2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽七年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義七年級(jí)競(jìng)賽專(zhuān)題01

質(zhì)數(shù)那些事

閱讀與思考

一個(gè)大于1的自然數(shù)如果只能被1和本身整除，就叫作質(zhì)數(shù)(也叫素?cái)?shù))：如果能被1和本身以外的

自然數(shù)整除，就叫作合數(shù)；自然數(shù)?既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，叫作單位數(shù).這樣，我們可以按約數(shù)個(gè)

數(shù)將正整數(shù)分為三類(lèi)：

’單位1

正整數(shù)質(zhì)數(shù)

合數(shù)

關(guān)于質(zhì)數(shù)、合數(shù)有下列重要性質(zhì)：

1.質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，最小H勺質(zhì)數(shù)是2,但不存在最大的質(zhì)數(shù)，最小的合數(shù)是4.

2.1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；2是唯一的偶質(zhì)數(shù).

3.若質(zhì)數(shù)pIab,則必有p|?；颉?

4.算術(shù)基本定理：任意一個(gè)大于1的整數(shù)N能唯一地分解成攵個(gè)質(zhì)因數(shù)的乘積(不考慮質(zhì)因數(shù)之間

的順序關(guān)系):

N=甲岑2冗，，其中片〈鳥(niǎo)〈…〈4，，為質(zhì)數(shù)，〃，為非負(fù)數(shù)(i=l,2,3,…，k).

正整數(shù)N的正約數(shù)的個(gè)數(shù)為(1+q)(1+〃)??(1+卬),所有正約數(shù)的和為(I+<+…+P；1')(1+2

+???+邛2)…(1+&+???+).

例題與求解

【例1】已知三個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c滿足〃+〃+c+〃儀:=99,那么,一百+快一。|+上一。|的值等于

(江蘇省競(jìng)賽試題)

解題思想：運(yùn)用質(zhì)數(shù)性質(zhì)，結(jié)合奇偶性分析，推出a,b,c的值.

【例2】若〃為質(zhì)數(shù)，+5仍為質(zhì)數(shù)，則〃$+7為()

A.質(zhì)數(shù)B.可為質(zhì)數(shù)，也可為合數(shù)

C.合數(shù)D.既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)

(湖北省黃岡市競(jìng)賽試題)

解題思想：從簡(jiǎn)單情形入手，實(shí)驗(yàn)、歸納與猜想.

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【例3】求這樣的質(zhì)數(shù)，當(dāng)它加上10和14時(shí)，仍為質(zhì)數(shù).

(上海市競(jìng)賽試題)

解題思想：由于質(zhì)數(shù)的分布不規(guī)則，不妨從最小的質(zhì)數(shù)開(kāi)始進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，另外，需考慮這洋的質(zhì)數(shù)是

否唯一，按剩余類(lèi)加以深入討論.

【例4】(1)將1,2,…，2004這2004個(gè)數(shù)隨意排成一行，得到一個(gè)數(shù)〃，求證：〃一定是合數(shù).

⑵若〃是大于2的正整數(shù)，求證：2〃-1與2"+1中至多有一個(gè)質(zhì)數(shù).

(3)求360的所有正約數(shù)的倒數(shù)和.

(江蘇發(fā)競(jìng)賽試題)

解題思想：⑴將1到2004隨意排成一行，由于中間的數(shù)很多，不可能一一排出，不妨找出無(wú)論怎

樣排，所得數(shù)都有非1和本身的約數(shù)；⑵只需說(shuō)明2〃-1與2”+1中必有一個(gè)是合數(shù)，不能同為質(zhì)數(shù)即

可；⑶逐個(gè)求解正約數(shù)太麻煩，考慮整體求解.

1I7

【例5】設(shè)x和y是正整數(shù)，xWy,〃是奇質(zhì)數(shù)，并且一+一二一，求x+y的值.

xyP

解題思想：由題意變形得出〃整除X或y,不妨設(shè)x=由質(zhì)數(shù)的定義得到2/—1=1或2Z—

l=p.由xHy及2/—1為質(zhì)數(shù)即可得出結(jié)論.

【例6】若一個(gè)質(zhì)數(shù)的各位數(shù)碼經(jīng)任意排列后仍然是質(zhì)數(shù)，則稱(chēng)它是一個(gè)“絕對(duì)質(zhì)數(shù)”［如2,3,5,

7,II,13(31),17(71),37(73),79(97),113(131,311),199(919,991),337(373,733),…都是質(zhì)數(shù)］.求

iE：絕對(duì)質(zhì)數(shù)的各位數(shù)碼不能同時(shí)出現(xiàn)數(shù)碼1,3,7,9.

