PAGE其次課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一\a\vs4\al(運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題))——多維探究函數(shù)的極值是每年高考的必考內(nèi)容，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度適中，為中、高檔題．常見(jiàn)的命題角度有：(1)知圖推斷函數(shù)極值；(2)已知函數(shù)求極值；(3)已知函數(shù)極值狀況求參數(shù)值(范圍)．●命題角度一知圖推斷函數(shù)極值【例1】(2025屆赤峰模擬)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若函數(shù)y＝(1－x)·f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中肯定成立的是()A．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和微小值f(1)B．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和微小值f(1)C．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和微小值f(－2)D．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和微小值f(2)[解析]由題圖可知，當(dāng)x<－2時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x＝－2時(shí)，f′(x)＝0；當(dāng)－2<x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)1<x<2時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x＝2時(shí)，f′(x)＝0；當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0.由此可得函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得微小值．故選D．[答案]D●命題角度二已知函數(shù)求極值【例2】(1)(2025屆昆明市高三診斷測(cè)試)已知函數(shù)f(x)＝(x2－m)ex，若函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處切線的斜率為3e，則f(x)的極大值是()A．4e－2 B．4e2C．e－2 D．e2[解析]f′(x)＝(x2＋2x－m)ex.由題意知，f′(1)＝(3－m)e＝3e，所以m＝0，所以f′(x)＝(x2＋2x)ex.當(dāng)x>0或x<－2時(shí)，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)－2<x<0時(shí)，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)．所以當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)取得極大值，f(－2)＝4e－2.故選A．[答案]A(2)(2025屆蘭州市高三診斷)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)(a2＋a＋2)x2＋a2(a＋2)x，a∈R.①當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間；②求函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)．[解]①當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋x，∴f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間．②∵f′(x)＝x2－(a2＋a＋2)x＋a2(a＋2)＝(x－a2)·[x－(a＋2)]，ⅰ當(dāng)a＝－1或a＝2時(shí)，a2＝a＋2，f′(x)≥0恒成立，函數(shù)f(x)為R上的增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)．ⅱ當(dāng)a<－1或a>2時(shí)，a2>a＋2，可得當(dāng)x∈(－∞，a＋2)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(a＋2，a2)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(a2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．∴當(dāng)x＝a＋2時(shí)，函數(shù)f(x)有極大值f(a＋2)；當(dāng)x＝a2時(shí)，函數(shù)f(x)有微小值f(a2)．ⅲ當(dāng)－1<a<2時(shí)，a2<a＋2，可得當(dāng)x∈(－∞，a2)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(a2，a＋2)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(a＋2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．∴當(dāng)x＝a＋2時(shí)，函數(shù)f(x)有微小值f(a＋2)；當(dāng)x＝a2時(shí)，函數(shù)f(x)有極大值f(a2)．綜上，當(dāng)a＝－1或a＝2時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)a<－1或a>2時(shí)，函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為x＝a＋2，微小值點(diǎn)為x＝a2；當(dāng)－1<a<2時(shí)，函數(shù)f(x)的微小值點(diǎn)為x＝a＋2，極大值點(diǎn)為x＝a2.●命題角度三已知函數(shù)極值狀況求參數(shù)值(范圍)【例3】(1)(2025屆山東省、湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝xlnx－eq\f(m,2)x2－x有極值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,e)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,e)))[解析]解法一：因?yàn)閒(x)＝xlnx－eq\f(m,2)x2－x，則f′(x)＝lnx－mx.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有極值，即f′(x)＝lnx－mx有變號(hào)零點(diǎn)，即函數(shù)g(x)＝eq\f(lnx,x)與函數(shù)y＝m在(0，＋∞)上的圖象有交點(diǎn)(除去相切的狀況)．因?yàn)間′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，所以g(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，所以g(x)max＝g(e)＝eq\f(lne,e)＝eq\f(1,e)，畫(huà)出函數(shù)g(x)的大致圖象，如圖所示，若g(x)＝eq\f(lnx,x)與y＝m的圖象有交點(diǎn)(除去相切的狀況)，則m<eq\f(1,e)，故選B．解法二：當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝xlnx－x，f′(x)＝lnx，當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，故f(x)＝xlnx－x在x＝1處取得極值，符合題意，解除A、C；當(dāng)m＝eq\f(1,e)時(shí)，f(x)＝xlnx－eq\f(1,2e)x2－x，f′(x)＝lnx－eq\f(1,e)x，令g(x)＝lnx－eq\f(1,e)x，則g′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,e)，當(dāng)0<x<e時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)x>e時(shí)，g′(x)<0，故g(x)≤g(e)＝0，即f′(x)≤0，f(x)單調(diào)遞減，無(wú)極值，解除D．故選B．[答案]B(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2－eq\f(2,3).①若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，a＋5)上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，a＋5)上存在最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]①∵f′(x)＝x2＋2x，x∈R，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝0，∴當(dāng)x∈(－∞，－2)和x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，此時(shí)f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x∈(－2，0)時(shí)，f′(x)<0，此時(shí)f(x)為減函數(shù)．