2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：統(tǒng)計(jì)（10題）

—.解答題（共10小題）

1.（2024?回憶版）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造.升級改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中

隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下:

優(yōu)級品合格品不合格品總計(jì)

甲車間2624050

乙車間70282100

總計(jì)96522150

（1）填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級品非優(yōu)級品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間

產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？

（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率p=0.5.設(shè)方為升級改造后抽取的〃件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如

果萬＞P+L65舊》,則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)

為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（底U=12.247）

2

喝n（ad-bc）______

叩：八_（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）'

P(心2%)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2.（2024?惠農(nóng)區(qū)校級三模）“一帶一路”是促進(jìn)各國共同發(fā)展，實(shí)現(xiàn)共同繁榮的合作共贏之路.為了了解

我國與某國在“一帶一路”合作中兩國的貿(mào)易量情況，隨機(jī)抽查了100天進(jìn)口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量（單

位：億人民幣/天）得下表：

進(jìn)口[0,50](50,100](100,150]

出口

[0,50]32184

(50,100]6812

(100,150]3710

(1)估計(jì)事件“我國與該國貿(mào)易中，一天的進(jìn)口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量均不超過100億人民幣”的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2X2列聯(lián)表:

進(jìn)口[0,100](100,150]

出口

[0,100]

(100,150]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為“我國與該國貿(mào)易中一天的進(jìn)口貿(mào)易量與出口

貿(mào)易量”有關(guān)?

附：K2=(a+b)及戕?c)(b+d”n=a+b+c+d.

P(蜉》/)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

3.(2024?青海二模)某企業(yè)近年來的廣告費(fèi)用x(百萬元)與所獲得的利潤y(千萬元)的數(shù)據(jù)如下表所

示，已知y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.

年份20182019202020212022

廣告費(fèi)用X/百1.51.61.71.81.9

萬元

利潤V千萬元1.622.42.53

(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程:

(2)若該企業(yè)從2018年開始，廣告費(fèi)用連續(xù)每一年都比上一年增加10萬元，根據(jù)(1)中所得的線性

回歸方程，預(yù)測2025年該企業(yè)可獲得的利潤.

參考公式：b=金0------------2—,a=y-bx.

必(生「元)

4.(2024?故城縣校級模擬)某高中高一500名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽

樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30),[30,40),

[80,90],并整理得到頻率分布直方圖如圖所示.

(1)從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于60的概率;

(2)估計(jì)測評成績的75%分位數(shù);

(3)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，其中3名男生；分?jǐn)?shù)小于30的學(xué)生有2人，其中1名男

生.從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，則“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”與“抽到的學(xué)生是男

生”這兩個(gè)事件是否獨(dú)立？請證明你的結(jié)論.

頻率

5.(2024?順義區(qū)校級模擬)習(xí)近平總書記高度重視體育運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，將體育與國家發(fā)展、民族振興緊密

聯(lián)系在一起，多次強(qiáng)調(diào)體育“是實(shí)現(xiàn)中國夢的重要內(nèi)容”“體育強(qiáng)則中國強(qiáng)，國運(yùn)興則體育興”，為了響

應(yīng)總書記的號召，某中學(xué)組織全體學(xué)生開展了豐富多彩的體育實(shí)踐活動(dòng).為了解該校學(xué)生參與活動(dòng)的情

況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間(單位：分鐘)，得到下表：

時(shí)間人數(shù)類別[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

性別男51213898

女69101064

學(xué)段初中10

高中41312754

(I)從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在［60,70)

的概率；

(II)從該校參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在［80,90)學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，在［90,100)的學(xué)生中隨機(jī)抽

取1人，求供中至少有1名初中學(xué)生的概率；

(III)假設(shè)同組中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代替，樣本中的100名學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均

數(shù)記為卬，初中、高中學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)分別記為因，內(nèi)，試比較卬與出產(chǎn)的大

小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

6.(2024?大武口區(qū)校級三模)為了慶祝黨的二十大勝利召開，培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興的時(shí)代新人，某高中在

