專題07曲線運(yùn)動及其實例分析

目錄

題型一曲線運(yùn)動的條件及軌跡分析................................................................1

類型1基本概念的辨析與理解................................................................1

類型2曲線運(yùn)動的動力學(xué)解釋...............................................................3

題型二運(yùn)動的合成與分解........................................................................8

類型I合運(yùn)動與分運(yùn)動的關(guān)系...............................................................8

類型2兩互成角度運(yùn)動合運(yùn)動性質(zhì)的判斷......................................................9

類型3運(yùn)動合成與分解思想的遷移應(yīng)用.......................................................12

題型三小船渡河問題............................................................................18

題型四實際運(yùn)動中的兩類關(guān)聯(lián)速度模型...........................................................22

類型1繩端關(guān)聯(lián)速度的分解問題............................................................23

類型2桿端關(guān)聯(lián)速度的分解問題............................................................27

題型一曲線運(yùn)動的條件及軌跡分析

【解題指導(dǎo)】L條件

物體受到的合力方向與速度方向始終不共線。

2.特征

(1)運(yùn)動學(xué)特征：做曲線運(yùn)動的物體的速度方向時刻發(fā)生變化，即曲線運(yùn)動一定為變速運(yùn)動。

(2)動力學(xué)特征：做曲線運(yùn)動的物體所受合力一定不為零且和速度方向始終不在同一條直線上。合力在垂直

r?速度方向上的分力改變物體速度的方向，合力在沿速度方向上的分力改變物體速度的大小。

(3)凱跡特征：曲線運(yùn)動的軌跡始終夾在合力的方向與速度的方向之間，而且向合力的一側(cè)彎曲。

(4)能量特征：如果物體所受的合力始終和物體的速度垂直，則合力對物體不做功，物體的動能不變；若合

力不與物體的速度方向垂直，則合力對物體做功，物體的動能發(fā)生變化。

類型1基本概念的辨析與理解

【例1】(2023?海南?？?校考模擬預(yù)測)曲線運(yùn)動是生活中一種常見的運(yùn)動，下列關(guān)于曲線運(yùn)動的說法中正

確的是()

A.可能存在加速度為0的曲線運(yùn)動

B.平拋運(yùn)動是加速度隨時間均勻變化的曲線運(yùn)動

C.勻速圓周運(yùn)動一定是加速度變化的曲線運(yùn)動

D.圓周運(yùn)動不可以分解為兩個柞互垂直的直線運(yùn)動

【答案】C

【詳解】A.根據(jù)曲線運(yùn)動的特點可知，曲線運(yùn)動的物體加速度不為0,故A錯誤；

B.平拋運(yùn)動是加速度為重力加速度的勻變速曲線運(yùn)動，故B錯誤;

C.勻速圓周運(yùn)動的加速度方向不斷變化，故c正確；

D.圓周運(yùn)動可以分解為兩個相互垂直的簡諧運(yùn)動，故D錯誤；

故選C。

【例2】.（2023春?云南?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）關(guān)于質(zhì)點做曲線運(yùn)動，下列說法正確的是（）

A.曲線運(yùn)動一定是變速運(yùn)動，變速運(yùn)動也一定是曲線運(yùn)動

B.質(zhì)點做曲線運(yùn)動，其加速度有可能不變

C.質(zhì)點做曲線運(yùn)動的過程中，某個時刻所受合力方向與速度方向可能相同

D.有些曲線運(yùn)動也可能是勻速運(yùn)動

【答案】B

【詳解】A.曲線運(yùn)動一定是變速運(yùn)動，但變速運(yùn)動不一定是曲線運(yùn)動，也可以是直線運(yùn)動，放A錯誤；

B.質(zhì)點做曲線運(yùn)動，其加速度有可能不變，比如平拋運(yùn)動的加速度為重力加速度，保持不變，故B止確;

