第06講第四章三角函數(shù)（章節(jié)突破）（19題新題型）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.（23-24高一下?江西贛州?期中）把快了10分鐘的手表校準后，該手表分針轉過的

角為（）

A.--B.-C.--D.-

3366

【答案】B

【分析】手表分針旋轉為順時針，但快了10分鐘校準就需要逆時針旋轉，角度為為一

圈的1

6

【詳解】分針旋轉為順時針，但快了10分鐘校準就需要逆時針旋轉，角度為為周角的

六分之一，

1TT

所以該手表分針轉過的角為：）x2兀=￡

63

故選：B.

2.（23-24高一下?河南洛陽?期末）已知角。的頂點在坐標原點，始邊在x軸非負半軸

上，點尸（-6,-8）為角。終邊上一點，貝ljcosa=（）

A.1B.-1C.』D.-3

5555

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可求cosa的值.

,、63

【詳解】因為點尸（-6,-8）為角a終邊上，故cosa=-而壽

故選：D.

3.（23-24高一下?江蘇淮安■階段練習）化簡sinl67-cosl70+sinl03°sinl63°=（）

A.B.4C.sin4°D.cos4°

22

【答案】B

【分析】根據(jù)誘導公式結合兩角和差公式公式運算求解.

【詳解】因為sin167°=sin（180°-13°）=sin13°,sinl03°=sin（900+13°）=cos130,

sin163°=sin（180°-17°）=sin17°,

所以sin167°cos17°+sin103°sin163°=sin13°cos17°+cos13°sin17°

故選：B.

4.（2024?江蘇無錫?模擬預測）將函數(shù)/"）=劍]的+名（0>0）的圖象向右平移;個

單位后，所得圖象關于y軸對稱則。的最小值為（）

A.2B-C.WD.以

3333

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)1=4疝（5+夕）的圖像變換規(guī)律得到y(tǒng)=sin[0x-：0+g],由正弦函

數(shù)的對稱性可得j-^=|+far,從而求得。的最小值.

717r71210

則5T=萬+板…丁4MZ,又因為0>0,則當左=-1時，0ml"十

故選：C

71-，則(71

5.（23-24高一下?江蘇南京?階段練習）已知cosasin2a+%)=()

~~6

AcTD

-4B-i-1

【答案】A

jrjr

【分析】因為2a+￡=7-2結合誘導公式以及倍角公式運算求解.

62

JTTT

【詳解】因為2a+z=7-2

o2

71

所以sin（2cr+《=sin--2=cos22cos21=

244

故選：A.

6⑵-24高一下?四川?期末）要得至呵數(shù)-矍°s"的圖象’只需將函數(shù)

y=cos2%-sin2%的圖象（）

5兀

A,向左平移一個單位長度B.向右平移亍個單位長度

60

5兀

C.向左平移25兀個單位長度D.向右平移二個單位長度

【答案】D

【分析】首先利用兩角差的正弦公式及二倍角公式將函數(shù)化簡，再結合三角函數(shù)的平移

規(guī)則判斷即可.

【詳解】因為yfn2x-日

cos2x=sin2x~~,

I3j

71

y=cos2x-sin2x=cos2x=sin2x+—,

2

5兀

所以將y=cos2x-sm2x向右平移,個單位長度得到

5兀71

y=sin2x+—=sin2f,故D正確;

122

若將y=cos2x-sin2x向左平移57?r個單位長度得到

0

y=sin|21尤+著］+、71=sin［2x+《71］,故A錯誤;

26

若將y=cos2x-sin2x向右平移蘭個單位長度得到

O

5兀71

=sin2x+工=sin，故B錯誤;

26

若將y=cos2x-sin2x向左平移三個單位長度得到

y=sin2（尤+]=$也（2無+與），故C錯誤;

故選：D

7.（23-24高一下?貴州六盤水?期末）己知

cos（a+'）=g,cos（a-￡）=ew（0,曰，則tana+tan￡的值為（）

A.—B.亞C.還D.4A/6

333

【答案】B

【分析】利用余弦的兩角和差公式和切化弦思想，即可求出結果.