全校三個(gè)年級開展了一次“不負(fù)時(shí)代，不負(fù)韶華，做好社會主義接班人”演講比賽.共1500名學(xué)生參

與比賽，現(xiàn)從各年級參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生，并按成績分為五組：［50,60),［60,70),［70,

3

80),［80,90),［90,100］,得到如下頻率分布直方圖，且第五組中高三學(xué)生占

(1)求抽取的200名學(xué)生的平均成績無(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)；

(2)若在第五組中，按照各年級人數(shù)比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取7人，再從中選取2人組成宣

講組，在校內(nèi)進(jìn)行義務(wù)宣講，求這2人都是高三學(xué)生的概率；

(3)若比賽成績元+s(s為樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差)，則認(rèn)為成績優(yōu)秀，試估計(jì)參賽的1500名學(xué)生成績

優(yōu)秀的人數(shù).

7.(2024?衡水一模)《中國制造2025》提出“節(jié)能與新能源汽車”作為重點(diǎn)發(fā)展領(lǐng)域，明確了“繼續(xù)支持

電動(dòng)汽車、燃料電池汽車發(fā)展，掌握汽車低碳化、信息化、智能化核心技術(shù)，提升動(dòng)力電池、驅(qū)動(dòng)電機(jī)、

高效內(nèi)燃機(jī)、先進(jìn)變速器、輕量化材料、智能控制等核心技術(shù)的工程化和產(chǎn)業(yè)化能力，形成從關(guān)鍵零部

件到整車的完成工業(yè)體系和創(chuàng)新體系，推動(dòng)自主品牌節(jié)能與新能源汽車與國際先進(jìn)水平接軌的發(fā)展戰(zhàn)略,

為我國節(jié)能與新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展指明了方向.某新能源汽車制造企業(yè)為了提升產(chǎn)品質(zhì)量，對現(xiàn)有的一

條新能源零部件產(chǎn)品生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級改造，為了分析改造的效果，該企業(yè)質(zhì)檢人員從該條生產(chǎn)線所

生產(chǎn)的新能源零部件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，檢測產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，根據(jù)檢測數(shù)據(jù)整理得到

頻率直方圖(如圖)：

(1)從質(zhì)量指標(biāo)值在［55,75)的兩組檢測產(chǎn)品中，采用分層抽樣的方法再抽取5件.現(xiàn)從這5件中隨

機(jī)抽取2件作為樣品展示，求抽取的2件產(chǎn)品恰好都在同一組的概率.

(2)經(jīng)估計(jì)知這組樣本的平均數(shù)為元=61,方差為$2=241.檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)中即=5x｛七聲｝,bn=5x

［爭］,"6N*,其中印表示不大于無的最大整數(shù)，口｝表示不小于x的最小整數(shù)，s值四舍五入精確到

個(gè)位.根據(jù)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，技術(shù)升級改造后，若質(zhì)量指標(biāo)值有65%落在［小，內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后

的產(chǎn)品質(zhì)量初級穩(wěn)定，但需要進(jìn)一步改造技術(shù)；若有95%落在［破，歷］內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)

品質(zhì)量穩(wěn)定，認(rèn)為生產(chǎn)線技術(shù)改造成功.請問：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)，是否可以判定生產(chǎn)線的技術(shù)改造成

功？

8.(2024?上海)為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580

人，得到日均體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：

時(shí)間范圍[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

學(xué)業(yè)成績

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)約為多少？

(2)估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(精確到0.1).

(3)是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？

9.(2024?蓮湖區(qū)校級四模)某工廠的工人生產(chǎn)內(nèi)徑為28.50m"2的一種零件，為了了解零件的生產(chǎn)質(zhì)量，

在某次抽檢中，從該廠的1000個(gè)零件中抽出60個(gè)，測得其內(nèi)徑尺寸(單位：mm)如下：

28.51X1328.52X628.50X428.48X11

28.49Xp28.54XI28.53X728.47Xq

這里用xX”表示有"個(gè)尺寸為的零件，p,q均為正整數(shù).若從這60個(gè)零件中隨機(jī)抽取1個(gè)，則

4

這個(gè)零件的內(nèi)徑尺寸小于28.49mm的概率為-7.

