期中預(yù)測模擬卷一2024-2025九年級數(shù)學(xué)上冊

重難考點(diǎn)訓(xùn)練（北師大版）含答案_________

專題期中預(yù)測模擬卷

考試范圍：第『4章；考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分

注意事項(xiàng)：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

評卷人得分

一、單選題

1.若2是關(guān)于x的方程/—c=0的一個(gè)根，則這個(gè)方程的另一個(gè)根是（）

A.x=-2B.x=V2C.x=2D.%=4

2.若a,b,c,d是成比例線段，其中a=2,b=3,c=4,則線段d的長等于（）

A.6B.8C.10D.12

3.在一個(gè)不透明的袋子中裝有6個(gè)小球，小球除顏色外完全相同，其中黑球2個(gè)，紅球4個(gè)，從中隨機(jī)摸出

一個(gè)小球，則摸出的小球是紅色的概率是（）

5.若一個(gè)菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于力的一元二次方程*2-14x+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其面積為

20,則該菱形兩對角線長分別為（）

A.3與nB.4與10C.2與10D.5與8

6.如圖，將透明直尺疊放在正五邊形徽章2BCDE上，若直尺的下沿MNIDE于點(diǎn)。，且經(jīng)過點(diǎn)B,上沿PQ

經(jīng)過點(diǎn)E且與4B相交于點(diǎn)F,則N4FE的度數(shù)為（）

A.45°B.54°C.60°D.72°

7.某廠家2024年1月份生產(chǎn)口罩產(chǎn)量為100萬只，3月份生產(chǎn)口罩的產(chǎn)量為144萬只，設(shè)從1月份到3

月份該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x,根據(jù)題意可得方程是（）

A.100(1-%)2=144B.100（1+%）2=144

C.144（1-x）2=100D.144（1+x）2=100

8.如圖，將一張三角形紙片ABC的三角折疊，使點(diǎn)4落在△ABC的4處折痕為DE,若NA=35。,NCEA=40°,

則NBD4的度數(shù)為（）

'.E

--------V

A.105°B.110°C.115°D.120°

9.若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB=8cm,AOBC,則AC等于()

A.B.2(V5-1)cmC.4(V5-1)cmD.6(V5-1)cm

10.如圖，四邊形4BCD是矩形，點(diǎn)尸在BC邊上，4F平分NBAD且AD=AF,DE14F垂足為點(diǎn)E,連接BE并

延長交CD于點(diǎn)G,連接DF交BG于點(diǎn)H,連接EC交DF于點(diǎn)/,有下列結(jié)論：①乙=NCFD；②DF垂直

且平分EC；③△EFC三△E”D；④AB=EG；⑤NEGC=67.5。.其中正確的結(jié)論有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

第H卷（非選擇題）

評卷人得分

---------------二、填空題

11.在△ABC中，AABC=90°,AC=4,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，則BD的長為

12.確定一個(gè)b（b。0）的值為,使一元二次方程M+2bx+1=。無實(shí)數(shù)根.

13.在一個(gè)不透明的盒子中裝有。個(gè)除顏色外完全相同的球，這。個(gè)球中只有3個(gè)紅球，若每次將球充分?jǐn)?/p>

勻后，任意摸出1個(gè)球記下顏色再放回盒子，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右,

則a的值約為

14.已知△ABC?NA=30。，ZB=50°,貝!kF=

15.如圖，平行四邊形48CD中，在4D上截取4尸=48,分別以點(diǎn)B、F為圓心，大于的長為半徑畫弧,

兩弧交于點(diǎn)P,連接4P交BC于E,若AB=5,BF=6,貝U/1E的長為.

16.如圖，在正方形4BCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)B作BF14E于點(diǎn)F,連接BD交2E于點(diǎn)G.則

AF:FG為.

三、解答題

17.用因式分解法解方程(x-3尸=(2%+1尸.

18.在△4BC中,乙4cB=90。，AB=10,BC=6,將△ABC沿射線AC向下平移得到△AB'C',邊4B'交BC

于點(diǎn)D,連接BB'.

⑴求證：四邊形BCC'B'為矩形；

(2)當(dāng)四邊形BCC'B'為正方形時(shí)，求線段CD的長.

19.微信拼手氣紅包是由發(fā)紅包者自行設(shè)置紅包總金額和紅包個(gè)數(shù)，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)分配紅包金額并發(fā)送給其

他用戶.小李在家庭群里(群成員為爸爸、媽媽、小李，共三人)發(fā)了一個(gè)如圖所示的新年拼手氣紅包，

將三個(gè)隨機(jī)紅包記為4B,C,分別代表錢數(shù)最多，錢數(shù)居中，錢數(shù)最少，三個(gè)紅包均被搶走.

<發(fā)紅包??

a紅乞個(gè)敷3個(gè)

□￥ioo

紅包BAB

*100.00

⑴爸爸搶到紅包a的概率為；

⑵請你利用畫樹狀圖求媽媽搶到紅包B,同時(shí)小李搶到紅包c(diǎn)的概率.

