第2章三角形2.4線段的垂直平分線第1課時線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定目

錄CONTENTS01核心必知021星題基礎(chǔ)練032星題中檔練043星題提升練1.

我們把

且

?一條線段的直線叫作這條線段

的垂直平分線.2.

線段垂直平分線上的點到

的距離相等.3.

到線段兩端距離相等的點在線段的

上.垂直

平分

線段兩端

垂直平分線

線段的垂直平分線的性質(zhì)1.

[2023·長沙期中]如圖，直線

CD

是線段

AB

的垂直平分

線，

P

為直線

CD

上一點，已知

PA

＝6，則線段

PB

的長

度為(

C)A.

3B.

4C.

6D.

7C234567891011121312.

如圖，在△

ABC

中，直線

BD

垂直平分

AC

，∠

A

＝

20°，則∠

CBD

的大小是(

D)A.

20°B.

30°C.

60°D.

70°D234567891011121313.

[2024·益陽月考]如圖，在△

ABC

中，直線

MN

為

BC

的垂

直平分線，交

AC

于點

D

，連接

BD

.

若

AD

＝2

cm，

BD

＝4

cm，則

AC

的長為(

A)A.

6

cmB.

7

cmC.

8

cmD.

9

cmA234567891011121314.

[2023·婁底雙峰期末]如圖，已知

AC

＝14

cm，

AB

的垂直平分線交

AC

于

D

，交

AB

于

E

.

若△

DBC

的周長為24

cm，則

BC

＝

?.10

cm

234567891011121315.

[2023·長沙一模]如圖，Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，直線

DE

是邊

AB

的垂直平分線，連接

BE

.

若∠

A

＝35°，求

∠

CBE

的度數(shù).解：∵∠

C

＝90°，∠

A

＝35°，∴∠

ABC

＝55°.∵

DE

是

AB

的垂直平分線，∴

AE

＝

BE

，∴∠

EBA

＝∠

A

＝35°，∴∠

CBE

＝∠

ABC

－∠

EBA

＝55°－35°＝20°.23456789101112131

線段的垂直平分線的判定6.

如圖，在△

ABC

中，已知點

D

在

BC

上，且

BD

＋

AD

＝

BC

，則點

D

在(

A)A.

AC

的垂直平分線上B.

∠

BAC

的平分線上C.

BC

的中點處D.

AB

的垂直平分線上A234567891011121317.

[2024·河北月考]下列條件中，不能判定直線

CD

是線段

AB

(

C

，

D

不在線段

AB

上)的垂直平分線的是(

C)A.

CA

＝

CB

，

DA

＝

DB

B.

CA

＝

CB

，

CD

⊥

AB

C.

CA

＝

DA

，

CB

＝

DB

D.

CA

＝

CB

，

CD

平分

AB

C234567891011121318.

小明做了一個如圖所示的風(fēng)箏，其中

EH

＝

FH

，

ED

＝

FD

，小明說不用測量就知道

DH

是

EF

的垂直平分線，其

蘊含的道理是

?

?.到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂

直平分線上

234567891011121319.

【創(chuàng)新題·新考法】元旦聯(lián)歡會上，同學(xué)們玩搶凳子游

戲，在與甲、乙、丙三名同學(xué)距離相等的位置放一個凳

子，誰先搶到凳子誰獲勝.若將甲、乙、丙三名同學(xué)所在

位置看成△

ABC

的三個頂點，則凳子應(yīng)該放在△

ABC

的

(

C)CA.

三邊中線的交點處B.

三條角平分線的交點處C.

三邊垂直平分線的交點處D.

以上都正確2345678910111213110.

如圖，在△

ABC

中，直線

l

為邊

BC

的垂直平分線，直線

l

交

AC

于點

Q

，∠

ABC

的平分線與直線

l

相交于點

P

，

連接

PC

.

若∠

A

＝60°，∠

ACP

＝24°，則∠

PQC

的

度數(shù)是(

A)A.