C.質(zhì)點做曲線運(yùn)動的過程中，每個時刻所受合力方向與速度方向都小在同一直線上，故C錯誤；

D.曲線運(yùn)動的速度方向時刻發(fā)生變化，不可能是勻速運(yùn)動，故D錯誤。

故選Bo

【例3】（2023?河南鄭州?統(tǒng)考模報預(yù)測）下列幾種關(guān)于運(yùn)動情況的描述，說法正確的是（）

A.一物體受到變力作用不可能做直線運(yùn)動

B.一物體受到恒力作用可能做圓周運(yùn)動

C.在等量異種電荷的電場中，一帶電粒子只在電場力作用下可能做勻速圓周運(yùn)動

D.在勻強(qiáng)磁場中，一帶電小球在重力和洛倫茲力作用下不可能做平拋運(yùn)動

【答案】CD

【洋解】A.力與運(yùn)動的方向共線物體就做直線運(yùn)動，A錯誤；

B.做圓周運(yùn)動的物體需要指向圓心的向心力，是個變力，故物體受到恒力作用不可能做圓周運(yùn)動，B錯誤；

c.等量異種電荷連線的兩側(cè)特定區(qū)域，帶電粒子可做勻速圓周運(yùn)動，如卜.圖，C正確：

一-哀

5

O二二二----------------0—1—；—

D.做平拋運(yùn)動需要一個與初速度方向垂直的恒力作用在物體上，洛倫茲力始線與運(yùn)動方向垂直，重力方向

始終沿豎直方向，若物體做曲線運(yùn)動，洛倫茲力為變力，重力為恒力，兩者的合力為變力，故帶電小球在

重力和洛倫茲力作用下不可能做平拋運(yùn)動，D正確。

故選CDo

類型2曲線運(yùn)動的動力學(xué)解釋

曲線運(yùn)動的合力、軌跡、速度之間的關(guān)系

（1）軌跡特點：軌跡在速度方向和合力方向之間，且向合力方向一側(cè)彎曲.

（2）合力的效果：合力沿切線方向的分力F2改變速度的大小，沿徑向的分力Fi改變速度的方向。

①當(dāng)合力方向與速度方向的夾角為銳角時，物體的速率將增大。

②當(dāng)合力方向與速度方向的夾角為鈍角時，物體的速率將減小。

③當(dāng)合力方向與速度方向垂直時，物體的速率不變‘，（舉例：勻速圓周運(yùn)動）

【例1】（2023秋?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在珠海舉行的第13屆中國航展吸引了全世界的軍事愛好者。

如圖，曲線而是一架飛機(jī)在豎直面內(nèi)進(jìn)行飛行表演時的軌跡。假設(shè)從。到〃的飛行過程中，飛機(jī)的速率保

持不變。則沿曲線向運(yùn)動時（）

A.飛機(jī)的合力方向與速度方向夾角可能為銳角也可能為鈍角

B.飛機(jī)的豎直分速度逐漸變大

C.飛機(jī)的合外力做功為0

D.飛機(jī)的機(jī)械能保持不變

【答案】BC

【詳解】A.飛機(jī)做曲線運(yùn)動，速率保持不變，說明合外力不做功，合外力方向始終與速度方向垂直，故A

錯誤;

