專題10一次函數(shù)【必拿分】

一、規(guī)律分析

“一次函數(shù)”通常出現(xiàn)在天津中考數(shù)學填空題部分第16題和解答題部分第23題，主要涵蓋以下幾個考點:

1.一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系；

2.一次函數(shù)解析式與圖像變換；

3.一次函數(shù)的實際應用。

二、考點詳解

1.一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系

(1)在一次函數(shù)y=fct+b中，當左>0時,y隨x增大而增大。

①當6>0時，直線交y軸于正半軸，過一、二、三象限。

②當6<0時，直線交y軸于負半軸，過一、三、四象限。

(2)在一次函數(shù)y=+b中，當左<0時，y隨x增大而減小。

①當6>0時，直線交y軸于正半軸，過一、二、四象限。

②當b<0時，直線交y軸于負半軸，過二、三、四象限。

2.一次函數(shù)解析式與圖像變換

(1)一次函數(shù)圖象的平移

直線y=Ax+b可以看做由直線｝；=依平移|引個單位得到的。6>0時，向上平移；6<0時，向下平移。

①如果兩條直線平行，那么兩條直線的斜率A相等，反過來，如果兩條直線的斜率％相等，那么兩條直線平行。

②平移規(guī)律：上加下減，左加右減。

(2)一次函數(shù)圖象的對稱

①直線y=Ax+6關于x軸對稱的另一條直線的解析式為y=—kx—b。

推導過程：x不變，》變成即-y=Ax+bny=-kx-b.(橫坐標不變，縱坐標是原來的相反數(shù))

②直線y=Ax+b關于y軸對稱的另一條直線的解析式為y=-kx+b.

推導過程：y不變，x變成-x,^y=k(-x)+bny=-kx+b.(縱坐標不變，橫坐標是原來的相反數(shù))

(3)直線y=Ax+b關于原點對稱的另一條直線的解析式為y=Ax-b。

推導過程：x和y都變成相反數(shù)，即->=左(-x)+bny=kx-b,(橫、縱坐標都變成原來的相反數(shù))

(3)一次函數(shù)圖象的旋轉

①直線y=+b旋轉90°所得另一條直線與原直線垂直，斜率乘積為-1,另一條直線的解析式為^=-依+6。

②直線y=Ax+b旋轉其他特殊角，例如30°、45。、60°,可以通過構造直角三角形，利用勾股定理求出旋轉后

的坐標，或者直接利用三角函數(shù)求解。

3.一次函數(shù)的應用

（1）求函數(shù)解析式

①文字型：從題干中提取兩組有關的量（不同的自變量及對應的函數(shù)值）作為一次函數(shù)圖象上兩點，代入解析式中

列方程組求解。

②表格型：從表格中提取對應（通常為同一列）的兩組量，代入解析式中列方程組求解。

③圖象型：任意找出函數(shù)圖象上兩點，將兩點坐標分別代入解析式中列方程組求解。若為分段函數(shù)，要分別求出每

一段的解析式，最后注明各段函數(shù)圖象對應自變量的取值范圍。分段函數(shù)是在不同區(qū)間內(nèi)存在不同對應方式的函數(shù),

要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學合理，又要符合實際。

（2）方案選取問題

題干中涉及兩個函數(shù)解析式，解題方法如下：

①根據(jù)解析式分類討論，比較兩種方案在不同取值下的最優(yōu)結果。

②根據(jù)題意列不等式，求出自變量的取值，然后根據(jù)題意選取符合題意的自變量的取值，分別代入兩個一次函數(shù)解

析式中比較，選擇最優(yōu)方案。

（3）利潤（費用）最值問題

在自變量的實際取值范圍內(nèi)，根據(jù)函數(shù)圖象的增減性，找出自變量為何值時，函數(shù)的最?。ù螅┲?。

三、真題在線

1.（2022?天津中考?第16題）若一次函數(shù)y=x+b（b是常數(shù)）的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則6的值可以是（寫

出一個即可）.

