考點15函數(shù)模型的應用（3種核心題型+基礎保分練+綜合提

升練+拓展沖刺練）

D1【考試提醒】

1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異.

2.理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義

3.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應用

山illJ【知識點】

i.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)

x

y=a{a>\）尸10gox（a>l）（心0）

性

在（0,+8）

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨X的增大逐漸表現(xiàn)為隨n值的變化而各有

圖象的變化

為與______平行與______平行不同

2.常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型氏x）=ax~\~b（a,b為常數(shù)，QWO）

二次函數(shù)模型=ax2-\-bx-\~c（a,b,c為常數(shù)，qWO）

k

反比例函數(shù)模型為x）=Tb（k,b為常數(shù)，左WO）

指數(shù)函數(shù)模型f{x）=bax+c（a,b,c為常數(shù)，a>0且aWl,bWO）

對數(shù)函數(shù)模型f（x）=blogax+c（a,b,c為常數(shù)，Q>0且QWI,b#0）

a

嘉函數(shù)模型f（x）=ax+b（afb,1為常數(shù)，aWO）

院【核心題型】

題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程

判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

⑴構(gòu)建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函

數(shù)圖象.

⑵驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢，驗證是

否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.

【例題1】（2023?山西朔州?模擬預測）為研究每平方米平均建筑費用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開

發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過程中，建筑費用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)X與每平米平均建

筑成本V（單位：萬元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點圖：

f每平米平均建筑成本/萬元

20-

15-

10-.

5-?

01020*3040樓層數(shù)/層

則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費用了和樓層數(shù)x的回歸方程類型

的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bex

b,2

C.y=a+—D.y=a+bx

x

【變式1］（2023,江西南昌?二模）為了預防某種病毒，某學校需要通過噴灑藥物對教室進行

全面消毒.出于對學生身體健康的考慮，相關(guān)部門規(guī)定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25

毫克/立方米時，學生方可進入教室.已知從噴灑藥物開始，教室內(nèi)部的藥物濃度〉（毫克/

0.k,0<f<10

立方米）與時間/（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系為》=，函數(shù)的圖像如圖所示.如

果早上7：30就有學生進入教室，那么開始噴灑藥物的時間最遲是（）

A.7：00B.6：40C.6：30D.6：00

【變式2］（2023?四川南充?三模）血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度，當血藥濃度

介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間時藥物發(fā)揮作用.某種藥物服用1單位后，體內(nèi)血藥

濃度變化情況如圖所示（服用藥物時間對應t時），則下列說法中不正確的是（）

A血藥濃度Qg/m/)

8a---------------最低中毒濃度(MTC)

A.首次服藥1單位后30分鐘時，藥物已經(jīng)在發(fā)揮療效

B.若每次服藥1單位，首次服藥1小時藥物濃度達到峰值

C.若首次服藥1單位，3小時后再次服藥工單位，一定不會發(fā)生藥物中毒

D.每間隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用

“X_|_b

【變式3](23-24高三下?江蘇鎮(zhèn)江?開學考試)函數(shù)/(%)=石彳的圖象如圖所示，則

A.Q<0,6<0,C>0B.a〉0,b<0,c〉0

C.Q>0,b>0,c<0D.Q>0,b<0,c<0

題型二已知函數(shù)模型的實際問題

已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵

(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

⑵根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗.

【例題1].(2024高三?全國?專題練習)中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水

的溫度有關(guān)，經(jīng)驗表明，某種綠茶用85℃的開水泡制，再等茶水溫度降至55。。時飲用，可

以產(chǎn)生最佳口感，如果茶水原來的溫度是經(jīng)過一定時間/min后的溫度7(單位：。C)可

由公式T=求得，其中7；表示室溫，人是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而

定的正常數(shù).現(xiàn)有一杯85℃的綠茶放在室溫為25℃的房間中，如果茶溫降到45℃需要

lOmin,那么在25℃室溫下，用85℃的開水泡制，剛泡好的茶水要達到最佳飲用口感，大約

需要放置（）（參考數(shù)據(jù)：ln2。0.693,In3。1.099）

A.4minB.6minC.7minD.9min

【變式1］（2024?四川德陽?三模）如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進了社會經(jīng)濟發(fā)展