15

(1)求p,q的值.

(2)已知這60個(gè)零件內(nèi)徑尺寸的平均數(shù)為方nrn,標(biāo)準(zhǔn)差為且s=0.02,在某次抽檢中，若抽取

的零件中至少有80%的零件內(nèi)徑尺寸在回-s,元+s］內(nèi)，則稱本次抽檢的零件合格.試問這次抽檢的

零件是否合格？說明你的理由.

10.(2024?長沙模擬)2023年秋末冬初，呼和浩特市發(fā)生了流感疾病.為了徹底擊敗病毒，人們更加講究

衛(wèi)生講究環(huán)保.某學(xué)校開展組織學(xué)生參加線上環(huán)保知識競賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的

首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：

(1)若從成績低于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績低于50分的人數(shù)；

(2)以樣本估計(jì)總體，利用組中值估計(jì)該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)；

(3)首輪競賽成績位列前10%的學(xué)生人圍第二輪的復(fù)賽，請根據(jù)圖中信息，估計(jì)入圍復(fù)賽的成績(記

為k).

頻率

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：統(tǒng)計(jì)（10題）

參考答案與試題解析

一.解答題（共10小題）

1.（2024?回憶版）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造.升級改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中

隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級品合格品不合格品總計(jì)

甲車間2624050

乙車間70282100

總計(jì)96522150

（1）填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級品非優(yōu)級品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間

產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？

（2）己知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率p=0.5.設(shè)步為升級改造后抽取的"件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如

果萬＞p+1.65秒m，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)

為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（VI麗=12.247）

2

W4.r2_______rt（ad-bc）_______

陽:八一（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）'

P（產(chǎn)2左）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)填寫2X2列聯(lián)表，計(jì)算產(chǎn)，對照題目中的表格，得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論;

（2）由題意求得力比較力和p+1.65眄即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下2又2的列聯(lián)表：

優(yōu)級品非優(yōu)級品

甲車間2624

乙車間7030

零假設(shè)”0：根據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率不存在差異,

7

150x(70x24-26x30)

=4.6875>3,841,

-96x54x50x100-

有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異;

零假設(shè)"0：根據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率不存在差異,

4.6875<6.635,沒有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異.

(2)由題意得萬=蓋=0.64,0+1.65坦言6=0.5+1.65X鑒M).57,

所以?>p+L65秒守，故有優(yōu)化提升.

【點(diǎn)評】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，也考查了計(jì)算能力的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

2.(2024?惠農(nóng)區(qū)校級三模)“一帶一路”是促進(jìn)各國共同發(fā)展，實(shí)現(xiàn)共同繁榮的合作共贏之路.為了了解

我國與某國在“一帶一路”合作中兩國的貿(mào)易量情況，隨機(jī)抽查了100天進(jìn)口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量(單

位：億人民幣/天)得下表：

進(jìn)口[0,50](50,100](100,150]

出口

[0,50]32184

(50,100]6812

(100,150]3710

(1)估計(jì)事件“我國與該國貿(mào)易中，一天的進(jìn)口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量均不超過100億人民幣”的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2X2列聯(lián)表：

進(jìn)口[0,100](100,150]

出口

[0,100]

(100,150]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為“我國與該國貿(mào)易中一天的進(jìn)口貿(mào)易量與出口

貿(mào)易量”有關(guān)？

附：Y=(a+b)及瑟?c)(b+d)，n=a+b+c+d.

P（產(chǎn)2）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）進(jìn)口貿(mào)易與出口貿(mào)易均不超過100的天數(shù)為64,利用古典概型概率公式即可求解；

（2）根據(jù)100天進(jìn)口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量，計(jì)算各段的頻數(shù)即可；

（3）把表中數(shù)據(jù)代入公式K2=".八,n=a+h+c+d,即可.

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

【解答】解：（1）由表中的信息可知，在100天中，進(jìn)口貿(mào)易與出口貿(mào)易均不超過100的天數(shù)為32+18+6+8

=64,

用頻率估計(jì)概率，可得所求概率為P=益=弱;

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，列出2義2列聯(lián)表如下:

進(jìn)口[0,100](100,150]

出口

[0,100]6416

(100,150]1010

(3)把(2)中數(shù)據(jù)代入產(chǎn)=g+b)圖黑?c)(b+d)，n=a+b+c+d，K2=

100x(64x10—16x10)2

x7,484>6.635.