20.如圖，在△48C中，。是邊4B上一點(diǎn).

⑴請用尺規(guī)作圖，在4C上找一點(diǎn)￡,作=保留作圖痕跡.

⑵若華=自求△4DE與四邊形。BCE的面積比.

AD5

21.如圖，在平行四邊形ABC。中，E、F分別為邊48、CD的中點(diǎn)，BD是對角線，AG〃152交CB的延長線于

⑴求證：四邊形4GBD為平行四邊形；

(2)若4G=2VLBG=2,CD=2痘,則四邊形8EDF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論.

22."陽光玫瑰"是一種優(yōu)質(zhì)的葡萄品種.某葡萄種植基地2021年年底已經(jīng)種植"陽光玫瑰"300畝，到2023

年年底"陽光玫瑰”的種植面積達(dá)到432畝.

⑴求該基地“陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率.

(2)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)"陽光玫瑰”的售價(jià)為20元/kg時(shí)，每天能售出300kg；銷售單價(jià)每降低1元，每天可多

售出50kg.為了減少庫存，該基地決定降價(jià)促銷.已知該基地''陽光玫瑰〃的平均成本為10元/kg,若要使

銷售''陽光玫瑰〃每天獲利3150元，并且使消費(fèi)者盡可能獲得實(shí)惠，則銷售單價(jià)應(yīng)定位多少元？

23.【閱讀材料】利用公式法，可以將一些形如a/+b%+c(a。0)的多項(xiàng)式變形為。(％+?n)2+九的形式，

我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式a/+法+c(a。0)的配方法,運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對一

些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解或有關(guān)運(yùn)算.

例如：對于+6。+8.(1)用配方法分解因式；(2)當(dāng)。取何值，代數(shù)式+6。+8有最小值？最小值是

多少？

解：(1)原式=a2+6a+8+1—1

=a2+6a+9—1

=(a+3)2—1

=[(a+3)+1][(Q+3)—1]

=(a+4)(a+2).

(2)由(1)得：小+6a+8=(a+3)?—1,

v(a+3)2>0,

?**(a+3)2—1>—1,

.,?當(dāng)。=一3時(shí)，代數(shù)式小+6a+8有最小值，最小值是一1.

【問題解決】利用配方法解決下列問題：

⑴用配方法因式分解：%2+2%-8；

⑵試說明不論小為何值，代數(shù)式-徵2+4m-5恒為負(fù)數(shù)；

⑶若已知(a+c)(b—a)=-(h+c)2且a豐0,求匕的值.

24.已知正方形4BCD的邊長為4,點(diǎn)E是邊2D的中點(diǎn)，EF\\CD,EF交對角線4c于點(diǎn)尸.

(1)如圖1,取CF的中點(diǎn)G,連接DG、EG、BG,求證：EG=DG-,

⑵如圖2以4聲尻是由沿射線C4平移得到的，點(diǎn)Fi與點(diǎn)A重合，點(diǎn)M是&C的中點(diǎn)，連接

E]M交4D于點(diǎn)H.

①求證：DM1EM

②求DH的長.

25.如圖1,在平行四邊形ABCD中，ABrAC,AB=AC,點(diǎn)E在線段AD上，點(diǎn)B在線段AC上，連接ER

⑴連接BE,若AE=3,AB=3?求線段BE的長.

(2)將/XAFE繞A點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接BRCF,CF交AE邊于點(diǎn)P,延長B尸交

AE^-M,且M■為AE■的中點(diǎn)，求證：AE+BF=2AP.

⑶如圖3,將跖繞A點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接CFN為CP的中點(diǎn)，連接BN、AN,若祭=卓，在

旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)線段3N的長最大時(shí)，請直接寫出產(chǎn)的值.

專題期中預(yù)測模擬卷

考試范圍：第『4章；考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分

注意事項(xiàng)：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

評卷人得分

1.若2是關(guān)于x的方程/—c=0的一個(gè)根，則這個(gè)方程的另一個(gè)根是（）

A.x=-2B.x=V2C.x=2D.%=4

【答案】A

【知識點(diǎn)】解一元二次方程一一直接開平方法、一元二次方程的解

【分析】本題考查了一元二次方程根的定義，解一元二次方程，把％=2代入方程——。=0求出c,再解一

元二次方程即可求解，掌握一元二次方程根的定義和解一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???2是關(guān)于久的方程——c=。的一個(gè)根，

：.4-c=0,

/.c=4,

一元二次方程為/—4=0,

.'.x2=4,

/.x1=2,x2=—2,

.?.這個(gè)方程的另一個(gè)根是-2,

故選：A.

2.若a,b,c,d是成比例線段，其中a=2,b=3,c=4,則線段d的長等于（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【知識點(diǎn)】成比例線段

【分析】本題考查了比例線段，寫比例式的時(shí)候一定要注意順序，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行求解.根據(jù)a、

b、c、d是成比例線段，得a：b=c:d,再根據(jù)比例的基本性質(zhì)，求出d的值即可.