和資源整合.已知某類果蔬的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度M單位：冤）滿足函數(shù)關(guān)系.

y=Qax+b［a,b.為常數(shù)），若該果蔬在7K的保鮮時間為288小時，在21昭的保鮮時間為32

小時，且該果蔬所需物流時間為4天，則物流過程中果蔬的儲藏溫度（假設物流過程中恒溫）

最高不能超過（）

A.14℃B.15℃C.13℃D.16℃

【變式2］（2023?貴州銅仁?模擬預測）牛頓曾經(jīng)提出了在常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型

e=%+（a-4）e，。為時間，單位：分鐘，％為環(huán)境溫度，4為物體初始溫度，。為冷卻

后溫度），假設一杯開水溫度4=100℃,環(huán)境溫度4=20℃,常數(shù)上=0.2,大約經(jīng)過

分鐘水溫降為30°C（參考數(shù)據(jù)：ln2a0.7）.

【變式3］（2024高三?全國?專題練習）環(huán)保部門為了研究某池塘里某種植物生長面積S（單

位：m"與時間《單位：月）之間的關(guān)系，通過觀察建立了函數(shù)模型

S（t）=ka,（teZ,k>0,a>Q,且a片1）.已知第一個月該植物的生長面積為，第三個月該植

物的生長面積為4m2.

（1）求證：若5（。）5億）=（5。2））2,貝"+片=2小

⑵若該植物的生長面積達到100m?以上，則至少要經(jīng)過多少個月？

題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題

構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟

⑴建模：抽象出實際問題的數(shù)學模型；

（2）推理、演算：對數(shù)學模型進行邏輯推理或數(shù)學運算，得到問題在數(shù)學意義上的解；

（3）評價、解釋：對求得的數(shù)學結(jié)果進行深入討論，作出評價、解釋，然后返回到原來的實

際問題中去，得到實際問題的解.

【例題1】（23-24高三上?江蘇南通?期末）某中學開展勞動實習，學生制作一個矩形框架的

工藝品.要求將一個邊長分別為10cm和20cm的矩形零件的四個頂點分別焊接在矩形框架

的四條邊上，則矩形框架周長的最大值為（）

A.20>/2cmB.30V5cmC.40V5cmD.60V2cm

【變式1】（2023,陜西商洛?模擬預測）凈水機通過分級過濾的方式使自來水逐步達到純凈水

的標準，其工作原理中有多次的PP棉濾芯過濾，其中第一級過濾一般由孔徑為5微米的PP

棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各

種大顆粒雜質(zhì)，假設每一層尸產(chǎn)棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，若過濾前水中大

顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L,現(xiàn)要滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過2mg/L,則PP棉濾芯

的層數(shù)最少為（參考數(shù)據(jù)：lg2。0.30,lg3w0.48）（）

A.9B.8C.7D.6

【變式2】2023?上海閔行?三模）珠穆朗瑪峰高達8848.86米，但即使你擁有良好的視力，

你也無法在上?？吹剿?一個觀察者距離珠穆朗瑪峰多遠，才能在底面上看到它呢？為了能

夠通過幾何方法解決這個問題，需要利用簡單的幾何模型表示這個問題情境，在此過程中,

有下列假設：①珠穆朗瑪峰的形狀為等腰梯形；②地球的形狀是一個球體；③太陽光線沿

直線傳播；④沒有事物可以阻礙人們看到珠穆朗瑪峰的視線.你認為最不重要的一個假設

是.

【變式3］（23-24高三上?福建寧德?期中）為了減少碳排放，某企業(yè)采用新工藝，將生產(chǎn)中

產(chǎn)生的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種化工產(chǎn)品.已知該企業(yè)每月的處理量最少為30噸,最多為400噸.

月處理成本/（x）（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系近似地表示為

/（X）=1X2-300X+64800.