34°B.

36°C.

44°D.

46°A23456789101112131點撥：∵

BP

平分∠

ABC

，∴∠

ABP

＝∠

CBP

.

∵直線

l

是線段

BC

的垂直平分線，∴

BP

＝

CP

，∴∠

CBP

＝∠

BCP

，∴∠

ABP

＝∠

CBP

＝∠

BCP

.

又∵∠

A

＋∠

ACB

＋∠

ABC

＝180°，∠

A

＝60°，∠

ACP

＝24°，∴3∠

BCP

＋24°＋60°＝180°，∴∠

BCP

＝32°，∴∠

PQC

＝180°－90°－32°－24°＝34°.2345678910111213111.

[2023·益陽安化期末]如圖，在△

ABC

中，

BC

＝11，

AB

的垂直平分線分別交

AB

，

BC

于點

D

、

E

，

AC

的垂直

平分線分別交

AC

，

BC

于點

F

、

G

，則△

AEG

的周長

為

?.11

2345678910111213112.

[2024年1月長沙期末]如圖，在△

ABC

中，

AB

的垂直平

分線

EF

交

BC

于點

E

，交

AB

于點

F

，

D

為線段

CE

的中

點，且

BE

＝

AC

.

(1)求證：

AD

⊥

BC

；證明：連接

AE

.

∵

EF

是

AB

的垂直平分線，∴

BE

＝

AE

.

∵

BE

＝

AC

，∴

AE

＝

AC

.

又∵

D

為線段

CE

的中點，∴

AD

⊥

BC

.

2345678910111213112.

[2024年1月長沙期末]如圖，在△

ABC

中，

AB

的垂直平

分線

EF

交

BC

于點

E

，交

AB

于點

F

，

D

為線段

CE

的中

點，且

BE

＝

AC

.

(2)若∠

C

＝70°，求∠

BAC

的度數(shù).23456789101112131解：∵

AE

＝

BE

，∴∠

B

＝∠

BAE

.

∵∠

AEC

是△

ABE

的外角，∴∠

AEC

＝∠

B

＋∠

BAE

＝2∠

B

.

∵

AE

＝

AC

，∴∠

AEC

＝∠

C

＝2∠

B

.

∵∠

C

＝70°，∴∠

B

＝35°，∴∠

BAC

＝180°－∠

B

－∠

C

＝180°－35°－70°＝75°.2345678910111213113.

[推理能力]如圖，已知銳角三角形

ABC

中，邊

AB

，

AC

的垂直平分線

OD

和

OE

交于點

O

，點

D

，

E

分別在

AB

，

AC

上，∠

A

＝α(0°＜α＜90°).(1)求證：點

O

在

BC

的垂直平分線上.證明：連接

OA

，∵

OD

是

AB

的垂直平分線，∴

OA

＝

OB

.

同理可得

OA

＝

OC

.

∴

BO

＝

CO

.

∴點

O

在

BC

的垂直平分線上.2345678910111213113.

[推理能力]如圖，已知銳角三角形

ABC

中，邊

AB

，

AC

的垂直平分線

OD

和

OE

交于點

O

，點

D

，

E

分別在

AB

，

AC

上，∠

A

＝α(0°＜α＜90°).(2)求∠

BOC

的度數(shù).解：由(1)得

BO

＝

CO

＝

AO

，∴∠

OAB

＝∠

OBA

，∠

OCA

＝∠

OAC

.

23456789101112131∴∠

AOB

＋∠

AOC

＝(180°－∠

OAB

－∠

OBA

)＋(180°－∠

OAC

－∠

OCA

)＝(180°－2∠

OAB

)＋(180°－2∠

OAC

)＝360°－2(∠

OAB

＋∠

OAC

)＝360°－2∠

BAC

＝360°－2α，∴∠

BOC

＝360°－(∠

AOB

＋∠

AOC