解：?.?一次函數(shù)y=x+b（6是常數(shù)）的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，

，6>0,

可取6=1,

答案：1.（答案不唯一，滿足6>0即可）

2.（2021?天津中考?第16題）將直線y=-6x向下平移2個單位長度，平移后直線的解析式為.

解：將直線y=-6x向下平移2個單位長度，平移后直線的解析式為y=-6x-2,

答案：y—~6x-2.

3.（2020?天津中考?第16題）將直線y=-2x向上平移1個單位長度，平移后直線的解析式為.

解：將直線y=-2x向上平移1個單位，得到的直線的解析式為y=-2x+l.

答案：y--2x+l.

4.（2022?天津中考?第23題）在“看圖說故事”活動中，某學習小組結合圖象設計了一個問題情境.

已知學生公寓、閱覽室、超市依次在同一條直線上，閱覽室離學生公寓1.2物?，超市離學生公寓2切7.小琪從學

生公寓出發(fā)，勻速步行了\2min到閱覽室；在閱覽室停留70加"后，勻速步行了Wmin到超市；在超市停留20min

后，勻速騎行了力返回學生公寓.給出的圖象反映了這個過程中小琪離學生公寓的距離比加與離開學生公寓

的時間xmin之間的對應關系.

請根據(jù)相關信息，解答下列問題：

(I)填表:

離開學生公寓的時間/冽就585087112

離學生公寓的距離/加70.5——1.6—

(II)填空：

①閱覽室到超市的距離為km；

②小琪從超市返回學生公寓的速度為km/min；

③當小琪離學生公寓的距離為1切;時，他離開學生公寓的時間為min.

解：(I)根據(jù)題意得：小琪從學生公寓出發(fā)，勻速步行了12加〃到達離學生公寓1.2h?的閱覽室,

.?.離開學生公寓的時間為8加”，離學生公寓的距離是77X8=0.8(km),

由圖象可知：離開學生公寓的時間為50〃”"，離學生公寓的距離是1.2g，

離開學生公寓的時間為112M加,離學生公寓的距離是2府，

答案：0.8,1.2,2；

(II)①閱覽室到超市的距離為2-1.2=0.8(km),

答案：0.8；

2

②小琪從超市返回學生公寓的速度為,“=0.25Ckm/min),

120—112

答案：0.25；

1

③當小琪從學生公寓出發(fā)，離學生公寓的距離為1府時，他離開學生公寓的時間為=1。(加沅);

1.Z—12

當小琪從超市出發(fā)，離學生公寓的距離為1加時，他離開學生公寓的時間為112+導=116(min),

答案：10或116；

(III)當0WxW12時,y=0.1x；

當12VxW82時，y=1.2;

o_1o

當82VxW92時，y=1.2+o(x-82)=0.08x-5.36,

yzO—oz

0.1%(0<%<12)

1.2(12<x<82).

(0.08%-5.36(82<x<92)

5.(2021?天津中考?第23題)在“看圖說故事”活動中，某學習小組結合圖象設計了一個問題情境.

已知學校、書店、陳列館依次在同一條直線上，書店離學校12h7,陳列館離學校20后江李華從學校出發(fā)，勻速

騎行0.6/7到達書店；在書店停留0.4〃后，勻速騎行0.5〃到達陳列館；在陳列館參觀學習一段時間，然后回學校;

回學校途中，勻速騎行0.5〃后減速，繼續(xù)勻速騎行回到學校.給出的圖象反映了這個過程中李華離學校的距離

ykm與離開學校的時間xh之間的對應關系.

請根據(jù)相關信息，解答下列問題：

(I)填表：

離開學校的時間/〃0.10.50.813

離學校的距離/前？2——12—

(II)填空:

①書店到陳列館的距離為km；

②李華在陳列館參觀學習的時間為A;

③李華從陳列館回學校途中，減速前的騎行速度為km/h；

④當李華離學校的距離為4左加時，他離開學校的時間為h.

