綿陽南山中學2024年秋季高二9月月考試題

數學

本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試題卷由選擇題和非選擇題組成，共4頁，答題卡

共6頁.滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的班級、姓名用0.5毫米簽字筆填寫清楚，同時用2B鉛筆將準考證

號準確填涂在“考號”欄目內.

2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再

選涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應框內，超出答題區(qū)域書

寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.

3.考試結束后，將答題卡交回.

一,選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是

符合題目要求的.

1.復數1+i,則之的虛部為（）

A.3B.-3c「3iD.-1

2.已知向量“=（L3'）石=（2+九一3）,若方〃3,貝（）

A.lB,-lC.2D13

3.sin20°cos400+cos20°cos50°的值是（）

A.2B.2C.2D.l

<_V32

3A'B'C二—cm

4.如圖，△48'C是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，若4C'=2cm,且入2則原圖

形中NC邊上的高為（）

V3V6

——cm——cm

5.設a是空間中的一個平面，/，加，〃是三條不同的直線，則（）

A.若/〃見機〃"J'a,則〃_La

B若加<=a,〃貝M〃機

C,若/〃私加,貝ij/_L〃

口,若加匚4〃匚［,/_1_加,/_1",則/J.1

.,cos8=l一工

6.在ANBC中,內角的對邊分別為若2ac,貝|卜480一定是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

7.已知正六棱柱的所有棱長均為2,則該正六棱柱的外接球的體積為（）

16兀207116石兀206兀

A.3B.3c.3D.3

8.在△48C中，內角4民0的對邊分別為a,b,c,"=60°,b=l,其面積為百，則

Q+6+C_

siib4+sinS+sinC（）

_26百2回V29

A.3GB.3c.3D.2

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求，全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有錯選得0分.

/(x)=sin(2x+0)冏＜三兀

，若把函數/（X）的圖像向右平移§個單位長度后得到的圖像關

9.已知函數12

于原點對稱，則（）

B.函數/GO的圖象關于點IJ對稱

兀兀

C.函數/（X）在區(qū)間1212」上單調遞減

兀3兀

D.函數/（X）在14'2」上有3個零點

10.如圖，某八角鏤空窗的邊框呈正八邊形.已知正八邊形/BCQEFGH的邊長為2,尸、。為正八邊形內

的點（含邊界），尸。在刀上的投影向量為彳方，則下列結論正確的是（）

A,福南=-2行

B.AB,AE-4

C.X的最大值為2+2行

口[-272,4+272]

11.如圖，一個漏斗形狀的幾何體上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐尸—48CD,四棱錐的

四條側棱都相等，兩部分的高都是2,公共面N8C。是一個邊長為1的正方形，則（）

2

A.該幾何體的體積為§

也

B.直線尸。與平面N8CD所成角的正切值為2

V6

C.異面直線AP與CCi的夾角余弦值為3

D.存在一個球，使得該幾何體所有頂點都在球面上

三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.把答案直接填在答題卷中的橫線上.

1-i

12.若復數z滿足1+i,貝江2卜

（n）2.（5n>

cos—+a=—sm—+2a=

13.已知16J5,貝九I6）.

14.趙爽是我國古代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，

亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間一個小正方形組成）.類

比“趙爽弦圖”，可構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個

較大的等邊三角形，設4D=/4B+〃AC（彳，,若DF=2AF,則〃.

四、解答題：本題共5小題，第15題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共7

分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

已知向量，和e2,且刊一目遍與的夾角為3\n=3el-2e2

⑵若網=同，求力的值；

16.（15分）

如圖，在四棱錐尸一Z5CQ中，4，平面Z5CD,底面Z8CD為正方形，￡為線段AB的中點,

PA=AB=2.

（1）求證：BDLPC.

（2）求點E到平面050的距離.

17.（15分）

/（吁3+小>0,⑺仁

函數的部分圖像如圖所示.

（1）求）（"）的解析式;

Vxe,[/（x）]2-mf（x）-l<0

（2）若L44J恒成立，求機的取值范圍.