(青少年國(guó)際城市邀請(qǐng)賽試題)

解題思想：一個(gè)絕對(duì)質(zhì)數(shù)如果同時(shí)含有數(shù)字1,3,7,9,則在這個(gè)質(zhì)數(shù)的十進(jìn)制表示中，不可能含

有數(shù)字0,2,4,5,6,8,否則，進(jìn)行適當(dāng)排列后，這個(gè)數(shù)能被2或5整除.

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能力訓(xùn)練

A級(jí)

1.若a,b,c,d為整數(shù)，（/+-2）/2+儲(chǔ)）=1997,則/+從+c'+d2G.

2.在1,2,3,…，〃這個(gè)〃自然數(shù)中，已知共有〃個(gè)質(zhì)數(shù)，q個(gè)合數(shù)，々個(gè)奇數(shù)，陽(yáng)個(gè)偶數(shù)，

則（q—tn）+（p-k）=__________.

3.設(shè)〃，〃為自然數(shù)，滿足1176。=/,則。的最小值為.

（“希望杯”邃請(qǐng)賽試題）

4.已知〃是質(zhì)數(shù)，并且p0+3也是質(zhì)數(shù)，則〃”一48的值為.

（北京市競(jìng)賽試題）

5.任意調(diào)換12345各數(shù)位上數(shù)字的位置，所得的五位數(shù)中質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.BC.12D.0

6.在2005,2007,2009這三個(gè)數(shù)中，質(zhì)數(shù)有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

7.一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字變換位置后，所得的數(shù)比原來(lái)的數(shù)大9,這樣的兩位中，質(zhì)數(shù)

有（）

A.1個(gè)B.3個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

8.設(shè)〃，q,，?都是質(zhì)數(shù)，并且=r，p〈q.求

9.寫(xiě)出十個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，使得個(gè)個(gè)都是合數(shù).

（上海市競(jìng)賽試題）

10.在黑板上寫(xiě)出下面的數(shù)2,3,4,…，1994,甲先擦去其中的一個(gè)數(shù)，然后乙再擦去一個(gè)數(shù)，

如此輪流下去，若最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則甲勝：若最后剩下的兩個(gè)數(shù)不互質(zhì)，則乙勝，你如果想勝,

應(yīng)當(dāng)選甲還是選乙？說(shuō)明理由.

（五城市聯(lián)賽試題）

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8.請(qǐng)同時(shí)取六個(gè)互異的自然數(shù)，使它們同時(shí)滿足：

⑴6個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)；

⑵6個(gè)數(shù)任取2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)數(shù)之和都是合數(shù)，并簡(jiǎn)述選擇的數(shù)符合條件的理由.

9.已知正整數(shù)p,9都是質(zhì)數(shù)，并且7〃+〃與的+11也都是質(zhì)數(shù)，試求〃夕+/的值.

(沏北省荊州市競(jìng)賽試題)

10.41名運(yùn)動(dòng)員所穿運(yùn)動(dòng)衣號(hào)碼是1,2,…，40,41這41個(gè)自然數(shù)，問(wèn)：

(1)能否使這41名運(yùn)動(dòng)員站成一排，使得任意兩個(gè)相鄰運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼之和是質(zhì)數(shù)？

(2)能否讓這41名運(yùn)動(dòng)員站成一圈，使得任意兩個(gè)相鄰運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼之和都是質(zhì)數(shù)？若能辦

到，請(qǐng)舉出一例;若不能辦到，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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專(zhuān)題01質(zhì)數(shù)那些事

例134

例2C

例33符合要求提示：當(dāng)p=3A+l時(shí)，〃+10=3k+U,〃+14=3伏+5),顯然〃+14是合數(shù)，當(dāng)p=3A

+2時(shí)，〃+10=3(k+4)是合數(shù)，當(dāng)p=3k時(shí)，只有七1才符合題意.

例4(1)因1+2+…+2004=工X2004X(1+2004)=1002X2005為3的倍數(shù)，故無(wú)論怎樣交換這2004

2

個(gè)數(shù)的順序，所得數(shù)都有3這個(gè)約數(shù).

(2)因〃是大于2的正整數(shù)，則2"—127,2"—1、2"、2"+1是不小于7的三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，

其中必有一個(gè)被3整除，但3不整除2",故2"—1與2"+1中至多有一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù).