C.飛機(jī)的速率保持不變，動能不變，由動能定理知合外力做功為零，故C正確；

B.飛機(jī)的速率保持不變，則向下運(yùn)動時豎直分速度變大，故B正確；

D.飛機(jī)速率不變對應(yīng)動能不變，高度降低對應(yīng)重力勢能減少，所以機(jī)械能減少，故D錯誤。

故選BCo

【例2】.（2023?全國?高三專題練習(xí)）-質(zhì)量為，〃=2kg的滑塊在水平方向恒力r=4N的作用下，在光滑的水

平面上運(yùn)動，如圖所示為滑塊在水平面上運(yùn)動的一段軌跡，滑塊過P、Q兩點時速度大小均為v=0.5m/s,

滑塊在P點的速度方向與PQ連線夾角。=37°,sin37°=0.6,cos37°=0.80則下列說法正確的是（）

p

A.水平恒力廠的方向與PQ連線成53。夾角

B.滑塊從P點運(yùn)動到。點的過程中速度變化量為Om/s

C.滑塊從P點運(yùn)動到Q點的時間為0.3s

D.滑塊從P點運(yùn)動到Q點的過程中動能最小值為0.16J

【答案】CD

【洋解】A.滑塊在水平恒力作用下由。到。，滑塊過R。兩點時速度大小均為0.5m/s,即水平恒力做功

為零，所以力應(yīng)該和位移的方向垂直，且根據(jù)滑塊運(yùn)動軌跡可判斷出其指向軌跡凹處，A錯誤；

B.由于滑塊在P、Q兩點的速度方向不同，則滑塊從P點運(yùn)動到Q點的過程中速度變化量不為零，B錯誤；

C.把滑塊速度分解到垂直于尸。方向上，有

v2=vsina=0.3m/s

在這個方向上滑塊先減速后反向加速，其運(yùn)動的加速度為

a=—=2nVs2

m

運(yùn)動具有對稱性，則有

/=2x-^-=0.3s

CF確;

D.把速度分解到PQ方向，有

V)=vcosa=0.4m/s

滑塊在這個方向上的運(yùn)動為勻速運(yùn)動，所以當(dāng)滑塊在垂直于PQ方向上的速度等于零時，此時運(yùn)動的動能最

小，有

—mv：=0.16J

21

D正確。

故選CD。

【例3】(2023秋?河南鄭州?高三河南省實驗中學(xué)階段練習(xí))如圖所示，質(zhì)量為〃?的物塊受水平恒力作用在

光滑的水平面上做曲線運(yùn)動，經(jīng)過時間,從M點運(yùn)動到N點，速度大小由了變?yōu)榍宜俣确较蚯『酶淖?/p>

了90。。則()

N

A.從M點運(yùn)動到N點的過程中，恒力先做正功后做負(fù)功

B.從M點運(yùn)動到N點的過程中物塊的機(jī)械能增加了〃id

C.恒力戶的方向與MN的連線垂直

D.從M點運(yùn)動到N點的過程中，速率的最小值為且y

2

【答案】BD

【詳解】從"點到N點的運(yùn)動過程中物塊的速度變化量△口,恒力F與小，方向相同，如圖所示

Av=+(x/5v)=2v

設(shè)恒力廠與武成。角，則

sin吟上」

Av2

所以

9=30。

A.恒力尸與速度方向夾角光大于90。，后小于90。，故恒力尸先做負(fù)功，再做正功，故A錯誤;

B.從M點到N點的運(yùn)動過程中物塊機(jī)械能的增加等于物塊動能的增加，所以有

AE=；〃?（6丫）-gwv2=mv2

故B正確；

C.曲線運(yùn)動在相互垂直的兩個方向的分運(yùn)動均為勻變速直線運(yùn)動，如圖所示

Av

則在初速度方向的位移為

V

V=2Z

與初速度垂直方向的位移為

x怎

2

則有

lana』在

x3

解得

a=30。

則有

夕=180°-〃一，=120°

可知恒力產(chǎn)的方向與MN的連線不垂直，故C錯誤；

D.將初速度u分解到廠方向和垂直于E方向，當(dāng)沿廠方向分速度減小到。時，物體速度最小，故最小速度

為

?￡AO&

v-=vsin60。=——v

min2

故D正確。

故選BD。

【例4】（2022?安徽蚌埠市第二次教學(xué)質(zhì)檢）如圖所示，一質(zhì)點在恒力作用下經(jīng)過時間/從a點運(yùn)動到b點,

速度大小由2w變?yōu)槲?，速度方向偏轉(zhuǎn)60。角，則質(zhì)點的加速度大小為（）

2ro

A?R包

A，3/?

