猜想03旋轉綜合題（3種常見題型專練）題型一：線段問題題型二：面積問題題型三：角度問題題型一：線段問題1．（2023上·廣東深圳·九年級深圳中學?？计谀┰阡J角中，，，，將繞點按逆時針方向旋轉，得到．(1)如圖1，當點在線段的延長線上時，的度數(shù)為________；(2)如圖2，連接，．若的面積為4，求的面積；(3)如圖3，點為線段中點，點是線段上的動點，在繞點按逆時針方向旋轉過程中，點的對應點是，直接寫出線段長度的最大值與最小值．【答案】(1)(2)(3)最大值為7；最小值為【分析】（1）由旋轉的性質可得：，，又由等腰三角形的性質，即可求得的度數(shù)；（2）由旋轉的性質可得：，易證得，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得的面積；（3）①當P在上運動至時，繞點B旋轉，使點P的對應點在線段上時，最小，②當P在上運動至點C，繞點B旋轉，使點P的對應點在線段的延長線上時，最大，即可求得線段EP1長度的最大值與最小值．【詳解】（1）解：由旋轉的性質可得：，，∴，∴；故答案為：；（2）∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，∴；（3）如圖，過點B作，D為垂足，∵為銳角三角形，∴點D在線段上，在中，；①當P在上運動至時，繞點B旋轉，使點P的對應點在線段上時，最小，最小值為：；②當P在上運動至點C，繞點B旋轉，使點P的對應點在線段的延長線上時，最大，最大值為：；因此，線段EP1長度的最大值為7，最小值為：．【點睛】此題考查了旋轉的性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及三角函數(shù)的應用．此題難度較大，注意數(shù)形結合思想的應用，注意旋轉前后的對應關系．2．（2023上·山西大同·九年級大同一中?？计谀┤鐖D①在正方形中，連接，點E是邊上的一點，交于點F，點P是的中點，連接．

(1)如圖①，探究與有何關系，并說明理由；(2)若將繞點B順時針旋轉90°，得到圖②，連接，取的中點P，連接，請問在該條件下，①中的結論是否成立，并說明理由；(3)如果把繞點B順時針旋轉180°，得到圖③，同樣連接，取的中點P，連接，請你直接寫出與的關系．【答案】(1)，且；理由見詳解(2)，且；理由見詳解(3)，且；理由見詳解【分析】（1）過點作，通過條件證明，就可以得出結論，；（2）作于，根據(jù)平行線等分線段定理就可以得出，再根據(jù)中垂線的性質就可以得出，（3）延長交延長線于，連，最后通過證明三角形全等就可以得出結論．【詳解】（1），且．證明：過于點，延長交于點，作于點．

則四邊形是正方形，四邊形是矩形，，，，，，是的中點，，，在和中，，，，，，，，；（2）成立．

證明：圖2中，作，則，又是的中點，，則是的中垂線，，，，是的中點，，則，，是等腰直角三角形，，且；（3）圖3中，延長交延長線于，連．

，，，四邊形是矩形．，，由圖（2）可知，平分，，，又，為等腰直角三角形，．．，．，，．，，即，又，，．在和中，，．，．，，，，，，即，．【點睛】此題綜合考查了旋轉的性質及全等三角形的判斷和性質，如何構造全等的三角形是難點，因此難度較大．3．（2023上·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點逆時針旋轉一個角度，的兩邊與三角形的邊，分別交于點，．設等邊的面積為，通過證明可得，則．(1)【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正方形的邊，分別交于點，．若正方形的面積為，請用含的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．(2)【拓展應用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正六邊形的邊，分別交于點，．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積(3)【猜想結論】如圖4，為正邊形……的中心角，將繞點逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正邊形的邊，分別交于點，．若四邊形面積為，請用含、的式子表示正邊形……的面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）通過證明可得，則．（2）通過證明可得，則．（3）通過證明可得，則【詳解】（1）解：如圖2，∵為正方形的中心角，∴，，∵繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點∴，又∵，∴，∴．（2）如圖3，∵為正六邊形的中心角，∴，，∵繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點∴，又∵，∴，∴．∵四邊形面積為，∴正六邊形的面積為．