(3)設(shè)正整數(shù)。的所有正約數(shù)之和為44，%&，…，4,為。的正約數(shù)從小到大的排列，

于是4=1,4』.由于S=」-+'-+,+…+’中各分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)4t=〃，故

4444,

S旦+媼+...攻=4+出+…4=匕,rfn67=360=23X32X5,故(1+2+2?+23)X(1

d

nd〃dndHa

-1-3432)x(H5)=1170.-=1122=31.

a3604

例5由止2=2,得x+產(chǎn)型=&.a為正整數(shù))，可得與口切，所以〃整除2。且〃為奇質(zhì)數(shù)，故

盯pP

p整除x或＞,?不放設(shè)x=(p,則tp+y=2ty,得產(chǎn)”為整數(shù).又/與2/—1互質(zhì)，故2t~1整除p,

2/-1

x+v2

p為質(zhì)數(shù)，所以It—1=1或2t—\=p.若2/—1=,得t=\,x=y=p,與x=^y矛盾；若2r—l=p,則:----=—,

肛P

2A尸p(x+y).???〃是奇質(zhì)數(shù)，則x+y為偶數(shù)，x、y同奇偶性，只能同為孫="必有某數(shù)含

因數(shù)p.令x=ap,,2ay=ap-\-y."":故a,2a~\互質(zhì)，2a~\整除p,又〃

22a-}

口武除.P+1抬〃+l"(P+I)..”(P+I),P+1(P+I)2

是質(zhì)數(shù),則2。——1=〃,a-----,故x=------p=--------,.,x+y=--------+-----=-------。

222'222

例6設(shè)N是一個(gè)同時(shí)含有數(shù)字1,3,7,9的絕對(duì)質(zhì)數(shù).因?yàn)樾?7931,L=1793,k2=9137,k3=7913,

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3=7193,公二1937,%6=7139除以7所得余數(shù)分別為0,1,2,3,4,5,6.故如下7個(gè)正整數(shù):

4

N。=GG…*7931=LL1O+A:O,

N]=GG…C,T1793=LL?104+匕，

4

N(、=C,C2…C〃T7139=LL10+/:6,

其中，一定有一個(gè)能被7整除，則這個(gè)數(shù)就不是質(zhì)數(shù)，故矛盾.

A級(jí)

1.19982.-13.634.20005.D6.A7.B

8.由『p+q可知r不是最小的質(zhì)數(shù)，則為奇數(shù)，故p,q為一奇?偶，又因?yàn)楣省仁琴|(zhì)數(shù)又

是偶數(shù)，則片2.

9.設(shè)十個(gè)連續(xù)合數(shù)為2+2,A+設(shè)&+4,…，2+10,2+11,這里火為自然數(shù),則只要取火是2,3,4,…，

II的倍數(shù)即可.

10.選甲.提示：相鄰的兩個(gè)自然數(shù)總是互質(zhì)數(shù)，把相鄰自然數(shù)兩兩分為一組，這兩數(shù)總是互質(zhì)的，(2,

3),(4,5),(6,7),(1992,1993),1994,甲擦掉1994,無(wú)論乙擦哪一個(gè)數(shù)，甲就擦那一組

的另一數(shù)，以此類(lèi)推，最后還剩一對(duì)互質(zhì)數(shù).

II.設(shè)這塊地面積為S,則S=〃/=(〃十］24)j2.

n(x2-y2)=\24y2Vx>.v(x,y)=1

/.(x2,y2)=1(x2-y2,y2)=1得/一)，2|]24

V124=22X3I,x2-y2=(x+y)(x-y)

*?尸31，或x+y=62

x-y=2

x=16x=32

,或，(舍)

y=\5Iy=30

2

n=124v

此時(shí)~i---7=900.

%-y

S=nx2=900X162=230400c/??2=23.04〃J。

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B級(jí)

1.19或25

31

2.—提不：q=mn,則〃?、〃只能一個(gè)為1,另一個(gè)為q.

3.133234.2001

5.B提示：唯有a=2.42089-2"=2089—2048=41是質(zhì)數(shù)，符合題意.

6.A提示：當(dāng)a=3時(shí)，符合題意；當(dāng)oW30寸，/被3處余匕設(shè)。2=3〃+1,則7/+8=21〃+15,

8。2+7=24〃+15,它們都不是質(zhì)數(shù),與條件矛盾.故4=3.

7.a2-a,b2-b,c2-c,d'-d都是偶數(shù)，即M=(/+從+C?+c/)一(〃+0+c+d)是偶數(shù).因

222222

為。2+/1+/,所以/+/+/+d=2(a+/)是偶數(shù),從而有?+/?+c+d=(tz+b+c+d)

—M=2(/+〃)—M,它一定是偶數(shù)，但a+〃+c+d>2,于是a+A+c+d是個(gè)合數(shù).

8.取六個(gè)數(shù)4=iX(lX2X3X4X5X6)+l(/=1,2,…，6),則其中任意兩個(gè)數(shù)都是互質(zhì)的，事實(shí)

上，假設(shè)S與M不互質(zhì)，設(shè)d是s與的的最大公約數(shù)，則4必是(5-2)XlX2X3X4X5X6,即3X1

X2X3X4X5X6的一個(gè)因子，但從公=2X1X2X3X4X5X6+1知，d不整除例，這與假設(shè)d是。2

與的的最大公約數(shù)矛盾，故做與的互質(zhì).