⑴該企業(yè)每月處理量為多少噸時，才能使月處理成本最低?月處理成本最低是多少元？

（2）該企業(yè)每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低?每噸的平均處理成本最

低是多少元？

【課后強化】

基礎保分練

一、單選題

1.Q024?江蘇?一模）德國天文學家約翰尼斯?開普勒根據(jù)丹麥天文學家第谷?布拉赫等人的觀

測資料和星表，通過本人的觀測和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動

第三定律一一繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長。與公轉(zhuǎn)

1=2兀3

周期T有如下關(guān)系:混,其中M為太陽質(zhì)量，G為引力常量.已知火星的公轉(zhuǎn)

~y/GM

周期約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長半軸長約為水星的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

2.（2024?廣東韶關(guān)?二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的

計算公式是少=（長+4）x（寬+4）,在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面

積是10000平方米，每平方米收費1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單位：元）

是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

3.（2024?上海奉賢?二模）已知函數(shù)＞=/（x）,其中尸x?+l,y=g（x）,其中

g（x）=4sinx,則圖象如圖所示的函數(shù)可能是（）.

B.，-g(x)

D.>=/(x)-g(x)-l

4.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P

（單位：mg/L）與時間f（單位：h）之間的關(guān)系式為尸=6片”，其中左是正的常數(shù),

若在前5h消除了20%的污染物，則常數(shù)左所在的區(qū)間為（）

5.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模）在下列四個圖形中，點P從點。出發(fā)，按逆時針方向沿周長為

/的圖形運動一周，。、尸兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點尸

二、多選題

6.（2024?全國?模擬預測）某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量

達到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為

64Ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度了（單

位：ppm）與排氣時間f（單位：分鐘）之間滿足函數(shù)關(guān)系>（。小為常數(shù)，e是自然

對數(shù)的底數(shù)）.若空氣中一氧化碳濃度不高于06ppm,人就可以安全進入車庫了，則下列說

法正確的是（）

A.a=128

B.R」n2

4

C.排氣12分鐘后濃度為16Ppm

D.排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫

7.（2023?廣東廣州?三模）已知函數(shù)/（》）=旦吧+「二一的圖象與直線V=有三個

xelnx+x

交點，記三個交點的橫坐標分別為百戶2戶3，且西〈無2<W，則下列說法正確的是（）

A.存在實數(shù)3使得占=1

B.尤3>e

三、填空題

8.Q2-23高三下?上海閔行?階段練習）一般的數(shù)學建模包含如下活動過程：①建立模型；②

實際情境；③提出問題；④求解模型；⑤實際結(jié)果；⑥檢驗結(jié)果，請寫出正確的序號順

序.

9.（2024?上海長寧?二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運營的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表:

甲乙丙

接單量f（單）783182258338

油費S（元）107150110264110376

平均每單里程左（公里）151515

平均每公里油費。（元）0.70.70.7

出租車沒有載客行駛的里程

出租車空駛率=答黑。篇;鼠*；依據(jù)以述數(shù)據(jù)，小明建立了求解三輛車的空

駛率的模型〃=并求得甲、乙、丙的空駛率分別為23.26%、21.68%、x%,則

x=

（精確到0.01）

四、解答題

10.（2024?浙江溫州?二模）紅旗淀粉廠2024年之前只生產(chǎn)食品淀粉，下表為年投入資金x

（萬元）與年收益了（萬元）的8組數(shù)據(jù)：

X1020304050607080

y12.816.51920.921.521.92325.4

（1）用y=61nx+a模擬生產(chǎn)食品淀粉年收益V與年投入資金x的關(guān)系，求出回歸方程；

⑵為響應國家'加快調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)"的號召，該企業(yè)又自主研發(fā)出一種藥用淀粉，預計其收益