（3）如圖4，∵為正多邊形的中心角，∴，，∵繞點O逆時針旋轉一個角度，的兩邊與正多邊形的邊分別交于點∴，又∵，∴，∴．∵四邊形面積為，∴正多邊形的面積為．【點睛】本題考查了旋轉，正多邊形的性質，正多邊形的中心角，三角形的全等，圖形的割補，熟練掌握旋轉的性質，正多邊形的性質是解題的關鍵．4．（2022上·山東濟南·九年級校考階段練習）在中，，點D，E分別是的中點，點P是射線上一點，連接，將線段繞點P順時針旋轉得到線段，連接．(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖（1），當點P與點D重合時，線段與的數(shù)量關系是，．(2)探究證明當點P在射線上運動時（不與點E重合），（1）中結論是否一定成立？請僅就圖（2）中的情形給出證明．(3)問題解決若，連接，當是等邊三角形時，直接寫出的長度．【答案】(1)，45(2)結論成立，證明見解析(3)【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質解決問題即可．（2）結論不變．連接．證明，推出，，可得結論．（3）當點P在點E的上方時，過點P作于Q．設，則，，可得，從而得到，進而得到，即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖（1）中，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：，45．（2）結論成立，證明如下：如圖（2）中，連接．∵，∴平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∴．（3）當點P在點E的上方時，如圖（3）中，過點P作于Q．∵是等邊三角形，∴，∵，∴，設，則，，∴，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．5．（2023上·重慶沙坪壩·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知中，，，點D是所在平面內一點，連接，，．(1)如圖1，點D在上，，且，求的面積；(2)如圖2，點D為內部一動點，將線段繞點B逆時針旋轉得到線段，連接，點G是線段的中點，連接，猜想線段，之間存在的位置關系和數(shù)量關系，并證明你的猜想；(3)如圖3，點C關于直線的對稱點為點，連接，，點D為內部一動點，連接．若，且，當線段最短時，直接寫出的面積．【答案】(1)6(2)且，見解析(3)【分析】（1）過點D作DE⊥AC于點E，解，求出，，從而求得，則．然后由求解即可；（2）將線段BA繞點B逆時針旋轉90°得到線段BH，連接FH，證明，得，，再延長至點K，使得；交于點P，連接，，證明，得，．再證明，得，繼而證得，即可得出結論；（3）由，所以A、C、B、D四點是在以為直徑的圓上，設此圓的圓心為O，所以當、D、O三點其線時，最短，過點O作于E，過點D作于F，利用等腰直角三角形的性質、勾股定理，垂直徑定理，求得，，，再利用對稱的性質求得，，，則，然后證明，得，從而求得，最后根據(jù)求解即可．【詳解】（1）解：過點D作DE⊥AC于點E，如圖1，在中，∠AED90°，∵，，設，則，∴，解得：，∴，．∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴．在等腰中，，∴．（2）解：猜想：證明：將線段BA繞點B逆時針旋轉90°得到線段BH，連接FH，如圖2，即，在和中，，∴，∴，，再延長至點K，使得；交于點P，連接，，在和中，∴，∴，．∴，，∵四邊形是正方形，∴，，，，，，即．在和中，，∴，，，，，．（3）解：∵，∴A、C、B、D四點是在以為直徑的圓上，設此圓的圓心為O，∴當、D、O三點其線時，最短，過點O作于E，過點D作于F，如圖3，在等腰中，，，，由勾股定理，得，∵，∴，∴，∵點C與點關于對稱，∴，∴，在中，由勾股定理，得，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，．【點睛】本題考查解直角三角形，等腰直角三角形性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，垂徑定理，三角形的面積，最短距離問題，本題綜合性質強，難度較大，熟練掌握相關性質和判定是解題的關鍵．6．（2023上·福建廈門·九年級統(tǒng)考期末）在中，，，將繞點A逆時針旋轉，旋轉角為，記點B，C的對應點分別為D，E．(1)若和線段如圖所示，請在圖中作出（要求；尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)M是的中點，N是點M旋轉后的對應點，連接，，，則是否存在β與α的某種數(shù)量關系，使得無論α取何值時，都有？若存在，請說明理由，并直接寫出此時與的數(shù)量關系；若不存在，也請說明理由．