9.由pq+11>11且pq+11是質(zhì)數(shù)知，pg+11必為正奇數(shù)，從而p=2或q=2.

(I)若〃=2,此時(shí)7p+q及2g+11均為質(zhì)數(shù).設(shè)g=3A+l,則q+14=3(2+5)不是質(zhì)數(shù);設(shè)q=3A+2,

則2q+ll=3(2k+5)不是質(zhì)數(shù)，因此q應(yīng)為弘型的質(zhì)數(shù)，當(dāng)然只能是夕=3.

(2)若g=2,此時(shí)7p+q與2p+ll均為質(zhì)數(shù)，設(shè)〃=3A+1,則7p+2=3(7k+3)不是質(zhì)數(shù)；設(shè)〃=34

+2,則2p+l1=3(24+5)不是質(zhì)數(shù)，因此，〃應(yīng)為弘型的質(zhì)數(shù)，“=3.綜合(1),(2)知〃=3,q=2

或p=2,q=3,所以“，十必=17.

10.(1)能辦到提示：注意到41與43都是質(zhì)數(shù)，據(jù)題意，要使相鄰兩數(shù)的和都是質(zhì)數(shù)，顯然它們只

能都是奇數(shù)，因此，在這排數(shù)中只能一奇一偶相間排列：不妨先將奇數(shù)排成一排：1，3,5,7,…,41,

在每?jī)蓴?shù)之間留空，然后將所有的偶數(shù)依次反序插在各空白中，得I,40,3,38,5,36,7,34,…，

8,35,6,37,4,39,2,41.這樣任何相鄰兩數(shù)之和都是41或43.滿足題目要求.

(2)不能辦到提示：若把1,2,3,…，40,41排成一圈，要使相鄰兩數(shù)的和為質(zhì)數(shù)，這些質(zhì)數(shù)都

是奇數(shù)，故圓圈上任何相鄰兩數(shù)必為一奇一偶.但現(xiàn)有20個(gè)偶數(shù)，21個(gè)奇數(shù)，總共是41個(gè)號(hào)碼，由此

引出矛盾，故不能辦到，

專(zhuān)題02數(shù)的整除性

閱讀與思考

設(shè)。，〃是整數(shù)，6W0,如果一個(gè)整數(shù)4使得等式。=6夕成立，那么稱(chēng)。能被〃整除，或稱(chēng)Z?整

倏〃，記作〃|〃，乂稱(chēng)〃為。的約數(shù)，而。稱(chēng)為〃的倍數(shù).解與整數(shù)的整除相關(guān)問(wèn)題常用到以下知識(shí):

I.數(shù)的整除性常見(jiàn)特征：

①若整數(shù)。的個(gè)位數(shù)是偶數(shù)，則2|a；

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②若整數(shù)“的個(gè)位數(shù)是0或5,則5|a；

③若整數(shù)。的各位數(shù)字之和是3（或9）的倍數(shù)，則3|。（或9|。）；

④若整數(shù)。的末二位數(shù)是4（或25）的倍數(shù),則4|〃（或251a）；

⑤若整數(shù)4的末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù),則81a（或125|a）；

⑥若整數(shù)。的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差是11的倍數(shù)，則11|。.

2.整除的基本性質(zhì)

設(shè)〃，〃，。都是整數(shù)，有：

①若a\b,b\c,則a|c；

②若c|a,c\b,則c|（。土Z?）；

③若b\a,c\a,則[b,c]\a；

④若c\a,且人與c互質(zhì)，則。c|a；

⑤若a[be,且。與c互質(zhì)，則4|〃.特別地，若質(zhì)數(shù)則必有或p|c.

例題與求解

【例1】在1,2,3,…，2000這2000個(gè)自然數(shù)中，有個(gè)自然數(shù)能同時(shí)被2和3整除，而

且不能被5整除.

（“五羊杯”競(jìng)賽試題）

解題思想：自然數(shù)〃能同時(shí)被2和3整除，則〃能被6整除，從中剔除能被5整除的數(shù)，即為所求.

【例2】已知。，人是正整數(shù)（。＞〃），對(duì)于以下兩個(gè)結(jié)論：

①在。+/?,ab,。一人這三個(gè)數(shù)中必有2的倍數(shù)；

②在出?，。一Z?這三個(gè)數(shù)中必有3的倍數(shù).其中（）

A.只有①正確B.只有②正確

C.①，②都正確D.①.②都不正確

（江蘇省競(jìng)賽試題）

解題思想：舉例驗(yàn)證，或按剩余類(lèi)深入討論證明.