為投入的10%.2024年該企業(yè)計劃投入200萬元用于生產(chǎn)兩種淀粉，求年收益的最大

值.（精確到0.1萬元）

-nV'U

附：①回歸直線日=加+/中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：---------

/=1

a=u-b-v

②

8888

叫2

5?Z(lnxz.)￡匕1叫

Z=11=1Z=18Z=1

1612920400109603

(3)ln2~0.7,ln5-1.6

1L（2024,江西上饒,一模）機動車輛保險即汽車保險（簡稱車險），是指對機動車輛由于自

然災害或意外事故所造成的人身傷亡或財產(chǎn)損失負賠償責任的一種商業(yè)保險.機動車輛保險

一般包括交強險和商業(yè)險兩部分，其中商業(yè)險包括基本險和附加險.經(jīng)驗表明商業(yè)險保費

（單位：元）由過去三年的出險次數(shù)決定了下一年的保費倍率，上饒市某機動車輛保險公司

對于購買保險滿三年的汽車按如下表格計算商業(yè)險費用.（假設每年出險次數(shù)2次及以上按

2次計算）

出險情況商業(yè)險折扣若基準保費3000元時對應保費

三年內(nèi)6賠1.85400

三-年內(nèi)5賠1.54500

三年內(nèi)4賠1.23600

三年內(nèi)3賠13000

三年內(nèi)2賠0.82400

三年內(nèi)1賠0.72100

三年內(nèi)。賠0.61800

⑴汽車的基準保費由車的價格決定，假定王先生的汽車基準保費為3000元，且過去8年都

沒有出險，近期發(fā)生輕微事故，王先生到汽車維修店詢價得知維修費為1000元，理賠人員

根據(jù)王先生過去一直安全行車的習慣，建議王先生出險理賠，王先生是否該接受建議？（假

設接下來三年王先生汽車基準保費不變，且都不出險）

⑵張先生有多年駕車經(jīng)驗，用他過去的駕車出險頻率估計概率，得知平均每年不出險的概

率為0.8,出一次險的概率為0.1,出兩次險的概率為0.1（兩次及以上按兩次算）.張先生近

期買了一輛新車，商業(yè)險基準保費為3000元（假設基準保費不變），求張先生新車剛滿三年

時的商業(yè)險保費分布列及期望.

綜合提升練

一、單選題

L（2023?河南鄭州,模擬預測）水霧噴頭布置的基本原則是：保護對象的水霧噴頭數(shù)量應根

據(jù)設計噴霧強度、保護面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量4（單位：L/min）計算公式

___s-W

為q=K4IOP和保護對象的水霧噴頭數(shù)量N計算公式為N=——計算確定，其中P為水霧

q

噴頭的工作壓力（單位：MPa）,K為水霧噴頭的流量系數(shù)（其值由噴頭制造商提供），S為

保護對象的保護面積，沙為保護對象的設計噴霧強度（單位：L/minm2）.水霧噴頭的布置

應使水霧直接噴射和完全覆蓋保護對象，如不能滿足要求時應增加水霧噴頭的數(shù)量.當水霧

噴頭的工作壓力尸為0.35MPa,水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96,保護對象的保護面積S為

14m"保護對象的設計噴霧強度少為ZOL/midn?時，保護對象的水霧噴頭的數(shù)量N約為

（參考數(shù)據(jù)：而。1.87）（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

2.（23-24高三上?河南?階段練習）設某批產(chǎn)品的產(chǎn)量為x（單位：萬件），總成本

c（x）=100+13x（單位：萬元），銷售單價0（尤）=七一3（單位：元/件）.若該批產(chǎn)品全

x+2

部售出，則總利潤（總利潤=銷售收入-總成本）最大時的產(chǎn)量為（）

A.7萬件B.8萬件C.9萬件D.10萬件

3.（2024?北京豐臺?一模）按國際標準，復印紙幅面規(guī)格分為A系列和B系列，其中A系列

以闌，N1,...等來標記紙張的幅面規(guī)格，具體規(guī)格標準為：

①加規(guī)格紙張的幅寬和幅長的比例關(guān)系為1:拒；

②將4（i=0,l,…,9）紙張平行幅寬方向裁開成兩等份，便成為“（i+1）規(guī)格紙張（如

圖）.