【答案】(1)見解析(2)存在，理由見解析，【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和尺規(guī)作圖的方法，根據(jù)題意畫出圖形即可；（2）連接，，根據(jù)三角形的外角定理可得，則，再通過證明四邊形是平行四邊形，得出，即可得出結論．【詳解】（1）解：如圖即為所求．解法一（利用作全等三角形）：解法二（利用作全等三角形或作點C旋轉后的對應點E）：解法三（利用作全等三角形）：（2）解法一：當時，無論取何值時，都有．理由如下：∵，，∴始終在的外部．連接，，∵在中，，是的中點，∴．∴．∵是的外角，∴．又∵，即，∴．∴．∵由繞點逆時針旋轉得到，且點是點旋轉后的對應點，點是點旋轉后的對應點，∴，，．又∵點在上，∴．∴，即點在上．∴．∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∴．此時，．解法二：∵，，∴始終在的外部．連接，，∵在中，，是的中點，∴．∴．∵由繞點逆時針旋轉得到，且點是點旋轉后的對應點，點是點旋轉后的對應點，∴，，．又∵點在上，∴．∴．即點在上．∴．∴．要使得無論取何值時，都有，只要使四邊形是平行四邊形．∵，∴要使四邊形是平行四邊形，只要使．即要使．∵，∴．又∵是的外角，∴．∴要使，只要使，即．∴當時，無論取何值時，都有．此時，．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，尺規(guī)作圖，三角形的外角定理，平行四邊形的判定和性質，旋轉的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關知識點并靈活運用．題型二：面積問題1．（2021下·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）如圖在中，，點D，E分別在邊上，，連接，，點M，P，N分別為的中點，連接，．(1)圖1中，線段與的數(shù)量關系是___________；位置關系是____________．(2)將繞點A按逆時針方向旋轉到圖2位置，連接，判斷的形狀，并說明理由．(3)將繞點A在平面內自由旋轉，若，請直接寫出面積的最大值．【答案】(1)PM＝PN，PM⊥PN(2)等腰直角三角形，理由見解析(3)【分析】（1）利用三角形的中位線得出PM=CE，PN=BD，進而判斷出BD=CE，即可得出結論，再利用三角形的中位線得出PMCE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出結論；（2）先判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出結論；（3）先判斷出BD最大時，△PMN的面積最大，而BD最大是AB+AD=10，即可得出結論．【詳解】（1）解：∵點P，N是BC，CD的中點，∴PNBD，PN=BD，∵點P，M是CD，DE的中點，∴PMCE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PNBD，∴∠DPN=∠ADC，∵PMCE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案為：PM=PN，PM⊥PN；（2）解：△PMN是等腰直角三角形．證明：由旋轉性質可知∠BAD＝∠CAE又∵AB＝AC，AD＝AE∴△BAD≌△CAE∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE∵點P，M分別是DC，DE的中點∴PM是△DCE的中位線∴PM＝CE且PMCE同理PN＝BD且PNBD∴PM＝PN，∠MPD＝∠ECD，∠PNC＝∠DBC∴∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠DBC＋∠PCN∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋∠PCN＝∠ABC＋∠ACB＝90°∴△PMN是等腰直角三角形．（3）解：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，∴PM最大時，△PMN面積最大，∴點D在BA的延長線上，∴BD=AB+AD=11，∴PM=5，∴S△PMN最大=PM2=×()2=．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質的綜合運用；解（1）的關鍵是判斷出PM=CE，PN=BD，解（2）的關鍵是判斷出△ABD≌△ACE，解（3）的關鍵是判斷出MN最大時，△PMN的面積最大．2．（2023上·江西撫州·九年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐：圖形的幾何變換復習課上，老師對一張平行四邊形紙片進行如下操作：(1)如圖1，折疊該紙片，使邊恰好落在邊上，邊恰好落在邊上，得到折痕和，判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)老師沿折痕將和剪下，得到兩個全等的等腰三角形，已知等腰三角形的腰長為5，底邊長為6，底角度數(shù)為a，通過不同的擺放方式，三個學習小組利用幾何變換設置了幾個問題，請一一解答．