年高考數(shù)學專項題型點撥訓練幾何小題-截面與球【題型一】截面最值【題型二】球截面【題型三】線面垂直型求外接球【題型四】面面垂直型【題型五】任意二面角定球心【題型六】內切球【題型七】棱切球型最值立體幾何的考察主要會以截面、組合體外接球和內切球以及軌跡動點求最值等的形式來考察學生對于空間想象能力的考察，難度不小，一般會出現(xiàn)在選填的壓軸題里，也有可能出現(xiàn)在多選以多個維度去考察。這里主要對各個題型進行總結，需要在掌握題型的基礎上鍛煉自己的空間想象能力。易錯點：線面所成角的最值1.三余弦定理：設為面上一點，過的斜線在面上的射影為，為面上的一條直線，則說明：線面角是斜線與平面內任意直線的所成角的最小值，即線面角是線線角的最小值，又稱最小角定理.2.三正弦定理：設二面角的度數(shù)為，在平面上上有一條射線，它和棱所成角為，和平面所成角為，則說明：二面角是半平面內的一條直線與另一半平面所成線面角的最大值，即二面角是線面角的最大值.例（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知矩形ABCD中，，，將沿BD折起至，當與AD所成角最大時，三棱錐的體積等于（

）A． B． C． D．變式1：（2024·全國·模擬預測）已知長方體中，，，M為上一動點，當AM與所成角為45°時，三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【題型一】截面最值求截面方法：平行線法：（1）利用兩條平行線確定一個平面，（2）一個平面與兩個平行平面相交，交線平行相交線法：兩條相交直線確定一個平面若兩個相交平面中一條直線與棱不平行，則與棱的交點，也在另一個平面內【例1】（多選）（2024·浙江·模擬預測）已知正方體的棱長為2，過棱，，的中點作正方體的截面，則（

）A．截面多邊形的周長為B．截面多邊形的面積為C．截面多邊形存在外接圓D．截面所在平面與平面所成角的正弦值為【例2】（多選）（2024·安徽蕪湖·模擬預測）已知正方體的棱長為2，棱的中點為，過點作正方體的截面，且，若點在截面內運動（包含邊界），則（

）A．當最大時，與所成的角為B．三棱錐的體積為定值C．若，則點的軌跡長度為D．若平面，則的最小值為【例3】（2024·河北·模擬預測）數(shù)學家GeminadDandelin用一平面截圓錐后，在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐側面?截面相切，就可證明圖中平面截圓錐得到的截面是橢圓（如圖稱為丹德林雙球模型）．若圓錐的軸截面為正三角形，則用與圓錐的軸成角的平面截圓錐所得橢圓的離心率為．

【變式1】（多選）（2024·吉林·模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體中，M，N分別是，的中點，為線段上的動點，則下列說法正確的是（

）A．一定是異面直線B．存在點，使得C．直線與平面所成角的正切值的最大值為D．過M，N，P三點的平面截正方體所得截面面積的最大值為【變式2】（23-24高三下·江西·開學考試）在正四面體中，M為PA邊的中點，過點M作該正四面體外接球的截面，記最大的截面半徑為R，最小的截面半徑為r，則；若記該正四面體和其外接球的體積分別為和，則．【變式3】（2024·山東日照·一模）已知正四棱錐的所有棱長都為2；點E在側棱SC上，過點E且垂直于SC的平面截該棱錐，得到截面多邊形H，則H的邊數(shù)至多為，H的面積的最大值為．【題型二】球截面用一個平面去截球，若平面經過球心，所得的截面稱為球的大圓；若平面不經過球心，所得的截面稱為球的小圓。小圓圓心與球心的連線必垂直于小圓面?！纠?】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知一平面截球所得截面圓的半徑為2，且球心到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為．【例2】（2024·陜西西安·三模）如圖，已知球的半徑為，在球的表面上，，連接球心與，沿半徑旋轉使得點旋轉到球面上的點處，若此時，且球心到所在截面圓的距離為，則球的表面積為．

【變式1】（2024·貴州畢節(jié)·一模）如圖所示，圓和圓是球的兩個截面圓，且兩個截面互相平行，球心在兩個截面之間，記圓，圓的半徑分別為，若，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·內蒙古包頭·一模）已知兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在該球面上，若兩個圓錐的高之比為，它們的體積之和為，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·四川成都·模擬預測）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如圖）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《論球與圓柱》中記錄了一個被后人稱作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面積（如上圖，這里的表面積不含底面的圓的面積）.某同學制作了一個工藝品，如下圖所示.該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），即一個球去掉了6個球冠后剩下的部分.若其中一個截面圓的周長為，則該工藝品的表面積為（

