試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)2020-2021學(xué)年福建省龍巖市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，，則復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】因?yàn)?，所?復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選：A.2．設(shè)是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則向量可作為基底的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】逐項(xiàng)判斷向量是否共線，若不共線，則可以作為基底【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)?，所以共線，所以不能作為基底，所以A不合題意；對(duì)于B，因?yàn)?，所以共線，所以不能作為基底，所以B不合題意；對(duì)于C，若共線，則存在唯一實(shí)數(shù)，使，即，所以且，所以不存在，所以不共線，所以可以作為基底，所以C符合題意；對(duì)于D，因?yàn)?，所以共線，所以不能作為基底，所以D不合題意，故選：C3．新中國(guó)成立以來(lái)，我國(guó)共進(jìn)行了次人口普查，這次人口普查的城鄉(xiāng)人口數(shù)據(jù)如下圖所示．根據(jù)該圖數(shù)據(jù)判斷，下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）A．鄉(xiāng)村人口數(shù)均高于城鎮(zhèn)人口數(shù)B．城鎮(zhèn)人口數(shù)達(dá)到最高峰是第次C．和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最大的是第次D．和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最小的是第次【答案】A【分析】結(jié)合信息圖，逐項(xiàng)分析即可.【詳解】A：因?yàn)?020年城鎮(zhèn)人口高于鄉(xiāng)村人口，故A錯(cuò)誤；B：因?yàn)槌擎?zhèn)人口數(shù)達(dá)到最高峰是2020年，即第7次，故B正確；C：第二次和第一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為；第三次和第二次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為；第四次和第三次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為；第五次和第四次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為；第六次和第五次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為；第七次和第六次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為；所以和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最大的是第次，故C正確；和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最小的是第次，故D正確.故選：A4．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求出角，然后結(jié)合正弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，結(jié)合正弦定理，即，解得，故選：B.5．已知圓柱的側(cè)面積為，體積為則該圓柱的軸截面的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面積與體積公式，解得底面半徑及高，即可得到圓柱的軸截面面積．【詳解】設(shè)圓柱底面圓半徑為，高為，則由題意得到，解得，所以圓柱軸截面為正方形，此圓柱的軸截面正方形的面積為故選：．6．若是兩個(gè)不重合的平面，是三條不重合的直線，則下列命題中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，且，則D．若，則【答案】D【分析】結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)判定，可以利用定理推理，也可以使用反例排除.【詳解】對(duì)于A，，的位置關(guān)系無(wú)法確定；對(duì)于B，兩個(gè)平面平行，需要一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交線平行于另一個(gè)平面，顯然不滿足；對(duì)于C，線面垂直需要直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，缺少相交的條件；對(duì)于D，，，所以，因?yàn)?，所以；故選：D.7．已知菱形，且，則的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件得出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再得出向量的坐標(biāo)，由向量的夾角公式可得答案.【詳解】在菱形中，設(shè)交于點(diǎn)，分別以為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.由，則由，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以則所以故選：D8．現(xiàn)有個(gè)相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字，從中有放回的隨機(jī)抽取兩次，每次抽取一個(gè)球，記：事件表示“第一次取出的球數(shù)字是”，事件表示“第二次取出的球數(shù)字是”，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和為”，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和為”，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．事件和事件相互獨(dú)立 B．事件和事件相互獨(dú)立C．事件和事件相互獨(dú)立 D．事件和事件相互獨(dú)立【答案】C【分析】首先求出然后求出進(jìn)而根據(jù)事件獨(dú)立的概率乘法公式即可判斷.【詳解】因?yàn)楣适录褪录嗷オ?dú)立故選：C.二、多選題9．設(shè)為復(fù)數(shù)，則（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若滿足，則的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：因?yàn)闉閺?fù)數(shù)，對(duì)于A：若，則為實(shí)數(shù)，所以，故A正確；對(duì)于B：若，即，即，顯然當(dāng)時(shí)，上式也成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由，則，，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以，則，因?yàn)?，所以，故D正確；故選：ACD10．已知正四面體的棱長(zhǎng)為分別為的中點(diǎn)．下列說(shuō)法正確的有（）A．B．異面直線與所成角的余弦值為C．該正四面體的體積為D．該正四面體的內(nèi)切球體積為【答案】ABD【分析】由正四面體性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng)，即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，由于正四面體的相對(duì)棱互相垂直可知，,則，故A正確；對(duì)于B,取中點(diǎn),連接,由，可知異面直線與所成角即為,在中，,由余弦定理計(jì)算可得，故B正確；對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)作面于點(diǎn),由正四面體性質(zhì)可知，為的中心，計(jì)算可得，,該正四面體的體積為,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D，設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為，由等體積可知，,該正四面體的內(nèi)切球體積為，故D正確.故選：ABD.11．在平行四邊形中，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是【答案】BC【分析】用為基底向量，將向量分別表示出來(lái)，由向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合的范圍可得答案.【詳解】所以由，則所以的最小值是，最大值為10.故選：BC.12．在中，角對(duì)邊分別為，設(shè)向量，且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C． D．