第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年上海市楊浦區(qū)同濟(jì)大學(xué)第一附中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列條件能使n⊥α成立的是(

)A.α⊥β，m?β B.α//β，n⊥β C.α⊥β，n//β D.m//α，n⊥m2.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別為BC、BA.直線AA1

B.直線A1B1

C.直線3.已知一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體，與該正方體每個(gè)面都相切的球半徑記為R1，與該正方體每條棱都相切的球半徑為R2，過該正方體所有頂點(diǎn)的球半徑為R3，則下列關(guān)系正確的是A.R1：R2：R3=2：3：24.正四面體ABCD的體積為1，O為其中心，正四面體EFGH與正四面體ABCD關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，則這兩個(gè)正四面體的公共部分的體積為(

)A.13

B.12

C.23二、填空題：本題共12小題，共54分。5.不等式x2+2x?3≤0的解集為______．6.對(duì)于正實(shí)數(shù)x，代數(shù)式x+9x+1的最小值為______．7.兩條直線沒有公共點(diǎn)是這兩條直線為異面直線的______條件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”)8.若圓柱的高為10，底面積為4π，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積為______.(結(jié)果保留π)9.已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線與底面半徑的比為______．10.若正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為2，下底面邊長(zhǎng)為4，且高為1，則其體積為______．11.在△ABC中，已知2sinA=3cosA，則∠A=12.若三個(gè)向量a=(3,3,2)，b=(6,m,7)，c=(0,5,1)共面，則實(shí)數(shù)m13.已知二面角α?AB?β為30°，P是平面α內(nèi)的一點(diǎn)，P到β的距離為1，則P在β內(nèi)的射影到AB的距離為______．14.已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=60°，P為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐P?OAB體積的最大值為6，則球O的表面積為______．15.某人去公園郊游，在草地上搭建了如圖所示的簡(jiǎn)易遮陽篷ABC，遮陽篷是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為6的等腰直角三角形，斜邊AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太陽光線與地面成30°角，則當(dāng)遮陽篷ABC與地面所成的角大小為______時(shí)，所遮陰影面ABC′面積達(dá)到最大．16.在四面體PABC中，2PD=PA+PB，5PE=2PB+3PC，2PF=?PC三、解答題：本題共5小題，共76分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=3cos2x+12sin2x．

(1)求函數(shù)y=f(x)的最小正周期；

18.(本小題14分)

據(jù)《黑韃事略》記載：“穹廬有二樣：燕京之制，用柳木為骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前開門，上如傘骨，頂開一竅，謂之天窗，皆以氈為衣，馬上可載.草地之制，以柳木組定成硬圈，徑用氈撻定，不可卷舒，車上載行.”隨著畜牧業(yè)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和牧民生活的改善，穹廬或氈帳逐漸被蒙古包代替.一個(gè)普通的蒙古包可視為一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合體.如圖，已知該圓錐的高為3米，圓柱的高為4米，底面直徑為8米．

(1)求該蒙古包的表面積(不含底面)；

(2)求該蒙古包的體積．19.(本小題14分)

如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C與底面ABCD所成的角為45°．

20.(本小題16分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面AA1C1C為菱形，點(diǎn)A1在底面上的投影為AC的中點(diǎn)D，且AB=2．

(1)求證：BD⊥CC1；

(2)求點(diǎn)C到側(cè)面AA1B121.(本小題18分)

設(shè)m為給定的實(shí)常數(shù)，若函數(shù)y=f(x)在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0，使得f(x0+m)=f(x0)+f(m)成立，則

稱函數(shù)f(x)為“G(m)函數(shù)”．

(1)若函數(shù)f(x)=2x為“G(2)函數(shù)”，求實(shí)數(shù)x0的值；

(2)若函數(shù)f(x)=lgax2+1，為“G(1)函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)已知f(x)=x+b(b∈R)為“G(0)函數(shù)”，設(shè)參考答案1.B

2.D

3.C

4.B

5.{x|?3≤x≤1}

6.5

7.必要不充分

8.100π

9.2：1

10.28311.π312.21

13.314.48π

15.60°

16.72017.解：(1)由題意得f(x)=3cos2x+12sin2x

=3(1+cos2x)2+12sin2x

=32cosx+12sin2x+32

=sin(2x+π3)+3218.解：(1)∵蒙古包可視為一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合體，

且該圓錐的高為3米，圓柱的高為4m，底面直徑為8m，

∴AD=32+42=5，又DC=4，

故該蒙古包的表面積為1219.解(1)∵A1A⊥平面ABCD，

∴A1C與底面ABCD所成的角為∠A1CA=45°，又易知AC=2，

∴A1A=2，

∴四棱錐A1?ABCD的體積為13×2×2×2=43；

(2)連接BD，則易得BD/?/B1D1，

∴異面直線A120.解：(1)證明：由點(diǎn)A1在底面ABC上的投影為AC的中點(diǎn)D，知A1D⊥平面ABC，

又BD?平面ABC，∴A1D⊥BD，

∵△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，∴AC⊥BD，

∵A1D∩AC=D，∴BD⊥平面ACC1A1，

∵CC1?平面ACC1A1，∴BD⊥CC1．

(2)∵A1D⊥AC，D是AC中點(diǎn)，側(cè)面AA1C1C是菱形，∴A1C=A1A=AC，

∵△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，AB=2，∴DB=DA=DC=2，DA1=6，

由(1)知直線DB，DC，DA1兩兩垂直，

∴以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB，DC，DA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則D(0,0,0)，A(0,?2,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,6)，

?AB=(2,2,0)，?AA1=(0,21.解：(1)由f(x)=2x為“G(2)函數(shù)”，得f(x0+2)=f(x0)+f(2)，

即2x0+2=2x0+22，解得x0=log243，故實(shí)數(shù)x0的值為log243；