浙江省金華第一中學(xué)2025屆高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若復(fù)數(shù)z滿足|=1T,貝口=（）

A.ITB.1+iC.-1—iD.-1+i

2.直線a〃平面a,PE那么過P且平行于a的直線（）

A.只有一條，不在平面a內(nèi)B.有無數(shù)條，不一定在平面a內(nèi)

C.只有一條，且在平面仇內(nèi)D.有無數(shù)條，一定在平面a內(nèi)

3已知五,另為單位向量，若G+2石）1（3之一另），貝!JcosG%）=（）

A.卷B.C."D.一/

4.（2萬-助7的展開式中2項(xiàng)的系數(shù)是（）

A.672B.-420C.560D.-560

5.某圓錐母線長為1,其側(cè)面積與軸截面面積的比值為2兀，則該圓錐體積為（）

A.8B.8C--D-24~

6.已知隨機(jī)變量4?N（2〃2）,且P（f<1）=>a）,貝吐+急（0<久<砌的最小值為（）

A.5B.yC.yD.y

7.已知函數(shù)/（%）=2cos2<k）x-（sin3久-cosa）x）2（a）>0）的圖象關(guān)于直線x=考軸對稱，且/'（久）在（0,§上沒

有最小值，則3的值為（）

13

A.2B.1C.2D.2

8.已知某多選題給出的四個(gè)選項(xiàng)中會(huì)有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分

選對的得2分.若選項(xiàng)中有i（其中i=2,3,4）個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，記隨機(jī)作答該題時(shí)（至少選擇一個(gè)選項(xiàng)）所

得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量=2,3,4）,貝ij（）

A.2E6）>4E&）>E（氧）B.4E6）>E曰）>2E6）

C.2E63）>E（n）>4E&）D.4E（§2）>2E&3）>以口）

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

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9.某科技公司統(tǒng)計(jì)了一款4pp最近5個(gè)月的下載量如表所示，若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為夕

=-0.6%+CL,則()

月份編號X12345

下載量y(萬次)54.543.52.5

A.y與久負(fù)相關(guān)B.a=5.6

C.預(yù)測第6個(gè)月的下載量是2.1萬次D.殘差絕對值的最大值為0.2

10.設(shè)5?是公比為正數(shù)等比數(shù)列{冊}的前n項(xiàng)和，若a2/a3a5=言，貝弘)

1Q

A.a4=iB.S3=JC.an+S,,為常數(shù)D.{S「2}為等比數(shù)列

o4

11.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)〃>)滿足+2)=—八—x),當(dāng)x6(1,2］時(shí)/(x)=2，—2,則下列結(jié)論正確的

有()

A./(-I)=0BJ(久)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)成中心對稱

C./(2024)>f(2025)D)(房正6)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若雙曲線史+上三=1的離心率為3,則該雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為

mm+1

13.曲線y=e2ax在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線2x—y+1=0垂直，則a=.

14.已知集合M={(a,b)|a<-1,且0<6<m},其中meR.若任意(a,6)eM,均有a,Zog2

b-b-3a>0,求實(shí)數(shù)爪的最大值_____.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

QTT

已知a,b,c分別是三角形三個(gè)內(nèi)角力，B,C的對邊，己知a=5,sin4=-,B-A=五

(1)求cosC的值；

(2)求“8C的周長.

16.(本小題12分)

如圖，長方體ABCD-AiBiCiDi中，點(diǎn)分別在上，n.AELArB,AFLArD.

(1)求證：ArC1平面4EF；

(2)當(dāng)4B=AD=l,A4i=2時(shí)，求平面4EF與平面的夾角的余弦值.

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17.(本小題12分)

已知直線久-2y+1=0與拋物線C:y2=2Px(p>0)交于4B兩點(diǎn)，且|4B|=

⑴求P；

(2)設(shè)尸為C的焦點(diǎn)，M,N為C上兩點(diǎn)，F(xiàn)M-FN^O,求△MFN面積的最小值.

18.(本小題12分)

已知函數(shù)/(嗎=炭竺，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)a=l時(shí),求f(久)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若方程/(X)=1有兩個(gè)不同的根%1,比2.

(i)求a的取值范圍；

(花)證明：/+始>2.

19.(本小題12分)

若數(shù)列力?：的"2,…G(n>2)滿足|以+1-以|=l(fc=1,2,■■■則稱4n為E數(shù)列，記S(4n)=a1+a2

++cin.

Q)寫出滿足的==0,且SCAD>0的一個(gè)E數(shù)列45；

(2)若的=2,n=2024,證明：E數(shù)列4n是遞增數(shù)列的充要條件是斯=2025；

(3)對任意給定的整數(shù)門(幾22),是否存在首項(xiàng)為。的E數(shù)列4n,使得S(40=。？如果存在，寫出一個(gè)滿足

條件的E數(shù)列力如果不存在，說明理由.

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參考答案

1.5

2.C

3.D

4.D

5.B

6.D

7.C

8.D

9.ACD

10.ACD

11.ABD

12.攣或Q

3J

13.一聶一0.25

14.2

15.(1)

7TTT

由B=5+8得：C=n—A—B=5—24

cosC=cos(^—2X)sin2X=2sinXcosX,

由B=?+4知8>A,故/為銳角，COST4=yJl-sin2A=^

4jf

3424

???cosC=2sinZcosZ=2x-x-=—.

⑵

由(1)知：sinB=sin怎+/)=cos/=sinC=cos2c=梟

由正弦定理得：急a+b+c25

sin/+sinB+sinC3

???a+b+c=素sin/+sinB+sinC)=§■(卷+1+3=14,

故"BC的周長為14.