80x20x74x26

所以有99%的把握認(rèn)為我國與該國貿(mào)易中一天的進(jìn)口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量有關(guān).

【點(diǎn)評】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于中檔題.

3.（2024?青海二模）某企業(yè)近年來的廣告費(fèi)用無（百萬元）與所獲得的利潤y（千萬元）的數(shù)據(jù)如下表所

示，已知y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.

年份20182019202020212022

廣告費(fèi)用X/百1.51.61.71.81.9

萬元

利潤w千萬元1.622.42.53

(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程：

(2)若該企業(yè)從2018年開始，廣告費(fèi)用連續(xù)每一年都比上一年增加10萬元，根據(jù)(1)中所得的線性

回歸方程，預(yù)測2025年該企業(yè)可獲得的利潤.

\,71__

至孝八十,2i=i(x「均⑶「》).-

參考公式：b=——--------------，a=y—bx.

Xki(%一元/

【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)y=3.3%-3.31；

(2)3.95千萬元.

【分析】(1)根據(jù)題意求出元，歹，Ei=i%2,刈%,代入公式求出6,a的值，進(jìn)而得到y(tǒng)關(guān)

于x的線性回歸方程；

(2)利用(1)得到的線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測即可.

?*73/1\i+tBrs^-TTrin-1.5+1.6+1.7+1.8+1.9—1.6+2+2.4+2.5+3_?52

【解答】斛：(1)由題忌可知，x=-------------g-------------=1.7,y=------------g-----------=2.3,XV;=iXi=

1.52+1.62+1.72+1.82+1.92=14.55,￡乙々%=1.5X1.6+1.6X2+1.7X2.4+1.8X2.5+

1.9x3=19.88,

所以b=隱要一”=19.88-5X1.7X尸=3.3,

￡之1xf-5xz14.55—5x1.7’

所以a=y-bx=2.3-3.3x1.7=-3.31,

故所求的線性回歸方程為y=3.3%-3.31；

(2)由題可知,到2025年時(shí)廣告費(fèi)用為2.2百萬元，

故可預(yù)測該公司所獲得的利潤約為3.3X2.2-3.31=3.95(千萬元).

【點(diǎn)評】本題主要考查了線性回歸方程的求解和應(yīng)用，屬于中檔題.

4.(2024?故城縣校級模擬)某高中高一500名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽

樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30),[30,40),

[80,90],并整理得到頻率分布直方圖如圖所示.

(1)從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于60的概率；

(2)估計(jì)測評成績的75%分位數(shù)；

(3)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，其中3名男生；分?jǐn)?shù)小于30的學(xué)生有2人，其中1名男

生.從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，則“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”與“抽到的學(xué)生是男

生”這兩個(gè)事件是否獨(dú)立？請證明你的結(jié)論.

頻率

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】（1）0.2；（2）78.75；（3）不獨(dú)立.

【分析】（1）由對立事件結(jié)合頻率分布直方圖，即可求出分?jǐn)?shù)小于60的頻率，則可得出總體的500名

學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其分?jǐn)?shù)小于60的概率估計(jì)值.（2）先得出從前到后的頻率之和為0.75是在哪個(gè)

區(qū)間，再通過頻率求出測評成績的75%分位數(shù).（3）驗(yàn)證獨(dú)立性公式是否成立.

【解答】（1）解：由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于60的頻率為：

（0.02+0.04+0.02）X10=0.8,則分?jǐn)?shù)小于60的頻率為1-0.8=0.2,

???從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于60的概率為0.2；

（2）解：由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在區(qū)間［70,80）的頻率最高，

則隨機(jī)抽取的100名學(xué)生的眾數(shù)的估計(jì)值為75,

由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)小于70的頻率為0.4,分?jǐn)?shù)小于80的頻率為0.8,

則測試成績的75%分位數(shù)落在區(qū)間［70,80）上，

估計(jì)測評成績的75%分位數(shù)為：70+10X螳=78.75；

（3）“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”與“抽到的學(xué)生是男生”這兩個(gè)事件不獨(dú)立.