某班級進行社會實踐活動匯報，要用A0規(guī)格紙張裁剪其他規(guī)格紙張.共需A4規(guī)格紙張40

張，N2規(guī)格紙張10張，H規(guī)格紙張5張.為滿足上述要求，至少提供闌規(guī)格紙張的張數(shù)

為（）

A.6B.7C.8D.9

4.（2024?河北滄州?模擬預測）某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的

廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為

2.25g/m3,首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為2.21g/m3,第〃次改良工藝后

排放的廢水中含有的污染物數(shù)量/滿足函數(shù)模型（feR,〃eN*）,其

中為為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，4為首次改良工藝后排放的廢水中含

有的污染物數(shù)量，〃為改良工藝的次數(shù).假設廢水中含有的污染物數(shù)量不超過0.65g/m3時符

合廢水排放標準，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少為（）（參

考數(shù)據(jù)：咆2。0.30,33名0.48）

A.12B.13C.14D.15

5.（2024?北京懷柔?模擬預測）“綠水青山就是金山銀山”的理念已經(jīng)提出18年，我國城鄉(xiāng)深

化河道生態(tài)環(huán)境治理，科學治污.現(xiàn)有某鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為v立方米，每天的進

出水量為左立方米，已知污染源以每天廠個單位污染河水，某一時段單位：天）河水污

染質(zhì)量指數(shù)加⑴（每立方米河水所含的污染物）滿足機（。=（機0為初始質(zhì)

量指數(shù)），經(jīng)測算，河道蓄水量是每天進出水量的50倍.若從現(xiàn)在開始停止污染源，要使河

水的污染水平下降到初始時的），需要的時間大約是（參考數(shù)據(jù)：ln5=L61,ln6al.79）

6

（）

A.1個月B.3個月C.半年D.1年

6.（2024?北京西城?一模）德國心理學家艾?賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，人類大腦對事物的遺忘是有規(guī)

律的，他依據(jù)實驗數(shù)據(jù)繪制出“遺忘曲線"."遺忘曲線"中記憶率了隨時間f（小時）變化的

趨勢可由函數(shù)了=1-0.6/27近似描述，貝I］記憶率為50%時經(jīng)過的時間約為（）（參考數(shù)據(jù):

lg2?0.30,lg3?0.48）

A.2小時B.0.8小時C.0.5小時D.0.2小時

7.（2023?湖北武漢?模擬預測）一個半球體狀的雪堆，假設在融化過程中雪堆始終保持半球

體狀，其體積廠變化的速率與半球面面積S成正比，己知半徑為分的雪堆在開始融化的3小

7

時，融化了其體積的g,則該雪堆全部融化需要（）小時

O

24

A.—B.4C.5D.6

8.（2024?陜西商洛?三模）近年來商洛為了打造康養(yǎng)之都，引進了先進的污水、雨水過濾系

統(tǒng).已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量N（mg/L）與時間f（小時）的關(guān)系為"=N心'（N。

為最初的污染物數(shù)量）.如果前3小時消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%

還需要（）

A.2.6小時B.6小時C.3小時D.4小時

二、多選題

9.（2024?重慶?模擬預測）放射性物質(zhì)在衰變中產(chǎn)生輻射污染逐步引起了人們的關(guān)注，已知

放射性物質(zhì)數(shù)量隨時間，的衰變公式"（/）=或屋：，N。表示物質(zhì)的初始數(shù)量，r是一個具有

時間量綱的數(shù)，研究放射性物質(zhì)常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物質(zhì)數(shù)量從初始數(shù)量