【詳解】解：:a,b,c,d成比例，

ac

,.,一—_—,

bd

va=2,h=3,c=4,

,.?2—_4

3d

???d=6.

故選：A.

3.在一個(gè)不透明的袋子中裝有6個(gè)小球，小球除顏色外完全相同，其中黑球2個(gè)，紅球4個(gè)，從中隨機(jī)摸出

一個(gè)小球，則摸出的小球是紅色的概率是（）

AA.—1Bc.l—cC.-2rD.—3

3232

【答案】c

【知識點(diǎn)】根據(jù)概率公式計(jì)算概率

【分析】本題考查了概率，用紅球數(shù)除以球的總個(gè)數(shù)即可得到摸出的小球是紅色的概率，掌握概率的計(jì)算

公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：從中摸出一個(gè)小球，共有6種可能，其中摸出的小球是紅色的情況有4種，

故摸出的小球是紅色的概率是:=

63

故選：C.

4.耕吟則詈的值為（）

八10-7-3-4

A.-B.—C.-D.

71077

【答案】A

【知識點(diǎn)】比例的性質(zhì)

【分析】把吧化成2+1,再把：=?弋入，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

nn

【詳解】解：：M

m+nm.310

——=—+1=-+1=—.

nn77

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把吧化成友+1,屬于較簡單運(yùn)算.

nn

5.若一個(gè)菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于力的一元二次方程*2-14x+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其面積為

20,則該菱形兩對角線長分別為（）

A.3與11B.4與10C.2與10D.5與8

【答案】B

【知識點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、利用菱形的性質(zhì)求面積

【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及菱形的性質(zhì).設(shè)菱形的兩條對角線長分別為a、b,利用根與系

數(shù)的關(guān)系及對角線與菱形面積的關(guān)系得等式，再根據(jù)菱形的邊長與對角線的關(guān)系求出菱形的邊長.

【詳解】解：設(shè)菱形的兩條對角線長分別為打、%2,即/一14%+巾=0的兩根為打、%2,

由題意得：巴+廣=/

?.?菱形面積為20,

=20,解得：爪=%1%2=40,

...一元二次方程為/—14x+40=0,

整理得(%-4)(%-10)=0,

=

解得均=4、%210'

該菱形兩對角線長分別為4與10,

故選：B.

6.如圖，將透明直尺疊放在正五邊形徽章28CDE上，若直尺的下沿MN，DE于點(diǎn)。，且經(jīng)過點(diǎn)8,上沿PQ

經(jīng)過點(diǎn)E且與4B相交于點(diǎn)F,貝叱4FE的度數(shù)為()

A.45°B.54°C.60°D.72°

【答案】B

【知識點(diǎn)】垂線的定義理解、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、正多邊形的內(nèi)角問題

【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和問題以及平行線的性質(zhì)及垂線定義.熟記公式是解題關(guān)鍵.根據(jù)正

多邊形的內(nèi)角和公式可求出正五邊形4BCDE的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)，在四邊形4B0E中求出N4B。即可求解.

【詳解】解：',MNIDE,

：.Z.EOB=90°,

正五邊形4BCDE的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為：GV)?。。=1os。,

在四邊形4B0E中,

乙ABO=360°-AA-^AEO-乙EOB=360°-108°-108°-90°=54°,

"EF||BO,

：.^AFE=乙ABO=54°,

故選：B

7.某廠家2024年1月份生產(chǎn)口罩產(chǎn)量為100萬只，3月份生產(chǎn)口罩的產(chǎn)量為144萬只，設(shè)從1月份到3

月份該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x,根據(jù)題意可得方程是()

A.100(1-%)2=144B.100(1+x)2=144

C.144(1-%)2=100D.144(1+%)2=100

【答案】B

【知識點(diǎn)】增長率問題(一元二次方程的應(yīng)用)

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)從1月份到3月份該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為X,根據(jù)

等量關(guān)系列出方程即可求解，理清題意，根據(jù)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)從1月份到3月份該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為X,

依題意得：100(1+%)2=144,

故選B.

8.如圖，將一張三角形紙片4BC的三角折疊，使點(diǎn)4落在△ABC的4處折痕為DE,若乙4=35°,ACEA'=40°,

則4BD4的度數(shù)為()

A.105°B.110°C.115°D.120°

【答案】B

【知識點(diǎn)】折疊問題、三角形折疊中的角度問題、三角形的外角的定義及性質(zhì)

【分析】本題考查三角形的外角性質(zhì)，折疊的性質(zhì).熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的

和是關(guān)鍵.設(shè)此,4。交于點(diǎn)尸，由折疊可知/4=〃=35。,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得:NBD4=^A+^AFD,

AAFD=^A'+ACEA',再結(jié)合NCE4=40。，即可求解.

【詳解】解：如圖，設(shè)AC,4。交于點(diǎn)F,

???/.CEA!=40°,

ANAFD=+MEA'=35°+40°=75°,

,-.4BDA'=乙4+Z.AFD=35°+75°=110°,

故選：B.

