第一章勾股定理1探索勾股定理第2課時勾股定理的驗證及簡單應用目

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“勾股定理”是指在直角三角形中，兩條直角邊的

?

等于斜邊的平方，例如：一個直角三角形的兩條直角

邊分別為3和4，那么有32＋42＝

2，即斜邊的長

為

?.平方

和5

5

212.

已知圖中兩條直角邊的長度，求以斜邊長為直徑的圓

的面積.解：根據(jù)勾股定理得，斜邊長為10

cm，所以圓的半徑為5

cm.所以

S圓＝π×52＝25π(cm2).211.

勾股定理的驗證方法很多，有測量法、數(shù)格子法、割補法

(拼圖法)、面積法(通過

?的不同表示方法得到驗

證，也叫等面積法或等積法)等.面積23412.

勾股定理的適用范圍僅限于

三角形.直角23413.

【情境題

生活應用】如圖，湖的兩岸有

A

，

B

兩棵景觀

樹，在與

AB

垂直的

BC

方向上取一點

C

，測得

BC

＝5

米，

AC

＝13米.求兩棵景觀樹之間的距離.解：在Rt△

ABC

中，由勾股定理，得

AB

＝12米.所以兩棵景觀樹之間的距離為12米.23414.

【新考法

材料閱讀法】閱讀下列材料，并完成相應任務.如圖①，現(xiàn)有4張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊

長分別是

a

，

b

，

c

，將它們拼成如圖②的大正方形.2341(1)觀察：圖②中，大正方形的面積可以用(

a

＋

b

)2表示，也可以用含

a

，

b

，

c

的代數(shù)式表示為

?，那么可以得到等式：

.整理后，得到

a

，

b

，

c

之間的數(shù)量關系：

a2＋

b2＝

c2，這就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三邊關系，即直角三角形的兩直角邊長

a

，

b

與斜邊長

c

所滿足的關系式.2

ab

＋

c2

(

a

＋

b

)2＝2

ab

＋

c2

2341(2)思考：愛動腦的小明通過圖②得到啟示，發(fā)現(xiàn)其他圖形也能驗證“勾股定理”，請你幫助小明畫出該圖形.(畫出一種即可)解：

(2)如圖.(答案不唯一)

2341知識點1驗證勾股定理

如圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格，下面是勾股定理的探索與

驗證過程，請補充完整：因為

S1＝

，

S2＝

，

S3＝

?，所以

S1＋

S2

S3.即(

)2＋(

)2＝(

)2.4

9

13

＝

AC

BC

AB

筆記：變式1【教材P7讀一讀變式】意大利著名畫家達·芬奇用如圖

所示的方法證明了勾股定理.圖①中的空白部分是由兩個正

方形和兩個全等的直角三角形組成的.若設圖①中空白部分

的面積為

S1，圖③中空白部分的面積為

S2，則下列表示

S1，

S2的等式成立的是(

B

)B解：知識點2勾股定理的簡單應用

【2024西安碑林區(qū)月考情境題·生活中的數(shù)學】勾股定理是人類數(shù)學文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具，也是數(shù)形結合的紐帶之一.如圖，當秋千

AB

靜止時，踏板離地的垂直高度

BE

＝1

m，將它往前推4

m至

C

處時(即水平距離

CD

＝4

m)，踏板離地的垂直高度

CF

＝3

m，它的繩索始終拉直，則繩索

AC

的長是(

B

)BA.4

mB.5

mC.6

mD.8

m筆記：變式2[2024佛山南海區(qū)期中]學過《勾股定理》后，某班興趣

小組來到操場上測量旗桿

AB

的高度，得到如下信息：①測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長1

m(如圖①)；②當將繩子拉直時，測得此時拉繩子的手到地面的距離

CD

為1

m，到旗桿的距離

CE

為6

m(如圖②).根據(jù)以上信息，求旗桿

AB

的高度.解：設

AB

＝

x

m，根據(jù)題