【例3】已知整數(shù)13azM56能被198整除，求。，〃的值.

（江蘇省競(jìng)賽試題）

解題思想：198=2X9X11,整數(shù)134〃456能被9,11整除，運(yùn)用整除的相關(guān)特性建立。，匕的等式,

求出4,〃的值.

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【例4】已知。，b,c都是整數(shù)，當(dāng)代數(shù)式7a+2/?+3c的值能被13整除時(shí)，那么代數(shù)式5。+

7b—22c的值是否一定能被13整除，為什么？

（“華羅庚金杯”邃請(qǐng)賽試題）

解題思想：先把5〃+78—22「構(gòu)造成均能被13整除的兩個(gè)代數(shù)式的和，再進(jìn)行判斷.

【例5】如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)〃7左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱(chēng)"為用的''魔術(shù)

數(shù)”（例如:把86放在415左側(cè),得到86如5能被7整除,所以稱(chēng)86為415的魔術(shù)數(shù)）,求正整數(shù)〃的

最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)弓，/，…，％，滿足對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)切，在q,%，…，4

中都至少有一個(gè)為〃?的“魔術(shù)數(shù)”.

（2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

解題思想：不妨設(shè)q=7%+“，=1,2,3,…，〃；t=0,1,2,3,4,5,6）至少有一個(gè)為根的

“魔術(shù)數(shù)”.根據(jù)題中條件，利用《?10&+〃2（2是〃，的位數(shù)）被7除所得余數(shù)，分析，的取值.

【例6】一只青蛙，位于數(shù)軸上的點(diǎn)七,跳動(dòng)一次后到達(dá)4+1已知4,勺+i滿足1%+-41=1，

我們把青蛙從外開(kāi)始，經(jīng)〃一I次跳動(dòng)的位置依次記作A“：q,生，火，…，

⑴寫(xiě)出一個(gè)4，使其q=6=O,且。［+。2+。3+〃4+%＞（）；

（2）若.②3,/000=2012,求q00G的值；

（3）對(duì)于整數(shù)〃（〃22）,如果存在一個(gè)4“能同時(shí)滿足如下兩個(gè)條件：①%=0：②/+%+%+…

第10頁(yè)共23頁(yè)

+%=0.求整數(shù)〃（〃22）被4除的余數(shù)，并說(shuō)理理由.

（2013年“創(chuàng)新杯”邃請(qǐng)賽試題）

解題思想：（I）"=%=（）.即從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)4次跳動(dòng)后回到原點(diǎn)，這就只能兩次向右，兩次向

左.為保證卬+生+的+氏+生〉。.只需將“向右”安排在前即可.

⑵若〃產(chǎn)13,4200G=2012,從。［經(jīng)過(guò)1999步到020Go.不妨設(shè)向右跳了x步,向左跳了），步，則

x+7y=1999，解得彳=1999可見(jiàn)，它一直向右跳，沒(méi)有向左跳.

13+x-y=2012［y=0

⑶設(shè)同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①4二0；②。］+。2+。3^!■〃〃=（）.由于。［=0,故從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)

過(guò)（攵一1）步到達(dá)4,假定這（左一1）步中,向右跳了々步,向左跳了yk步，于是4=xk—yk,xk+yk=k

一1,貝ijq+%+%+…+/=0+（“2一%）+（七一%）+…（工“一）'“）=2（$+/-+4）-K/+%）

/?（/?-11?”

_|

+（七+丫3）------F（x,f+yzj）］=2（x2+-------Fxn）——--------.由于卬+生+的^-----^/二。，所以

2

n（n—1）=4（x2+x34------Fxn）.即4|n（n—1）.

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1.某班學(xué)生不到50人，在一次測(cè)驗(yàn)中，有1的學(xué)生得優(yōu)，1的學(xué)生得良，［的學(xué)生得及格，則

732

有人不及格.

2.從1到10000這1萬(wàn)個(gè)自然數(shù)中，有個(gè)數(shù)能被5或能被7整除.

（上海市競(jìng)賽試題）

3.一個(gè)五位數(shù)3ab98能被11與9整除,這個(gè)五位數(shù)是.

4.在小于1997的自然數(shù)中，是3的倍數(shù)而不是5的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.532B.665C.133D.798

笫11頁(yè)共23頁(yè)

5.能整除任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)之和的最大整數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.6

（江蘇省競(jìng)賽試題）

6.用數(shù)字1,2,3,4,5,6組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，是9的倍數(shù)的數(shù)有（）

A.12個(gè)B.18個(gè)C.20個(gè)D.30個(gè)

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

7.五位數(shù)而l是9的倍數(shù)，其中而7是4的倍數(shù)，那么前%的最小值為多少？

（黃岡市競(jìng)賽試題）

8.1,2,3,4,5,6每個(gè)使用一次組成一個(gè)六位數(shù)字。be四,使得三位數(shù)abc,bed,cde,def

能依次被4,5,3,II整除，求這個(gè)六位數(shù).