證明：由已知可得分?jǐn)?shù)小于30的學(xué)生有2人，其中1名男生，1名女生，

30分到40分的學(xué)生有3人，其中2名男生，1名女生，

設(shè)“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”為事件A,“抽到的學(xué)生是男生”為事件8,

則從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”的概率為M

3

從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，“抽到的學(xué)生是男生”的概率為g,

則從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,

“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”且“抽到的學(xué)生是男生”的概率為g

則有P(A8)WP(A)P(B),

則“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”與“抽到的學(xué)生是男生”這兩個(gè)事件不獨(dú)立.

【點(diǎn)評】本題考查概率、頻數(shù)、眾數(shù)、分位數(shù)、頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2024?順義區(qū)校級模擬)習(xí)近平總書記高度重視體育運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，將體育與國家發(fā)展、民族振興緊密

聯(lián)系在一起，多次強(qiáng)調(diào)體育”是實(shí)現(xiàn)中國夢的重要內(nèi)容”“體育強(qiáng)則中國強(qiáng)，國運(yùn)興則體育興”，為了響

應(yīng)總書記的號召，某中學(xué)組織全體學(xué)生開展了豐富多彩的體育實(shí)踐活動(dòng).為了解該校學(xué)生參與活動(dòng)的情

況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間(單位：分鐘)，得到下表：

時(shí)間人數(shù)類別[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

性別男51213898

女69101064

學(xué)段初中10

高中41312754

(I)從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在［60,70)

的概率；

(II)從該校參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在［80,90)學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，在［90,100)的學(xué)生中隨機(jī)抽

取1人，求供中至少有1名初中學(xué)生的概率；

(III)假設(shè)同組中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代替，樣本中的100名學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均

數(shù)記為卬，初中、高中學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)分別記為因，山，試比較卬與七性的大

小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢參數(shù).

【專題】整體思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】⑴

2

(2)——.

63

(3)〃?！怠惫{

【分析】(1)根據(jù)條件概率公式求解即可；

(2)根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求解即可；

(3)補(bǔ)全初中段的人數(shù)表格，再分別計(jì)算四，因，因，即可得解.

【解答】解：(1)女生共有6+9+10+10+6+4=45人，

記事件A為“從所有調(diào)查學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，

女生被抽到”，事件8為“從所有調(diào)查學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，

參加體育活動(dòng)時(shí)間在［60,70)”，

由題意可知，P(a)=襦=券P(4B)=播

1

因此P(B|4)=半祟=空量

I'20

所以從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育活動(dòng)時(shí)間在［60,70)的概

率為I-

(2)時(shí)間在［80,90)的學(xué)生有10+5=15人，

活動(dòng)時(shí)間在［90,100］的初中學(xué)生有8+4-4=8人，

記事件C為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在［80,90)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，

抽到初中學(xué)生”，事件。為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在［90,100］的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的是初

中學(xué)生”，

_心2->41

由題意知，事件CJD相互獨(dú)立，且P(C)=—=尢，P(D)==于

所以至少有1名初中學(xué)生的概率P=1-P(CD)=1-P(C)P(萬)=/X==卷.

(3)根據(jù)男女生人數(shù)先補(bǔ)全初中學(xué)生各區(qū)間人數(shù):

時(shí)間人數(shù)類別[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

性別男51213898

女69101064

學(xué)段初中781111108

高中41312754

初中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間n=25X7+8X55+11X65+11X75+10X85+8X95=3765.

高中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間f2=4X25+13X55+12X65+7X75+5X85+4X95=2925,

-T71,QOQr\z-z-o3765Ar2925-

乂=JQQ(3765+2925)=66.9,%=—^―七68.45,[i2=45=65,

可得由〃0>蟲#.

【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)于眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的相關(guān)的知識，應(yīng)注意古典概型概率計(jì)算相關(guān)的知識,

屬于中檔題.