18.（17分）

IDC（c-\j2bJcosA+acosC=0

△NBC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知<廣.

（1）求角”的大?。?/p>

（2）若。=2,b+c=l+#>+瓜,求△45C的面積；

2/+3/

（3）若ANBC銳角三角形，且外接圓直徑為2正，求角8取何值時，2b有最小值，并求出最小

值.

19.（17分）

2兀

如圖，在平面五邊形ZBCQE中，&B=j5,BC=CD=1,3,BE=2.3,

△'BE的面積為V6.現將五邊形ABCDE沿BE向內進行翻折，得到四棱錐幺-BCDE.

（1）求線段QE的長度；

（2）求四棱錐N-8CDE的體積的最大值；

（3）當二面角N—8E-C的大小為135。時，求直線NC與平面8CDE所成的角的正切值.

綿陽南山中學2024年秋季高二9月月考數學試題

參考答案

l.B2.B3.A4.D5.A6.C7.D8,C

9.BC

（8-2）x180°

135°

10.【詳解】對于A選項，正八邊形的內角為8,易知HGLAB,

封

~AB-^G='AB（AH+HG'^=而斯+萬.布=網.初降135。=22Xr

=-2憶A對；

對于B選項，連接4E、5E,則NE為正八邊形外接圓的一條直徑，則

ABAE=AB-(AB+BE}=AB2+AB-BE=22+0=4

所以，1，:B對:

對于C選項，如下圖所示：

設,。在方方向上的投影向量為加，由圖形可知,

當尸、。分別在線段上時，力取最大值,

2AHcos450+AB4x—+2

2=V2+1

R-2

且4的最大值為C錯;

對于D選項，過點〃、C分別作48的垂線，垂足分別為點M、N,如下圖所示:

?口「）

當點尸在線段8G上時，\IAP\Icos\iAB',AP/取最小值,

AB-AP=AB-AM=-\AB\-\AM\=-2x42=-242

此時，????

當點尸在線段CQ上時，（'民帖取最大值,

刀.刀=刀.衣=畫.畫=畫.（冏+［網）=2義9+0）=4+20

此時,

方.Qe[-2后,4+2?

綜上所述,D對.故選：ABD.

1x1x14x1x1x1=14^

11.ABD【詳解】對于A,該幾何體的體積為232263,所以A正確,

對于B,連接交于0.連接P。，由題意可知四棱錐尸-Z8CD為正四棱錐,

5

A

所以0。,平面ABCD,所以ZPDO為直線PD與平面ABCD所成角,

1

DO=-BD=—

因為正方形4SC。的邊長為1,所以22,所以2,所以B

正確,

對于c,設4GC3I2=°I,因為eq〃/4,所以尸或其補角為異面直線幺尸與CG的夾角,

PA=sJPO2+AO2=尸4=7尸。；+4。；=

136

+力2_924+44_A/3

cosZAAP=

{24apz］百一H

7X_X___

所以22,所以異面直線4?與的夾角余弦值為

3,所以C錯誤,

對于D,設長方體44G2的外接球的球心為半徑為R,

93

3)2=12+12+出=2+]--

47?4-

則加為001的中點,得

113

PM=PO+OM=—+—=—=R

因為244所以點P長方體/BCD—的外接球上,

所以存在一個球，使得該幾何體所有頂點都在球面上，所以D正確.