9.若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB=8cm,AC>BC,則AC等于()

A.^-^cmB.2(V5-1)cmC.4(V5-1)cmD.6(V5-1)cm

【答案】C

【知識點(diǎn)】比例線段

【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫

做黃金分割，他們的比值(亨)叫做黃金比.

【詳解】解：根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念得：AC=2^28=4(75—l)cm.

故選：C.

【點(diǎn)睛】考查了黃金分割點(diǎn)的概念，解題的關(guān)鍵是掌握黃金比的值.

10.如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)尸在BC邊上，4F平分NB4D且4D=AF,DE1AF垂足為點(diǎn)E,連接BE并

延長交CD于點(diǎn)G,連接。尸交BG于點(diǎn)H,連接EC交DF于點(diǎn)/,有下列結(jié)論：①"FD=NCFD；②DF垂直

且平分EC；③△EFC三△E”D；@AB=EG；⑤NEGC=67.5。.其中正確的結(jié)論有()個(gè).

【答案】C

【知識點(diǎn)】利用矩形的性質(zhì)證明、等腰三角形的性質(zhì)和判定、線段垂直平分線的判定、全等三角形綜合問

題

【分析】由矩形的性質(zhì)可得4。IIBC,/.BCD=90°,得出乙4DF=4CFD,由等腰三角形的性質(zhì)得出乙4FD=

AADF,故①正確；由Rt^DEFmRt^ADCF得EF=CF,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得②正確；由NEDC=

45。，ED=DC,得△EDC不可能是等邊三角形，得ED7EC,故③錯(cuò)誤；由等腰三角形的性質(zhì)可判斷④；

由全等三角形的性質(zhì)及長方形的性質(zhì)可得△4ED為等腰直角三角形，求出N4BE=67.5。，再根據(jù)平行線的

性質(zhì)可得NEGC=UBE=67.5°,可判定⑤正確.

【詳解】解：???四邊形4BCD是矩形，

AD//BC,/.BCD=90°,

??.Z.ADF=Z.CFD,

vAD=AF,

???Z-AFD=匕ADF,

???乙AFD=〃：FD,故①正確；

乙

???Z-AFD=CFD,DElAFfDC1BC,

??.DE=DC,

???。在CE的垂直平分線上，

在Rt△OEF和Rt△OCT中，

(DE=DC

IDF=DF'

???Rt△DEF=RtADCF(HL),

???EF=CF,

???點(diǎn)F在CE的垂直平分線上，

DF垂直且平分CE,故②正確；

???4F平分NBAD,

/.DAF=45°,

^ADE=45°,

.-?乙EDC=45°,

又ED=DC,

EDC不可能是等邊三角形，

???EDWEC,

EFC=AEHD錯(cuò)誤；故③錯(cuò)誤;

-AB=CD,ED=CD,

AB=ED,

???乙EDG=45°,

???EDWEG,

：.AB^EG,故④錯(cuò)誤；

???^DAF=45°,DEVAF,

.?.△2ED為等腰直角三角形，

AE=DE,

???Rt△DEF=RtADCF(HL),

??.DE=DC,

XvAB=DC,

AB=AE,

???Z-ABE=Z-AEB,

??.ABAE=45°,

??.AABE=67.5°,

???AB||DC,

???乙EGC=/-ABE=67.5°,

故⑤正確.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，線段垂直平分

線的性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

第II卷(非選擇題)

評卷人得分

11.在△ABC中，/.ABC=90°,AC=4,點(diǎn)。為4c的中點(diǎn)，則BD的長為

【答案】2

【知識點(diǎn)】斜邊的中線等于斜邊的一半

【分析】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求得BD的長.掌

握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：在△ABC中，N4BC=90。，點(diǎn)。為4C的中點(diǎn),

.?.BD是斜邊4C上的中線，

5L'：AC=4,

：11

.BD=-2AC=2-x4=2,

故答案為：2.

12.確定一個(gè)b(bW0)的值為,使一元二次方程/+2bx+1=0無實(shí)數(shù)根.

【答案w

【分析】根據(jù)方程無實(shí)數(shù)根求出b的取值范圍，再確定b的值即可.

【詳解】?.?一元二次方程x2+2bx+l=0無實(shí)數(shù)根，

?*.4b2-4<0

因此，b可以取之等滿足條件的值.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.此題難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)△<()時(shí)，一元

二次方程沒有實(shí)數(shù)根.

13.在一個(gè)不透明的盒子中裝有a個(gè)除顏色外完全相同的球，這a個(gè)球中只有3個(gè)紅球，若每次將球充分

攪勻后，任意摸出1個(gè)球記下顏色再放回盒子，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左

右，則a的值約為

【答案】15

【知識點(diǎn)】由頻率估計(jì)概率、已知概率求數(shù)量

【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，從而估計(jì)出概率，

再根據(jù)概率公式列出方程求解.

【詳解】解：由題意可得

3

-=20%,

a

解得，a=15.