∴x＝－2，x＝0分別為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)與微小值點(diǎn)．由題意得－2∈(a，a＋5)或0∈(a，a＋5)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<－2，,a＋5>－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,a＋5>0，))解得－7<a<0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－7，0)．②由①得，f(x)的微小值為f(0)＝－eq\f(2,3)，令f(x)＝－eq\f(2,3)，即eq\f(1,3)x3＋x2＝0，解得x＝－3或x＝0.∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，a＋5)上存在最小值，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋5>0，,－3≤a<0，))解得－3≤a<0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－3，0)．?名師點(diǎn)津利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)極值的一般流程已知函數(shù)的極值求參數(shù)時(shí)，通常利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的取值等于零來(lái)建立關(guān)于參數(shù)的方程．需留意的是，必需對(duì)求出的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合函數(shù)取得極值的條件．|跟蹤訓(xùn)練|1．若函數(shù)f(x)＝aex－sinx在x＝0處有極值，則a的值為()A．－1 B．0C．1 D．e解析：選Cf′(x)＝aex－cosx，若函數(shù)f(x)＝aex－sinx在x＝0處有極值，則f′(0)＝a－1＝0，解得a＝1，經(jīng)檢驗(yàn)a＝1符合題意，故選C．2．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，求f(x)的極值；(2)探討函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解：(1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，f(x)＝lnx－eq\f(1,2)x，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)且f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－x,2x)，令f′(x)＝0，得x＝2，于是當(dāng)x改變時(shí)，f′(x)，f(x)的改變狀況如表.x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定義域上的極大值為f(x)極大值＝f(2)＝ln2－1，無(wú)微小值．(2)由(1)知，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－a＝eq\f(1－ax,x)(x>0)，當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在定義域上無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))時(shí)，f′(x)<0，故函數(shù)在x＝eq\f(1,a)處有極大值．綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)在定義域上無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極大值點(diǎn)x＝eq\f(1,a).eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二\a\vs4\al(利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值))【例4】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)－1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)m>0，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[m，2m]上的最大值．[解](1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（x）>0，,x>0，))得0<x<e；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（x）<0，,x>0，))得x>e，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，＋∞)．(2)①當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m≤e，,m>0，))即0<m≤eq\f(e,2)時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[m，2m]單調(diào)遞增，所以f(x)max＝f(2m)＝eq\f(ln（2m）,2m)－1；②當(dāng)m<e<2m，即eq\f(e,2)<m<e時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(m，e)上單調(diào)遞增，在(e，2m)上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(e)＝eq\f(lne,e)－1＝eq\f(1,e)－1；③當(dāng)m≥e時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[m，2m]上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(m)＝eq\f(lnm,m)－1.?名師點(diǎn)津求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)的最值的思路(1)若所給的閉區(qū)間[a，b]不含有參數(shù)，則只需對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，并求f′(x)＝0在區(qū)間[a，b]內(nèi)的根，再計(jì)算使導(dǎo)數(shù)等于零的根的函數(shù)值，把該函數(shù)值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．(2)若所給的閉區(qū)間[a，b]含有參數(shù)，則需對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類(lèi)探討，推斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值．[提示]求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開(kāi)區(qū)間)上的最值，不僅要探討其極值狀況，還要探討其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值狀況，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象視察得到函數(shù)的最值．|跟蹤訓(xùn)練|3．(2024年全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2sinx＋sin2x，則f(x)的最小值是________．解析：f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．∵cosx＋1≥0，∴當(dāng)cosx<eq\f(1,2)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)cosx>eq\f(1,2)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．∴當(dāng)cosx＝eq\f(1,2)，f(x)有最小值．又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，∴當(dāng)sinx＝－eq\f(\r(3),2)時(shí)，f(x)有最小值，即f(x)min＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝－eq\f(3\r(3),2).答案：－eq\f(3\r(3),2)4．已知函數(shù)f(x)＝excosx－x.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．解：(1)因?yàn)閒(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，所以f′(0)＝0.又因?yàn)閒(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝1.(2)設(shè)h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，則h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，h′(x)<0，所以h(x)在區(qū)間eq\b\lc\[