（上海市競(jìng)賽試題）

9.173口是個(gè)四位數(shù)字，數(shù)學(xué)老師說(shuō)：“我在這個(gè)口中先后填入3個(gè)數(shù)字，所得到的3個(gè)四位數(shù)，

依次可被9,11,6整除.”問(wèn)：數(shù)學(xué)老師先后填入的這3個(gè)數(shù)字的和是多少？

（“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽試題）

B級(jí)

1.若一個(gè)正整數(shù)。被2,3,…，9這八個(gè)自然數(shù)除，所得的余數(shù)都為1,則。的最小值為,

。的一般表達(dá)式為.

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

2.已知〃？，〃都是正整數(shù)，若IW機(jī)W〃W3（）,且〃皿能被21整除，則滿足條件的數(shù)對(duì)（m,n）

共有個(gè).

（天津市競(jìng)賽試題）

3.一個(gè)六位數(shù)N989y能被33整除，這樣的六位數(shù)中最大是

第12頁(yè)共23頁(yè)

1,3,5,7,,1991/993,1995,1997,1999

4.有以下兩個(gè)數(shù)串｝1,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999同時(shí)出現(xiàn)在這兩個(gè)數(shù)串中的數(shù)的個(gè)

教共有（）個(gè).

A.333B.334C.335D.336

5.一個(gè)六位數(shù)H99仍能912整除,這樣的六位數(shù)共有（）個(gè).

A.4B.6C.8D.12

6.若1059,1417,2312分別被自然數(shù)，除時(shí)，所得的余數(shù)都是〃2,則〃一〃7的值為（）.

A.15B.1C.164D.174

7.有一種室內(nèi)游戲，魔術(shù)師要求某參賽者相好一個(gè)三位數(shù)c必c,然后，魔術(shù)師再要求他記下五個(gè)

數(shù)：acb,bac,bca,cab,cba,并把這五個(gè)數(shù)加起來(lái)求出和N.只要講出N的大小，魔術(shù)師就

能說(shuō)出原數(shù)是什么.如果N=3194,請(qǐng)你確定“be.

（美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）

8.一個(gè)正整數(shù)N的各位數(shù)字不全相等，如果將N的各位數(shù)字重新排列，必可得到一個(gè)最大數(shù)和一

個(gè)最小數(shù)，若最大數(shù)與最小數(shù)的差正好等于原來(lái)的數(shù)N,則稱(chēng)N為“拷貝數(shù)”，試求所有的三位“拷貝

數(shù)”.

（武漢市競(jìng)賽試題）

9.一個(gè)六位數(shù)，如將它的前三位數(shù)字與后三位數(shù)字整體互換位置，則所得的新六位數(shù)恰為原數(shù)的6

倍，求這個(gè)三位數(shù).

（“五羊杯”競(jìng)賽試題）

第13頁(yè)共23頁(yè)

10.一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和為I999,求這個(gè)四位數(shù)，并說(shuō)明理由.

(重慶市競(jìng)賽試題)

11.從1,2,9中任取〃個(gè)數(shù)，其中一定可以找到若干個(gè)數(shù)(至少一個(gè)，也可以是全部)，它們

的和能被10整除,求〃的最小值.

(2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

專(zhuān)題02數(shù)的整除性

例1267提示：333-66=267.

例2C提示：關(guān)于②的證明：對(duì)于〃若至少有一個(gè)是3的倍數(shù)，則。方是3的倍數(shù).若a,b

都不是3的倍數(shù),則有：(1)當(dāng)。=3/〃+1,〃=3〃+1時(shí)，。一〃=3(〃L〃)；⑵當(dāng)。=3/”+1,〃=3〃+2時(shí)，

。+8=3(〃?+〃+1)；(3)當(dāng)。=3川+2,。=3〃+1時(shí)，力=3(川+〃+1)；(4)當(dāng)。=36+2,。=3〃+2時(shí)，

a—b=3(m—n).

例3?=8.〃=0提示：由9I(19+〃+與得a+b=8或17：由11|(3+〃一㈤得〃一力=8或一3.

第14頁(yè)共23頁(yè)

例4設(shè)x,y,z,，是整數(shù)，并且假設(shè)5。+70-22c—x(7q+2/?+3c)+13。以十zO+rc).比較，式a,b,c

7x+13y=5

的系數(shù)，應(yīng)當(dāng)有＜2x+13z=7,取x=-3,可以得到y(tǒng)=2,z=l,/=—1,

3x+13r=-22

則有13(2a+〃-c)-3(7〃+20+3c)=5a+7/L22c.既然3(7a+28+3c)和13(2a+0-c)都能被13整除,

則5a+lb-22c就能被13整除.

