專題4.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【九大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1三角函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用】.................................................................3

【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】............................................................4

【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對稱性問題】............................................................4

【題型4三角函數(shù)的周期性問題】.....................................................................5

【題型5求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】..........................................................5

【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】..............................................................6

【題型7三角函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶性的靈活運用】............................................6

【題型8三角函數(shù)的零點問題】........................................................................7

【題型9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】..........................................................8

?考情分析

1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

（1）能畫出三角函數(shù)的圖

象2023年新課標(biāo)I卷：第15題，

⑵了解三角函數(shù)的周期5分三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的熱

性、奇偶性、最大（?。?023年天津卷：第6題，5分點內(nèi)容，其中三角函數(shù)的周期性、對稱

值2024年新課標(biāo)I卷：第7題，性、奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系則是高

（3）借助圖象理解正弦函5分考考察的重心.從近幾年的高考情況來

2024年新課標(biāo)II卷：第9題，看，比較注重對三角函數(shù)的幾大性質(zhì)之

數(shù)、余弦函數(shù)在［0,2出上

6分間的邏輯關(guān)系的考查，試題多以選擇題、

的性質(zhì)及正切函數(shù)在2024年全國甲卷（文數(shù)）：填空題的形式呈現(xiàn)，難度中等或偏下.

（一f上的性質(zhì)第13題，5分

?知識梳理

【知識點1三角函數(shù)的定義域與值域的求解策略】

1.三角函數(shù)的定義域的求解思路

求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式（組），解三角不等式（組）常借助三角函數(shù)的圖象.

2.求解三角函數(shù)的值域（最值）常見的幾種類型：

⑴形如y=asinx+6cosx+c的三角函數(shù)化為尸4sin（ox+p）+c的形式，再求值域（最值）；

（2）形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=/,化為關(guān)于/的二次函數(shù)求值域（最值）；

（3）形如y=asinxcosx+b（sinx士cosx）+c的三角函數(shù)，可先設(shè)尸sinx士cosx,化為關(guān)于/的二次函數(shù)求值域（最

值）.

【知識點2三角函數(shù)的周期性、對稱性、奇偶性的求解思路】

1.三角函數(shù)周期的一般求法

(1)公式法；

(2)不能用公式求函數(shù)的周期時，可考慮用圖象法或定義法求周期.

2.三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心的求解策略

(1)對于可化為外)=/sin(5+°)(或於)=/cos(s+p))形式的函數(shù)，如果求段)的對稱軸，只需令

■7T

a)x+(p=y+ATI(A:GZ)(或令69%+夕=析(左€Z)),求x即可；如果求/(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令

、7T

0x+p=加(左CZ)(或令0x+°=,+E(任Z)),求x即可.

(2)對于可化為/(x)=/tan(0x+9)形式的函數(shù)，如果求/(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令a>x+<p=?~

(任Z)),求x即可.

3.三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法

三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在y=/sin(ox+o)中代入x=0,

若尸0則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值則為偶函數(shù).

■JT

若產(chǎn)/sin(ox+9)為奇函數(shù)，貝!I夕=析(左CZ)；若尸Zsin@x+p)為偶函數(shù)，則9=,+版(46Z).

【知識點3三角函數(shù)的單調(diào)性問題的解題策略】

1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法

求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成尸4sin(ox+p)形式，再求y=Nsin(ox+p)的單調(diào)區(qū)間，

只需把cox+<p看作一個整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把o化為正數(shù).

2.已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題思路

對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)。的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選

擇題，利用特值驗證排除法求解更為簡捷.

【方法技巧與總結(jié)】

1.對稱性與周期性

(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是;個周期，相鄰的對稱中心與對

稱軸之間的距離是;個周期.

(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是g個周期.

2.與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論

TT

⑴若尸4sin(s:+9)為偶函數(shù)，則(p=k7i+5(左CZ)；若為奇函數(shù)，則夕=左兀(任Z).

7T

(2)若〉=4COS(S+9)為偶函數(shù)，貝I9=E/EZ)；若為奇函數(shù)，則9=左乃+1(左EZ).

