第三講奇數(shù)和偶數(shù)及數(shù)的奇偶性第一部分：趣味數(shù)學奇數(shù)偶數(shù)的爭吵奇數(shù)偶數(shù)的爭吵數(shù)字王國里，奇數(shù)與偶數(shù)是一對形影不離的好朋友。不知為啥，他倆卻吵了起來，好學的聰聰連忙前來勸架。奇數(shù)先上前拉住聰聰?shù)氖终f：“聰聰哥哥，你寫作文時總是偏愛我們，對吧！”“說來聽聽?！甭斅斆φf?！熬统烧Z來說，有‘一帆風順’、‘一馬當先’、‘一日三秋’、‘三申五令’、‘三教九流’、‘九牛一毛’……我一口氣能說出這么一大堆，對吧！”奇數(shù)說完，臉上浮現(xiàn)出得意的神情。偶數(shù)不甘示弱，連忙拉住聰聰?shù)氖终f：“聰聰哥，你寫作文時，不更偏愛我嗎？‘兩袖清風’、‘十全十美’、‘百發(fā)百中’、‘四通八達’、‘四平八’、‘四面八方’……這些詞語里不就有我們偶數(shù)的身影嗎？聰聰哥，你說是不是?。繘r且，人們還常說‘無獨有偶’哩！”奇數(shù)聽了，忙說：“這有什么，你不也聽說過‘獨一無二’嗎？你有作何解釋？何況連國王都寵愛我們，說話都是‘一言九鼎’吶！”奇數(shù)又進行反駁，偶數(shù)聽了，忙著爭辯。聰聰停住了他倆的爭吵，說：“奇數(shù)，你難道沒聽見國王說‘一言既出，駟馬難追’嗎？這里既有你，也有他，你們別爭了，爭了半天，我也弄明白了。你們看問題比較片面，沒看到事物的本質(zhì)。其實在成語里，更多的是你們同時登場，比如說‘一箭雙雕’、‘三心二意’、‘一本萬利’、‘四分五裂’、‘一刀兩斷’……你們各有所長，誰也離不開誰。我們?nèi)祟惒粫核摹?，也不會‘低三下四’，更不會在背后‘不三不四’地議論你們。因為你們是我們?nèi)祟惖暮门笥?。只要你們‘萬眾一心’團結起來，擰成一股繩，就能成為一個自然數(shù)整體，成為一對真正的好兄弟。你們說，是不是？”聰聰?shù)囊幌挘缰亻城迷诹似鏀?shù)和偶數(shù)的心坎上。兄弟倆面紅耳赤，都低下頭了。聰聰起身走時，看見奇數(shù)和偶數(shù)的手緊緊地拉在了一起。第二部分：奧數(shù)小練【例題1】1+2+3+4+5+......+119+120的結果是奇數(shù)還是偶數(shù)?【思路導航】1到120有120個數(shù)，其中有60個奇數(shù)，60個偶數(shù)。60個奇數(shù)的和是偶數(shù)，60個偶數(shù)的和是偶數(shù)，偶數(shù)十偶數(shù)=偶數(shù)。1+2+3+4+5+……+119+120的結果是偶數(shù)。練習一：1.1十2+3+4+5+……+198+199的結果是奇數(shù)還是偶數(shù)?2.1+2+3+?+1993的和是奇數(shù)？還是偶數(shù)？3.有100個自然數(shù)，它們的和是偶數(shù).在這100個自然數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)比偶數(shù)的個數(shù)多.問：這些數(shù)中至多有多少個偶數(shù)？【例題2】一個數(shù)分別與另外兩個相鄰奇數(shù)相乘，所得的兩個積相差150，這個數(shù)是多少？【思路導航】解法1：相鄰兩個奇數(shù)相差2，150是這個要求數(shù)的2倍。這個數(shù)是150÷2=75。解法2：設這個數(shù)為x，設相鄰的兩個奇數(shù)為2a+1，2a-1（a≥1），則有（2a+1）x-（2a-1）x=150，2ax+x-2ax+x=150，2x=150，x=75。這個要求的數(shù)是75。練習二1.有一串數(shù)，最前面的四個數(shù)依次是1、9、8、7.從第五個數(shù)起，每一個數(shù)都是它前面相鄰四個數(shù)之和的個位數(shù)字.問：在這一串數(shù)中，會依次出現(xiàn)1、9、8、8這四個數(shù)嗎？2.求證：四個連續(xù)奇數(shù)的和一定是8的倍數(shù)。3.把任意6個整數(shù)分別填入右圖中的6個小方格內(nèi)，試說明一定有一個矩形，它的四個角上四個小方格中的四個數(shù)之和為偶數(shù)?！纠}3】元旦前夕，同學們相互送賀年卡。每人只要接到對方賀年卡就一定回贈賀年卡，那么送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)？為什么？【思路導航】此題初看似乎缺總人數(shù).但解決問題的實質(zhì)在送賀年卡的張數(shù)的奇偶性上，因此與總人數(shù)無關。由于是兩人互送賀年卡，給每人分別標記送出賀年卡一次.那么賀年卡的總張數(shù)應能被2整除，所以賀年卡的總張數(shù)應是偶數(shù)。送賀年卡的人可以分為兩種：一種是送出了偶數(shù)張賀年卡的人：他們送出賀年卡總和為偶數(shù)。另一種是送出了奇數(shù)張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數(shù)=所有人送出的賀年卡總數(shù)-所有送出了偶數(shù)張賀年卡的人送出的賀年卡總數(shù)=偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)。