【詳解】由已知得：cos(a+/7)=gncosacosy0-sinesin/?=g；

cos(a-￡)='|=>cosacos尸+sinasin〃=-1；

3

兩式相加得：COS6ZCOS/?=—,

cos嗚，上嗚,

sin（6z+/?）=^1-cos2（6Z+/?）=

2A/6

*2八sinasin/?sin（a+⑶54A后

cos6Zcos/?coscrcos/?3

10

故選：B.

8.（23-24高三上?江蘇南京?期中）已知函數(shù)〃x）=sin[2x+￡）,g（x）=dx+：）,若

對任意的a,6?兀一加,問,當時，f(。)-f(,<g(a)-g(6)恒成立,則實數(shù)小的取值范

77119兀7兀17K

C.五'五D.五'五

【答案】B

【分析】將問題轉化為對任意的［兀-加,何，當時a>〃時，/(?)-/(/?)<g(a)-g(Z?)

恒成立，不妨設2x-1=r,將問題轉化為/i?)=sin/在單調遞減，再結合利用正弦函數(shù)的性

質求出的取值范圍.

【詳解】g(x)=/(x+3=sin[2x+]+胃Kos'x+'j,

所以/(a)-70)<g(a)—g。)得

sin(2a+聿]-sin(26+<cos(2a+^J-cos126+0.

進而sin(2a+0-cos(2a+《J<sin(2b+0-cos(26+《J,

故后sin12a+<應sin(2b+￡-：]nsin(2a-1]<sin(26一1],

由于對任意的。力€[兀-m,77?],當〃>萬時，

/(a)-/e)<g(a)-g㈤恒成立,

23KCC兀

2x-*e-------2m,2m------

1212

瓦--2九2加-行■)單調遞減,

不妨設2x-『方，則問題轉化成/i")=sim在/￡

23萬_7i_.

-----2m2—卜2ki

122

2根—二(四+2%〃其中左cZ,—.

所以

122224

2吁工〉也-2加

1212

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.（23-24高一下?遼寧葫蘆島?期末）設a￡（0,兀），已知sina,cosa是方程3/一工一加=（）

的兩根，則下列等式正確的是（）

A.一B.sin?-cos?=^

33

7

C.tana=—D.COS26Z-sin26Z=-

139

【答案】BD

,1

sina+cosa=-

3

【分析】由韋達定理有,由

.m

sina-COS6T=----

3

(sintz+coscz)2=sin2a+2sinacosa+cos2a,求出加的值判斷選項A；由

(sincif-cosa)2=sin26Z-2sin6r-cosa+cos2cr,計算判斷選項B；由sina,cosa的值，計算tana

判斷選項C；由cos2l-sin2a=（cosa+sin0（cosa—sina）計算結果判斷選項D.

,1

sma+cos。=—

3

【詳解】sina,cosa是方程3/一無一機=。的兩根，則有，

.m

sina?cosa=----

3

由(sina+coscjf)2=sin2a+2sina-cose+cos2a,

得：=1-?，解得，"=1,A選項錯誤;

m4

a￡(0,兀)，有sina>0,由sino-cosa=一--<0,有cosavO,

3

(sina-cosaY=sin2cr-2sincr?coscr+cos26Z=1+—=—

v799

由sina—cose>0,所以sina-cosa=-----，B選項正確;

3

.11+屈

sma+cosa=—S1H6Z

3-6sin。9+717

由?r—得《,—，tana--------=C選項錯誤;

,V171-V17COS6Z8

sin。-cos。=---

1316

cos2a-sin2tz=(cosa+sina)(cosaD選項正確.

故選：BD.

10.(23-24高一下?江蘇鹽城?期末)若函數(shù)〃尤)=cos2x+|sinx|,則()

A.函數(shù)“X)的一個周期為兀B.函數(shù)“X)的圖象關于>軸對稱

C.函數(shù)/(”在區(qū)間(弓段］上單調遞減D.函數(shù)/(月的最大值為2,最小值為0

【答案】ABC

【分析】A選項，根據(jù)〃》+兀)=/(￡)作出判斷；B選項，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義作出

判斷；C選項，當xe(*3時，.V化簡得到“力=一2、1!無一；［+|,由復

合函數(shù)同增異減得到函數(shù)的單調性；D選項，先求出xe時，/(無)=一2卜in尤-;J+：,

得到最值，結合函數(shù)的周期性和奇偶性得到答案.