(3)若^=4@11(公什夕)為奇函數(shù)，貝!J9=左兀(左EZ).

?舉一反三

【題型1三角函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用】

【例1】（2024?全國?模擬預(yù)測）函數(shù)/0）=3"皿2力+2-，）在區(qū)間［-311,3可上的圖象可能是（）

A.2B.3C.4D.6

【變式1-2］（2024?山東?一模）函數(shù)/（幻=邕焉小，貝如=/（%）的部分圖象大致形狀是（）

A.B.

斗斗

C.D.

【變式1-31(2023?河南鄭州?一模)已知函數(shù)/(%)=於+e—久，g(%)=sim?,下圖可能是下列哪個函數(shù)的圖

像()

A./(%)+5(%)-2B./⑶―久久)+2

C.f(x),g(x)D.需

【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】

【例2】（2024?廣東湛江?二模）函數(shù)f（x）=4sin（5x-3在[。,當(dāng)上的值域為（）

A.[—2,2]B.[—2,4]C.[—2A/3^,4]D.[—2V^,2]

【變式2-1]（2024?河南鄭州一模）已知函數(shù)f（x）=2sin（3xT（3>0）在陪]上的值域為[-1,2],貝必的

取值范圍為（）

A-[Q]B.g,|]C,[|,i]D,[|,1]

【變式2-2]（2024?安徽安慶?二模）己知函數(shù)/⑴=2cos2（ox+sin2o）x-l（a>>0）的圖象關(guān)于點值,0）對稱，

且外幻在（0,9）上沒有最小值，則3的值為（）

A.-B.C.-|D.-

【變式2-3]（2024?內(nèi)蒙古包頭?一模）已知函數(shù)/（X）=Xsin（?jx+（p｝（A>0,3>0,\<p\<的最大值為2,

其圖象上相鄰的兩條對稱軸之間的距離為宏且/（久）的圖象關(guān)于點（-2,0）對稱，則/（%）在區(qū)間上的最

小值為（）

A.-V3B.-1C.-2D.0

【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對稱性問題】

【例3】（2024全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/0）=3訥（3刀+5+1,則下列結(jié)論不正確的是（）

A./（久）的圖象關(guān)于點解,1）對稱

B.若/（x+t）是偶函數(shù)，貝ijt=^+^ez

C.久久）在區(qū)間[o圖上的值域為國圖

D./（X）的圖象關(guān)于直線x=J寸稱

【變式3-1]（2024?貴州黔南?二模）若函數(shù)f（x）=cos（x冶+/為偶函數(shù)，則⑴的值可以是（）

,5TTc4n——11

A.—oB.-5C.ITD.Tz

【變式3-2]（2024?甘肅隴南?一模）下列函數(shù)圖象的對稱軸方程為乂=5+々11上€2的是（）

A./(x)=sin(%—三)B./O)=cos(x+§)

C./(%)=sin(2%-，D./(x)=cos(2x+T"l

3

【變式3-3］（2024?廣東佛山?二模）已知函數(shù)/（無）=5也（3%+軟3>0）在6毛］有且僅有兩個零點，且/偌

）=/O,則“久）圖象的一條對稱軸是（

A7冗nHEC13n15TT

A?久=五B.“fC.久=工D.%=—

【題型4三角函數(shù)的周期性問題】

【例4】（2024?天津?一模）下列函數(shù)中,

A./(%)=sin|x|B./(%)=|sin2x|

C./(%)=cos|%|D./(%)=|cos2x|

【變式4?1】（2023?湖南長沙?一模）已知函數(shù)/(%)=sin(3%(1<3<2),若存在％i,%26R，當(dāng)

1%1—X2|=2n時，/(%1)=/(%2)=。，則函數(shù)/（%）的最小正周期為（）

.211

A.—B.TC.2冗D.4n

【變式4-2］（2024?安徽馬鞍山?三模）記函數(shù)f（x）=sin（3x+J）（3>0）的最小正周期為T,若

</(%)<|/(^)|,則3=()

c10c

A-TB-T-ID-i

ab

105

【變式］（?內(nèi)蒙古赤峰?三模）定義運算如果cd=ad—be,/(%)=

4-320232sin?%+w)