經(jīng)檢驗(yàn)，a=15是原方程的解，

.*.a的值約為15.

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題利用了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率.關(guān)鍵是根據(jù)紅球的概率計(jì)算公式列出方

程.

14.已知△ABC?△DEF,ZX=30°,AB=50。，則4尸=°.

【答案】100

【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、利用相似三角形的性質(zhì)求解

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和，相似三角形的性質(zhì)，即可.

【詳解】W4=30°,乙B=50°,

.?.在△ABC中，ZC=180°-zX-zB,

ZC=180°-30°-50°=100°,

V△ABC?△DEF,

ZF=NC=100°.

故答案為：100.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的知識，相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和，相似三角形的

性質(zhì).

15.如圖，平行四邊形力BCD中，在4D上截取4尸=4B,分別以點(diǎn)B、F為圓心，大于18尸的長為半徑畫弧，

兩弧交于點(diǎn)P,連接4P交BC于E,若4B=5,BF=6,則4E的長為

【知識點(diǎn)】根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長、用勾股定理解三角形、根據(jù)三線合一證明、作角平分線（尺規(guī)

作圖）

【分析】本題考查作圖一基本作圖，等腰三角形三線合一性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾

股定理.連接EF,設(shè)4E,8F交于點(diǎn)0,證明四邊形4BEF是菱形，可得4。=EO,BO=FO=3,AE1BF,

由勾股定理4。=4,即可求4E的長.

【詳解】解：連接EF,設(shè)4E,BF交于點(diǎn)。，

由尺規(guī)作圖的過程可知：直線4E1平分NB4D,AF=AB,

：.^FAE=^BAE,AE1BF,點(diǎn)。為BF的中點(diǎn)，

.?.AE垂直平分BF,

:?EF=EB,

???四邊形力BCD是平行四邊形，AB=5,BF=6,

J.AD//BC,

C./-FAE=^BEA,

：./.BAE=/-BEA,

：.BA=BE,

：.BA=BE=AF=FE,

???四邊形ABE尸是菱形，

i1i

：.A0=EO=-AE,BO=F0=-BF=-x6=3,

222

在Rt△0aB中，AO=y/AB2-B02=V52-32=4,

：.AE=2X0=2X4=8,

即4E的長為8.

故答案為：8.

16.如圖，在正方形4BCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，連接4E,過點(diǎn)B作8F，4E于點(diǎn)F,連接8。交4E于點(diǎn)G.則

AF:FG為

【答案】3:2

【知識點(diǎn)】用勾股定理解三角形、根據(jù)正方形的性質(zhì)證明、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】設(shè)正方形的邊長為2a,由勾股定理求得4E=Za,易證△DEG“aB4G,得到粵=啜=：,進(jìn)而

/1(J/1￡5Z

求得4G=^a,再證-△E4D,利用相似三角形的性質(zhì)求得4F=竿見于是FG=4G-4F=等。,

最后進(jìn)一步求比值即可.

【詳解】設(shè)正方形的邊長為2a,

?..四邊形4BCD為正方形,

AADC=乙DAB=90°,AB=AD=AC=a,AB||CD,

:點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，

1

??.DE=CE=-CD=a,

2

在Rt=y/AD2+DE2=V（2a）2+a2=V5a,

9JAB||CD,

.*.△DEGBAG,

.EG_DE_1

??AG-AB-2’

又AG+EG=AE=V5a,

“2Vs

AG=—ct,

3

BF1AE,

??.AAFB=90°=乙EDA,

???^BAF+乙DAE=90°,Z-DAE+乙AED=90°,

???Z-BAF=乙AED,

ABFMEAD,

AF_AB即arti一4f=2a

DE-AE"a后

2V5

???AF-----CL

5

廠廠/!r2遍2A/54A/5

???FG=AG—AF=—a----a=—a,

3515

嗎3

???AF-.FG=方

4V52

故答案為:3:2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理，找出合適的相似三角形，利

用相似三角形的性質(zhì)得出相關(guān)線段之間的關(guān)系式解題關(guān)鍵.

評卷人得分

三、解答題

17.用因式分解法解方程O-3)2=(2%+1)2.

【答案】％1=|,x2--4

【知識點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程和解一元一次方程，關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程.移

項(xiàng)后分解因式得出(3x—2)(-x—4)=0,推出方程3x—2=0,-x-4=0,求出方程的解即可.

【詳解】解：移項(xiàng)得：(x—3尸—(2x+1)2=0,

分解因式得：[(x—3)+(2x+l)][(x—3)—(2x+l)]=0,

即(3x—2)(—x-4)=0,

3x—2=0,—x—4=0,

解得：X]=|,x2=-4.

18.在△2BC中，乙4cB=90。，AB=10,BC=6,將△ABC沿射線AC向下平移得到△AB'C',邊A'B'交BC

于點(diǎn)0,連接BB'.

⑴求證：四邊形BCC'B'為矩形；

⑵當(dāng)四邊形BCC'8'為正方形時(shí)，求線段CD的長.