(Ill)當0WxW1.5時，請直接寫出y關于x的函數(shù)解析式.

解：(I)由題意得：當尤=0.5時，y=10；當x=0.8時，y=12；當x=3時，》=20；

答案:10；12；20；

(II)由題意得：

①書店到陳列館的距離為：(20-12)=8Qkm)；

②李華在陳列館參觀學習的時間為：(4.5-1.5)=3(萬)；

③李華從陳列館回學校途中，減速前的騎行速度為：(20-6)+(5-4.5)=28(kmlhX

④當李華離學校的距離為4km時，他離開學校的時間為：44-(2+0.6)=看(〃)或5+(6-4)4-[64-(5.5-5)]=

㈤，

答案：①8；②3；③28；

(III)當0WxW0.6時，y=20x；

當0.6VxWl時，y=12；

當1<XW1.5時，設y關于x的函數(shù)解析式為了=履+從根據(jù)題意，得:

(k+b=12

ll.5fc+/?=20'

*.y=\6x-4,

20x(0<x<0,6)

12(0.6<x<1)

(16x-4(l<x<1.5)

6.(2020?天津中考?第23題)在“看圖說故事”活動中，某學習小組結合圖象設計了一個問題情境.

已知小亮所在學校的宿舍、食堂、圖書館依次在同一條直線上，食堂離宿舍0.7和;，圖書館離宿舍1的?.周末,

小亮從宿舍出發(fā)，勻速走了7如?"到食堂；在食堂停留16〃”〃吃早餐后，勻速走了5%沅到圖書館；在圖書館停留

30加沅借書后，勻速走了10加〃返回宿舍.給出的圖象反映了這個過程中小亮離宿舍的距離武心與離開宿舍的時

間xmin之間的對應關系.

請根據(jù)相關信息，解答下列問題：

(I)填表：

離開宿舍的時間/冽就25202330

離宿舍的距離/few0.2—0.7——

(II)填空：

①食堂到圖書館的距離為km-,

②小亮從食堂到圖書館的速度為km/min；

③小亮從圖書館返回宿舍的速度為km/min；

④當小亮離宿舍的距離為0.6如?時，他離開宿舍的時間為min.

(III)當0WxW28時，請直接寫出y關于x的函數(shù)解析式.

解：(I)由圖象可得，

在前7分鐘的速度為0.7+7=0.1(km/min),

故當x=5時，離宿舍的距離為0.1X5=0.5(km),

在70W23時，距離不變，都是0.7初7,故當x=23時，離宿舍的距離為0.7癡,

在28WxW58時，距離不變，都是1筋?，故當x=30時，離宿舍的距離為1加，

答案：0.5,0.7,1；

(II)由圖象可得，

①食堂到圖書館的距離為1-0.7=0.3(而)，

答案：0.3；

②小亮從食堂到圖書館的速度為：0.3+(28-23)=0.06(km/min),

答案：0.06；

③小亮從圖書館返回宿舍的速度為：1+(68-58)=0.1am/min),

答案：0.1；

④當0WxW7時，

小亮離宿舍的距離為0.6切?時，他離開宿舍的時間為0.6+0.1=6(min),

當58WxW68時，

小亮離宿舍的距離為0.6癡時，他離開宿舍的時間為(1-0.6)+0.1+58=62(min),

答案：6或62；

(111)由圖象可得，

當0WxW7時，y=0.1x；

當7<xW23時，y=0.7；

當23cxW28時，設卜=h+6,

(23k+b=0.7彳導［k—0.06

l28fc+b=1'.lb=-0.68'

即當23cxW28時，y=0.06x-0.68；

ro.lx(0<%<7)

由上可得，當0WxW28時，y關于x的函數(shù)解析式是y=1o.7(7<%<23).