（3〉0,0<中<3），0滿足等式V^sinp=cosg,函數(shù)/（%）在（0弓）單調(diào)遞增，則3取最大值時，函數(shù)/（久）的最

小正周期為（）

Tl

A.3irB.nC.2D.2JI

【題型5求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】

【例5】（2024?青海?模擬預(yù)測）下列區(qū)間中，函數(shù)/（x）=3sin（x+取單調(diào)遞增的區(qū)間是（）

A.您)B-（分）

C0片)D.(11,271)

【變式5-1］（2023?陜西?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=sin（2x+Q）在無=?處取得到最大值，則/（x）的一個單

調(diào)遞增區(qū)間是（）

從（，冷）B.1令C.居詈）D,停會

【變式5-2]（2023?貴州?模擬預(yù)測）已知a=sinl,b=sin-,c=sin2,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【變式5-3]（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=$也9一%）應(yīng)（%）=（：05（%-。則使得/（g（%））和9（/（%））

都單調(diào)遞增的一個區(qū)間是（）

【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】

[例6]（2023?天津?二模）若函數(shù)f（x）=2sin（3x+g（3>0）在區(qū)間⑶上具有單調(diào)性，則3的最大值

是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式6-1]（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)萬支）=411（3%+3（3>0）的周期為7,且滿足T>2m若函

數(shù)f（x）在區(qū)間0不單調(diào)，則3的取值范圍是（）

A-（|，1）B.g,l）

C（|,1）D,電1）

【變式6-2]（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知函數(shù)f（x）=2sin（3x+0）（3>0,陽<]）,/（%）</（x）+f

得-x）=0,/⑴在&患）上單調(diào)，則3的最大值為（）.

A.3B.5C.6D.7

【變式6-3]（2023?浙江?模擬預(yù)測）定義min{a,6}={吃羽設(shè)函數(shù)f（x）=min{sin3x,cos3x}（3>0）,可

以使/⑶在（|笑）上單調(diào)遞減的3的值為（）

A.[|,|]B.[2,3]C.[|,2]D.[3,4]

【題型7三角函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶性的靈活運用】

【例7】（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）已知函數(shù)/（%）=cos（tox+9）（0<o）<10,0<（p<n）圖象的一個對稱中心是

4,0）,點B（o,亨）在/（久）的圖象上，下列說法錯誤的是（）

A./（x）=cos（2x+JB.直線x=等是/'（%）圖象的一條對稱軸

C.f（久）在導(dǎo)用上單調(diào)遞減D.1+方是奇函數(shù)

【變式7-1］（2024?天津?模擬預(yù)測）已知/'（%）=sinQox+0）（&）>0,|勿<以為偶函數(shù)，g（x）=sin

（3X+9）,則下列結(jié)論錯誤的個數(shù)為（）

①

②若g（x）的最小正周期為3TT,則3=|；

③若gQ）在區(qū)間（。刀）上有且僅有3個最值點，則3的取值范圍為尊引；

④若9。=孚，則3的最小值為2.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式7-2］（2024?河北唐山?一模）已知函數(shù)/（%）=|sin3%|+COS3%?>0）的最小正周期為兀，則（）

A./㈤在［-睛］單調(diào)遞增B.停,0）是/⑺的一個對稱中心

C./Q）在的值域為［1,向D.尤='是/Q）的一條對稱軸

1

【變式7-3］（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）己知函數(shù)f（x）=cosx-黑，現(xiàn)給出下列四個結(jié)論：

①/（%）的圖象關(guān)于點g,0）對稱；

②函數(shù)九0）=|/（x）|的最小正周期為2n；

③函數(shù)g（x）=2f⑺+|〃X）|在（0（）上單調(diào)遞減；

④對于函數(shù)g（x）=2/（%）+|/（x）|,v%e（o,^）,31^（%）I=g。+n）.