到衰變成一半所需的時間，已知ln2=0.7,右表給出了鈾的三種同位素t的取值：若鈾234、

鈾235和鈾238的半衰期分別為工，T2,8則（

物質(zhì)r的量綱單位t的值

鈾234萬年35.58

鈾235億年10.2

鈾238億年64.75

A.7=Tin0.5B.7與丁成正比例關(guān)系

C.TJ>T2D.T3>100007；

10.（2024,安徽蚌埠?模擬預測）科學研究表明，物體在空氣中冷卻的溫度變化是有規(guī)律

的.如果物體的初始溫度為4℃,空氣溫度4℃保持不變，貝h分鐘后物體的溫度e（單位：

℃）滿足：8=%+的_；，.若空氣溫度為i（rc,該物體溫度從q℃（9o<^<ioo）

下降到3（rc,大約所需的時間為4,若該物體溫度從7（rc,5（rc下降到3（rc,大約所需

的時間分別為54,則（）（參考數(shù)據(jù)：ln2#0.7,ln3BLl）

A.t2=20B,28<^<30C.tx>2t3D.tx-t2<6

11.（2023?全國?模擬預測）第31屆世界大學生夏季運動會在四川成都舉行，大運會吉祥物

"蓉寶"備受人們歡迎.某大型超市舉行抽獎活動，推出"單次消費滿1000元可參加抽獎”的

活動，獎品為若干個大運會吉祥物"蓉寶”.抽獎結(jié)果分為五個等級，等級X與獲得“蓉寶”的

個數(shù)/（x）的關(guān)系式為/（x）=p+eM〃，己知三等獎比四等獎獲得的，蓉寶"多2個，比五等獎

獲得的"蓉寶”多3個，且三等獎獲得的"蓉寶"數(shù)是五等獎的2倍，則（）

A.k=-ln2B.b=51n2

C.0=3D.二等獎獲得的“蓉寶〃數(shù)為10

三、填空題

12.（2023?海南?模擬預測）新能源汽車是未來汽車的發(fā)展方向之一，一個新能源汽車制造廠

引進了一條新能源汽車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的新能源汽車數(shù)量》（輛）與創(chuàng)造

的價值》（萬元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系.己知產(chǎn)量為0時，創(chuàng)造的價值也為。；當產(chǎn)量為

40000輛時，創(chuàng)造的價值達到最大，為6000萬元.若這家工廠希望利用這條流水線創(chuàng)收達到

5625萬元，則它應該生產(chǎn)的新能源汽車數(shù)量是.

13.（2024,全國?模擬預測）藥物的半衰期指的是血液中藥物濃度降低到一半所需時間.在特

定劑量范圍內(nèi)，f（單位，h）內(nèi)藥物在血液中濃度由4（單位，〃g/mL）降低到0（單

位,〃g/mL）,則藥物的半衰期廣嬴已知某時刻測得藥物甲、乙在血液中濃度

分別為36"g/mL和54〃g/mL,經(jīng)過一段時間后再次測得兩種藥物在血液中濃度都為

24〃g/mL,設藥物甲、乙的半衰期分別為工，T2,則今=.

14.（2023?上海崇明?二模）在一個十字路口，每次亮綠燈的時長為30秒，那么，每次綠燈

亮時，在一條直行道路上能有多少汽車通過？這個問題涉及車長、車距、車速、堵塞的干擾

等多種因素，不同型號車的車長是不同的，駕駛員的習慣不同也會使車距、車速不同，行人

和非機動車的干擾因素則復雜且不確定.面對這些不同和不確定，需要作出假設.例如小明

發(fā)現(xiàn)雖然通過路口的車輛各種各樣，但多數(shù)是小轎車，因此小明給出如下假設：通過路口的

車輛長度都相等，請寫出一個你認為合理的假設.

四、解答題

15.Q024高三?全國?專題練習）某科研團隊在培養(yǎng)基中放入一定量的某種細菌進行研究.經(jīng)

過2分鐘菌落的覆蓋面積為48mm2,經(jīng)過3分鐘覆蓋面積為64mm2,后期其蔓延速度越來

越快；菌落的覆蓋面積了（單位：mm2）與經(jīng)過時間x（單位：min）的關(guān)系現(xiàn)有三個函數(shù)模

型：@y—kaxCk>0,a>l）；@y—\ogbx③y=p6+q（p）0）可供選擇.（參

考數(shù)據(jù)：1g2=0.301,lg3=0.477）

（1）選出你認為符合實際的函數(shù)模型，說明理由，并求出該模型的解析式.