(0.06%-0.68(23<x<28)

四、趨勢預測

重點關注“一次函數(shù)圖象的平移”和“一次函數(shù)的實際應用”。

7.將直線y=2x-3向上平移5個單位長度，平移后直線的解析式為產(chǎn)2x+2.

解：將直線y=2x-3向上平移5個單位長度，平移后直線的解析式為：y=2x-3+5=2x+2.

答案：y—2x+2.

8.將直線y=-2x-3向上平移3個單位長度，平移后直線的解析式為尸-2x.

解：將直線y=-2x-3向上平移3個單位長度，平移后直線的解析式為：y=-2x-3+3=-2x.

答案：y=-lx.

9.若一次函數(shù)y=-2x+b(6為常數(shù))的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則6的值可以是-1(寫出一個即可).

解：「一次函數(shù)y=-2x+6(6為常數(shù))的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，

.'.^<0,b<0.

答案：-1.

1

10.已知一次函數(shù)y=(-2a+l)x+5的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則。的取值范圍是a

2—'

解：根據(jù)題意，得-2a+l>0,

解得a<1,

答案：0〈參

11.已知直線y=fcv+b過第一象限且函數(shù)值隨著x的增大而減小，請列舉出來這樣的一條直線：尸-x+1（答案

不唯一）.

解：?.?直線過第一象限且函數(shù)值隨著x的增大而減小，

.*"<0,b>0,

,符合條件的函數(shù)關系式可以為：y=-尤+1（答案不唯一）.

答案：y=-x+1（答案不唯一）.

12.在平面直角坐標系中，將函數(shù)y=3x的圖象向上平移6個單位長度，則平移后的圖象與x軸的交點坐標為（-

2,0）.

解：：將函數(shù)y=3x的圖象向上平移6個單位長度的解析式為y=3x+6,

???當y=0時，x=-2,

???平移后與x軸的交點坐標為（-2,0）,

答案：（-2,0）.

13.直線y=-2x+5與x軸的交點坐標為（3，0）.

解：令夕=0,則》=今

.,.與x軸的交點坐標為（―,0）.

答案：（|，0）.

14.如圖，點8的坐標是（0,3）,將△38沿x軸向右平移至點3的對應點￡恰好落在直線y=2x-3

上，則點］移動的距離是3.

解：當y=2x-3=3時，x—3,

...點E的坐標為（3,3）,

AOAB沿x軸向右平移3個單位得到

...點/與其對應點間的距離為3.

答案：3.

15.如圖圖象所反映的過程是：張強家、早餐店、體育場依次在同一條直線上，張強從家出發(fā)勻速跑步去體育場,

在那里鍛煉了一段時間后，又勻速步行去早餐店吃早餐，然后勻速散步回到家，其中X表示張強離開家的時間,

y表示張強離家的距離.

請根據(jù)相關信息，解答下列問題：

(I)填表:

張強離開家的時間/min58152040

張強離家的距離/癡11.6221.2

(II)填空：

①張強從家出發(fā)到體育場的速度為0.2kmlmin；

②張強在體育場運動的時間為10min；

③張強從體育場到早餐店的速度為0.08km/min；

④當張強離家的距離為0.6千米時，他離開家的時間為3或55min.

(III)當0WxW30時，請直接寫出y關于x的函數(shù)解析式.

解：(I)張強從家跑步去體育場的速度為：2+10=0.2(km/min),

所以離家8分鐘時，離家距離為：02X8=1.6(km),

張強離開家的時間/min58152040

張強離家的距離/加11.6221.2

答案：1.6；

(II)根據(jù)題意，得：

①張強從家跑步去體育場的速度為：2+10=0.2(kmlmin)；

②張強在體育場運動的時間為：20-10=10(min)；

③張強從體育場到早餐店的速度為：(2-1.2)4-10=0.08(km/min).