6.(2024?大武口區(qū)校級三模)為了慶祝黨的二十大勝利召開，培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興的時(shí)代新人，某高中在

全校三個(gè)年級開展了一次“不負(fù)時(shí)代，不負(fù)韶華，做好社會主義接班人”演講比賽.共1500名學(xué)生參

與比賽，現(xiàn)從各年級參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生，并按成績分為五組：[50,60),[60,70),[70,

3

80),[80,90),[90,100],得到如下頻率分布直方圖，且第五組中高三學(xué)生占

7

(1)求抽取的200名學(xué)生的平均成績](同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)；

(2)若在第五組中，按照各年級人數(shù)比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取7人，再從中選取2人組成宣

講組，在校內(nèi)進(jìn)行義務(wù)宣講，求這2人都是高三學(xué)生的概率；

(3)若比賽成績完+s(s為樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差)，則認(rèn)為成績優(yōu)秀，試估計(jì)參賽的1500名學(xué)生成績

優(yōu)秀的人數(shù).

【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

1

【答案】(1)75；(2)-；(3)273.

7

【分析】(1)利用頻率分布直方圖中的平均數(shù)計(jì)算方法計(jì)算即可；

(2)先由題意求得抽到的高三學(xué)生人數(shù)，再利用古典概型與組合數(shù)即可求得所求概率；

(3)先利用題目所求標(biāo)準(zhǔn)差公式求得s,再求得優(yōu)秀成績所在區(qū)間的頻率，從而可估算得成績優(yōu)秀的

人數(shù).

【解答】解：(1)根據(jù)題意可得元=(55X0.011+65x0.02+75x0.034+85x0.028+95x0.007)x

10=75,

所以抽取的200名學(xué)生的平均成績元=75；

3Q

(2)由于第五組總共要抽取7人，高三學(xué)生占所以抽到的高三學(xué)生應(yīng)該有7x3=3人，

C43i

所以由古典概型可得這2人都是高三學(xué)生的概率為另=—=-；

(3)根據(jù)題意可得s=

7(55-75)2X0.11+(65-75)2x0.2+(75-75)2x0.34+(85-75)2X0.28+(95-75)2x0.07

=,44+20+0+28+28=V120=2同?11,

所以優(yōu)秀的比賽成績應(yīng)該%＞元+s=75+11=86,

而比賽成績在［86,100］的頻率為：(90-86)X0.028+0.007X10=0.182,

而1500X0.182=273,

故參賽的1500名學(xué)生成績優(yōu)秀的人數(shù)為273人.

【點(diǎn)評】本題考查頻率分布直方圖，平均數(shù)的概念，分層抽樣的概念，標(biāo)準(zhǔn)差的概念，屬中檔題.

7.(2024?衡水一模)《中國制造2025》提出“節(jié)能與新能源汽車”作為重點(diǎn)發(fā)展領(lǐng)域，明確了“繼續(xù)支持

電動(dòng)汽車、燃料電池汽車發(fā)展，掌握汽車低碳化、信息化、智能化核心技術(shù)，提升動(dòng)力電池、驅(qū)動(dòng)電機(jī)、

高效內(nèi)燃機(jī)、先進(jìn)變速器、輕量化材料、智能控制等核心技術(shù)的工程化和產(chǎn)業(yè)化能力，形成從關(guān)鍵零部

件到整車的完成工業(yè)體系和創(chuàng)新體系，推動(dòng)自主品牌節(jié)能與新能源汽車與國際先進(jìn)水平接軌的發(fā)展戰(zhàn)略,

為我國節(jié)能與新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展指明了方向.某新能源汽車制造企業(yè)為了提升產(chǎn)品質(zhì)量，對現(xiàn)有的一

條新能源零部件產(chǎn)品生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級改造，為了分析改造的效果，該企業(yè)質(zhì)檢人員從該條生產(chǎn)線所

生產(chǎn)的新能源零部件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，檢測產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，根據(jù)檢測數(shù)據(jù)整理得到

頻率直方圖(如圖)：

(1)從質(zhì)量指標(biāo)值在［55,75)的兩組檢測產(chǎn)品中，采用分層抽樣的方法再抽取5件.現(xiàn)從這5件中隨

機(jī)抽取2件作為樣品展示，求抽取的2件產(chǎn)品恰好都在同一組的概率.