其中所有正確結(jié)論的序號為（）

A.①②B.①③C.①③④D.②③④

【題型8三角函數(shù)的零點問題】

【例8】（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）若函數(shù)/（X）=3cos?x+d）（3<0,—方<卬<］）的最小正周期為m

在區(qū)間（一?）上單調(diào)遞減，且在區(qū)間（05）上存在零點，則0的取值范圍是（）

A-（兄）B.修冶］C.配）D.（。局

【變式8-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=sin（2兀3乂）（3>0）在區(qū)間（0,2）上單調(diào)，且在區(qū)間［0,18］

上有5個零點，則3的取值范圍為()

【變式8-2](2024?全國?一模)已知函數(shù)f(x)=sin(3久+^(3>0)在區(qū)間品]上恰有3個零點，則3的取

值范圍是()

A.[|即”4,引B.9山管用

C4當(dāng)乂5另D.合,5]u得潦)

【變式8-3](2023?四川雅安?一模)已知函數(shù)/(%)=2cos(a%+0)(3>0且一5<8<]),設(shè)T為函數(shù)/(%)

的最小正周期，/6)=-1，若"%)在區(qū)間[0,1]有且只有三個零點，則3的取值范圍是()

A.號用B.他，引)C.陰D.修,陰

【題型9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】

【例9】(2024?上海金山?二模)已知函數(shù)y=/(%),記/(%)=sin(3%+g),co>0,0<(p<n,%GR.

(1)若函數(shù)y=/(%)的最小正周期為n,當(dāng)f。)=1時，求3和9的值；

(2)若3=1,0=也函數(shù)y=產(chǎn)(%)-有零點，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式9-1](2023?北京海淀?三模)已知函數(shù)中)=2sin(s+D+爪—同3>0).在下列條件①、條件②、

條件③這三個條件中，選擇可以確定3和爪值的兩個條件作為已知.

⑴求f⑵的值；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0川上是增函數(shù)，求實數(shù)a的最大值.

條件①：/(0)=2；條件②：/(%)最大值與最小值之和為0；條件③：/(X)最小正周期為n.

【變式9-2］(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=-2852汽+2$也%+3如t為常數(shù).

(1)證明：/(%)的圖象關(guān)于直線X=5對稱.

(2)設(shè)/(久)在卜，苧)上有兩個零點nn.

(i)求力的取值范圍；

(ii)證明：m+n<Y-

【變式9-3］(23-24高一下?江蘇鹽城?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(%)=2sin(2a%+勺+1.

(1)若f(%l)</(%)1%1-％2lmin=/求f(%)的對稱中心；

(2)已知0<3<5,函數(shù)/(%)圖象向右平移/個單位，得到函數(shù)9(%)的圖象，％=三是g(%)的一個零點，若函數(shù)

9(%)在［孫九］(6刀ER且租<九)上恰好有10個零點，求九一瓶的最小值；

(3)已知函數(shù)九(%)=acos(2%-》—2a+3(a>0),在第(2)問條件下,若對任意%存在%2c［。我

使得=g(%2)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.(2024?福建泉州?一模)已知函數(shù)/(久)的周期為m且在區(qū)間(也以內(nèi)單調(diào)遞增，則/Q)可能是()

A./(%)=5也(無一勺B./(%)=cos(^x-1)

C./(x)=sin(2x-D./(x)=cos(2久一勺

2.(2024?江西九江?模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)=(er—e，)cosx的部分圖象大致是()

3.(2024?浙江紹興?三模)已知函數(shù)/(%)=sin(x+<cp<0)的圖象關(guān)于點信,0)對稱若當(dāng)久e[m,^]

時，的最小值是-1，則小的最大值是()

A.——6B——12Jr—12rU)，~6~

4.(2024?廣東汕頭?三模)已知4,B,C是直線y=7H與函數(shù)/(%)=2sin(a%+w)(6)>0,0<(P<Tt)的

圖象的三個交點，如圖所示.其中，點4(0,偽，B,。兩點的橫坐標(biāo)分別為％1處，若久2rL則()

A.(p=^B.f(^)=-V2

C./(%)的圖象關(guān)于mo)中心對稱D./(乃在[0,芻上單調(diào)遞減

5.(2024?黑龍江?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)=Zsin(3%+w)(4>0,3>0,冶V9<]),且％聲=亨是函

