2024-2025學(xué)年河北省邢臺(tái)市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.經(jīng)過4(2,—3),8(—1,爪)兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為(1,—3),則爪=()

A.3B.4C,5D.6

2.已知點(diǎn)M是點(diǎn)N(6,7,8)在坐標(biāo)平面xOz內(nèi)的射影，則|加|=()

A.A/85B.10C.V113D.100

3.已知直線珀勺兩點(diǎn)式為三§=則()

□—yz—o

A.直線1經(jīng)過點(diǎn)(5,2)B.直線1的斜截式為x=|y-y

C.直線1的傾斜角為銳角D.直線1的點(diǎn)斜式為y-2=|(x-5)

4.已知向量Z=(1,2,-1)%=(2,0,1),則向量/在向量刃上的投影向量為()

A.節(jié)B.一爭(zhēng)C.爭(zhēng)D.一至

5.經(jīng)過點(diǎn)P(-2,0)作直線2,若直線/與連接4(2,4),B(l,-4)兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線I的傾斜角的取

值范圍是()

A.爍用c」O,Ru售，兀)D」0百U管，兀)

6.空間內(nèi)有三點(diǎn)P(3,l,—4),E(2,1,1),F(1,2,2),則點(diǎn)P到直線EF的距離為()

A.灰B.3避C.V3D.2^/3

7.在三棱錐P-4BC中，G為-ABC的重心，~PD=APA^PE=fiPB^PF=^PC,A，nE(0,1),p

若PG交平面DEF于點(diǎn)M,且麗=那，貝！U+〃的最小值為()MN

8.在直四棱柱ZBCD—aiBiCg中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD.AD=DC=BC=2,AB=公

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D哥

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.若值￡2｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是()

-?—>—>—>—?-?—>—>—>—?—>—>

A.a—b,b+c,c—aB.a—c,b—c,a—b

—>—>—>—>—?—?—>—>—>——>—>

C.b—a,a—b—c,cD.a,b—a,c—b

10.已知直線I經(jīng)過點(diǎn)(-2,-1),且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則直線I的方程可能是()

A.x-y+1=0B.x+y+3=0C.2x+y+5=0D.x-2y=0

11.在長(zhǎng)方體4BCD—中，AB=4,AD==6,P為長(zhǎng)方體ABC。-218停1。1表面上一動(dòng)點(diǎn)，貝U

西?南的值可能是()

A.-15B.-10C.-5D.2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知“BC的三個(gè)頂點(diǎn)A(-6,3),B(2,5),C(7,—4),則邊4B的中線所在直線的一般式為.

13.已知直線(2m-4)x-(ni+3)y+m+8=0經(jīng)過定點(diǎn)P,貝UP的坐標(biāo)為.

14.在三棱錐P—4BC中建立空間直角坐標(biāo)系后，得至IM(1,1,1),B(2,O,1),C(1,O,2),P(3,2,4),貝U三棱錐P—ABC

的體積為,三棱錐P-4BC外接球的表面積為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

77

已知直線/的傾斜角為百，在久軸上的截距為2.

(1)若直線。經(jīng)過點(diǎn)P(2,-避),Q(3,0),求/的斜截式方程，并判斷A與I是否平行；

(2)若直線6的一般式方程為久+避y+2=0,求％在y軸上的截距，并判斷%與/是否垂直；

(3)若直線％與I平行，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為68，求h的一般式.

16.(本小題12分)

在三棱柱48。-2道心中，平面44道停1平面ABC,AA1^A1C,AC=2,AC1BC,AA^LArC.

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(2)若異面直線ABi,C4i所成角的余弦值為白，求8c.

17.(本小題12分)

(1)若直線/沿x軸向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，回到原來(lái)的位置，求/的斜率;

(2)一束光線從點(diǎn)P(-2,4)射出，與y軸相交于點(diǎn)Q(0,-1),經(jīng)y軸反射，求入射光線和反射光線所在直線的

方程.

18.(本小題12分)

在空間幾何體力BC-DEF中，四邊形ZBED,4DFC均為直角梯形，

71_

=Z.CAB=5，AB=AC=CF=1,AD=2,BE=3.

(1)證明：平面BEF1平面DEF.

(2)求直線DF與平面BEF所成角的大小.

19.(本小題12分)

在如圖1所示的圖形中，四邊形4BCD為菱形，AB4D=60°,△P4D和△BCQ均為直角三角形,

APDA=/-QCB=90°,PD=2。=2CQ=2,現(xiàn)沿AD,BC將入PAD和、8CQ進(jìn)行翻折，使PD//QC(PD,QC在

(1)當(dāng)二面角p-a。-B為90。時(shí)，判斷。Q與平面P4B是否平行;

(2)探究當(dāng)二面角P—AD-B為120。時(shí)，平面P8Q與平面PBD是否垂直;

(3)在(2)的條件下，求平面PBD與平面QBC夾角的余弦值.

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參考答案

1.D

2.B

3.C

4.A

5.C

6.A

7.C

8.D

9.AD

1Q.ABD

11.5C

12.8x+9y—20=0

13.&2）或（0.5,2）

14.1；

.等或?qū)懟?117r

15.解：（1）

因?yàn)橹本€Z的傾斜角為宗所以直線Z的斜率為避，

又直線I在x軸上的截距為2,即直線過（2,0）點(diǎn)，

則由點(diǎn)斜式可得直線，方程為y=平（久-2）,

化為斜截式方程得y=避X-2逆，直線Z的斜率k=a

在y軸上的截距為-2避.