16.(1]

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因?yàn)锽C_L平面u平面ABBiAi，所以AE1BC,

又AEIAIB且4iBCBC=B,ArB,BCu平面4]BC,所以力E_L平面力iBC,

且&Cu平面&BC,故力E1&C,同理，AFlAiC,

AE,AFu平面4EF,4EnAF=A,

所以&C1平面4EF.

(2)

以4為原點(diǎn)，4B,AD,441所在直線為即,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

則41(0,0,2)此(1,0,0),C(l,1,0),0(0,1,0),

在平面AiBD中，~BD=(-1,1,0),478=(1,0-2)

設(shè)平面力18。的一個(gè)法向量為3=(x,y,z),

則｛二2：乙”，可取3=(2,2,1)

由(1)知，平面4EF的一個(gè)法向量為瓦了=(1,1,—2)

設(shè)平面4EF與平面&BD的夾角為仇

則cosJ=|cos(n,x7c)|=?=號

故所求的夾角的余弦值為嚕.

17.解:設(shè)4巧,心),8(冷而，聯(lián)立｛/當(dāng)瑟J4)，

消去%得：y2-4py+2p=0,

???yi+丫2=4p,y02=2p,d=16P2—8p>0,

1

???p(2p-l)>0,.,?p>5，

\AB\="1+41yLy2I=@J(yi+丫2)2-4)7/2=

16P2-8p=48,???2P2-p—6=0,(2p+3)(p—2)=0,

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???p-2,

(2)由(1)知y2=4%,所以F(1,O),顯然直線MN的斜率不可能為零，

設(shè)直線MN：x=my+n,N(%2,》2)

y2——4%

Z，可得y2-4m-47i=0,所以yi+y2=4m,y^=-4n,

{my+n2

4=16m2+16n>0=>m2+n>0,

因?yàn)榧?而=0,所以(小一1)(%2-1)+y，2=o，

22

即(znyi+71—1)(my2+n—1)+—0，BP(j^+I)yiy2+m(n—l)(yi+y2)+(n—l)=0,

2

將yi+y2=4m,y2——4n,代入得4zn2=n—6n+1,

...4(m2+九)=(n_1)2>o,所以九w1,且九2一6幾4-1>0,解得九>3+2也或n<3—2也.

設(shè)點(diǎn)F到直線MN的距離為d,所以d=看需，

222

\MN\=y/l+m\y1+y2\=y/1+m7(yi-y2)-4yiy2="1+病。167n2+16rl

=y/1+7712^/4(712—6n+1)+16n=2^1+^2|n—1|,

1

所以△MNF的面積S=^\MN\xd=|xTX2J1+研n—l|,

又n23+2也或n<3-25所以當(dāng)n=3—2他時(shí)，△MNF的面積S僅譏=(2—2避>=12-8^2.

18.(1)

由題意得/(無)=號竺，xe(0,+8),則/。)=—野，

由尸(x)=o,解得X=1.

當(dāng)0<久<1時(shí)，f'(x)>0/0)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)<0,/(尤)單調(diào)遞減；

綜上，f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減；

⑵

1+\nx

①由玩竺=1，得—CL

X

設(shè)9(久)=匕酗

由(1)得或久)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減,

又gg)=0,g(l)=1,當(dāng)久>1時(shí)，g(x)>0,且當(dāng)xr+8時(shí)，g(久)->0,

所以當(dāng)°<a<l時(shí)，方程號=a有兩個(gè)不同的根，即方程*=1有兩個(gè)不同的根,

故a的取值范圍是(0,1).

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(九)不妨設(shè)xi<%2,貝1J0<X1<1<X2，且皿產(chǎn)=蛇(1.

人142

法一：

當(dāng)尤2c[2,+8)時(shí),結(jié)合(i)知君+始>超24>2,即好+虐>2；

當(dāng)初6(1,2)時(shí)，2—。6(0,1).

設(shè)p(X)=gO)-g(2-x)=等+”為)-七。<x<1,

同用小_欣.ln(2r)Inxln(2-x)_InJCr-l)?+1]?

見p(%)--森一(2_x)2>_姿>u,

所以p(X)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，

則p(x)<p(l)=0,即g(x)<g(2—x),

所以g(2-xi)>5(%i)=g(X2),

又XiG(0,1),2rl>l,x2>l,g(x)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減,

所以2—<%2，即%1+%2>2,

又％1H%2，所以好+^2>2%1%2，

故2妊+2%2>%i+%2+2巧%2=(%i+x2)2>4,所以好+成>2,得證.

法二：

設(shè)%(%)=0(%)-9(§)=1[二'一%(1一1口無),%e(0,+oo),

則"(%)=+In%=In%-x>0,

所以以%)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，又仗1)=0,

所以僅小)=<o,即gOD<g(J.

又g(%2)=gOi)，所以g3)<昭)，

1

又%2>1,—>Lg(x)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.

人1

1

所以久2>彳，即犯式2>1，

X1

又X1大犯，所以/+始>2乂1乂2〉2,得證.

19.⑴

數(shù)列0,1,0,1,0是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列45.

(2)

必要性：由E數(shù)列4是遞增數(shù)列，得四+1-耿=1(左=1,2,…,2023),

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則上是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，所以02024=2+(2024-1)x1=2025；

充分性：由|以+1-耿|=1(，=1/2,???,n—1),

得。2024一。202341，。2023一。202241，......，。2一。141，

于是。2024一—2023,即。2024―+2023,而=2,。2024=2025,

因此。2。24=。1+2023,上述各不等式都取等號，

即以+1-以=1>0(k=1,2,…,2023),從而4n是遞增數(shù)列,

所以E數(shù)列4是遞增數(shù)列的充要條件是斯=2025.

(3)