④當張強離家的距離為0.6千米時，他離開家的時間為：0.6+0.2=3(min)或40+(1.2-0.6)+[1.2+(70-

40)]=55(min)；

答案：①0.2；②10；③0.08；④3或55；

(III)當OWxWlO時，y=0.2x；

當10VxW20時，y=2；

當20cxW30時，設》=履+6,

由題意得：｛舞

130k+b=1.2

解得：[k=-0.08

''1b=3.6

??y=-0.08x+3.6.

p.2x（0<%<10）

綜上所述，y=[2（10VxW20）

（-0.08x+3.6（20<x<30）

16.在一條筆直的公路上有/、5兩地，甲、乙二人同時出發(fā)，甲從N地步行勻速前往8地，到達3地后，立刻以

原速度沿原路返回/地.乙從2地步行勻速前往/地（甲、乙二人到達/地后均停止運動），甲、乙二人之間的

距離y（米）與出發(fā)時間x（分鐘）之間的函數(shù)關系如圖所示，請結合圖象解答下列問題:

（1）/、8兩地之間的距離是1200米,乙的步行速度是60米/分:

（2）圖中.=900,b=800,c=15；

（3）求線段MN的函數(shù)解析式；

（4）在乙運動的過程中，何時兩人相距80米？（直接寫出答案即可）

解：（1）由圖象知：當x=0時，y=1200,

：.A.8兩地之間的距離是1200米；

由圖象知：乙經(jīng)過20分鐘到達

―1200

，乙的速度為W=60（米/分）.

答案：1200；60；

（2）由圖象知：當彳=竿時，y=0,

甲乙二人的速度和為：1200+竽=140（米/分），

設甲的速度為x米/分，則乙的速度為（140-x）米/分,

，140-x==60,

??%—80.

甲的速度為80（米/分），

?.?點M的實際意義是經(jīng)過c分鐘甲到達B地,

.\c=12004-80=15（分鐘）,

."=60X15=900（米）.

V點N的實際意義是經(jīng)過20分鐘乙到達A地，

.?.6=900-（80-60）X5=800（米）;

答案：900；800；15；

（3）由題意得：M（15,900）,N（20,800）,

設線段MN的解析式為夕=履+〃，

.（15k+n=900

"120/c+n=800'

解得.代=一20

解侍,3=1200

線段的解析式為y=-20x+1200（15WxW20）；

64

（4）在乙運動的過程中，二人出發(fā)后第8分鐘和第7-分鐘兩人相距80米.理由：

①相遇前兩人相距80米時，二人的所走路程和為1200-80=1120（米），

.,.11204-140=8（分鐘）；

②相遇后兩人相距80米時，二人的所走路程和為1200+80=1280（米），

；.1280+140=亨（分鐘）.

64

綜上，在乙運動的過程中，二人出發(fā)后第8分鐘和第7■分鐘兩人相距80米.

17.在一條平坦筆直的道路上依次有4,B,C三地，甲從2地騎電瓶車到C地，同時乙從B地騎摩托車到/地，

到達/地后因故停留1分鐘，然后立即掉頭（掉頭時間忽略不計）按原路原速前往C地，結果乙比甲早2分鐘

到達。地，兩人均勻速運動，如圖是兩人距3地路程y（米）與時間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象.

請解答下列問題：

（1）填空：甲的速度為300米/分鐘,乙的速度為800米/分鐘:

（2）求圖象中線段尸G所在直線表示的y（米）與時間x（分鐘）之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范

圍；

（3）出發(fā)多少分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米？請直接寫出答案.

解：（1）根據(jù)題意可知。（1,800）,E（2,800）,

，乙的速度為：8004-1=800（米/分鐘），

，乙從8地到C地用時：24004-800=3(分鐘),

：.G(6,2400).

：.H(8,2400).

，甲的速度為2400+8=300(米/分鐘)，

答案：300；800；

(2)設直線/G的解析式為：y=kx+b(后W0),且由圖象可知/(3,0),

由(1)知G(6,2400).

.(3k+b—0

"l6k+b=2400'

解得，c

...直線尸G的解析式為：y=800x-2400(3WxW6).