C中D.平

【答案】C

【解析】根據(jù)矢量運(yùn)算規(guī)則，利用三角形定則如圖，可得速度的變化量為加，=小%,則質(zhì)點的加速度大

小為。=巖=中，故選項C正確。

【例5】.（多選）（2022?湖南師大附中模擬）如圖所示，在光滑水平桌面上有一個質(zhì)量為機(jī)的質(zhì)點，在沿平行于

桌面方向的恒定外力尸作用下，以初速度KO從人點開始做曲線運(yùn)動，圖中曲線是質(zhì)點的運(yùn)動軌跡.已知在/s

末質(zhì)點的速度達(dá)到最小值%到達(dá)8點時的速度方向與初速度點的方向垂直，則（）

A.恒定外力P的方向與初速度的反方向成。角指向曲線內(nèi)側(cè)，則sin。弋

B.質(zhì)點所受合外力的大小為空呼二正

C.質(zhì)點到達(dá)B點時的速度大小為,拳、

\vo一?廣

DJS內(nèi)恒力/做功為沙〃（后一，）

【答案】ABC

【解析】分析可知，恒力尸的方向應(yīng)與速度方向成鈍角，將速度按沿力的方向與垂直于力的方向分解,

如圖所示.

在/方向上由運(yùn)動學(xué)知識得v=vosin仇在），彷.向上由運(yùn)動學(xué)知識得vocosG=ayt,由牛頓第二定律有F=may,

r75

解得尸=竺史尸2,即恒力產(chǎn)的方向與初速度的反方向成。角指向曲線內(nèi)側(cè)，且sin9=W，故A、B正確；

設(shè)質(zhì)點從A點運(yùn)動到8點歷時人，在即方向上的加速度大小為由，在垂直w方向上的加速度大小為生，由

vpy

牛頓第二定律有Feos0=mci\,Fsin0=mai，由運(yùn)動學(xué)知識可得vo=aih，VB=3h，解得V/J=故C

正確；根據(jù)動能定理得，/s內(nèi)恒力/做功為一沙乂后一的，故D錯誤.

題型二運(yùn)動的合成與分解

【解題指導(dǎo)】1.基本思路

分析運(yùn)動的合成與分解問題時，一般情況下按運(yùn)動效果進(jìn)行分解。

2.解題關(guān)鍵

兩個方向上的分運(yùn)動具有等時性，這常是處理運(yùn)動分解問題的關(guān)鍵點。

3.注意問題

要注意分析物體在兩個方向上的受力及運(yùn)動情況，分別在這兩個方向上列式求解。

類型1合運(yùn)動與分運(yùn)動的關(guān)系

1.合運(yùn)動和分運(yùn)動的關(guān)系

等時性各分運(yùn)動經(jīng)歷的時間與合運(yùn)動經(jīng)歷的時間相等

獨立性一個物體同時參與幾個分運(yùn)動，各分運(yùn)動獨立進(jìn)行，不受其他分運(yùn)動的影響

等效性各分運(yùn)動的規(guī)律疊加起來與合運(yùn)動的規(guī)律有完全相同的效果

2.運(yùn)動的合成與分解的運(yùn)算法則

運(yùn)動的合成與分解是指描述運(yùn)動的各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解，由于它們均是矢量，故

合成與分解都遵循平行四邊形定則.

【例1】跳傘表演是人們普遍喜歡的觀賞性體育項目，如圖所示，當(dāng)運(yùn)動員從直升機(jī)上由靜止跳下后，在下

落過程中將會受到水平風(fēng)力的影響，下列說法中正確的是（）

A.風(fēng)力越大，運(yùn)動員下落時間越長，運(yùn)動員可完成更多的動作

B.風(fēng)力越大，運(yùn)動員著地時的豎直速度越大，有可能對運(yùn)動員造成傷害

C.運(yùn)動員下落時間與風(fēng)力無關(guān)

D.運(yùn)動員著地速度與風(fēng)力無關(guān)

【答案】C

【脩析】運(yùn)動員同時參與了兩個分運(yùn)動，豎直方向向下落的運(yùn)動和水平方向隨風(fēng)飄的運(yùn)動，兩個分運(yùn)動

同時發(fā)生，相互獨立，水平方向的風(fēng)力大小不影響豎直方向的運(yùn)動，即落地時間不變，故A錯俁，C正確；

不論風(fēng)速大小，運(yùn)動員豎直方向的分運(yùn)動不變，則下落時間和豎直方向下落的速度不變，但水平風(fēng)速越大，

水平方向的速度越大，則落地的合速度越大，故B、D錯誤.