【答案】⑴證明見詳解

【知識點(diǎn)】證明四邊形是矩形、根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長、利用平移的性質(zhì)求解、相似三角形的判定與

性質(zhì)綜合

【分析】(1)由于△ABC沿射線2C向下平移得所以4C'與4C在同一條直線上，由B'C'||BC,B'C=

BC,“'=Z.ACB=90°,可判斷四邊形BCC'B，是矩形;

(2)由勾股定理求出AC,由平移的性質(zhì)可得出4C，=AC=8,由正方形的性質(zhì)可得出4C」|BB，，CC=

BC=BB'=6,進(jìn)一步證明△ADCs^B'DB,由相似三角形的性質(zhì)可得出胃=甘，即可求出CD.

BDBB

【詳解】（1）證明???△ABC沿射線2C向下平移得△ABC,

4C'與AC在同一條直線上，

由平移得，B'C||BC,B'C=BC,

四邊形9是平行四邊形，

???NC'=4ACB=90°,

???四邊形8CLB，是矩形.

（2）'：^ACB=90°,AB=10,BC=6,

：.AC=<AB2-BC2=V102-62=8,

由平移的性質(zhì)得：A'C=AC=8,

四邊形BCC'B'為正方形，BC=6,

：.A'C||BB',CC=BC=BB'=6,

A^CA'D=^BB'D,A'C=AC-CC=8-6=2,

.；4A'DC=4BDB'

:.AA，DCsAB，DB,

,cp__A'C

,?BD-BBr

nnCD2

6-CD6

3

CD=-

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定，平移的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定以及性質(zhì)，勾股定

理的應(yīng)用，掌握這次判定以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.微信拼手氣紅包是由發(fā)紅包者自行設(shè)置紅包總金額和紅包個(gè)數(shù)，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)分配紅包金額并發(fā)送給其

他用戶.小李在家庭群里（群成員為爸爸、媽媽、小李，共三人）發(fā)了一個(gè)如圖所示的新年拼手氣紅包，

將三個(gè)隨機(jī)紅包記為4B,C,分別代表錢數(shù)最多，錢數(shù)居中，錢數(shù)最少，三個(gè)紅包均被搶走.

<發(fā)紅包

0紅包個(gè)數(shù)3個(gè)

□總金額￥100

紅包封面領(lǐng)封面?

*100.00

⑴爸爸搶到紅包a的概率為；

（2）請你利用畫樹狀圖求媽媽搶到紅包B,同時(shí)小李搶到紅包c(diǎn)的概率.

【答案】%

聯(lián)

【知識點(diǎn)】列表法或樹狀圖法求概率、根據(jù)概率公式計(jì)算概率

【分析】本題主要考查隨機(jī)事件的概率，列表法或畫樹狀圖法求隨機(jī)事件的概率，掌握列表法或畫樹狀圖

法求概率的方法是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)概率的計(jì)算公式即可求解；

（2）列表或畫樹狀圖把所有等可能結(jié)果表示出來，再根據(jù)概率的計(jì)算方法即可求解.

【詳解】（1）解：共有3種等可能結(jié)果，A是其中一種，

二搶到A的概率為I；

（2）解：運(yùn)用列表或畫樹狀圖把所有等可能結(jié)果表示出來，

共有6種等可能結(jié)果，媽媽搶到紅包B,同時(shí)小李搶到紅包C的結(jié)果有1種,

,媽媽搶到紅包B,同時(shí)小李搶到紅包C的概率為

6

20.如圖，在△48C中，D是邊4B上一點(diǎn).

⑴請用尺規(guī)作圖，在4c上找一點(diǎn)E,作N4DE=NB,保留作圖痕跡.

(2)若￡=|,求△4DE與四邊形DBCE的面積比.

【答案】⑴詳見解析

(2)-

【知識點(diǎn)】尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】

(1)根據(jù)基本作圖，作出乙4DE等于已知角即可.

(2)利用相似三角形的性質(zhì)求解.

本題考查作圖一基本作圖，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確

尋找相似三角形解決問題.

【詳解】(1)

圖形如圖所示：

則乙4DE即為所求.

(2)

*.*Z-A—Z-A?Z.ADE=Z-B,

：.AADE八ABC,

..AD_2

?=—，

AB5

?S&ADE_（竺）2_4

SAABC\AB）25'

?S^ADE_4

??—,

SAABC-S^ADE25-4

?SAADE_4

??—?

S四邊形DECBC21

21.如圖，在平行四邊形28CD中，E、尸分別為邊4B、CD的中點(diǎn)，8。是對角線，AG〃DB交CB的延長線于

⑴求證：四邊形4GBD為平行四邊形；

(2)若4G=2VXBG=2,CD=2網(wǎng),則四邊形BEDF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論.

【答案】⑴見解析

⑵菱形，見解析

【知識點(diǎn)】證明四邊形是菱形、證明四邊形是矩形、斜邊的中線等于斜邊的一半、利用平行四邊形性質(zhì)和

判定證明

【分析】(1)根據(jù)AD〃BG,AG〃DB判定即可.