【詳解】A選項，/(x+7C)=cos(2x+27i)+|sin(x+7c)|=cos2x+|sinx|=/(x),

故/(%)的一個周期為兀，A正確；

B選項，/(x)=cos2x+binx|定義域為R,

f(-x)=cos(-2x)+|sin(-x)|=cos2x+卜in,

故函數(shù)八X)的圖象關于y軸對稱，B正確；

C選項，當時，sinx￡(g,l］,y=sin尤在上單調遞增，

1丫9

故/(%)=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1=-2smx——+一，

4J8

由于y=-￡|2+：在fe,J上單調遞減，

由同增異減，可知/(X)在區(qū)間上單調遞減，C正確；

TT時，sinxG[0,1],/(%)=-2卜in%-；1+(,

D選項，當xe0,-

iQ

當sinx=(時，/(x)取得最大值，最大值為:，

當sin尤=1時，/(x)取得最小值，最小值為0,

又的圖象關于,軸對稱，“X)的一個周期為無，

故/(X)在R上的最大值為3,最小值為0,D錯誤.

故選：ABC

11.(23-24高一下?遼寧?期末)已知函數(shù)/■(x)=sin(s+e)，＞0,附〈鼻的最小正周

期為4,在-gj”eR)上單調遞增，且/卜￡|=-1()

【答案】BC

【分析】根據(jù)最小正周期求出。，再由求出。，即可得到函數(shù)解析式，從

而判斷A、B；由x的范圍求出］的范圍，結合正弦函數(shù)的性質求出r的范圍，即可判

斷C,最后求出，j、f(6),從而判斷D.

【詳解】因為函數(shù)仆)=5畝3+山＞0,閹＜今)的最小正周期為4,

所以丁二」=4,解得。=?，故A錯誤；

G)2

所以/(x)=sin(5x+9j,X/^-1^=sin|^-^+^=-l,

所以一四+9=-二+2防1,keZ,則0=一百+2far,keZ,又憫＜,71

623

所以。=-1，故B正確；

所以〃x)=singx-T,

_1_.7L兀7T7U7T._,._/\,.1

又xe，則不入一弓￡,因為/(%)在一,，f(reR)上單調遞增,

-

所以7:3?，解得1一5故C正確;

t>——3)

I3

=sin工=3/(6)=sinx6-gj=sin1=乎，

因為了

32

所以/f(6),故D錯誤.

故選：BC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2

12.(23-24高二上?江蘇南京?階段練習)求值：sm46°-73cos74°=

cos16°

【答案】1

【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導公式及和角的正弦公式計算即得.

［詳解］「"式2sin460-y/3sin16°2sin(16°+30°)->/3sin16°cos16°1

cos16°cos16°cos16°

故答案為：1

13.(23-24高一下?湖南衡陽?期末)若函數(shù)/(無)=AsinM+e)(A>O,0>O,O<e音)的

部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式/(》)=

【分析】根據(jù)給定的圖象，結合五點法作圖方法求出解析式.

【詳解】由圖象知，4=2,函數(shù)Ax)的周期7=%3)=無，因止匕。=攀=2,

X/(—)=2,貝!|2'6+9=:+2配水eZ,而于是％=0,°=[,

所以函數(shù)的解析式/(%)=2sin(2x+g).

jr

故答案為：2sin(2x+—)

14.(23-24高一下?遼寧葫蘆島?期末)2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會標

如圖1所示，它是由4個直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若圖2中直角

三角形的兩銳角分別為d"，大正方形的面積為25,小正方形的面積為1,則

cos(a-,)=.

圖1圖2

24

【答案】—/0.96

25

【分析】根據(jù)給定的圖形，利用直角三角形邊角關系得

5cosa-5cos￡=l,5sin￡-5sina=l,再利用同角公式及差角的余弦公式求解即得.

【詳解】依題意，大正方形的邊長為5,小正方形的邊長為1,

結合圖形知，5cosa-5cos尸=l,5sin￡-5sina=l,即cose-cos夕=",sinA-sina=(,

兩式平方相加得(cosa-cos￡)2+(sin￡-sina)2=f+g，

224

即2-2(cosacos力+sinasin/3)=—,所以cos(c-￡)=—.

