延慶區(qū)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中試卷高二數(shù)學(xué)2024.11本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.已知向量且，那么（）A.B.6C.9D.183.在空間直角坐標系中，點關(guān)于坐標平面的對稱點為（）A.B.C.D.4.設(shè)分別是空間中直線的方向向量，則直線所成角的大小為（）A.B.C.D.5.過和兩點的直線的傾斜角是（）A.B.1C.D.6.“”是“直線與平行”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7.在平行六面體中，，點在上，且，則（）A.B.C.D.8.已知正方體的棱長為為的中點，則到平面的距離為（）A.B.C.D.9.在正方體中，點是線段上任意一點，則與平面所成角的正弦值不可能是（）A.B.C.D.10.已知點，直線，若直線上至少存在三個，使得為直角三角形，直線傾斜角的取值范圍是（）A.B.C.D.第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.復(fù)數(shù)，則__________.12.已知點，點在線段上，且，則點坐標為__________.13.若平面，平面的法向量為，平面的法向量為，寫出平面的一個法向量__________.14.已知點，直線與線段無交點，則直線在軸上的截距為__________；的取值范圍是__________.15.如圖：在直三棱柱中，，.記，給出下列四個結(jié)論：①存在，使得任意，都有；②對于任意點，都不存在點，使得平面平面；③的最小值為3；④當(dāng)取最小時，過點作三棱柱的截面，則截面周長為.其中，所有正確結(jié)論的序號是__________.三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.（本小題13分）已知的頂點坐標為.（1）求過點且與直線平行的直線的方程；（2）求邊上的中線所在直線的方程；（3）求邊上的高所在直線的方程.17.（本小題14分）如圖，在三棱柱中，底面是的中點，且.（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若，求平面與平面所成角的余弦值.18.（本小題14分）設(shè)的內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）從下列三個條件中選擇一組作為已知，使存在且唯一，并求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件使不存在或不唯一，第（2）問得0分.19.（本小題14分）已知函數(shù)，且的圖像過點.（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)在上與直線有交點，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值及此時的值.20.（本小題15分）如圖，已知四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，平面是正三角形，分別為的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離；（3）線段上是否存在點，使得三棱錐的體積為，若存在，求的值；若不存在，說明理由.21.（本小題15分）給定正整數(shù)，設(shè)集合.對于集合中的任意元素和，記.設(shè)，且集合，對于中任意元素，若則稱具有性質(zhì).（1）判斷集合是否具有性質(zhì)，集合是否具有性質(zhì)；（直接寫出答案，結(jié)論不需要證明）（2）判斷是否存在具有性質(zhì)的集合，并加以證明；（3）若集合具有性質(zhì)，證明：.延慶區(qū)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)參考答案及評分標準2024.11一?選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.D2.A3.B4.C5.D6.C7.A8.B9.A10.B二?填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.12.13.（不唯一，共線即可）14.，（注：第一問3分，第二問2分）15.①③④（注：對一個2分，兩個3分，有選錯0分）三?解答題（共6小題，共85分）16.（共13分）解：（1）直線的斜率過點且與直線平行的直線的斜率為過點且與直線平行的直線方程為（2）設(shè)邊的中點為，因為，所以點的坐標為，即，所以邊的中線所在直線方程為（3）因為，所以邊的高線所在直線的斜率為，因此邊的高線所在直線方程為.17.（共14分）（1）證明：連接，設(shè)，連接，由為三棱柱，得.又是的中點，所以是的中位線，.平面平面，平面；（2）解：底面，以為原點，的方向分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設(shè)平面的法向量為由，得；設(shè)直線與平面所成角為.則.直線與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)平面與平面所成角為為銳角，平面的法向量為，，平面與平面所成角余弦值為.18.（共14分）解：（1），由正弦定理得，在中，，，.（2）若選①，由余弦定理，得，解得.若選③，由正弦定理可得：選擇②，面積公式2分；余弦定理2分.不超過4分.19.（共14分）解：（1）由題意，，解得.，，，的最小正周期；的單調(diào)減區(qū)間為（2）函數(shù)在區(qū)間上與直線有交點所以，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，又因為所以，解得.實數(shù)的取值范圍是.（3）當(dāng)時，取最大值當(dāng)時，取最小值所以，當(dāng)時，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，20.（共15分）（1）證明：因為是正三角形，是的中點，所以.又因為平面平面，平面，所以面；解：（2）因為兩兩互相垂直.以點為原點，的方向分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.則，設(shè)平面的法向量為，由，得，點到平面的距離（3）設(shè)所以點到面的距離為定值.，解得：或.21.（共15分）（1）集合具有性質(zhì)，集合B不具有性質(zhì).（2）當(dāng)時，集合A中的元素個數(shù)為4.由題設(shè).假設(shè)集合A具有性質(zhì)，則①當(dāng)時，，矛盾.②當(dāng)時，，不具有性質(zhì)，矛盾.③當(dāng)時，.因為和至多一個在A中；和至多一個在A中；和至多一個在A中，故集合A中的元素個數(shù)小于4，矛盾.④當(dāng)時，，不具有性質(zhì)，矛盾.⑤當(dāng)時，，矛盾.綜上，不存在具有性質(zhì)的集合.（3