(2)根據(jù)232=(2次/=12=(2企尸+22=AG?+BG?,判定四邊形AGBD是矩形，從而得到DE=AE=EB,

從而判定四邊形2EDF是菱形.

【詳解】(1)???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BG,

VAG//DB,

四邊形4GBD為平行四邊形.

(2)?..四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別為邊4B、CD的中點(diǎn)，

11

Z.AB/7CD,DF=-CD,EB=-AB,AB=CD,

22

；.DF〃EB,DF=EB,

...四邊形BEDF為平行四邊形.

2222

"：AB=(2百＞=12=(2必2+2=AG+BG,

.\ZAGB=90°,

,/四邊形4GBD為平行四邊形，

.??四邊形AGBD是矩形，

.\ZADB=90o,

為邊4B的中點(diǎn)，

；.DE=AE=EB,

?..四邊形BEDF為平行四邊形，

四邊形BEDF是菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，熟

練掌握菱形的判定，勾股定理的逆定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

22."陽光玫瑰"是一種優(yōu)質(zhì)的葡萄品種.某葡萄種植基地2021年年底已經(jīng)種植“陽光玫瑰"300畝，到2023

年年底"陽光玫瑰”的種植面積達(dá)到432畝.

⑴求該基地“陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率.

⑵市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)"陽光玫瑰”的售價(jià)為20元/kg時(shí)，每天能售出300kg；銷售單價(jià)每降低1元，每天可多

售出50kg.為了減少庫存，該基地決定降價(jià)促銷.已知該基地"陽光玫瑰”的平均成本為10元/kg,若要使銷

售"陽光玫瑰”每天獲利3150元，并且使消費(fèi)者盡可能獲得實(shí)惠，則銷售單價(jià)應(yīng)定位多少元？

【答案】⑴該基地"陽光玫瑰"種植面積的年平均增長率為20%

⑵銷售單價(jià)應(yīng)定位17元

【知識點(diǎn)】增長率問題（一元二次方程的應(yīng)用）、營銷問題（一元二次方程的應(yīng)用）

【分析】（1）設(shè)該基地"陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率為x,利用該基地2022年年底"陽光玫瑰”的種植

面積=該基地2020年年底"陽光玫瑰"的種植面積乘上（1+該基地"陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率）的

平方，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)銷售單價(jià)應(yīng)降低y元，則每千克的銷售利潤為（20-y-10）元，每天能售出（300+50y）千克，

利用總利潤=每千克的銷售利潤x日銷售量，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：設(shè)該基地"陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率為X,

根據(jù)題意得：300（1+尤）2=432,

解得：x±=0.2=20%,x2=—2.2(不符合題意，舍去).

答：該基地"陽光玫瑰”種植面積的年平均增長率為20%；

(2)解：設(shè)銷售單價(jià)應(yīng)降低y元，則每千克的銷售利潤為(20-y-10)元，每天能售出(300+50y)千

克，

根據(jù)題意得：(20-y-10)(300+50y)=3150,

整理得：y2-4y+3=0,

解得：%=L>2=3

???"陽光玫瑰”的售價(jià)為20元/kg,使消費(fèi)者盡可能獲得實(shí)惠

.?.銷售單價(jià)應(yīng)定位17元.

23.【閱讀材料】利用公式法，可以將一些形如a/+bx+c(a力0)的多項(xiàng)式變形為aQ+m)2+幾的形式,

我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式a-+bx+戊。豐0)的配方法,運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對一

些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解或有關(guān)運(yùn)算.

例如：對于a2+6a+8.(1)用配方法分解因式；(2)當(dāng)a取何值，代數(shù)式a?+6a+8有最小值？最小值是

多少？

解：(1)原式=a?+6a+8+1—1

=a?+6a+9—1

=(a+—1

=[(a+3)+1][(cz+3)—1]

=(a+4)(a+2).

(2)由(1)得：a?+6a+8=(a+3/—1,

???(a+3)2>0,

(a+3)2—1>—1,

???當(dāng)a=—3時(shí)，代數(shù)式a?+6a+8有最小值，最小值是—1.

【問題解決】利用配方法解決下列問題：

⑴用配方法因式分解：%2+2%-8；

⑵試說明不論小為何值，代數(shù)式—Tn?+4zn—5恒為負(fù)數(shù)；

⑶若已知(a+c)(b-a)=+c/且a*0,求卓的值.

【答案】⑴(x+4)Qi2)

(2)見解析

(3)2

【知識點(diǎn)】配方法的應(yīng)用、完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式、因式分解的應(yīng)用

【分析】(1)根據(jù)題干信息，利用配方法分解因式即可；

(2)先利用配方法將-病+4m-5變形為-⑺-2產(chǎn)-1,根據(jù)二次方的非負(fù)性，求出-病+4m-5的值

恒為負(fù)數(shù)；

(3)先將(a+c)(b—a)=](b+c)2變形為(2a—b+c)2=0,得出2a-6+c=0,即可求出f=2.