若的面積為，則【答案】BC【分析】根據(jù)向量平行得到，結(jié)合余弦定理轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而利用正弦定理得到，化簡(jiǎn)整理即可判斷A、B選項(xiàng)；利用正弦定理及二倍角公式將轉(zhuǎn)化為，然后求出角A的范圍，進(jìn)而求出值域即可判斷C選項(xiàng)；利用，結(jié)合正弦定理及二倍角公式化簡(jiǎn)整理可求得角，進(jìn)而可以求出角，從而可以判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，即，結(jié)合余弦定理得，，，再結(jié)合正弦定理得，，又因?yàn)?所以，，，，所以，故，所以B正確，A錯(cuò)誤；，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，因此，故C正確；因?yàn)?，結(jié)合正弦定理，即，則,,，，則，或，故或，故或，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題13．已知向量，若，則________________________．【答案】【分析】先求出，利用向量垂直，列方程求出.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得?故答案為：14．記一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，且，則_______________________．【答案】【分析】將展開(kāi)，重新分組結(jié)合和條件可得答案.【詳解】所以故答案為：415．已知圓的弦的長(zhǎng)度為，則________________________．【答案】【分析】利用平面向量的數(shù)量積的幾何意義求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)橄业拈L(zhǎng)度為，所以，所以，故答案為：616．已知三棱錐，側(cè)面底面，則_____________________．，三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_______________________．【答案】【詳解】解：（1）取BC中點(diǎn)D，連接PD，AD.由題知，和均為正三角形且邊長(zhǎng)為，故.面PBC面ABC，由面面垂直的性質(zhì)知PD面ABCAD面ABC，在Rt中，.（2）設(shè)三棱錐P-ABC的外接球球心為O，故O到面ABC和面PBC的射影均為和的中心E、F，即四邊形OFDE為正方形，在中，,則球的表面積.故答案為：.四、解答題17．已知復(fù)數(shù)．（1）若，求；（2）求的最小值．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）由，解出方程得到答案.（2）由可得其最小值.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，所以或．?）所以時(shí)，的最小值為18．如圖，是圓錐的頂點(diǎn)，是底面圓的直徑，為底面圓周上異于的點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面（2）若圓錐的側(cè)面積為，且，求該圓錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）由底面圓得到，再證明出即可證明平面，利用面面垂直的判定定理即可證明平面平面（2）利用圓錐的側(cè)面積為，且，計(jì)算出，直接求出體積即可.【詳解】（1）由圓錐的性質(zhì)可知，底面圓∵在底面圓上，∴，∵在圓上，為直徑，∴，又點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，∴∴又，且平面，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）∵，∴，∴底面周長(zhǎng)為，∴，∴．19．為了解某班級(jí)學(xué)生期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)情況，抽取該班名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出其頻率分布直方圖（如圖），已知從左到右各長(zhǎng)方形高的比為．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算抽取的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和第百分位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；（2）若從分?jǐn)?shù)在和的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩位同學(xué)，求抽取的兩位同學(xué)中至少有一位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘母怕剩敬鸢浮浚?）平均數(shù)為；第百分位數(shù)為；（2）．【分析】（1）由頻率的比例關(guān)系及它們的和為1求出各區(qū)間的頻率，再根據(jù)直方圖求平均數(shù)、第百分位數(shù)即可；（2）確定、區(qū)間的人數(shù)，從中隨機(jī)抽取兩位同學(xué)寫出所有可能組合，再確定兩位同學(xué)中至少有一位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘慕M合，求古典概型的概率即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖中，高的比就是頻率的比，∴各區(qū)間上的頻率可依次設(shè)為且，故各區(qū)間上的頻率從左往右依次為：，∴平均數(shù)為：，假設(shè)第百分位數(shù)為，則，解得；∴所求平均數(shù)為，第百分位數(shù)為．（2）由（1）知，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诠灿腥?，分別記為；數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诠灿腥?，分別記為，從這6人中隨機(jī)抽出兩位同學(xué)的樣本空間，故，記事件表示“至少有一位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)凇眲t，故，∴至少有一位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)的概率為.20．在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問(wèn)題．在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足，平分交于點(diǎn)且，求的面積．【答案】選擇見(jiàn)解析；．【分析】若選①，由正弦定理可得，化簡(jiǎn)得，從而可得，進(jìn)而可得，若選②，由正弦定理得，而，化簡(jiǎn)可得，從而可求出，由可得，由余弦定理可得，則有，求出，從而可求出三角形的面積【詳解】解：若選①，由正弦定理，得．由，得，由，得，所以，所以．又，得．若選②，因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，，所以，所以．因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得①，由余弦定理得，所以，所以②，聯(lián)立①②化簡(jiǎn)得，所以，解得或（舍去），又因?yàn)?，所以?1．甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為乙每輪猜對(duì)的概率為．在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．已知每輪甲、乙同時(shí)猜錯(cuò)的概率為，恰有一人猜錯(cuò)的概率為.（1）求和；（2）若，求“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)個(gè)成語(yǔ)的概率．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）由每輪甲、乙同時(shí)猜錯(cuò)的概率為，恰有一人猜錯(cuò)的概率為，得：，從而解得和的值；（2）由（1）得和的值，則分甲猜對(duì)兩個(gè)，乙猜對(duì)兩個(gè)，甲猜對(duì)一個(gè)且乙猜對(duì)一個(gè)三種情況討論即可，然后相加即可得出答案.【詳解】解：（1）設(shè)M表示事件“每輪甲、乙同時(shí)猜錯(cuò)”；N表示事件“恰有一人猜錯(cuò)”，，，或；由（1）可知，設(shè)表示事件“甲在兩輪中猜對(duì)個(gè)成語(yǔ)”，表示事件“乙在兩輪中猜對(duì)個(gè)成語(yǔ)”，，表示“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)成語(yǔ)的個(gè)數(shù)”，由于兩輪猜的結(jié)果相互獨(dú)立，所以，所以“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)個(gè)成語(yǔ)的概率為.22．已知等邊三角形分別是邊上的三等分點(diǎn)，且（如圖甲），將沿折起到的位置（如圖乙），是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)取的中點(diǎn)，證明，平面即得證；（2）設(shè)，則證明，設(shè)