24

故答案為：—.

四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，

共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本題滿分13分)(23-24高一上?云南昆明?期末)如圖，圓。與x軸的正半軸的

(卡2J5}

交點為A,點CB在圓。上，且點C位于第一象限，點B的坐標為七，七,ZAOC^a,

5

I5>

△BOC為正三角形.

sin(兀-cr)sin(^-+(7Isin^-a

（2）化簡2，并求值.

COS(2K-a)cos(n+a)

【答案】

26-岳

(2)sina；

10

zy<-zyzy171

【分析】（1）利用三角恒等變換得到cos?'-逐sin,cos5-]=cosoc~,數(shù)形結

合，由三角函數(shù)的定義求出答案;

sin(7i-a)sin[T+0卜in

（2）利用誘導公式化簡得到sina，湊角法，結合

cos(2兀-a)cos(兀+a)

71乎得到答案.

cos6Z+-,sinl6Z+—

一5

l+coscrv3.1

【詳解】(1)cos2--^sin-cos---------------------sma——

2222222

1V3

=—coscr-s-i-n--a-=cosa+—,

22I3j

由圖知：角a+三TT對應的終邊為。8,因為點3的坐標為

71

所以圓。為單位圓，由三角函數(shù)定義得cos6Z+-

一5

..7T.3兀

/、sin(7i-a)sin(—+a)sin(---a)./、

(2)22_sincr-cosa?(-cosa)_s^na.

COS(2K-a)cos(7i+a)cosa?(—cosa)

71717171.71

其中sina=sina-\--=--s-i-n[a+三cos——cosa+—sin—,

33333

25/5

由（1）知:cosa+—5,sina+—

I35I35

所以sina=述」一旦且=拽一岳

525210

16.（本題滿分15分）（23-24高一下?內蒙古通遼?期末）已知函數(shù)丁=4皿（5+9）

A>O,0>O,O<O<]的圖象如圖所示.

(1)求這個函數(shù)的解析式;

JTJT

(2)求函數(shù)在區(qū)間「歷上的最大值和最小值，并指出取得最值時的x的值.

【答案】(l)y=2sin12x+W

(2?=唱時，函數(shù)取得最大值0；x=q時，函數(shù)取得最小值為-2.

7T

【分析】(1)由圖象觀察可知A,由圖可得函數(shù)的周期，由周期可求出。，由點(二,2)

6

在函數(shù)圖象上，結合"的范圍求出。的值，即可求解;

715兀

(2)由己知可求2x+：e--,0,利用正弦函數(shù)的圖象與性質即可求解.

6O

【詳解】(1)由圖象知，函數(shù)的最大值為2,最小值為-2,

rT兀兀

.*2,Xv-=-41

2兀

---=7T

T=71,l?lG=2.

函數(shù)的解析式為y=2sin(2x+°).

,??函數(shù)的圖象經過點GJT，2),

6

二.2sin(：+0)=2,

sin[夕+]=1,

又T7,,?c0＜夕＜7兀，:.＜p=-兀

2o

故函數(shù)的解析式為y=2sin(2x+“J.

兀71

(2)1,1尤e

212

,7157r

2x+—G一石‘°?

6

于是，當2X+F=0,即方-匚時，函數(shù)取得最大值0；

612

當2無+夕=-，即--9寸，函數(shù)取得最小值為-2.

623

17.(本題滿分15分)(23-24高一下?河北張家口?期末)己知函數(shù)

/(x)=cos4cox-2sin(wxcosa)x-sin4a>x(a>>0)的最小正周期T=n.

(1)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；

(2)當xe［0,爭5兀時，討論方程/(X)+1=加根的個數(shù).

O

5冗JT

【答案】(1)［—■—+kit,——+lai］(kGZ)；

oo

(2)答案見解析.

【分析】(1)利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)”x),求出。，進而求出單調遞

增區(qū)間.

5兀

(2)探討函數(shù)〃力在［0,9］上的性質，分離參數(shù)，利用數(shù)形結合法求出直線y=與

O

5兀

函數(shù)y=在［0,—］上的圖象交點情況即可.