他們的總人數(shù)必須是偶數(shù)，才使他們送出的賀年卡總數(shù)為偶數(shù)。所以，送出奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)一定是偶數(shù)。練習三：1.如果兩個人通一次電話，每人都記通話一次，在24小時以內(nèi)，全世界通話次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總數(shù)為____。（A）必為奇數(shù)，（B）必為偶數(shù)，（C）可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)。2.一次宴會上，客人們相互握手.問握手次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。3.有12張卡片，其中有3張上面寫著1，有3張上面寫著3，有3張上面寫著5，有3張上面寫著7。你能否從中選出五張，使它們上面的數(shù)字和為20？為什么？【例題4】已知a、b、c中有一個是5，一個是6，一個是7.求證a-1，b-2，c-3的乘積一定是偶數(shù)?！舅悸穼Ш健縜、b、c中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)，a、c中至少有一個是奇數(shù)，a-1，c-3中至少有一個是偶數(shù)。偶數(shù)×整數(shù)=偶數(shù)，（a-1）×（b-2）×（c-3）是偶數(shù)。練習四1.如下頁圖，從起點始，隔一米種一棵樹，如果把三塊“愛護樹木”的小牌分別掛在三棵樹上，那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹，它們之間的距離是偶數(shù)（以米為單位），這是為什么？2.線段AB有兩個端點，一個端點染紅色，另一個端點染藍色.在這個AB線段中間插入n個交點，或染紅色，或染藍色，得到n＋1條小線段（不重疊的線段）.試證：兩個端點不同色的小線段的條數(shù)一定是奇數(shù)。3.在中國象棋盤任意取定的一個位置上放置著一顆棋子“馬”，按中國象棋的走法，當棋盤上沒有其他棋子時，這只“馬”跳了若干步后回到原處，問：“馬”所跳的步數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？【例題5】在圓周上有1987個珠子，給每一珠子染兩次顏色，或兩次全紅，或兩次全藍，或一次紅、一次藍.最后統(tǒng)計有1987次染紅，1987次染藍.求證至少有一珠子被染上過紅、藍兩種顏色?！舅悸穼Ш健考僭O沒有一個珠子被染上過紅、藍兩種顏色，即所有珠子都是兩次染同色.設第一次染m個珠子為紅色，第二次必然還僅染這m個珠子為紅色.則染紅色次數(shù)為2m次。2m≠1987（偶數(shù)≠奇數(shù)）假設不成立。至少有一個珠子被染上紅、藍兩種顏色。練習五1.桌上有9只杯子，全部口朝上，每次將其中6只同時“翻轉(zhuǎn)”.請說明：無論經(jīng)過多少次這樣的“翻轉(zhuǎn)”，都不能使9只杯子全部口朝下。2.假設n盞有拉線開關的燈亮著，規(guī)定每次拉動（n-1）個開關，能否把所有的燈都關上？請證明此結論，或給出一種關燈的辦法。3.某校六年級學生參加區(qū)數(shù)學競賽，試題共40道，評分標準是：答對一題給3分，答錯一題倒扣1分.某題不答給1分，請說明該校六年級參賽學生得分總和一定是偶數(shù)。第三部分：數(shù)學史話哥德巴赫猜想哥德巴赫1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個質(zhì)數(shù)之和。但是哥德巴赫自己無法證明它，于是就寫信請教赫赫有名的大數(shù)學家歐拉幫忙證明，但是一直到死，歐拉也無法證明。因現(xiàn)今數(shù)學界已經(jīng)不使用“1也是素數(shù)”這個約定，原初猜想的現(xiàn)代陳述為：任一大于5的整數(shù)都可寫成三個質(zhì)數(shù)之和。歐拉在回信中也提出另一等價版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個質(zhì)數(shù)之和。今日常見的猜想陳述為歐拉的版本。把命題“任一充分大的偶數(shù)都可以表示成為一個素因子個數(shù)不超過a個的數(shù)與另一個素因子不超過b個的數(shù)之和”記作“a+b”。1966年陳景潤證明了“1+2”成立，即“任一充分大的偶數(shù)都可以表示成二個素數(shù)的和，或是一個素數(shù)和一個半素數(shù)的和”。參考答案：練習一1.1到199有199個數(shù)，其中有100個奇數(shù)，99個偶數(shù)。100個奇數(shù)的和是偶數(shù)，99個偶數(shù)的和是偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)。