例5考慮到“魔術(shù)數(shù)”均為7的倍數(shù)，又m，。2,…，如互不相等，不妨設(shè)nV/V…〈源，余數(shù)必

為1,2,3,4,5,6,0,設(shè)“=左+d=1,2,3,…，，】；/=(),I,2,3,4,5,6),至少有一個(gè)為機(jī)

的“魔術(shù)數(shù)”，因?yàn)??10"+〃口是，〃的位數(shù))，是7的倍數(shù)，當(dāng)iW。時(shí)，而a?f除以7的余數(shù)都是0,

1,2,3,4,5,6中的6個(gè)；當(dāng)i=7時(shí)，而出?10”除以7的余數(shù)都是()，1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)

字循環(huán)出現(xiàn)，當(dāng)i=7時(shí)，依抽屜原理，a,?1(/與〃?二者余數(shù)的和至少有一個(gè)是7,此時(shí)0?10”+〃?被

7整除，即〃=7.

例6(1)A5：0,1,2,1,0.(或A“0,1,0,1,0)(2)0ooo=13+999=1012.⑶〃被4除余數(shù)

為0或I.

A級(jí)

1.I2.31433.397984.A5.C6.B

7.五位數(shù)位de=10XHcd+e.又??Z%d為4的倍數(shù).故最值為1()00,又因?yàn)镸ede為9的倍數(shù).故1

+0+0+0+e能被9整除，所以e只能取8.因此嬴%最小值為10008.

8.324561提示：d+f-e是II的倍數(shù)，但6&/+/W5+6=11,KW6,故0Wd+/-eW10,因此d

-hf-e=O,即5+/=e,又eWd,,仔1,故/=/，e=6,

9.19提示：1+7+3+口的和能被9整除，故口里只能填7,同理，得到后兩個(gè)數(shù)為8,4.

B級(jí)

1.2521。=2520〃+1(〃￡巾)

2.57

3.719895提示：這個(gè)數(shù)能被33整除，故也能被3整除.于是，各位數(shù)字之和(x+1+9+8-9+)，)也能

被3整除，故工+)，能被3整除.

4.B

5.B

6.A提示：兩兩差能被〃整除，〃=179,加=164.

7.由題意得acb+bac+bca+cab+cba=3194,兩邊加上abc.得222(a+〃+c)=3l94+abc

.12223+8+c)=222X14+86+嬴7.則就+86是222的倍數(shù).

且a+A+c>14.設(shè)一怎7+86=222〃考慮到小c7是三位數(shù)，依次取〃=1,2,3,4.分別得出益c的可能

值為136,358,580,802,又因?yàn)閍+6+c>14.故/7=358.

8.設(shè)N為所求的三位“拷貝數(shù)”，它的各位數(shù)字分別為a,b,c(a,b,c不全相等).將其數(shù)碼重新排列

第15頁(yè)共23頁(yè)

后,設(shè)其中最大數(shù)為曲c,則最小數(shù)為Ma.故N=abc—cba=(I00?+10/>4-c)—(100c+10b+a)

=99(tz-c).

可知N為99的倍數(shù).這樣的三位數(shù)可能是198,297,396,495,594,693,792,891,990.而

這9個(gè)數(shù)中,只有954—459=495.故495是唯一的三位“拷貝數(shù)”.

9.設(shè)原六位數(shù)為abcdef,則6Xabcdef=defabc>即6X(1000Xabc+def)=I000Xdef+abc>所

以即142X^^=857X_^T,V(142,857)=1,工142|肉，857P^r，

而赤，而為三位數(shù)，.??%7=142,而=857,故茄兩=142857.

10.設(shè)這個(gè)數(shù)為茄文，則1000a+100〃+10c+d+a+/?+c+d=l999,即1001。+103+1lc+2d=1999,

得。=1,進(jìn)而103+1"+2d=998,101〃2998—117—881,有〃=9,則Uc+2d=89,而0W24W18,

71WllcW89,推得c=7,d=6,故這個(gè)四位數(shù)是1976.

