，女生的平均分和方差分別為86和8，已知該班男生有30人，女生有20人，則該班本次數(shù)學(xué)測(cè)試的總體方差為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】先求出總體的平均數(shù)，在利用計(jì)算得解.【詳解】設(shè)全體同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為，方差為，記，，，，，，依題意有，則.故答案為：.14.已知首項(xiàng)為的正項(xiàng)數(shù)列滿足滿足，若存在，使得不等式成立，則的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】先將已知等式兩邊取對(duì)數(shù)后由累乘法得到通項(xiàng)，再分為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)化簡(jiǎn)不等式后結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性解一元二次不等式即可求出.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以，又，所以時(shí)也成立，所以，因?yàn)?，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，上式變?yōu)?，所以，因?yàn)闉檫f減數(shù)列，所以解得；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，上式變?yōu)椋?，解得；綜上，的取值范圍為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于對(duì)已知不等式的變形，通過(guò)觀察分析取對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)后再累乘是關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）已知，求使取得最大項(xiàng)時(shí)的值．（參考值：）【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）由遞推關(guān)系將已知等式變形為，即可求出通項(xiàng)；（2）由已知可設(shè)，代入解不等式組求出即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）有，所以，設(shè)時(shí)，最大，因?yàn)?，所以，即，解得，又，所以，所以使取得最大?xiàng)時(shí)的值為4.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，.（1）已知為中點(diǎn)，求證：平面；（2）求平面與平面的夾角．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形三線合一性質(zhì)的應(yīng)用可分別證得，，由此可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，四邊形為正方形，，，平面，平面，，；，，平面，平面，平面，平面，又為中點(diǎn)，，平面，又平面，平面，，；，為中點(diǎn)，；，平面，平面，又平面，，，平面，平面.【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，即平面與平面夾角余弦值為，平面與平面的夾角為.17.已知橢圓，直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）．（1）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過(guò)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，連，求面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，表示出點(diǎn)，代入橢圓方程建立方程組，求解方程組即可.（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理探求直線過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出三角形面積的函數(shù)關(guān)系求解即得.【小問(wèn)1詳解】依題意，，設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，得，由點(diǎn)都在橢圓上，得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問(wèn)2詳解】依題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，得，由消去y得，由，得，，則有，顯然，直線的方程為：，當(dāng)時(shí)，，因此直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，由消去x得，則，，于是，點(diǎn)到直線的距離，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而當(dāng)時(shí)，直線與橢圓相切，不符合題意，所以面積的取值范圍為.18.一箱24瓶的飲料中有3瓶有獎(jiǎng)券，每張獎(jiǎng)券獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶，小明從中任取2瓶，（1）小明的這2瓶飲料中有中獎(jiǎng)券的概率；（2）若小明中獎(jiǎng)后兌換的飲料繼續(xù)中獎(jiǎng)的話可繼續(xù)兌換，兌換時(shí)隨機(jī)選取箱中剩余的飲料，求小明最終獲得飲料瓶數(shù)的分布列和期望．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）先求出任取2瓶的所有總數(shù)和抽取的2瓶飲料中無(wú)獎(jiǎng)券的總數(shù)，再由古典概率求解即可；（2）求出的可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率，再由均值公式求出期望.【小問(wèn)1詳解】一箱24瓶的飲料中有3瓶有獎(jiǎng)券，所以無(wú)獎(jiǎng)券的有21瓶，從中任取2瓶，有種結(jié)果，其中抽取的2瓶飲料中無(wú)獎(jiǎng)券，有種，所以小明的這2瓶飲料中有中獎(jiǎng)券的概率為：；【小問(wèn)2詳解】設(shè)小明最終獲得飲料瓶數(shù)為，則，則，，，，所以的分布列為：.19.對(duì)于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)和，使得成立，則稱是“躍然”函數(shù)，并稱是函數(shù)的“躍然值”．（1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是“躍然”函數(shù)；（2）證明：為“躍然”函數(shù)，并求出該函數(shù)“躍然值”的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，設(shè)，令，即，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷證明；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)存在零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在性定理分，，三種情況討論判斷證明.【小問(wèn)1詳解】，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，令，得，設(shè)，，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，又，則，所以存在使得，即，所以函數(shù)是“躍然值”為1的“躍然”函數(shù).【小問(wèn)2詳解】，，設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，對(duì)，此時(shí)不存在使得成立，不合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)榕c在R上均單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，即，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，，又，則，所以當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞增，，即得.所以，此時(shí)不存在使得成立，不合題意；當(dāng)時(shí)，若，則，從而，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，所以，從而，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在R上單調(diào)遞增，又，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，