①善思小組：將兩個三角形擺放成如圖2的位置，使邊與邊重合，然后固定，將沿著射線的方向平移（如圖3），當四邊形為矩形時，求平移的距離．②勤學小組：將兩個三角形擺成如圖4的位置，使與重合，取的中點O，固定，將繞著點O按逆時針方向旋轉（旋轉角），如圖5，在旋轉過程中，四邊形的形狀是______．③奮進小組：在②勤學小組的旋轉過程中，利用圖6進行探究，當與的重疊部分為等腰三角形時，旋轉角為______（用含的代數(shù)式表示），此時重疊部分的面積為_____．【答案】(1)平行四邊形，理由見解析(2)①；②矩形；③或；【分析】（1）根據(jù)折疊的性質可得，，從而得出，即可得出結論；（2）①作垂直于點G，由三線合一性質可得，求出的長度，最后根據(jù)即可求解；②通過證明，，即可得出結論；③分兩種情況進行討論：當點C在邊上時，當點F在邊上時．【詳解】（1）解：四邊形為平行四邊形．理由如下：在平行四邊形中，，，由折疊可知，，，∴，∴，∴，∴，∴，由，得，∴四邊形為平行四邊形．（2）①如圖，作垂直于點G，∵，由三線合一性質可得，∴，當四邊形為矩形時，，則，解得：，∴即平移的距離為．②∵與重合，∴∵點O為中點，∴，在和中，，∴，∴，同理可得：，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴四邊形為矩形．故答案為：矩形．③如圖：連接，過點E作于點M，∵點O為中點，，∴，，根據(jù)勾股定理可得：，∵，∴，即，解得：，∴，當點C在邊上時，∵，∴為等腰三角形，此時旋轉角為，過點O作與點G，∵，∴，根據(jù)勾股定理得：，∴，∴重疊部分面積，當點F在邊上時，∵，∴為等腰三角形，∵，此時旋轉角為，過點O作于點H，∵，∴，根據(jù)勾股定理得：，∴，∴重疊部分面積，綜上：旋轉角為或；重疊部分面積為；故答案為：或，．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質，矩形的判定，等腰三角形的判定和性質，旋轉的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關內容并靈活運用．3．（2023上·遼寧撫順·九年級統(tǒng)考期末）如圖，與均為等腰直角三角形，，F(xiàn)，G，H分別是，，的中點，連接，，．(1)當E在延長線上時，如圖①，的形狀是_____；(2)將繞點C逆時針旋轉，其他條件不變，如圖②，（1）的結論是否成立？說明理由；(3)若，，繞點C逆時針旋轉一周，直接寫出面積的最大值和最小值．【答案】(1)等腰直角三角形(2)成立，理由見解析(3)最大值：，最小值：【分析】（1）根據(jù)F、G分別是、的中點和、是等腰直角三角形即可得出結論．（2）分別取和的中點M、N，連接、、、，根據(jù)中位線的性質可求得，再結合是等腰直角三角形，可證，從而得出結論．（3）繞點C逆時針旋轉一周，則相當于H在點C為圓心，為半徑的圓上移動，當點H運動到N點時，有最小值，運動到M點時，有最大值．【詳解】（1）是等腰直角三角形，解：∵F、G分別為、的中點，且，∴，∵是等腰直角三角形，∴，同理可得，∴是等腰直角三角形．（2）成立，理由如下，解：取的中點M，的中點N，連接、、、，交于點P，∵F、G分別、的中點，∴，，，，∴，，，∴，同理，∴，又∵為等腰直角三角形，∴，，∴，同理，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形．（3）解：若繞點C逆時針旋轉一周，則相當于H在以C為圓心，為半徑的圓上移動，∵，且是等腰直角三角形，∴，由（2）知是等腰直角三角形，∴，∴，∵，l為H到的距離，∴當H在與交點N處時，有最小值，在交點M處時有最大值，∵與相交與點P，∴，∴，，∴面積最大值為，最小值為．【點睛】本題考查了三角形旋轉的綜合問題，涉及到了等腰三角形的性質、全等三角形的性質和判定以及垂線段最短，正確做出輔助線是解題的關鍵．4．（2022上·吉林通化·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，點、在邊上，，將繞點順時針旋轉得．(1)求證：；(2)連接，求證：；(3)若，，則______，四邊形的面積＝______．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)；【分析】（1）由旋轉的性質得，從而得到，即可證明結論；（2）由旋轉的性質得，，則，再利用即可證明；（3）如圖，過點作于，由（1）得，，在中，由勾股定理得，則，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出，再利用可得出答案．【詳解】（1）證明：∵將繞點順時針旋轉得，∴，∵在中，，，∴，∴，∴．