2024-2025學年河南省鄭州市鄭中國際學校九年級（上）開學數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列說法中正確的是（）

A.有一組鄰邊相等的四邊形是菱形

B,有一個角是直角的四邊形是矩形

C.有一組鄰邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形

D.對角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形

2.在口48。中，對角線3。相交于點。，若乙48。=90°，則下列結論錯誤的是（）

A.AC=BDB.OA=OBC.ACLBDD.AB=CD

3.若（m—3〃恤一”_%_5=0是關于x的一元二次方程，則m的值為（）

A.1B.3C.-1D.土遮

4.小明在估算方程/—32-5=0的解時，列出的部分對應值如下表：

???

X-3-2-1456

x2-3x-5135-1.??-1513

則可判斷方程/-3/-5=0的解的取值范圍是（）

A.—3<c<-2或4<X<5B.—2<c<-1或5<，<6

C.-3<a?<一2或5<re<6D.-2<a;<—1或4<a?<5

5.若加是一元二次方程/—5/-2=0的一個實數(shù)根，則2019—m2+56的值是（）

A.2016B.2017C.2018D.2019

6.若方程9/+信+2）2+4=0的左邊可以寫成一個完全平方式，則人的值為（）

A.—10或14B.-14C.10D.10或一14

7.若三角形的兩邊長分別是2和5,第三邊的長是方程72+12=0的一個根，則這個三角形的周長是

（）

A.10B.11C.10或11D.10或12

8.如圖，一根木棍（43）,斜靠在與地面（OM）垂直的墻（OM）上，當木棍/端.N

沿墻下滑，且3端沿地面向右滑行時，的中點尸到點。的距離（）■.；-

A,變大I\

B.變小I\

第1頁，共18頁

C.先變小后變大

D.不變

9.如圖，四邊形/3C。是菱形，4。=12,BD=16,AHLBC于H,則A____________n

上

4〃等于（）

24

A.——

5

48BHC

B-T

C.4

D.5

10.如圖，正方形/5C0的對角線4C,相交于BE平分/ABO交AC于E,D_r

CFLBE于F，交BD于G,則下列結論：①OE=OG；②CE=CB；

③4ABEm&BCG；④C/平分/BCE.其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.如圖，在矩形48CD中，點E,尸分別是4D,8C上一點，BE=DF,只需添加一個條件即可證明四

邊形EBFD為菱形,這個條件可以是（寫出一個即可）.

k4_____E______z___D

pC

12.關于x的一元二次方程（a-1）/+32-22=0有實數(shù)根，則。的取值范圍是______.

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13.若是一個直角三角形兩條直角邊的長a,b,滿足(&2+解)@2+解+1)=12,則這個直角三角形的斜邊

長為.

14.《念奴嬌?赤壁懷古》，在蘇軾筆下，周瑜年少有為，文采風流，雄姿英發(fā)，談笑間，橘櫓灰飛煙滅，

然天妒英才，英年早逝，欣賞下面改編的詩歌，“大江東去浪淘盡，千古風流數(shù)人物.而立之年督東吳，早

逝英年兩位數(shù).十位恰小個位三，個位平方與壽符若設這位風流人物去世的年齡十位數(shù)字為x,則可列方

程為.

15.如圖，有一個長方形紙片N8CD,AB=6cm,BC=10cm,點E為CD上一

點，將紙片沿/E折疊，的對應邊恰好經過點。，則線段的長為

cm.

16.如圖，O為坐標原點，四邊形O4BC為矩形，4(10,0),0(0,4),點。是。/的中點，點尸在上運

動，當△OOP是以OD為腰的等腰三角形時，則尸點的坐標為.

三、解答題：本題共7小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題16分)

(1)以配方法解方程：2/+4/—2=0.

(2)以公式法解方程：-3)=3+0：.

(3)3-3)2=27—6.

⑷:/+3=6立.

18.(本小題9分)

已知關于x的一元二次方程/-(m+1)?+2m-3=0(m為常數(shù)).

(1)若方程的一個根為1，求加的值及方程的另一個根；

(2)求證：不論％為何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

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19.（本小題9分）

已知關于x的一元二次方程/一2/+m-1=0有兩個實數(shù)根.設p是方程的一個實數(shù)根，且滿足

伊—2p+3）（m+4）=7,求加的值.