數(shù)了=/(%)相鄰的兩個零點，v%eR/(%)<3,則下列結(jié)論錯誤的是()

A.A=3B.0)=2

c.0=YD-=’(“工)

6.(2024?天津濱海新?三模)已知函數(shù)/(x)=sin(2x-。關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：

⑴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點解,。)中心對稱

(2)函數(shù)/(久)的圖象關(guān)于直線欠=弋對稱

(3)函數(shù)/(%)在區(qū)間(―n,n)內(nèi)有4個零點

(4)函數(shù)/(為在區(qū)間[-,0]上單調(diào)遞增

以上四個說法中，正確的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

7.(2024?青海海南?二模)已知函數(shù)/(x)=cos(3x—2,3>0,xeR,且/(a)=—=0.若|a—0|的最小

值為小則/(久)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.[―|+ktr,+fcTr],fcGZB.[―|+2/CTI,+2A：Tt],fcGZ

C.+kn,||+fcTij.fcGZD.[―+2/CTT,||+2/cTr],fcGZ

8.(2024?四川?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/O)=sin(3x+q3>0)在區(qū)間(0噂)上只有1個零點，且當(dāng)萬€

(一手力時，單調(diào)遞增，則3的取值范圍是()

A.@,21B.@,1|C.Q,l]D.G，2]

二、多選題

9.(2024?吉林?二模)巴知函數(shù)/1(%)=。皿3%+0)(4>0,3>0,0<9<1)部分圖象如圖所示,則()

A.(P=2

B.函數(shù)/(%)在(工()上單調(diào)遞減

C.方程/(%)=1的解集為｛%|%=kn-^,kez]

D.6=-搟是函數(shù)丫=/（%+。）是奇函數(shù)的充分不必要條件

10.（202+湖南長沙―三模）已知函數(shù)/（久）=7^也（3%+9,3>0，則下列說法正確的是（）

A./（x）的最大值為2

B.函數(shù)/'（%）的圖象關(guān)于直線x+伙keZ）對稱

C.不等式/（久）>|的解集為（等，歿產(chǎn)）（kGZ）

D.若f（x）在區(qū)間［冶⑶上單調(diào)遞增，則3的取值范圍是（0,（|

11.（2024?貴州貴陽?二模）函數(shù)/（%）=/tan（3%+9）（3>0,0<9<ii）的部分圖象如圖所示，則（）

B.在［oj上的值域為（―8,-舊］U［V3,+8）

C.函數(shù)y=|/Q）|的圖象關(guān)于直線“爭寸稱

D.若函數(shù)'=，（初+4/。）在區(qū)間（—等5）上不單調(diào)，則實數(shù)2的取值范圍是［—1,1］

三、填空題

12.（2024?河北衡水?三模）已知x=］是函數(shù)/（無）=5①（311支+9）（0<9<4的一條對稱軸，/（x）在區(qū)間

>0）內(nèi)恰好存在3個對稱中心，貝亞的取值范圍為.

13.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）若函數(shù)/（%）=23（3久+斗-1（3>0）在（0,71）上恰有兩個零點，則3的取

值范圍為.

14.（2024?重慶渝中?模擬預(yù)測）己知函數(shù)/'（久）=5也（2%+9）@>0）圖象的一個對稱中心為（20）,且/'（久）

在（0,少上單調(diào)遞增，則R的最小值為.

四、解答題

15.（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=sin%-V^cos%.

⑴求fQ）的值，

（2）求函數(shù)y=f（x）?sin%的單調(diào)遞增區(qū)間.

16.（2023?廣東佛山一模）已知函數(shù)八尤）=5也（3%+9）在區(qū)間9詈）上單調(diào)，其中3為正整數(shù)，|如<?

且肉=-府）.

（1）求y=/（久）圖象的一個對稱中心；

⑵若慮）=容求，

17.（2024?廣東佛山?一模）記T為函數(shù)/（%）=sin3x+w）的最小正周期，其中3>0,0<RVIT,且/（0）=

字，直線X=劫為曲線y=/⑺的對稱軸.

