動點產(chǎn)生的面積問題

4

【例1】如圖，在AABC中，AB=AC=10,cosB=1,D、E為線段BC上的兩個動點，且DE=3(E在D

右邊)，運動初始時D和B重合，運動至E和C重合時運動終止.過E作EF//AC交AB于F,連結(jié)DF.

(1)若設BD=x,EF=y,求y關(guān)于尤的函數(shù)，并求其定義域；

(2)如果AfiDF為直角三角形，求ASD9的面積.

k

【例2】如圖，點M(-3,m)是一次函數(shù)y=x+l與反比例函數(shù)y=—(左HO)的圖象的一個交點.

x

(1)求反比例函數(shù)表達式；

(2)點P是x軸正半軸上的一個動點，設OP=a(aH2),過點P作垂直于x軸的直線，分別交一次函數(shù)、

反比例函數(shù)的圖象于點A、B,交OP的中點Q作x軸的垂線，交反比例函數(shù)的圖象于點C,AABC與AABC

關(guān)于直線AB對稱.

①當a=4時，求AABC的面積；

②當a的值為時，AAMC與AAMC的面積相等.

【例3】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為(a,3)(其中〃>4),射線OA與反比例函數(shù)y=—

x

12

的圖象交于點P,點B、C分別在函數(shù)y=—的圖象上，且AB//X軸，AC〃y軸.

x

(1)當點P橫坐標為6,求直線AO的表達式；

(2)連結(jié)BO,當AB二BO時，求點A坐標；

(3)連結(jié)BP、CP,試猜想：屋處的值是否隨a的變化而變化？如果不變，求出E3出的值；如果變化，

□AACP°AACP

請說明理由.

【例4】如圖，已知二次函數(shù)y+H+C的圖象經(jīng)過點A(-1,0),頂點為M(1,4),且交于點C.

(1)求二次函數(shù)的解析式，并寫出點C的坐標；

(2)直線y=kx+d經(jīng)過C、M兩點，且與x軸交于點D,若點P是拋物線上的一個動點，請?zhí)骄浚菏欠?/p>

存在這樣的點P,使SAPAB=SM8,如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由.

【例5】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丁=一》2+?！?。經(jīng)過點人(3,0)和點B(2,3),經(jīng)過點A

的直線與y軸的負半軸相交于點C,且tanZCAO=1.

(1)求這條拋物線的表達式及對稱軸；

(2)連結(jié)AB、BC,求/ABC的正切值；

(3)若點D在x軸下方的對稱軸上，當5AABC=5小/時，求點D的坐標.

【練一練】

Im

1.如圖，已知點A(-4,—)>B(-1,2)是一次函數(shù)y=與反比例函數(shù)y=—(加。0,m<0)圖象的

2x

兩個交點，AC_Lx軸于點C,BDJ_y軸于點D.

(1)根據(jù)圖象直接回答：子第二象限內(nèi)，當尤取何值時，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值?

(2)求一次函數(shù)解析式及加的值;

(3)P是一次函數(shù)AB上的一點，連結(jié)PC、PD,若APC4和AP05面積相等，求點P坐標.

2.如圖，在直角坐標系中，拋物線y=ax2-2ax+c與x軸的正半軸相交于點A、與y軸的正半軸相交于

點B,它的對稱軸與x軸相交于點C,且NOBC=/OAB,AC=3.

(1)求此拋物線的表達式；

(2)如果點D在此拋物線上，DF±OA,垂足為F,DF與線段AB相交于點G,且SMDGF:SMFG=3:2,

求點D的坐標.

3.如圖，反比例函數(shù)y=8(尤＞0)的圖象經(jīng)過點A(2布，1),射線AB與反比例函數(shù)圖象交于另一點B

x

(1,a),射線AC與y軸交于點C,ZBAC=75°,ADLy軸，垂足為D.

(1)求左的值；

(2)求tanZDAC的值及直線AC的解析式；

(3)如圖2,M是線段AC上方反比例函數(shù)圖象上一動點，過M作直線軸，與AC相交于點N,連

結(jié)CM,求ACMN面積的最大值.

4.如圖，四邊形OABC是邊長為4的正方形，點P為0A邊上任意一點(與點0、A不重合)，連結(jié)CP,

過點P作PM_LCP交AB于點D,且PM=CP,過點M作MN//OA,交BO于點N,連結(jié)ND、BM,設OP=

t.

(1)求點M的坐標(用含1的代數(shù)式表示)；

(2)試判斷線段MN的長度是否隨點P的位置變化而變化？并說明理由；

(3)當t為何值時，四邊形BNDM的面積最小.

5.如圖，已知拋物線y=—f+bx+c與x軸交于點A和點B(3,0),與y軸交于點C(0,3),P是線段

BC上一點，過點P作PN〃y軸交點N,交拋物線于點M.

(1)求該拋物線的表達式；

(2)如果點P的橫坐標為2,點Q是第一象限拋物線上的一點，且AQMC和APA/C的面積相等，求點Q

的坐標;

6.如圖，已知平行四邊形ABCD的三個頂點A(〃，0)、B(加，0)、D(0,2n)(m>?>0),作平行

四邊形ABCD關(guān)于直線AD的對稱圖形ABXCXD.

(1)若加=3,試求四邊形CGB/面積S的最大值;

(2)若點片恰好落在y軸上，試求的值.

7.問題提出：（1）如圖1,已知AABC,請畫出A45C關(guān)于直線AC對稱的三角形.

問題探究：（2）如圖2,在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,AE=4,AF=2.是否在邊BC、CD上分別存在

點G、H,使得四邊形EFGH的周長最小？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由；

問題解決：（3）如圖3,有一塊矩形板材ABCD,AB=3米，AD=6米，現(xiàn)想從此板材中截出一個面積盡

可能大的四邊形EFGH部件，使/EFG=90°,EF=FG=V^米，/EHG=45°.經(jīng)研究，只有當點