20.（本小題8分）

下面是小明設計的“在一個平行四邊形內作菱形”的尺規(guī)作圖過程.

已知：四邊形/BCD是平行四邊形.

求作：菱形4BEF（點￡在3C上，點尸在4D上）.

作法：①以/為圓心，43長為半徑作弧，交4D于點尸；

②以3為圓心，43長為半徑作弧，交8C于點E；

③連接EF.

所以四邊形尸為所求的菱形.

根據小明設計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

⑵完成下面的證明.

證明：?.?//=AB,BE=AB,

在口/BCD中，AD//BC,

即AF//BE.

二四邊形訪為平行四邊形.（）（填推理的依據）

■：AF^AB,

二四邊形N3跖為菱形.（）（填推理的依據）

21.（本小題10分）

如圖，某中學準備在校園里利用圍墻的一段再砌三面墻，圍成一個矩形花園48。。（圍墻最長可

利用256），現(xiàn)在已備足可以砌40加長的墻的材料.

（1）當長度是多少時，矩形花園的面積為150nl2；

（2）能否圍成矩形花園面積為22062,為什么？

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22.(本小題10分)

如圖，菱形48CD的對角線NC,AD相交于點。，E是AD的中點,點RG在43上，EF_LAB，OG//EF.

(1)求證：四邊形。所G是矩形；

⑵若4D=10，EF=4,求和3G的長.

D

一

B

23.(本小題10分)

如圖，平行四邊形AB8中，AB=6cm,BC=10cm,ZB=60%G是CD的中點，E是邊4D上的動

點，EG的延長線與3c的延長線交于點凡連接C￡,DF.

(1)求證：四邊形C女出是平行四邊形；

(2)以下兩問二選一進行求解.

①當AE=_____cm時，四邊形CEDF是矩形；

②當AE=_____c%時，四邊形CEDF是菱形.

AED

第5頁，共18頁

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：A,有一組鄰邊相等的四邊形不是菱形，故選項/不合題意；

2、有一個角是直角的四邊形不是矩形，故選項3不合題意；

C、有一組鄰邊相等且有一個角是直角的四邊形不是正方形，故選項C不合題意；

對角線互相平分，垂直且相等的四邊形是正方形，故選項。符合題意；

故選：D.

利用正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四邊形的判定依次判斷可求解.

本題考查了正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四邊形的判定等知識，靈活運用這些判定是解

題的關鍵.

2.【答案】C

【解析】解：?.?在口48CD中，/48。=90°，

_?°是矩形，

:,AC=BD,OA=OB,AB=CD,無法得到

故選：C.

根據矩形的判定與性質即可一一判斷.

本題考查平行四邊形的性質，矩形的判定與性質、熟練掌握矩形的判定與性質是解決問題的關鍵.

3.【答案】C

1779—1I—2

【解析】解：由題意可知：I12c，

m—3網

解得：m=—1,

故選：C.

根據一元二次方程的定義即可求出答案.

本題考查一元二次方程，解題的關鍵是正確理解一元二次方程的定義，本題屬于基礎題型.

4.【答案】B

【解析】解：根據表格可知，/—32—5=0時，對應的x的值在—2~—1與4?5之間.

故選：B.

觀察表格可知，/—3x—5的值在-2?—1之間由正到負，在4?5之間由負到正，故可判斷

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/—3a;—5=0時，對應的%的值在—2?—1與4?5之間.

本題考查了二次函數(shù)圖象與一元二次方程的解之間的關系.關鍵是觀察表格，確定函數(shù)值由正到負和由負

到正時，對應的自變量取值范圍.

5.【答案】B

【解析】解：：篇是一元二次方程/—5必—2=0的一個實數(shù)根，

m2—5m—2=0，

m2—5m=2,

2019-m2+5m=2019-(m2-5m)=2019-2=2017,

故選：B.

22

根據一元二次方程解的定義得到_57n=2，再由2019—m+5巾=2019—(m—5m,利用整體代入

法求解即可.

本題主要考查了一元二次方程解的定義，熟練掌握一元二次方程定義是關鍵.

6.【答案】D

【解析】解：9rc2+(k+2)c+4是一個完全平方式，

(卜+2)x=±2x2-3x=±12/,

.?.1+2=12或k+2=—12,

：,k=10或一14；

故選：D.

根據完全平方式的特點，進行求解即可.

本題考查完全平方公式的運用，熟練掌握完全平方公式是關鍵.