(2)經(jīng)估計(jì)知這組樣本的平均數(shù)為元=61,方差為$2=241.檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)中an=5x｛號｝bn=5x

［學(xué)］,”6N*,其中國表示不大于x的最大整數(shù)，｛尤｝表示不小于x的最小整數(shù)，s值四舍五入精確到

個(gè)位.根據(jù)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，技術(shù)升級改造后，若質(zhì)量指標(biāo)值有65%落在［m,內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后

的產(chǎn)品質(zhì)量初級穩(wěn)定，但需要進(jìn)一步改造技術(shù)；若有95%落在［及，歷］內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)

品質(zhì)量穩(wěn)定，認(rèn)為生產(chǎn)線技術(shù)改造成功.請問：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)，是否可以判定生產(chǎn)線的技術(shù)改造成

功？

頻率/組距

0.03

0.02

535455565758595質(zhì)量

指標(biāo)值

【考點(diǎn)】頻率分布直方圖.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)|；

(2)詳見解析.

【分析】(1)根據(jù)分層抽樣確定抽取比例，然后運(yùn)用組合求解即可；

(2)根據(jù)題中公式，計(jì)算出區(qū)間并判斷數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的概率，然后與題中條件比較即可得出結(jié)論.

P

【解答】解：⑴由題意可知5)=￡!=?,

[65,75)

所以抽取的2件產(chǎn)品恰好都在同一組的概率為：P=里笠=小=*

C5

(2)因?yàn)镾2=241,知s~因,

該抽樣數(shù)據(jù)落在[45,75]內(nèi)的頻率約為0.16+0.3+0.2=66%>65%,

該抽樣數(shù)據(jù)落在[30,90]內(nèi)的頻率約為1-0.03-0.04=0.93=93%<95%,

所以可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級穩(wěn)定，但不能判定生產(chǎn)線技術(shù)改造成功.

【點(diǎn)評】本題考查頻率直方圖的運(yùn)用，古典概率和離散型隨機(jī)變量的期望和方差，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算

能力，屬于中檔題.

8.(2024?上海)為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580

人，得到日均體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：

時(shí)間范圍[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

學(xué)業(yè)成績

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)約為多少？

(2)估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(精確到0.1).

(3)是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)?

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)12500人；

(2)0.9A；

(3)學(xué)業(yè)成績與鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2兩小時(shí)有關(guān)

【分析】(1)由已知結(jié)合頻率與概率關(guān)系即可求解；

(2)先求出樣本平均數(shù)，然后用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)即可;

(3)結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)即可判斷.

【解答】解：⑴580人中體育鍛煉時(shí)長大于1小時(shí)人數(shù)占比P=42+3+竺焦7+40+27=25

3oU30；

該地區(qū)29000名初中學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長大于1小時(shí)的人數(shù)約為29000x=12500；

(2)該地區(qū)初中學(xué)生鍛煉平均時(shí)長約為

111+0S1+1S1升22+2S

—x[-X0.5X(5+134)+上要x(4+147)+三產(chǎn)x(42+137)+斗口x(3+40)/x(1+27)]=

58022222

27

為”0.9/7；

(3)由題意可得2X2列聯(lián)表,

[1,2)其他總數(shù)

優(yōu)秀455095

不優(yōu)秀177308485

①提出零假設(shè)Ho：成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)無關(guān),

②確定顯著性水平a=0.05,P(x2^3.841)處0.05,

580x(45x308—177x50)2

③f=?3.976>3.841,

(45+50)x(177+308)x(45+177)x(50+308)

④否定零假設(shè)，即學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān).