（1）求處

（2）若/（X）在區(qū)間m，2m上的值域為［-1,勢求f⑺的解析式.

18.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/'（%）=2sin（3X+0）（3>0,|初

⑴若/（%）的圖象經(jīng)過點4停,0）,B&,2）,且點B恰好是PX）的圖象中距離點4最近的最高點，試求/（尤）的解

析式;

(2)若f(0)=-1,且/(x)在管,IT)上單調(diào)，在(0,引上恰有兩個零點，求3的取值范圍.

19.(2023?北京通州?三模)已知函數(shù)久久)=sin(s：+底)(3>0,阿<，再從條件①、條件②、條件③

這三個條件中選擇兩個作為一組已知條件，使/(X)的解析式唯一確定.

(1)求/(X)的解析式:

(2)設(shè)函數(shù)以久)=f(x)+/(%+J，求9(x)在區(qū)間上的最大值.

條件①：/(%)為奇函數(shù)：

條件②：久久)圖像上相鄰兩個對稱中心間的距離為最

條件③：/(%)圖像的一條對稱軸為％=今

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

專題4.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【九大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1三角函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用】.................................................................3

【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】............................................................5

【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對稱性問題】............................................................7

【題型4三角函數(shù)的周期性問題】.....................................................................9

【題型5求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】.........................................................11

【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】.............................................................13

【題型7三角函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶性的靈活運用】...........................................16

【題型8三角函數(shù)的零點問題】.......................................................................19

【題型9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】.........................................................21

?考情分析

1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

（1）能畫出三角函數(shù)的圖

象2023年新課標(biāo)I卷：第15題，

⑵了解三角函數(shù)的周期5分三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的熱

性、奇偶性、最大（?。?023年天津卷：第6題，5分點內(nèi)容，其中三角函數(shù)的周期性、對稱

值2024年新課標(biāo)I卷：第7題，性、奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系則是高

（3）借助圖象理解正弦函5分考考察的重心.從近幾年的高考情況來

2024年新課標(biāo)II卷：第9題，看，比較注重對三角函數(shù)的幾大性質(zhì)之

數(shù)、余弦函數(shù)在［0,2出上

6分間的邏輯關(guān)系的考查，試題多以選擇題、

的性質(zhì)及正切函數(shù)在2024年全國甲卷（文數(shù)）：填空題的形式呈現(xiàn)，難度中等或偏下.

（一f上的性質(zhì)第13題，5分

?知識梳理

【知識點1三角函數(shù)的定義域與值域的求解策略】

1.三角函數(shù)的定義域的求解思路

求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式（組），解三角不等式（組）常借助三角函數(shù)的圖象.

2.求解三角函數(shù)的值域（最值）常見的幾種類型：

⑴形如y=asinx+6cosx+c的三角函數(shù)化為尸4sin（ox+p）+c的形式，再求值域（最值）；

（2）形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=/,化為關(guān)于/的二次函數(shù)求值域（最值）；

（3）形如y=asinxcosx+b（sinx士cosx）+c的三角函數(shù)，可先設(shè)尸sinx士cosx,化為關(guān)于/的二次函數(shù)求值域（最

值）.

【知識點2三角函數(shù)的周期性、對稱性、奇偶性的求解思路】

1.三角函數(shù)周期的一般求法

(1)公式法；

(2)不能用公式求函數(shù)的周期時，可考慮用圖象法或定義法求周期.

2.三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心的求解策略

(1)對于可化為外)=/sin(5+°)(或於)=/cos(s+p))形式的函數(shù)，如果求段)的對稱軸，只需令

■7T

a)x+(p=y+ATI(A:GZ)(或令69%+夕=析(左€Z)),求x即可；如果求/(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令

、7T

0x+p=加(左CZ)(或令0x+°=,+E(任Z)),求x即可.

(2)對于可化為/(x)=/tan(0x+9)形式的函數(shù)，如果求/(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令a>x+<p=?~

(任Z)),求x即可.

3.三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法

三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在y=/sin(ox+o)中代入x=0,

若尸0則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值則為偶函數(shù).