7.【答案】B

【解析】解：—72+12=0，

/.(2-3)(2-4)=0,

解得：xi—3,x2=4,

?.?三角形的兩邊長分別是2和5,

當立=3時，3+2=5,不能組成三角形；

當十=4時，2+4〉5,能組成三角形.

,這個三角形的第三邊長是4,

.?.這個三角形的周長為：4+2+5=11,

故選：B.

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首先利用因式分解法求得一元二次方程/—72+12=0的兩個根，又由三角形的兩邊長分別是2和5,利

用三角形的三邊關系，即可確定這個三角形的第三邊長，然后求得周長即可.

此題考查了因式分解法解一元二次方程與三角形三邊關系的知識.此題難度不大，解題的關鍵是注意準確

應用因式分解法解一元二次方程，注意分類討論思想的應用.

8.【答案】D

【解析】解：連接0P.

在中，：/從0口二狗。，AP=PB,

：.OP=

?「AB的長是定值，

OP是定值，

故選：D.

根據直角三角形斜邊中線的性質即可解決問題；

本題考查直角三角形斜邊中線的性質，解題的關鍵是記住直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.

9.【答案】B

【解析】解：?.,四邊形43CD是菱形，AC—12,BD=16,

CO==6,BO=|BD=8,AOLBO,

：,BC=^62+82=10>

S菱形ABCD=-AC-BD=-x16x12=96,

---S菱形ABCD=BCxAH,

：,BCxAH^96,

,9648

AHTT=—=—

105

故選：B.

根據菱形的性質得出3。、C。的長，在RtAB。。中求出BC,利用菱形面積等于對角線乘積的一半，也等

于BCxAH,即可得出/”的長度.

本題考查了菱形的性質，也涉及了勾股定理，要求我們掌握菱形的面積的兩種表示方法，及菱形的對角線

互相垂直且平分.

10.【答案】D

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【解析】證明：?,?正方形/BCD的對角線NC、8。相交于點O,

:.OBWC，BO=CO,

:"EOB=/COG=90°.

?.?CF1BE于點尸,

NCFE=ACFB=90°.

：.AEBO+ABEO=90°,NBEC+NECF=90°,

：,AEBO=AECF.

(4EBO=LGCO

在△BEO和△CGO中，＜AEOB=AGOC,

[OB=OC

：.^BEO^^CGO{AAS),

:.OE=OG，故①正確；

ZABO=ZBCO=45%BE平分NABO交AC于E,

/E3O=；x45°=22.5°,

?:/EOF=NEBO=22.5°，

：,ZBOF=45°-22.5°=22.5°.

AECF=ABCF,

：,CF平分NBCE,故④正確；

■:CFLBE,

.-.CE=CB，故②正確；

;NABE=NBCG=225,

■：4BEO沿4CGO,

:.BE=CG，

:AB=BC,

：.AABEmdBCG(SAS),故③正確.

故選：D.

根據正方形的性質，可得OBLO。，30=CO,根據直角三角形的性質，可得NEBO+NBEO=90°,

ZBEC+ZECF=90°，再根據與角的關系，可得NEBO=NECF,根據全等三角形的判定與性質

OE=OG，故①正確；根據角平分線的定義得到NEBO=；x45°=22.5°,得至UNECF=NBCF,求

得CF平分/BCE,故④正確；根據等腰三角形的性質得到CE=CB,故②正確；根據全等三角形的判

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定兩點得到AABE2△BOG(SAS),故③正確.

本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了正方形的性質，余角的性質，角平分線的定義，熟練掌握全

等三角形的判定和性質是解題的關鍵.

11.【答案】BE=BF

【解析】解：這個條件可以是=

理由：?.?四邊形48CD是矩形，

.?24=/。=90°，AB=CD，

,:BE=DF,

：,RtAABE竺RtACDF(HL),

:.AE=CF,

:.DE=BF，

：BE=DF,

.?.四邊形EBFD是平行四邊形，

-：BE=BF,

,四邊形EBED是菱形，

故答案為：BE=BF.

先證明四邊形EBFD是平行四邊形，再由菱形的判定定理可得出答案.

本題考查了矩形的性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關鍵.

12.【答案】a2—：且

8

【解析】解：?.?關于X的一元二次方程(a—l)/+3z—2=0有實數(shù)根，

a—1#0,△=9+4X2(Q—1))0,

/.Q》一己且。壬1,

o

故答案為：&》一:且(1#1.