11.當(dāng)〃=4時(shí)，數(shù)1,3,5,8中沒(méi)有若干個(gè)數(shù)的和能被10整除.當(dāng)〃=5時(shí)，設(shè)。圖2,…，。5是1，2,…，

9中的5個(gè)不同的數(shù)，若其中任意若干個(gè)數(shù)，它們的和都不能被10整除，則4,外,…,％中不可能同時(shí)

出現(xiàn)1和9,2和8,3和7,4和6,于是",生,…,內(nèi)中必定有一個(gè)為5,若4,生，…,生中含1，則不

含9,于是，不含4x(4+5+l=IO),故含6；不含3x(3+6+l=10),故含7；不含2x(2+l+7=10),故含

8；但是5+7+8=20是10的倍數(shù)，矛盾.若q,%，…中含%則不含L于是不含6x(6+9+5=20),故

合4;不含7x(7+4+9=20),故含3;不含8x(8+9+3=20),故含2;但是5+3+2=10是10的倍數(shù)，矛盾.

綜上所述,〃的最小值為5

專(zhuān)題03從算術(shù)到代數(shù)

閱讀與思考

算術(shù)與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩門(mén)不同的分科，它們之間聯(lián)系緊密，代數(shù)是在算術(shù)中“數(shù)”和“運(yùn)算”的基

礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的.

用字母表示數(shù)是代數(shù)的一個(gè)重要特征，也是代數(shù)與算術(shù)的最顯著的區(qū)別.在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，從確定的

數(shù)過(guò)渡到用字母表示數(shù)經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)飛躍.用字母表示數(shù)有如下特:點(diǎn)：

i.任意性

即字母可以表示任意的數(shù).

2.限制性

即雖然字母表示任意的數(shù)，但字母的取值必須使代數(shù)式或?qū)嶋H問(wèn)題有意義.

3.確定性

即在用字母表示的數(shù)中，如果字母取定某值，那么代數(shù)式的值也隨之確定.

4.抽象性

即與具體的數(shù)值相比，用字母表示數(shù)具有更抽象的意義.

第16頁(yè)共23頁(yè)

例題與求解

【例1】研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律：

IX3+l=4=22

2X4+1=9=32

3X5+1=16=42

4X6+1=25=52

???

請(qǐng)將你找到的規(guī)律用代數(shù)式表示出來(lái)：_____________________________________

（山東荷澤地區(qū)中考試題）

解題思路：觀察給定的幾個(gè)簡(jiǎn)單的、特殊的算式，尋找數(shù)字間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)一股規(guī)律，然后用代數(shù)

式表示.

［例2］下列四個(gè)數(shù)中可以寫(xiě)成100個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和的是（）

A.1627384950B.2345678910C.3579111300D.4692581470

（江蘇省競(jìng)賽試題）

解題思路：設(shè)自然數(shù)從開(kāi)始，這100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為（〃+1）+3+2）+…+3+100）

=100?+5050,從揭示和的特征入手.

1+22222

■石2?+3232+421003+100411004+1005

【例3】設(shè)4=一「+?,+十…十--------------求A的整數(shù)部

12233'41003,10041004'1005

分.

（北京市競(jìng)賽試題）

解題思路：從分析4中第“項(xiàng)〃~的特征入手.

〃？（〃1）

【例4】現(xiàn)有。根長(zhǎng)度相同的火柴棒，按如圖①擺放時(shí)可擺成〃?個(gè)正方形，按如圖②擺放時(shí)可擺成

2n個(gè)正方形.

⑴用含〃的代數(shù)式表示〃?：

（2）當(dāng)這。根火柴棒還能擺成如圖③所示的形狀時(shí)，求。的最小值.

（浙江省競(jìng)賽試題）

―：???.L.J

…11I

圖①圖②圖③

解題思路：由圖①中有機(jī)個(gè)正方形、圖②中有2〃個(gè)正方形，可設(shè)圖③中有3〃個(gè)正方形，無(wú)論怎樣

擺放，火柴棒的總數(shù)相同，可建立含陽(yáng)，小〃的等式.

第17頁(yè)共23頁(yè)

【例5】化簡(jiǎn)99?-9乂99?-9+199—9

'~V_''~V~'----7----'

"個(gè)“個(gè)"個(gè)

（江蘇省競(jìng)賽試題）

解題思路：先考察〃=1,2,3時(shí)的簡(jiǎn)單情形，然后作出猾想，這樣，化簡(jiǎn)的FI標(biāo)更明確.

【例6］觀察按下列規(guī)律排成的一列數(shù)：

1121231234I23451

-9，，—，，一，9，，，一，，一，，―，，???，\：!：/

1213214321543216

2

（1）在（*）中，從左起笫機(jī)個(gè)數(shù)記為2〃?）=-----時(shí)，求〃?的值和這〃?個(gè)數(shù)的積.

2001

（2）在（*）中，未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)記為c,它后面的一個(gè)數(shù)記為d,是否存在這樣的兩個(gè)

覆c和/使4=2001000,如果存在，求出c和4如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

I1?123

解題思路：解答此題，需先找到數(shù)列的規(guī)律，該數(shù)列可分姐為（2）,（-,-）,