⑵在理想狀態(tài)下,至少經(jīng)過多少分鐘培養(yǎng)基中菌落的覆蓋面積能超過300mm??（結(jié)果保留

到整數(shù)）

16.（2024高三?全國?專題練習）為了節(jié)能環(huán)保、節(jié)約材料，定義建筑物的"體形系數(shù)"

S書,其中/為建筑物暴露在空氣中的面積（單位：平方米），乂為建筑物的體積（單位：

立方米）.

（1）若有一個圓柱體建筑的底面半徑為R,高度為a，暴露在空氣中的部分為上底面和側(cè)面,

試求該建筑體的"體形系數(shù)"S；（結(jié)果用含&、〃的代數(shù)式表示）

⑵定義建筑物的"形狀因子"為/=幺，其中A為建筑物底面面積，￡為建筑物底面周長，又

定義T為總建筑面積，即為每層建筑面積之和（每層建筑面積為每一層的底面面積）.設“

為某宿舍樓的層數(shù)，層高為3米，則可以推導出該宿舍樓的“體形系數(shù)"為S=J互+工.當

VT3n

/=18,7=10000時，試求當該宿舍樓的層數(shù)〃為多少時，"體形系數(shù)"S最小.

17.(2024?浙江金華?模擬預測)太陽能板供電是節(jié)約能源的體現(xiàn)，其中包含電池板和蓄電池

兩個重要組件，太陽能板通過電池板將太陽能轉(zhuǎn)換為電能，再將電能儲存于蓄電池中.已知

在一定條件下，入射光功率密度夕=a(￡為入射光能量且￡>o,s為入射光入射有效面

積)，電池板轉(zhuǎn)換效率77(04〃4100%)與入射光功率密度。成反比，且比例系數(shù)為九

(1)若左=2,5=1.5平方米，求蓄電池電能儲存量。與￡的關(guān)系式；

⑵現(xiàn)有鉛酸蓄電池和鋰離子蓄電池兩種蓄電池可供選擇,且鉛酸蓄電池的放電量/=0+￡7,

鋰離子蓄電池的放電量/=&+貯.設給定不同的0,請分析并討論為了使

得太陽能板供電效果更好，應該選擇哪種蓄電池？

注：①蓄電池電能儲存量。=/E；

②當S,k,。一定時，蓄電池的放電量越大，太陽能板供電效果越好.

18.（2024?四川南充?二模）已知某科技公司的某型號芯片的各項指標經(jīng)過全面檢測后，分為

I級和口級，兩種品級芯片的某項指標的頻率分布直方圖如圖所示：

頻率

若只利用該指標制定一個標準，需要確定臨界值K,按規(guī)定須將該指標大于K的產(chǎn)品應用

于/型手機，小于或等于K的產(chǎn)品應用于8型手機.若將I級品中該指標小于或等于臨界

值K的芯片錯誤應用于/型手機會導致芯片生產(chǎn)商每部手機損失800元；若將H級品中該

指標大于臨界值K的芯片錯誤應用于B型手機會導致芯片生產(chǎn)商每部手機損失400元；假

設數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.

⑴設臨界值K=70時，將2個不作該指標檢測的I級品芯片直接應用于N型手機，求芯片

生產(chǎn)商的損失€（單位：元）的分布列及期望；

（2）設K=x且xe[50,55],現(xiàn)有足夠多的芯片I級品、II級品，分別應用于/型手機、8型

手機各1萬部的生產(chǎn)：

方案一：將芯片不作該指標檢測，I級品直接應用于/型手機，II級品直接應用于2型手

機；

方案二：重新檢測該芯片I級品，II級品的該項指標，并按規(guī)定正確應用于手機型號，會避

免方案一的損失費用，但檢測費用共需要130萬元；

請求出按方案一，芯片生產(chǎn)商損失費用的估計值/（x）（單位：萬元）的表達式，并從芯片

生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案.