【點(diǎn)評】本題主要考查了用樣本估計(jì)總體，由頻率分布表求平均數(shù)及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.(2024?蓮湖區(qū)校級四模)某工廠的工人生產(chǎn)內(nèi)徑為28.50枷〃的一種零件，為了了解零件的生產(chǎn)質(zhì)量，

在某次抽檢中，從該廠的1000個(gè)零件中抽出60個(gè)，測得其內(nèi)徑尺寸(單位：機(jī)機(jī))如下：

28.51X1328.52X628.50X428.48X11

28.49Xp28.54X128.53X728.47

這里用尤Xw表示有w個(gè)尺寸為Mww的零件，p,q均為正整數(shù).若從這60個(gè)零件中隨機(jī)抽取1個(gè)，則

.4

這個(gè)零件的內(nèi)徑尺寸小于28.49;77771的概率為一.

15

(1)求p,q的值.

(2)已知這60個(gè)零件內(nèi)徑尺寸的平均數(shù)為方rwn,標(biāo)準(zhǔn)差為且s=0.02,在某次抽檢中，若抽取

的零件中至少有80%的零件內(nèi)徑尺寸在氏-s,元+s］內(nèi)，則稱本次抽檢的零件合格.試問這次抽檢的

零件是否合格？說明你的理由.

【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢參數(shù)；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù).

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)零件個(gè)數(shù)與對應(yīng)的概率，建立方程組，解之可得答案；

(2)求出平均數(shù)，然后求出零件內(nèi)徑尺寸在區(qū)-S,元+s］內(nèi)的個(gè)數(shù)，即可作出判斷.

【解答】解：(1)依題意可得｛11+q_4,解得p=13,q=5；

t-60-=15

(2)將每個(gè)數(shù)據(jù)都減去28.50后所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

1

—x［0.01X13+0.02X6+0X4+(-0.02)X11+(-0.01)X13+0.04X1+0.03X7+(-0.03)X5］=0,

可得元=0+28.50=28.50,所以元—s=28.48,x+s=28.52,這60個(gè)零件內(nèi)徑尺寸在［元—S,元+s］內(nèi)

的個(gè)數(shù)為60-1-7-5=47,

4748

因?yàn)?7<77=0-8,所以這次抽檢的零件不合格.

6060

【點(diǎn)評】本題主要考查平均數(shù)公式、隨機(jī)事件的概率公式等知識，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.(2024?長沙模擬)2023年秋末冬初，呼和浩特市發(fā)生了流感疾病.為了徹底擊敗病毒，人們更加講究

衛(wèi)生講究環(huán)保.某學(xué)校開展組織學(xué)生參加線上環(huán)保知識競賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的

首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：

(1)若從成績低于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績低于50分的人數(shù)；

(2)以樣本估計(jì)總體，利用組中值估計(jì)該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)；

(3)首輪競賽成績位列前10%的學(xué)生人圍第二輪的復(fù)賽，請根據(jù)圖中信息，估計(jì)入圍復(fù)賽的成績(記

為k).

頻率

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】⑴2人；

(2)71分；

(3)88分.

【分析】(1)先根據(jù)各矩形的面積之和為1,求得。，再根據(jù)各層的人數(shù)比例抽?。?/p>

(2)利用平均數(shù)和中位數(shù)公式求解；

(3)根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.

【解答】解：(1)由(0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+a)X10=l,得。=0.03,

因?yàn)?.01X10X200=20(人)，0.015X10X200=30(人)，

所以不高于50分的抽5x=2(人)；

(2)平均數(shù)元=45X0.1+55X0.15+65X0.15+75X0.3+85X0.25+95X0.05=71(分)；

(3)因?yàn)槌煽兾挥冢?0,100］的頻率為0.005X10=0.05,成績位于［80,90)的頻率為0.025X10=0.25,

所以蛇［80,90),

則0.05+(90-k)X0.025=0.1,

解得左=88,

即入圍復(fù)賽的成績?yōu)?8分.

【點(diǎn)評】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了平均數(shù)的估計(jì)，考查了百分位數(shù)的定義，屬于

基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)卡片

1.頻率分布直方圖

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

1.頻率分布直方圖：在直角坐標(biāo)系中，橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示頻率與組距的比值，將頻率分布表

中的各組頻率的大小用相應(yīng)矩形面積的大小來表示，由此畫成的統(tǒng)計(jì)圖叫做頻率分布直方圖.

2.頻率分布直方