(3)由題意可知，43相距800米，2c相距2400米.

VO(0,0),H(8,2400),

二直線。/7的解析式為：y=3QQx,

,:D(1,800),

二直線。。的解析式為：y=800x,

當OWxWl時，甲從8地騎電瓶車到C地，同時乙從2地騎摩托車到工地，即甲乙朝相反方向走，

.?.令800x+300x=600,解得x=條.

:當2WxW3時，甲從8繼續(xù)往C地走，乙從/地往2地走，

/.300X+800-800(x-2)=600解得工=噂(不合題意，舍去)

?當x>3時，甲從3繼續(xù)往C地走，乙從8地往C地走，

.,.300%+800-800(x-2)=600或800G-2)-(300x+800)=600,

解得x=苧或x=6.

618

綜上，出發(fā)77分鐘或百分鐘或6分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米.

18.為抗擊疫情，支援8市，/市某蔬菜公司緊急調運兩車蔬菜運往5市.甲、乙兩輛貨車從/市出發(fā)前往8市，

乙車行駛途中發(fā)生故障原地維修，此時甲車剛好到達2市.甲車卸載蔬菜后立即原路原速返回接應乙車，把乙

車的蔬菜裝上甲車后立即原路原速又運往8市.乙車維修完畢后立即返回N市.兩車離/市的距離y(后相)與

乙車所用時間x(/?)之間的函數(shù)圖象如圖所示.

(1)甲車速度是1度krnlh,乙車出發(fā)時速度是60。加，:

(2)求乙車返回過程中，乙車離/市的距離y(km)與乙車所用時間x(〃)的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量

的取值范圍)；

(3)乙車出發(fā)多少小時，兩車之間的距離是120加7?請直接寫出答案.

解：(1)由圖象可得，

甲車的速度為：5004-5=100(km/h'),

乙車出發(fā)時速度是：3004-5=60Qkm"),

答案：100,60；

(2)乙車返回過程中，設乙車離/市的距離y與乙車所用時間x(A)的函數(shù)解析式是^=依+6,

:點(9,300),(12,0)在該函數(shù)圖象上，

.(9k+b=300

,*il2fc+b=0'

解得憶溫

即乙車返回過程中，乙車離/市的距離y(km)與乙車所用時間x(A)的函數(shù)解析式是y=-100x+1200；

(3)設乙車出發(fā)加小時，兩車之間的距離是120面，

當0<%<5時，

100m-60m=120,

解得根=3；

當5,5<w<8時，

100-5.5)+120+300=500,

解得加=6.3；

當9<w<12時，

乙車返回的速度為：3004-(12-9)=100Qkm/h),

100(m-8)+100(m-9)=120,

解得比=9.1；

答：乙車出發(fā)3小時或6.3小時或9.1小時，兩車之間的距離是120版?.

19.甲騎電動車，乙騎自行車從深圳灣公園門口出發(fā)沿同一路線勻速游玩，設乙行駛的時間為x(〃)，甲、乙兩人

距出發(fā)點的路程S甲、S乙關于x的函數(shù)圖象如圖1所示，甲、乙兩人之間的路程差y關于x的函數(shù)圖象如圖2所

示，請你解決以下問題：

圖①圖②

(1)甲的速度是25km，,乙的速度是10km"：

(2)對比圖1、圖2可知：a=10,b=1.5；

(3)請寫出甲乙兩人之間的距離d與x之間的函數(shù)關系式(注明x的取值范圍).

(4)乙出發(fā)多少時間，甲、乙兩人相距7.5左加？

解：(1)由圖可得，

甲的速度為：254-(1.5-0.5)=25+1=25(物力)，乙的速度為：25+2.5=10(WA),

答案：25,10；

(2)由圖可得，

a=25X(1.5-0.5)-10X1.5=10,

b=1.5,

答案：10；1.5；

(3)當0WxW0.5時，y=10x；

甲乙第一次相遇時，