O

【詳解】(1)依題意，

/(x)=cos2cox-sin2&x—2sinGXCOSCDX=cos2a)x-sin2a)x=^2COS(2GX+-),

4

由7=——，T=7t,得0=1,/(X)=72COS(2X+-),

2a)4

7157171

由一7i+2kit<2xH—W2kii,kwZ,-----Fku?%?---1-kit,左￡Z,

488

57r7T

所以函數(shù)/(X)的單調遞增區(qū)間為［-丁+析廠石+版］伏eZ).

OO

(2)當xeL0,當時，2x+?eJ為，余弦函數(shù)y=cosx在。,同上單調遞減，在比芻

844242

上單調遞增，

47r3TTSir

則函數(shù)/⑺在［0,由上單調遞減，函數(shù)值從1減小到-血；在上單調遞增，函

OOO

數(shù)值從-0增大到0,

方程/(X)+1=rno/(x)=m-l,

因此方程f(x)+l=加的根即直線y=%-1與函數(shù)>=/(尤)在［0,59兀］上的圖象交點的橫

O

坐標，

在同一坐標系內作出直線>=機-1與函數(shù)y=/(x)在［0,59兀］上的圖象，

O

觀察圖象知，當加-1<-忘或即機<1-應或心2時，直線y=，"T與函數(shù)

>=/(尤)在［。,95兀］上的圖象無交點；

O

當〃?-1=-e或0<7九一141，即加=1-后或1<Y2時，直線y=mT與函數(shù)y=/(無)

在［0,59兀］上的圖象有1個交點；

O

__57r

當一0〈根一"0,即1-夜<加VI時，直線丫=相-1與函數(shù)y=/(x)在。上的圖象

O

有2個交點，

所以當機<1-夜或加>2時，方程根的個數(shù)為0；

當機=1-應或1<"*2時，方程根的個數(shù)為1；

當1-亞<山41時，方程根的個數(shù)為2.

18.(本題滿分17分)(23-24高一上?天津?期末)已知

/⑻=sin26-(2-”2)(sin，-cos6*)+8.

⑴當機=1時，求的值;

(2)若/⑻的最小值為7-3應，求實數(shù)機的值；

(3)對任意的公徑兀］,不等式.ML-“8)恒成立.求加的取值范圍.

<4)sin，-cos，

【答案】(1J7+收

2

(2)根=5或機=-1

(3)/+2,+8

I6)

【分析】(1)利用輔助角公式，化簡函數(shù)，再代入求/［展)；

(2)首先設f=sin8-cos。，利用三角恒等變換，將函數(shù)表示成關于f的二次函數(shù)，討

論對稱軸，結合定義域求函數(shù)的最小值，列式求解加；

(3)根據(jù)(2)的結果，不等式參變分離為“一2>'+g］,在小(0,忘］恒成立，轉

t

化為判斷函數(shù)的單調性，求函數(shù)的最值，即可求解加的取值范圍.

【詳解】(1)/(e)=sin2e-(2-m)(sine-cose)+8=sin2e-A/^(2-Msin，一：1+8,

當機=1時，/^^=sin^-A/2sin^-^+8=1--72sin^-^+8

」+昌巴+8二^g

262

(2)設％=sin8-cos8=V^sin/—a)，貝lj，￡,2sin^cos^=—t2+1,

=2(0=~t2-(2-m)r+9,/e［-AV2］,其對稱軸為+

當一l+葭20,即機22時，的最小值為。卜0)=7+20-血血=7-30，貝ij祖=5；

當—1+￡<0,即機<2時，/蚪)的最小值為Q(0)=7—20+血相=7—30；貝1］根=—1；

綜上，根=5或機=-1；

(3)由.8：T6>/⑻,對所有Me但力都成立.

SH1夕一COS。<4)

設/=sinS—cos。=V5sin,—：］,則/￡僅，拒］,

所；16>一產一(2—根"+9,?￡僅,31恒成立,

..?8—產〉0,???加—2，+田］，在/￡(0,收］恒成立，

t

_L

當代倒，行］時，g一遞減，則'+瓦］在(o,拒］遞增，

：.t=4i時'+環(huán)取得最大值逑

7T6

TYI—2>—yf2,,「.相>—^2,+2

66

(75\

所以存在符合