19.(2024高三?全國?專題練習)將連續(xù)正整數(shù)1,2,…，"(〃wN*)從小到大排列構(gòu)成一個

數(shù)123…〃，尸(〃)為這個數(shù)的位數(shù)(如當”=12時，此數(shù)為123456789101112,共有15個數(shù)

字，尸(12)=15),現(xiàn)從這個數(shù)中隨機取一個數(shù)字，H")為恰好取到。的概率.

⑴求0(100).

(2)當"V2021時，求尸⑺的表達式.

⑶令g(")為這個數(shù)中數(shù)字0的個數(shù)，7⑺為這個數(shù)中數(shù)字9的個數(shù)，//(?)=/(n)-g(n),

S={〃[h{n)=l,?<100,?eN*},求當〃eS時p⑺的最大值.

拓展沖刺練

一、單選題

1.(2023?浙江?二模)紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為

120。的等腰梯形(如圖)水渠底面與側(cè)面的修建造價均為每平方米100元，為了提高水渠的

過水率，要使過水橫斷面的面積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬元，當過水橫斷面面積最大時，水

果的深度(即梯形的高)約為()(參考數(shù)據(jù)：V3?1,732)

C.L17米D.1.73米

2.(2024?全國?模擬預測)北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng).已知衛(wèi)

星運行軌道近似為以地球為圓心的圓形，運行周期T與軌道半徑尺之間關(guān)系為L=K/3長

為常數(shù)）.己知甲、乙兩顆衛(wèi)星的運行軌道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲

的運行軌道半徑為akm,48分別是甲、乙兩顆衛(wèi)星的運行軌道上的動點，則4臺之間距

離的最大值為（）

V17,5.

AA.-----akmDB.—akm

44

3

C.—akmD.5akm

2

3.（2024?全國?模擬預測）藥物的半衰期指的是血液中藥物濃度降低一半所需要的時間，在

特定劑量范圍內(nèi)，藥物的半衰期7=&等，其中K是藥物的消除速度常數(shù)，不同藥物的消

除速度常數(shù)一般不同，若小內(nèi)藥物在血液中濃度由c°ug%降低到qug%,則該藥物的消除速

度常數(shù)K=g二嶼.已知某藥物半衰期為3h,首次服用后血藥濃度為45ug%,當血藥濃

t

度衰減到20ug%時需要再次給藥，則第二次給藥與首次給藥時間間隔約為

（ln2?0.7,ln3?1.1）（）

A.3.3hB.3.5hC.4.6hD.6.9h

4.（23-24高三上?湖北?階段練習）已知把物體放在空氣中冷卻時，若物體原來的溫度是

0；C,空氣的溫度是嵋C,則finin后物體的溫度，。C滿足公式e=4+（其中左是

一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)）.某天小明同學將溫度是80℃的牛奶放在

20℃空氣中，冷卻2min后牛奶的溫度是50℃,則下列說法正確的是（）

A.k-ln2

B.k=21n2

C.牛奶的溫度降至35c還需4min

D.牛奶的溫度降至35℃還需2min

5.（2024?陜西咸陽?模擬預測）某軍區(qū)紅、藍兩方進行戰(zhàn)斗演習，假設雙方兵力（戰(zhàn)斗單位

x(')=X。

數(shù)）隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：其中正實

=TJ)cosh

數(shù)冗，天分別為紅、藍兩方的初始兵力，f為戰(zhàn)斗時間；x（f）,y⑺分別為紅、藍兩方f時

刻的兵力；正實數(shù)。，6分別為紅方對藍方、藍方對紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；coshx==J

2

和sinhx=￡］士分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù).規(guī)定：當紅、藍兩方任何一方兵力

2

為。時戰(zhàn)斗演習結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時長為T.則下列結(jié)論不正

確的是（）

A.若X?！禐榍襛=b,則⑺（OWT）

B.若%>為且。=人則WEI

冗

C.若”>一b，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利

Yoa

D.若和R則紅方獲得戰(zhàn)斗演習勝利

二、多選題

6.（23-24高三下?重慶,階段練習）吸光度是指物體在一定波長范圍內(nèi)