【詳解】(1)解：x2+2x-8

=%2+2%+1—9

=(%+l)2—9

=(%+1+3)(%+1—3)

=(%+4)(%—2).

(2)解：??,—m2+4m—5

=—(m2—4m+4)—1

=—(m—2)2—1,

???(m-2)2>0,

*e?—(771—27<0,

???—(m—2)2—1<—1<0

???不論TH為何值，代數(shù)式-7R2+4m—5恒為負(fù)數(shù).

(3)解：??,(a+c)(b—a)=+c/,

???ab—a2+be—ac=+2bc+c2),

???4ab-4a2+4bc—4ac=b2-b2bc+c2,

???(4a2—4ab+b2)+2(2a—b)c+c2=0,

???(2a—以+2(2a—b)c+c2=0,

???(2a—b+c)2=0,

???2a—b+c=0,

???2a=b—c,

???aW0,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法分解因式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式a2士2ab+爐=(a±

24.已知正方形4BCD的邊長為4,點(diǎn)E是邊4。的中點(diǎn)，EF//CD,EF交對角線4C于點(diǎn)F.

圖2

(1)如圖1,取CF的中點(diǎn)G,連接DG、EG、BG,求證：EG=DG；

⑵如圖2,2\久邑尻是由△4EF沿射線C4平移得到的，點(diǎn)尻與點(diǎn)A重合，點(diǎn)M是&C的中點(diǎn)，連接

E]M交4D于點(diǎn)H.

①求證：DM1E[M；

②求OH的長.

【答案】⑴見解析

⑵①見解析；

【知識點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、根據(jù)正方形的性質(zhì)證明、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等的性

質(zhì)和SAS綜合(SAS)

【分析】(1)證明△4EF-△AD。和△4”G根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別求得4F=CF,AH=

=3,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論；

4

(2)①延長DM到N,使MN=DM,連接E】N、ErD,分別證明△&MN三△CMD(SAS),AE^N

EMD(SAS),得到=根據(jù)等腰三角形的三線合一可證得結(jié)論；

②先證明△%N為等腰直角三角形，進(jìn)而求得Ei"=DM=號位￡>=VIU,設(shè)4"=久，證明△第4"一

DMH求得MH=手工,則EI”=EIM—MH=VTU—￥X,在Rtz^AEi”中，利用勾股定理求得4H=|可求

解.

【詳解】（1）證明：過G作GH_LAD于H,貝IJNAHG=90。,

圖1

?.?四邊形4BCD是正方形，

：.^ADC=90°,AD=CD=4,

?點(diǎn)E是邊4。的中點(diǎn)，

：.AE=DE=-AD=2,

2

":EF〃CD,

：.^AEF=乙ADC=90°,AAFE=乙ACD,

：.AAEF?△ADC,

,AF_EF^=|,則AF=CF,EF=|CD

'*AC~CD=2,

：G是CF的中點(diǎn),

11

AGF=CG=-2CF=-4AC,

,：Z-AHG=/-ADC=90°,AHAG=ADAC,

：.AAHG?△40C,

貝!MH=^/O=3,

ADAC44

:.EH=DH=1,又GHIDE,

???6”垂直平分0￡\

：.EG=DG；

(2)解：①根據(jù)題意，ArEr=AE=AEr=EF=2,=^AD=90°,

延長DM到N,使MN=DM,連接第N、ErD,

???M是&C的中點(diǎn)，

又乙

：.ArM=CM,A]MN=(CMD,

???△&MN=△CM。(SAS),

乙

：.ArN=CD=AD=4,DCM=4N&M,

：.ArN//CD//AB,

zE1i41N=Z-AyErA—Z-ErAD=90°,

9

\A1E1=AEr,Z-ErArN=Z.ErAD,ArN=AD,

???△Ei&N=△EM。(SAS),

:?E]N=ED又MN=DM,

：.DM1EM

②在Rt2\2Ei。中，AE±=2,AD=4,

2

：.E±D=JAE^+AD=2V5,

?.?△Ei&N=AE±AD,

Z.ArErN=Z.AE^,

:?乙乙、+乙、

DE"=/-AErD+AEN=AEN=Z-A^A=90°,

...△D%N為等腰直角三角形，又DMLEiM,

、

：.ErM=DM=4ED=V10,

設(shè)AH=x,

；4E1AH=4DMH,乙EIHA=KDHM,

：./\ErAHMDMH,

??.2=絲則/_=二

**DMMH'V10MH"

,\MH=^-x,則==

22

?在中，AEj+AH=ErH,

__2

22+%2=(VTS—?%),

解得%1=|，%2=6(舍去)，

2

：.AH=-,

3

210

：.DH=AD-AH=4--=—.

33

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的

判定與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、平移性質(zhì)等知識，涉及知識點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌

握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用，添加合適輔助線構(gòu)造全等三角形求解是解答的關(guān)鍵.

25.如圖1,在平行四邊形ABCD中，AB±AC,AB=