所以的勺斜截式方程為y=避乂-24；

由直線"經(jīng)過點(diǎn)P（2,-平）,Q（3,0）,

則直線上的斜率的=弋一嚴(yán)=B則直線匕的方程為y=道（比-3）,

故。的斜截式方程為y=平x-3平,在y軸上的截距為-38.

由兩直線斜率相同，在y軸上的截距不同，則”/小

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(2)

由直線6的一般式方程為x+避y+2=0,

化為斜截式方程為y=-鳥-竽，故%在y軸上的截距為-,平；

直線％的斜率七=一字，由k,6=4x(—乎)=-L

所以兩直線L與［互相垂直.

⑶

由直線h與?平行，則斜率七=k=避，故可設(shè)直線方程為y=避％+b,

令x=0,得y=b；令y=0,得x=一號(hào)b；

由直線％與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6平，

則S=綱?卜字W=*2=64，所以=36,解得b=±6.

所以直線%的方程為y=8*±6,

即b的一般式方程為8X-y±6=0.

16.解：(1)

因?yàn)槠矫?413。1平面力8C,交線為4C,

AC1BC,BCu平面力BC,

所以BC1平面a&CiC,

因?yàn)?41U平面441C1C,所以BC1441，

因?yàn)?MliAC41cnBC=C,ArC,BCu平面4/C,

所以4411平面&BC,

又BBJ/441，所以BBil平面ABC；

(2)

取AC的中點(diǎn)P,連接P&,因?yàn)?4i=&C,所以4止，47,

因?yàn)槠矫?4iC\C1平面ABC,交線為4C,4止u平面441clC,

所以&P1平面ABC,

取AB的中點(diǎn)H,連接P"，貝！|PH〃BC,

因?yàn)锳C1BC,所以PH1AC,

故以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，P",PC,P4i所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

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因?yàn)锳C=2,所以公尸=%。=1,故/(O—1,O),C(0,1,0)/式0。1),

設(shè)BC=m,貝(]8(叫1,0),設(shè)3式”,/1),

由廊=%得(0,1,1)=(s—nU-Lh),

解得S=771/=2,/l=1,故81(77121)，

AB[=(犯3,1),兩=(0-1,1),

因?yàn)楫惷嬷本€也,。11所成角的余弦值為《

1^7.京|_1(6,3,1)?(0,-1,1)1_2_1

所以|cos2Bi,(L4i|

\AB^\CA^一伽2+9+1.71+1—J2(m2+10)-3*

解得772=2",故BC=2也.

17.解：(1)由題意，直線/存在斜率，可設(shè)直線方程為y=%%+6

直線，沿式軸向右平移5個(gè)單位，沿y軸向上平移2個(gè)單位后，

所得直線的方程為：y=fc(%-5)+b+2

化簡(jiǎn)得y=kx—Sk+b+2.

因?yàn)槠揭坪笈c原直線重合，貝IJ而+b=kx-Sk+b+2.

解得k=|，即直線的斜率為■!.

(2)由P(-2,4),Q(0,-1)兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線PQ的斜率為西/

所以入射光線所在直線方程為y=等-1，即5x+2y+2=0.

因?yàn)榉瓷涔饩€與入射光線所在直線關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以反射光線與入射光線所在直線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，

所以反射光線所在直線的斜率為■!，所以反射光線所在直線方程為y=|x-l,

即5x-2y—2=0.

18.1?：(1)

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■JT

證明：因?yàn)镹CAD=NDAB=NC4B=5,所以AB,AC,4。兩兩垂直.

以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以詬，AD,左的方向?yàn)閤軸、y軸、Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),0(020),8(1,0,0),C(0,0,1)尸(0,1,1),E(l,3,0).

設(shè)平面BEF的法向量為元=(久i,yi,zQ,因?yàn)樽?(0,3,0),BF=(—1,1,1),

所以槨案［,一0，解得力=。，令肛=1,得zi=l,故1=(1,0,1).

設(shè)平面DEF的法向量為拓=(x2,y2,z2),因?yàn)槎?(0,-1,1),~DE-(1,1,0),

所以肅布__C令冷=1，得m=(l尸1尸1).

因?yàn)樵L?元=0,所以前1日，所以平面BEF_L平面DEF.

【小問2詳解】

設(shè)直線OF與平面BEF所成的角為a,由(1)知而=(0-1,1)，

平面BEF的一個(gè)法向量為元=(1,0,1),

.\DF-n\|(0,-Ll)(L0,l)|11

則fflllsm戊u就同一<+1x71+1-72x72-2,

TT

所以a=g,

即直線DF與平面BEF所成的角為也

19.解：⑴

若二面角P-AD-B為90。，則平面PAD_L平面48CD,

因?yàn)槠矫?4。C平面4BCD=AD,且P。1AD,所以PD1平面4BCD,

如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，而，麗的方向分別為x,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

貝伊(0,0,2),。(0,。,0)方(1,避,0),<2(—1,8,1)/(2,0,0),

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設(shè)平面P4B的法向量為元=(x,y,z),因?yàn)辂?(-1-y/3,2),BA=(1,—避,0),

所以"需=*中產(chǎn)=0一，得—3,居3),

(n-BA=x—y/oy=0,

因?yàn)辂?(-1,73,1),所以麗■n=-lx3+V3xA/3+1x3^0,

所以DQ不與平面P48平行.

(2)

取BC的中點(diǎn)E,連接DE,則DE1AD,

因?yàn)锳D1PD,所以二面角P-ZD—B的平面