O

由方程是一元二次方程得出a-1^0,再由方程有實數(shù)根得出△20,即可得出結論.

此題主要考查了一元二次方程的定義，根的判別式，利用根的判別式建立不等式是解本題的關鍵.

13.【答案】y/3

【解析】解：b是一個直角三角形兩條直角邊的長

設斜邊為c,

(a2+b2)(a2+窿+1)=12,根據勾股定理得：。2(。2+1)-12=0

第10頁，共18頁

即d—3)d+4)=0,

?1,c2+4邦，

.“2—3=0，

解得c=e或c=—舍去)?

則直角三角形的斜邊長為通.

故答案為：

根據勾股定理c2=a2+M代入方程求解即可.

本題考查的是換元法解一元二次方程，利用勾股定理求直角三角形的斜邊，需同學們靈活掌握.

14.【答案】102+3+3)=3+3)2

【解析】解：假設周瑜去世時年齡的十位數(shù)字是x,則可列方程為Hte+@+3)=(2+3)2,

故答案為：10a;+(①+3)=(①+3)2.

設周瑜去世時年齡的十位數(shù)字是x,根據“十位恰小個位三，個位平方與壽同”知10x十位數(shù)字+個位數(shù)字

=個位數(shù)字的平方，據此列出方程可得答案.

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

15.【答案】當

O

【解析】解：?.?將紙片沿/￡折疊，的對應邊笈。，恰好經過點。，

：,AB^AB'^6cm>BC=B'C'=IQcm，CE=C'E，

：,B'D=y/AD2-B'A2=V100-36=8(cm)，

：.CD=B'C-B'D=2(cm),

DE2=C'D2+C'E2,

,。￡2=4+(6—

/.DE=曰cm,

o

故答案為：孚.

o

由折疊的性質可得48=48'=6cm，BC=B'C'=10cm，CE=C'E,由勾股定理可求的長，由

勾股定理可求解.

本題考查了翻折變換，矩形的性質，勾股定理，熟練運用折疊的性質是本題的關鍵.

16.【答案】(3,4)或(2,4)或(8,4)

第H頁，共18頁

【解析】【分析】

此題考查了矩形的性質、坐標與圖形的性質、等腰三角形的性質、勾股定

理等知識，熟練掌握矩形的性質，進行分類討論是解決問題的關鍵.

分兩種情況：①當OP=O0=5時，由勾股定理求出CP=3,②當

。。=。。=5時，過D作。于點由勾股定理求出PW=3,

分別得出尸點的坐標即可.

【解答】

解：?.?四邊形O4BC為矩形,4(10,0),0(0,4).

/.BC=OA=10,OC=AB=4，

?.?點。是Q4的中點，

OD=AD=5，

①當。尸=。。=5時,

在RtAOFC中，CP=/0產—=,52—42=3，

則尸的坐標是(3,4).

②當。。=?！?5時，過。作。Mrec于點"，

在RtAPDM中，PM=yJPD--DM2=>/52-42=3，

當尸在M的左邊時，CP=5-3=2,則尸的坐標是(2,4)；

當尸在M的右側時，CP=5+3=8,則尸的坐標是(8,4).

綜上所述，尸的坐標為：(3,4)或(2,4)或(8,4).

故答案為：(3,4)或(2,4)或(8,4).

17.【答案】解：(1)2/+4,—2=0,

x2+2x-1>

川+2c+1=1+1,

(C+1)2=2，

則立+1=±A/2，

所以=—1+\/2,X2=—1—V2.

⑵2①(2—3)=3+c,

2x2-62—3—/=0,

第12頁，共18頁

2x2-7啰-3=0，

△=(-7)2-4x2x(-3)=73〉0,

則

4

斫n7+V737-\/73

(3)3—3)2=21—6,

(力-3)2-2Q-3)=0,

(2-3乂2-5)=0,

則2一3=0或t—5=0,

所以的=3,次=5.

(4)：/+3=62，

x1-24x+12=0>

22-24c+144=-12+144，

(c—12)2=132,

則z-12=±2\/33-

所以3=12+2X/33,X2=12-2y33.

【解析】(1)用配方法對所給方程進行求解即可.

(2)用公式法對所給方程進行求解即可.

(3)用因式分解法對所給方程進行求解即可.