1+2+3+4+5+。。。。。。+198+199的結果是偶數(shù)。2.1993÷2=996?1，1～1993的自然數(shù)中，有996個偶數(shù)，有997個奇數(shù)。996個偶數(shù)之和一定是偶數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)，997個奇數(shù)之和是奇數(shù)。因為，偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)，所以原式之和一定是奇數(shù)。3.100個自然數(shù)和是偶數(shù)，說明奇數(shù)有偶數(shù)個，所以偶數(shù)至多有48個。練習二1.提示：先按規(guī)律寫出一些數(shù)來，再找其奇、偶性的排列規(guī)律，便可得到答案：不會依次出現(xiàn)1、9、8、8這四個數(shù)。2.設四個連續(xù)奇數(shù)是2n＋1，2n＋3，2n＋5，2n＋7，n為整數(shù)，則它們的和是（2n+1）＋（2n＋3）＋（2n＋5）+（2n＋7）＝2n×4＋16＝8n+16=8（n+2）。所以，四個連續(xù)奇數(shù)的和是8的倍數(shù)。3.設填入數(shù)分別為a1、a2、a3、a4、a5、a6.有假設要證明的結論不成立，則有：偶數(shù)≠奇數(shù)，假設不成立，命題得證。練習三1.應選擇（B）2.是偶數(shù)。3.不能。因為5個奇數(shù)的和為奇數(shù)，不可能等于20。練習四1.任意挑選三棵樹掛上小牌，假設第一棵掛牌的樹與第二棵掛牌的樹之間相距a米，第二棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間相距b米，那么第一棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間的距離c=a+b（米）（如下圖），如果a、b中有一個是偶數(shù)，題目已得證；如果a、b都是奇數(shù)，因為奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，所以c必為偶數(shù)，那么題目也得證。2.當在AB中插入第一點時，無論紅或藍色，兩端色不同的線段仍是一條。插入第二點時有三種情況：①插入點在兩端不同色的線段中，則兩端不同色線段條數(shù)不變。②插入點在兩端同色的線段中，且插入點顏色與線段端點顏色相同，則兩端不同色線段條數(shù)不變。③插入點在兩端同色的線段中，但插入點顏色與線段端點顏色不同，則兩端不同色線段條數(shù)增加兩條。因此插入第二個點時端點不同色的線段數(shù)比插入第一個點時端點不同色的線段數(shù)（=1）多0或2，因此是奇數(shù)（1或3）。同樣，每增加一個點，端點不同色的線段增加偶數(shù)（0或2）條。因此，無論n是什么數(shù)，端點不同色的線段總是奇數(shù)條。3.在中國象棋中，“馬”走“日”字，如果將棋盤上的各點按黑白二色間隔著色。（如圖），可以看出，“馬”走任何一步都是從黑色點走到白色點，或從白色點走到黑色點.因此，“馬”從一色點跳到另一同色點，必定要跳偶數(shù)步。因此，不論開始時“馬”在棋盤的哪個位置上，而且不論“馬”跳多少次，要跳回原處，必定要跳偶數(shù)步。練習五1.要使一只杯子口朝下，必須經(jīng)過奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)”。要使9只杯子口全朝下，必須經(jīng)過9個奇數(shù)之和次“翻轉(zhuǎn)”。即“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)為奇數(shù)。但是，按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)6只杯子，無論經(jīng)過多少次“翻轉(zhuǎn)”，翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)只能是偶數(shù)次。因此無論經(jīng)過多少次“翻轉(zhuǎn)”，都不能使9只杯子全部口朝下。2.當n為奇數(shù)時，不能按規(guī)定將所有的燈關上。因為要關上一盞燈，必須經(jīng)過奇數(shù)次拉動它的開關。由于n是奇數(shù)，所以n個奇數(shù)的和=奇數(shù)，因此要把所有的燈（n盞）都關上，拉動拉線開關的總次數(shù)一定是奇數(shù)。但因為規(guī)定每次拉動n-1個開關，且n-1是偶數(shù)，故按規(guī)定拉動開關的總次數(shù)一定是偶數(shù)。奇數(shù)≠偶數(shù)，當n為奇數(shù)時，不能按規(guī)定將所有燈都關上。當n為偶數(shù)時，能按規(guī)定將所有燈關上。關燈的辦法如下：設燈的編號為1，2，3，4，?，n.做如下操作：第一次，1號燈不動，拉動其余開關；第二次，2號燈不動，拉動其余開關；第三次