17

13.~25

12.1

14.3

“DB專

【詳解】不妨設NE=1,則/0=3,如圖,由題可知

AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB=9+l-2x3xlx

由

得4B=屈,所以/C=JF,所以A(0,0)

BDABsinNBAD=^"AD=嚶

又sin/BADsin/ADB,所以

所以Z)(^ADcos/BAD,ADsin/BAD)

"21V13‘21715

DAD=AC=

2626(713,0)

即.所以,因為

26<__2__

3739V39

4D=44B+jC/4C,所以1262

〃-4=3

解得〔13,所以〃

（1）因為同=同=1''與'2的夾角為3,led21cos,e2\=1x1xcos—=—

15.【詳解】所以

Qq-e2）e?=2q,%—e；=2x—1i=0

所以、./一一一2，所以（2耳-瓦）"2

一_1

（2）由⑴知，一=5,因為團=同=1,同叫

所以01+當j=G4—2當丫，即分號+2%耳母+前=9耳2—121￡+4茲,

于是有'+22X2+1=7,即分+"6=（4+3）（九-2）=0,解得4=-3或2=2

所以幾的值為2.

16.【詳解】（1）證明：???尸/,平面45c0,5￡＞匚平面45。。，；.尸/工80,

又底面/BCD為正方形，■,?BDLAC,

又尸4口幺。=幺，且尸4/Cu平面尸zc,二5。，平面p/c,?.?pcu平面尸/c,.?.BD_L尸C.

d_

（2）為線段的中點，，若點N到平面尸8。的距離為d,則點E到平面P5D的距離為2.

由題易知PB=PD=BD=F3=26,

S^PBD=；x2/x2夜義年=26

v_v—x（―x2x2）x2=-^-x2^/3Xdd=

yP-ABD=^A-PBD,323，解得3..,?點￡到平面080的距離為

V3

萬一百

35兀兀32兀3兀

—1=----=>----==3=Z

17.【詳解】(1)由圖可得46124m4???函數/(x)=sin(2x+°)過點

sin2*+9=1?+9=B+2E/eZ)o=g+2E/eZ)\(p\<-9=三

所以I12J,貝°62，解得3，又2,則3,

7T

/(x)=sin(2x+—)

所以

兀兀兀5兀

XG2c%H兀Gt=f(x),te

a7」，所以了6」，則

（2）因為3L2」，令

設g（'）=/一機1,則g（'）W°恒成立，由二次函數的圖象性質可知,

1,11，八

+W-1

<42-°

只需g(l)=-m<0

3

0<m<—

解得2,故加的取值范圍為L°4

（c-^2bposA+acosC=0

18.【詳解】（1）由<廣及正弦定理得:

(sinC-}os/+siib4cosC=0因為sinCcosZ+siib4cosc=sin(4+C)=sin(兀一B)=siriS

siiiS(1-v2COST4)=0八，D,

所以<),又0<B〈nsinS>0,2,又0</<兀，故4.

(2)由余弦定理/=/+c2_2bccos",又'4,所以〃+c2_j2bc=4,所以

3+c)2-@+后?c=4,由b+c=l+G+后可得兒=6+3行，

S=-bcsxnA=—x(76+372\<^-=+

故ANBC的面積221,22.

（3）由正弦定理可知sins,故b=2j，sin5,因為A/BC是銳角三角形,

71

0<5<-

2

0<C<-兀C兀

2——<B<一

42

,兀

A=—

4

A+B+C=7i

所以,所以

2

2b2+3a22x8sin25+124sin5+3V24sin5+-^-

2b2x2V^sinSV2sinfi2sinS

3

sinB=t,y=4t+-,-<t<ly=4t+-=2.4t--=4出

令t2由基本不等式可知

7

時，Vmin=4G

當且僅當2

兀2/+3/

故角3取5時,2b有最小值，最小值為40

19.(1)如圖，延長8C、ED相交于點廠，

TT

NBCD=NCDE=—ZFCD=ZFDC=-

因為3,所以3,所以AFC。是邊長為1的等邊三角形,

ZCFD=-

3,所以FE=FD+DE=T+DE,FB=FC+CB=1+\=2t

由余弦定理得BE?=FB2+FE2-2FBxFEcos600,

即12=4+(OE+l)2—22(DE+l).cos60°,即。爐=9,所以Z>E=3；

(2)

延長8C，￡°相交于點E，AEC。是邊長為1的等邊三角形,

由（1）FE2=FB-+BE2,得NEB尸=90°,EBLBF,

S.