第十章二重積分第三節(jié)在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分一、極坐標(biāo)系下二重積分的表達(dá)式三、小結(jié)二、極坐標(biāo)系下二重積分化二次積分知識(shí)點(diǎn)回顧（1）直角坐標(biāo)下累次積分的計(jì)算公式［Y型區(qū)域］［X型區(qū)域］確定累次積分限關(guān)鍵直角坐標(biāo)系下的面積元素知識(shí)點(diǎn)回顧（2）交換二次積分的積分次序畫出積分區(qū)域形狀，確定新的二次積分限關(guān)鍵本節(jié)重點(diǎn)本節(jié)關(guān)鍵如何將二重積分化為極坐標(biāo)形式的二次積分確定積分限是關(guān)鍵極坐標(biāo)系下的面積元素如何表示？在極坐標(biāo)系下一、

極坐標(biāo)系下二重積分的表達(dá)式極坐標(biāo)系下的區(qū)域如何表示？極坐標(biāo)系下被積函數(shù)如何表示？?1.極坐標(biāo)系下的面積元素利用扇形的面積公式面積元素極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積（用極坐標(biāo)曲線劃分D）計(jì)算小扇形的面積化邊界曲線化被積函數(shù)化面積元素應(yīng)用范圍：積分區(qū)域?yàn)閳A域(或一部分)，被積

函數(shù)含的用此簡(jiǎn)便.2.二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式的表達(dá)式

=

=

型：極坐標(biāo)系下的二次積分極坐標(biāo)系下區(qū)域如圖所示：二、極坐標(biāo)系下二重積分化二次積分方法：三線法確定極坐標(biāo)系下先

后積分的方法區(qū)域特征（1）如圖：極點(diǎn)在積分區(qū)域外二重積分化為二次積分的公式（１）二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征（2）如圖極點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上.二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征（3）如圖極點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部.二重積分化為二次積分的公式（4）區(qū)域特征（4）如圖極點(diǎn)在環(huán)形區(qū)域D的內(nèi)部.二重積分化為二次積分的公式（4）的特殊情形區(qū)域特征（4）如圖極點(diǎn)在環(huán)形區(qū)域D的內(nèi)部.思考:

下列各圖中區(qū)域D

分別與x

,

y軸相切于原點(diǎn),

試問

的變化范圍是什么?答:(1)(2)例1計(jì)算二重積分，其中積分區(qū)域解：積分區(qū)域化為極坐標(biāo)下表達(dá)式為故有例2寫出二重積分在極坐標(biāo)系下的二次積分，其中積分區(qū)域解：所以圓方程為直線方程為在極坐標(biāo)系下故有例3計(jì)算，其中D是由圓心在原點(diǎn)、半徑為a的圓周所圍成的封閉區(qū)域解：在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為注:利用上例可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式

如果積分區(qū)域D為圓、半圓、圓環(huán)、扇形域等，或被積函數(shù)f(x2+y2)形式，利用極坐標(biāo)常能簡(jiǎn)化計(jì)算.通常出現(xiàn)下面兩類問題：1.將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分，2.將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的二重積分結(jié)論：極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的步驟：1.將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分，需依下列步驟進(jìn)行：(1)將代入被積函數(shù).(2)將區(qū)域D的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達(dá)式，

確定相應(yīng)的積分限---關(guān)鍵！(3)將面積元dxdy

換為.2.將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的二重積分步驟與1相似，只需依反方向進(jìn)行.例4將直角坐標(biāo)系下的二次積分化為極坐標(biāo)系下的二次積