人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE17.3.2離散型隨機變量的方差第1課時離散型隨機變量的方差學習目標1.理解離散型隨機變量的方差及標準差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題．導語均值是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平，表示了隨機變量在隨機實驗中取值的平均值，在初中我們也對一組數(shù)據(jù)的波動情況作過研究，即研究過一組數(shù)據(jù)的方差．本節(jié)我們將對反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度的數(shù)字特征——方差進行研究．一、離散型隨機變量的方差問題要從甲、乙兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽．根據(jù)以往的成績記錄，應派哪位同學參賽？甲同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)X1的分布列為X15678910P0.030.090.200.310.270.10乙同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)X2的分布列為X256789P0.010.050.200.410.33〖提示〗E(X1)＝8，E(X2)＝8，因為兩個均值相等，所以只根據(jù)均值無法判斷這兩名同學的射擊水平．可以利用樣本方差，它可以刻畫樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性．知識梳理方差：設離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，因為X取每個值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關于取值概率的加權平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度，我們稱D(X)＝(x1－E(X))2_p1_＋(x2－E(X))2_p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱eq\r(DX)為隨機變量X的標準差，記為σ(X)．注意點：一般地，隨機變量的方差是非負常數(shù)．例1(多選)下列說法正確的是()A．離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定B．若a是常數(shù)，則D(a)＝0C．離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離于均值的平均程度D．隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越小〖答案〗BCD〖解析〗隨機變量的方差越小，隨機變量越穩(wěn)定．所以A錯誤．反思感悟方差反應了隨機變量取值的離散程度，方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散．跟蹤訓練1(多選)下列說法中錯誤的是()A．離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值B．離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平C．離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平D．離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值〖答案〗ABD〖解析〗E(X)反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的離散程度．二、方差的計算例2有10張卡片，其中8張標有數(shù)字2,2張標有數(shù)字5，從中隨機地抽取3張卡片，設3張卡片數(shù)字之和為ξ，求E(ξ)和D(ξ)．解這3張卡片上的數(shù)字之和為ξ，ξ的可能取值為6,9,12.ξ＝6表示取出的3張卡片上均標有2，則P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)；ξ＝9表示取出的3張卡片上兩張標有2，一張標有5，則P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)；ξ＝12表示取出的3張卡片上一張標有2，兩張標有5，則P(ξ＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).∴ξ的分布列為ξ6912Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴E(ξ)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝7.8，D(ξ)＝(6－7.8)2×eq\f(7,15)＋(9－7.8)2×eq\f(7,15)＋(12－7.8)2×eq\f(1,15)＝3.36.反思感悟求離散型隨機變量方差的步驟(1)理解隨機變量X的意義，寫出X的所有取值；(2)求出X取每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)計算E(X)；(5)計算D(X)．跟蹤訓練2(1)設離散型隨機變量X的分布列為X1234Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)則D(X)等于()A.eq\f(29,12)B.eq\f(121,144)Ceq\f(179,144)D.eq\f(17,12)〖答案〗C〖解析〗由題意知，E(X)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(29,12)，故D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(29,12)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(29,12)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(29,12)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(29,12)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(179,144).(2)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且eq\i\su(i＝1,4,p)i＝1，則下面四種情形中，對應樣本的標準差最大的一組是()A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2〖答案〗B〖解析〗X的可能取值為1,2,3,4，四種情形的均值E(X)＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都為2.5，方差D(X)＝〖1－E(X)〗2×p1＋〖2－E(X)〗2×p2＋〖3－E(X)〗2×p3＋〖4－E(X)〗2×p4，標準差為eq\r(DX).A選項的方差D(X)＝0.65；B選項的方差D(X)＝1.85；C選項的方差D(X)＝1.05；D選項的方差D(X)＝1.45.所以選項B的情形對應樣本的標準差最大．三、方差的簡單應用例3有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強度如表所示：ξA110120125130135P0.10.20.40.10.2ξB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，ξA，ξB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩(wěn)定程度(哪一個的穩(wěn)定性較好)．解E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可見E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)，故兩種材料的抗拉強度的均值相等，其穩(wěn)定程度材料乙明顯不如材料甲，即甲的穩(wěn)定性較好．反思感悟(1)解題時可采用比較分析法，通過比較兩個隨機變量的均值和方差得出結論．(2)均值體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，有時只比較均值往往是不恰當?shù)模€需比較方差，才能準確地得出更適合的．跟蹤訓練3甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ與η，且ξ，η的分布列為ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3(1)求a，b的值；(2)計算ξ，η的均值與方差，并以此分析甲、乙的技術狀況．解(1)由離散型隨機變量的分布列的性質可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，∴b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(ξ)>E(η)，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術水平都不夠全面，各有優(yōu)劣．1.知識清單：離散型隨機變量的方差、標準差.2.方法歸納：公式法.3.常見誤區(qū)：方差公式套用錯誤.1．已知隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(1,3)，k＝3,6,9，則D(X)等于()A．6 B．9C．3 D．4〖答案〗A〖解析〗由題意得E(X)＝3×eq\f(1,3)＋6×eq\f(1,3)＋9×eq\f(1,3)＝6，D(X)＝(3－6)2×eq\f(1,3)＋(6－6)2×eq\f(1,3)＋(9－6)2×eq\f(1,3)＝6.2．設隨機試驗的結果只有A發(fā)生和A不發(fā)生，且P(A)＝m，令隨機變量X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A發(fā)生，,0，A不發(fā)生，))則X的方差D(X)等于()A．m B．2m(1－m)C．m(m－1) D．m(1－m)〖答案〗D〖解析〗顯然X服從兩點分布，∴D(X)＝m(1－m)．3．設隨機變量X的分布列為X123Peq\f(1,2)xy若E(X)＝eq\f(15,8)，則D(X)等于()A.eq\f(33,64)B.eq\f(55,64)C.eq\f(7,32)D.eq\f(9,32)〖答案〗B〖解析〗由隨機變量分布列的性質得x＋y＝eq\f(1,2)，①由E(X)＝eq\f(15,8)，得1×eq\f(1,2)＋2x＋3y＝eq\f(15,8)，即2x＋3y＝eq\f(11,8)，②由①②，解得x＝eq\f(1,8)，y＝eq\f(3,8)，∴D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(15,8)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(15,8)))2×eq\f(1,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(15,8)))2×eq\f(3,8)＝eq\f(55,64).4．已知離散型隨機變量X的分布列如表所示，若E