）A． B． C． D．【題型三】線面垂直型求外接球線面垂直型：存在一條棱垂直一個底面（底面是任意多邊形，實際是三角形或者四邊形（少），它的外接圓半徑是r，滿足正弦定理）1.模板圖形原理圖1圖22.計算公式【例1】（2024·湖南·二模）如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【例2】（23-24高三下·山西·階段練習）在棱長為4的正方體中，是的中點，是上的動點，則三棱錐外接球半徑的最小值為（

）A．3 B． C． D．【例3】（多選）（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖所示，四面體的底面是以為斜邊的直角三角形，其體積為，平面，，為線段上一動點，為中點，則下列說法正確的是（

）A．與重合時，三棱錐體積最大B．若，則C．當時，D．四面體的外接球球心是，且其體積【變式1】（23-24高三上·浙江寧波·期末）在四面體中，，，且，則該四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【變式2】（多選）（23-24高三上·江蘇·期末）在四棱錐中，平面，，，四棱錐的外接球為球O，則（

）A．⊥ B．C． D．點O不可能在平面內【變式3】（多選）（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）四棱錐的底面為正方形，與底面垂直，，，動點在線段上，則（

）A．不存在點，使得 B．的最小值為C．四棱錐的外接球表面積為 D．點到直線的距離的最小值為【題型四】面面垂直型包含了面面垂直一般情況下，倆面是特殊三角形。垂面型，隱藏很深的線面垂直型，可以對兩平面都用正弦定理來定球心。【例1】（2024·廣東·模擬預測）將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，使得折疊后的立體圖形有外接球，則當此立體圖形體積最大時，其外接球表面積為（

）A． B． C． D．【例2】（2024·福建福州·模擬預測）在矩形中，，將沿對角線翻折至的位置，使得平面平面，則在三棱錐的外接球中，以為直徑的截面到球心的距離為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·湖北恩施·模擬預測）如圖，矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點，且，現(xiàn)將沿AE向上翻折，使點移到P點，則在翻折過程中，下列結論不正確的是（

）

A．存在點P，使得B．存在點P，使得C．三棱錐的體積最大值為D．當三棱錐的體積達到最大值時，三棱錐外接球表面積為4π【變式2】（2024·全國·模擬預測）將菱形沿對角線折起，當四面體體積最大時，它的內切球和外接球表面積之比為．【變式3】（2024·全國·模擬預測）在三棱錐中，，平面平面，，點Q為三棱錐外接球O上一動點，且點到平面的距離的最大值為，則球O的體積為.【題型五】任意二面角定球心1.等邊或者直角：（1）等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過球心；2.直角三角形斜邊中點（外心）做面垂線，必過球心；3.許多情況下，會和二面角結合。【例1】（2024·全國·模擬預測）已知空間四面體滿足，則該四面體外接球體積的最小值為．【例2】（多選）（2024·全國·模擬預測）已知菱形中，，，與相交于點，將沿折起來，使頂點移至點的位置，在折起的過程中，下列結論正確的是（

）A．存在某個位置使得B．當為等邊三角形時，C．當二面角為時，三棱錐外接球表面積為D．設為線段的中點，則三棱錐體積的最大值為【變式1】（2024·浙江·模擬預測）在三棱錐中，，，二面角的平面角為，則三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B．C． D．【變式2】（2022·全國·模擬預測）已知正方形的邊長為2，把沿折起，使點A與點E重合，若三棱錐的外接球球心O到直線的距離為，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．0【變式3】（2022·河南信陽·模擬預測）把沿三條中位線折疊成四面體，其中，，，則四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【題型六】內切球椎體的內切球，多采用體積分割法求解?？勺鋈缦聦Ρ壤斫馊切蝺惹袌A類比：三棱錐【例1】（2024·浙江溫州·二模）如今中國被譽為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構機等國之重器更是世界領先.如圖是某重器上一零件結構模型，中間最大球為正四面體的內切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個球的表面積和為（

）A． B． C． D．【例2】（2024·青海海南·一模）已知球是棱長為2的正方體的內切球，是棱的中點，是球的球面上的任意一點，，則動點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【例3】（2024·安徽池州·二模）已知圓錐的底面半徑為3，其內切球表面積為，則該圓錐的側面積為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·陜西西安·一模）六氟化硫，化學式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結構為正八面體結構，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則該正八面體結構的內切球表面積為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高三下·內蒙古赤峰·開學考試）已知上底面半徑為，下底面半徑為的圓臺存在內切球（與上，下底面及側面都相切的球），則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·湖北·模擬預測）已知四棱錐的底面為矩形，，，側面為正三角形且垂直于底面，M為四棱錐內切球表面上一點，則點M到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【題型七】棱切球型最值【例1】（2024·廣東肇慶·二模）與正三棱錐6條棱都相切的球稱為正三棱錐的棱切球.若正三棱錐的底面邊長為，側棱長為3，則此正三棱錐的棱切球半徑為（

）A． B． C． D．【例2】（2024·廣東珠海·模擬預測）已知正三棱錐的側棱長為，且側棱與正三棱錐的底面所成角的正切值為，則