（2）證明：∵將繞點順時針旋轉得，∴，，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴．（3）解：如圖，過點作于，∵將繞點順時針旋轉得，，，∴，由（1）得，，在中，，由（2）得，，∴，，∴，∵在中，，，∴，∴，∴四邊形的面積：．故答案為：；．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，等腰三角形三線合一的性質等知識．證明是解題的關鍵．5．（2023上·河北秦皇島·九年級秦皇島市第七中學?？计谀┤鐖D1，在中，，，，點、分別為邊、的中點，連接，將繞點C逆時針旋轉α（）．(1)如圖1，當時，易知和的位置關系為；線段和的數(shù)量關系為；(2)將繞點C逆時針旋轉至圖2所示位置時，（1）中和的關系是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)當繞點C逆時針旋轉過程中．①面積的最大值為；②當三點共線時，線段的長為．【答案】(1)(2)（1）中和的關系仍然成立，見詳解．(3)①②．【分析】（1）先求出，再求出，進而求出，即可得出結論；（2）通過證明，結論仍然成立．（3）①過點C作，并延長，當點轉到延長線上時，的面積最大．②當三點共線時，證明，根據(jù)勾股定理即可解得．【詳解】（1）∵，點分別為邊的中點，∴，∵，∴，∴．（2）∵，，∴，∵∴，∴，∴（1）中和的關系仍然成立．（3）①過點C作，并延長，當點轉到延長線上時，的面積最大，，，∴，②當三點共線時，∵，∴，∴，∴設，，根據(jù)勾股定理得，（舍去），∴【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質，旋轉的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是理解題意，正確尋找相似三角形解決問題．題型三：角度問題1．（2021上·廣東廣州·九年級廣州市第二中學校考期中）如圖，在中，，，將繞點B按逆時針方向旋轉，得到，連接，交于點F．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)條件證出，即可得證．（2）根據(jù)條件求出的度數(shù)，然后根據(jù)四邊形內角和求出的度數(shù)，最后用的度數(shù)即可．【詳解】（1）解：證明：∵繞點B按逆時針方向旋轉，∴，∴，又∵，∴，在與中，，∴．（2）解：由旋轉可得：，∴．∵，∴，∴．【點睛】本題考查了圖形的旋轉、全等三角形的判定、等腰三角形的性質等知識點，充分利用旋轉性質是解題關鍵．2．（2022上·河北廊坊·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，D為內一點，連接，將繞點A逆時針旋轉，得到，連接．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由旋轉的性質可知，，從而可求，進而可證，即得出；（2）設相交于點F，則．由等邊對等角結合三角形內角和定理可求出，從而可求出，進而可得．【詳解】（1）證明：由題意可知，，∴，即．又∵，∴，∴；（2）解：如圖，設相交于點F，

∴．∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查旋轉的性質，三角形全等的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理等知識．解答此題的關鍵是要明確：①對應點到旋轉中心的距離相等．②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．③旋轉前、后的圖形全等．3．（2022上·河南商丘·九年級統(tǒng)考期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在等邊三角形ABC內部有一點P，，，，求的度數(shù)．針對此問題，數(shù)學王老師給出了下面的思路：如圖2，將繞點A逆時針旋轉60°得到，連結，得到等邊三角形，在中，根據(jù)三角形三邊關系以及勾股定理……請根據(jù)王老師的思路提示，完成本題的解答；（2）類比延伸如圖3，在正方形ABCD內部有一點P，若，試判斷線段PA、PB、PD之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】（1）；（2），理由見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理可得到為直角三角形，且，即可得到∠APB的度數(shù)；（2）把△ADP繞點A順時針旋轉90°得到，根據(jù)旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得，然后求出是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質得出再求出，然后利用勾股定理得出等量代換