■JT

若產(chǎn)/sin(ox+9)為奇函數(shù)，貝!I夕=析(左CZ)；若尸Zsin@x+p)為偶函數(shù)，則9=,+版(46Z).

【知識點3三角函數(shù)的單調(diào)性問題的解題策略】

1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法

求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成尸4sin(ox+p)形式，再求y=Nsin(ox+p)的單調(diào)區(qū)間，

只需把cox+<p看作一個整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把o化為正數(shù).

2.已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題思路

對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)。的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選

擇題，利用特值驗證排除法求解更為簡捷.

【方法技巧與總結(jié)】

1.對稱性與周期性

(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是;個周期，相鄰的對稱中心與對

稱軸之間的距離是;個周期.

(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是g個周期.

2.與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論

TT

⑴若尸4sin(s:+9)為偶函數(shù)，則(p=k7i+5(左CZ)；若為奇函數(shù)，則夕=左兀(任Z).

7T

(2)若〉=4COS(S+9)為偶函數(shù)，貝I9=E/EZ)；若為奇函數(shù)，則9=左乃+1(左EZ).

(3)若^=4@11(公什夕)為奇函數(shù)，貝!J9=左兀(左EZ).

?舉一反三

【題型1三角函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用】

【例1】(2024?全國?模擬預(yù)測)函數(shù)/0)=3"皿2力+2-，)在區(qū)間[-311,3可上的圖象可能是()

【解題思路】判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)/(0)>0判斷即可.

【解答過程】因為f(x)的定義域為R,且

/(-%)=cos(-x)-ln(2-x+2X)=cosx-ln(2-x+2X)=/(%),

所以久久)為偶函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故排除A,C.

因為/'(())=ln2>0,故排除B.

故選：D.

【變式1-1](2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測)函數(shù)y=cosx與y=lg|x|的圖象的交點個數(shù)是()

A.2B.3C.4D.6

【解題思路】在同一坐標(biāo)系中，作出兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點個數(shù).

【解答過程】函數(shù)y=cosx與y=lg|x|都是偶函數(shù)，其中COS2TT=COS4TT=1,lg4it>IglO=1>lg2ir,

在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=cosx與y=lg|%]的圖象，如下圖，

如

尸1g團y=cosxI

]/7、、——?x^~\?

■4兀兀、2兀77tz4兀攵

由圖可知，兩函數(shù)的交點個數(shù)為6.

故選：D.

【變式1-2](2024?山東?一模)函數(shù)/(久)=度辭上，則y=/O)的部分圖象大致形狀是()

OxO/x

C.D.

【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及xe(o,9時函數(shù)值的正負，通過排除法得答案.

【解答過程】函數(shù)y=/(x)的定義域為R,

-xx

rf、(e-l)sin(-x)(e-l)sinxf

f(一切=-—=鏟+1=f(x)，

即函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)，排除BD；

當(dāng)xe(03)時，/(￡)=三等上〉0,排除C.

故選：A.

【變式1-3](2023?河南鄭州?一模)已知函數(shù)/(%)=/+0一為，g(%)=sin%,下圖可能是下列哪個函數(shù)的圖

B.f(x)-g(x)+2

c.f(%),gO)D,嚶

【解題思路】利用奇偶性和特殊點函數(shù)值的正負進行判斷.

【解答過程】對于/(%)=1+e—:但定義域為R,滿足/(—%)=er+e%=/(%),為偶函數(shù).

同理可得：g(%)=sin%為奇函數(shù).

t己九(%)=/(%)+g(%)-2,貝！=f(-%)+g(-%)_2=f{x}-g(x)-2

所以九(一%)Wh(%)且h(-%)H所以/(久)+9(%)-2為非奇非偶函數(shù)；

同理可證：/(X)—g(x)+2為非奇非偶函數(shù)；/(X)?g(x)和需為奇函數(shù).

由圖可知，圖像對應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，且0<f(l)<l.

顯然選項A,B對應(yīng)的函數(shù)都不是奇函數(shù)，故排除；

對C:y-/(x)-g(x)=(ex+e-x)sinx,為奇函數(shù).