(4)用配方法對所給方程進行求解即可.

本題主要考查了解一元二次方程-因式分解法、解一元二次方程-公式法及解一元二次方程-配方法，熟知因

式分解法、配方法及公式法解一元二次方程的步驟是解題的關鍵.

18.【答案】解：(1)把工=1代入方程可得1一(M+1)+26—3=0,

解得m=3，

當m=3時，原方程為d—4劣+3=0，

解得Xf+x2=4,

即方程的另一根為3；

第13頁，共18頁

(2)a=1,b=_(m+1),c=2m—3,

△=62—4ac=[—(m+I)]2—4x1x(2m-3)=(m—3)2+4>0,

二.不論m為何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

【解析】(1)把2=-1代入方程可求得m的值，再解方程可求得另一根；

⑵計算△,△〉()可得證.

本題主要考查方程根與系數(shù)的關系及根的判別式，由方程根的情況得到判別式的符號是解題的關鍵.

19.【答案】解：根據題意得△=廿一4ac=4—4x(m—1)》0,

解得m42；

p是方程的一個實數(shù)根，則p?—2p+Tn—1=0,則/—2p+3=4—

則-2p+3)(m+4)=7即(4一m)(4+m)=7,

解得：皿=3(舍去)或一3.

故m的值為—3.

【解析】若一元二次方程有兩實數(shù)根，則根的判別式△=族-4ac20,建立關于加的不等式，求出優(yōu)的

取值范圍.p是方程的一個實數(shù)根，則/—2p+m—1=0,則/—2p+3=4—m，代入

(/—2p+3)(m+4)=7,求得機的值.

本題考查了方程的根的定義以及根的判別式，熟練掌握根的判別式與根的關系是解答本題的關鍵.

20.【答案】/尸2￡一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形鄰邊相等的四邊形是菱形

【解析】(1)解：菱形/8￡尸即為所求.

⑵證明：=AB,BE=AB，

:.AF=BE,

在。/BCD中，AD//BC,

即AF//BE.

二四邊形N3昉為平行四邊形.(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，)(填推理的依據)

-：AF=AB,

二四邊形訪為菱形.(鄰邊相等的四邊形是菱形)

第14頁，共18頁

故答案為：AF=BE，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，鄰邊相等的四邊形是菱形.

(1)根據要求畫出圖形即可.

(2)利用平行四邊形的判定，菱形的判定解決問題即可.

本題考查作圖-復雜作圖，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基

本知識，屬于中考常考題型.

21.【答案】解：⑴設則(40—2乃加，

依題意得：①(40-22)=150,

整理得：/—20/+75=0，

解得：xi=5,x2—15.

當x=5時，40—2a;=30>25,不合題意，舍去；

當2=15時，40—2c=10<25,符合題意.

答：當長度是15%時，矩形花園的面積為150W?.

(2)不能，理由如下：

設=則=(40—2g)nz,

依題意得：以40-2妨=220,

整理得：y2-20y+110=0.

△=(-20)2-4x1x110=-40<0,

二該方程無實數(shù)根，

.?.不能圍成面積為220m2的矩形花園.

【解析】⑴設48=/機，則8。=(40—2乃加，根據矩形花園的面積為150m2,即可得出關于x的一元

二次方程，解之即可得出x的值，再結合圍墻"N最長可利用25如即可確定結論；

⑵設AB=ym,則8C=(40-2g)m,根據矩形花園的面積為22062,即可得出關于〉的一元二次方程,

由根的判別式△=-40<0,即可得出該方程無實數(shù)根，進而可得出不能圍成面積為22062的矩形花園.

本題考查了一元二次方程的應用以及根的判別式，解題的關鍵是：(1)找準等量關系，正確列出一元二次方

程；⑵牢記“當△<0時，方程無實數(shù)根”.

22.【答案】解：(1)?.?四邊形N5CD是菱形，

：,OB=OD,

是/。的中點，

」.OE是的中位線，

第15頁，共18頁

：.OE//CD//FG,

-：OG//EF,

.四邊形OEFG是平行四邊形，

■：EFLAB，

.?.NEFG=90°,

,平行四邊形。EFG是矩形；

(2)?.?四邊形N8CD是菱形，

BD.LAC,AB=AD==10,

=90°，

是4D的中點，

：,OE=AE=^AD=5；

由(1)知，四邊