當(dāng)x=l時，(e+1)sinl>(e+1)sin^>(e+1)ex^>^>1,故錯誤;

對D,、=得=/箸，為奇函數(shù)一

sinl

當(dāng)％=1時，?藥<1.故正確.

故選：D.

【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】

【例2】(2024?廣東湛江?二模)函數(shù)f(x)=4sin(5x-》在[上的值域為()

A.[—2,2]B.[-2,4]C.[-2A/3^,4]D.[-2V3^,2]

【解題思路】先求得5x-W的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可容易求得結(jié)果.

【解答過程】因為xe[o,=],所以5x—然[一,4所以sin(5x—?)€昌,1],

故/(久)=45也(5乂一0在[0*]上的值域為[一2,4].

故選：B.

【變式2-1](2024?河南鄭州?一模)已知函數(shù)/(幻=25也(3尤—伙3>0)在[0,4上的值域為[—1,2],則3的

取值范圍為()

A*，2]B.[i,|]C,[|,i]D,[|,1]

【解題思路】根據(jù)題意可得-法再利用值域可限定三梟-群n+也解得3的取值范圍

明I1

[解答過程]由久e[o4及3>0可得e[一況3一1,

根據(jù)其值域為[—1,2],且2sin(—》=—1,

由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得與《3—三TT+也

即可得:線4，解得於

故選：B.

【變式2-2](2024?安徽安慶?二模)已知函數(shù)=2cos2?+sin2s:-1?>0)的圖象關(guān)于點g,0)對稱,

且八支)在(0()上沒有最小值，則3的值為()

A.-B.-C.-D.—

【解題思路】先化簡解析式，根據(jù)對稱性可得3=2k-1■，/CeZ,再結(jié)合最小值點即可求解.

【解答過程】/(x)=2COS2OJX+sin2tox—1=cos2o)x+sin2o>x=V2sin^2a)x+；)

因為f(x)的圖象關(guān)于點值,0)對稱，

所以fG)=缶皿惇+：)=。,

故子+3eZ,即3=2k—eZ,

當(dāng)23X+A苫+2/CTT,即％=-蕓+詈加62時，函數(shù)f(x)取得最小值，

因為f(x)在僅W)上沒有最小值，

所以葛冶,即

由3=2k—JW?解得kW故k=l,得3=*

Zo1OZ

故選：B.

【變式2-3](2024?內(nèi)蒙古包頭?一模)已知函數(shù)/(%)=/sin(3%+9)(人>0,3>0,\(p\<勺的最大值為2,

其圖象上相鄰的兩條對稱軸之間的距離為且/(%)的圖象關(guān)于點(-2,0)對稱，則/(x)在區(qū)間[o,4上的最

小值為()

A.~y/3B.-1C.-2D.0

【解題思路】利用題目條件求出/(%)的解析式，然后討論/(久)在[。,才上的單調(diào)性即可.

【解答過程】由條件知4=2,2=*sin(-"3+@)=0,

從而4=3=2,sin(@—1)=0,

所以⑴一］=kn,kGZ,即0=GZ,

又因為|伊|<p故左=0,0=1

這說明/(x)=2sin(2x+(),該函數(shù)在[o*]上遞增，在上遞減.

又f(0)=1/弓)=-1，所以f(x)在區(qū)間[o,1上的最小值為一1.

故選：B.

【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對稱性問題】

【例3】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=3sin(3x+5+L則下列結(jié)論不正確的是()

A./(%)的圖象關(guān)于點(署,1)對稱

B.若久久+t)是偶函數(shù)，則t=^+/,kez

c.不)在區(qū)間[。局上的值域為國,|]

D./(X)的圖象關(guān)于直線光=成寸稱

【解題思路】代入驗證法判斷函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心和對稱軸，進而判斷選項AD；求得f的值判斷選

項B；求得f(x)在區(qū)間[0,汗上的值域判斷選項C.

【解答過程】對于A：/g)=3sin(3x§+^)+1=1,

則f(x)的圖象關(guān)于點(M，l)對稱，故A正確.

對于B