【例2】（2022?山東省實驗中學(xué)高三期末）如圖所示，戰(zhàn)斗機(jī)離艦執(zhí)行任務(wù)，若戰(zhàn)斗機(jī)離開甲板時的水平分速

度為40m/s,豎直分速度為20m/s,之后飛機(jī)在水平方向做加速度大小等于2m*的勻加速直線運(yùn)動，在豎

直方向做加速度大小等于1mg的勻加速直線運(yùn)動。則離艦后（）

/lAC^,:\

A.飛機(jī)的運(yùn)動軌跡為曲線

B.10s內(nèi)飛機(jī)水平方向的分位移是豎直方向的分位移大小的2倍

C.10s末飛機(jī)的速度方向與水平方向夾角為30°

D.飛機(jī)在20s內(nèi)水平方向的平均速度為50m/s

【答案】B

【解析】飛機(jī)離艦后的合速度與合加速度方向一致，所以飛機(jī)運(yùn)動軌跡為直線，A錯誤；10s內(nèi)水平方向

位移x=W.』+%/=50°m,豎直方向位移y=i，oN+&/=25°n］，B正確：飛機(jī)速度方向與水平方向夾角的

正切tan0=0.5,C錯誤；飛機(jī)在20s內(nèi)水平方向的位移.f=40x20m+1x2x202m=1200m,則平均速度為

Yf

=7=60m/s,D錯誤。

類型2兩互成角度運(yùn)動合運(yùn)動性質(zhì)的判斷

1.運(yùn)動性質(zhì)的判斷

［不變：勻變速運(yùn)動

加速度（或合外力）加入t卜八加、出一小

【變化：非勻變速運(yùn)動

共線：直線運(yùn)動

加速度（或合外力）方向與速度方向丁什五冊妞、

不共線：曲線運(yùn)動

2.判斷兩個直線運(yùn)動的合運(yùn)動性質(zhì)，關(guān)鍵看合初速度方向與合加速度方向是否共線.

兩個互成角度的分運(yùn)動合運(yùn)動的性質(zhì)

兩個勻速直線運(yùn)動勻速直線運(yùn)動

一個勻速直線運(yùn)動、一個勻變速直線運(yùn)動勻變速曲線運(yùn)動

兩個初速度為零的勻加速直線運(yùn)動勻加速直線運(yùn)動

如果叱與。合共線，為勻變速直線運(yùn)動

兩個初速度不為零的勻變速直線運(yùn)動

如果V合與。自不共線，為勻變速曲線運(yùn)動

【例11（2023秋?內(nèi)蒙古呼和浩特?高三統(tǒng)考期末）關(guān)于運(yùn)動的合成與分解以及受力，下列判斷正確的是（）

A.做曲線運(yùn)動的物體，合外力與速度不共線，大小一定不變

B.二個直線運(yùn)動的合運(yùn)動，可能是直線運(yùn)動，也可能是曲線運(yùn)動

C.二個初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，其合運(yùn)動一定是勻加速直線運(yùn)動

D.二個直線運(yùn)動的合運(yùn)動，合運(yùn)動速度大小可能大于、可能等于、也可能小于一個分運(yùn)動速度的大小

【答案】BD

【詳解】A.做曲線運(yùn)動的物體，合外力與速度不共線，但大小可以變化，故A錯誤；

B.二個直線運(yùn)動的合運(yùn)動，可能是更線運(yùn)動，也可能是曲線運(yùn)動，比如二個勻速直線運(yùn)動的合運(yùn)動是勻速

直線運(yùn)動，一個勻速直線運(yùn)動和一個勻變速直線運(yùn)動的合運(yùn)動是曲線運(yùn)動，故B正確；

C.二個初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，如果兩個分運(yùn)動共線，且加速度大小相等，方向相反，則合加速度

為零，合運(yùn)動處于靜止?fàn)顟B(tài)，故C錯誤；

D.二個直線運(yùn)動的合運(yùn)動，根據(jù)平行四邊形定則可知，合運(yùn)動速度大小可能大于、可能等于、也可能小于

一個分運(yùn)動速度的人小，故D正確。

故選BDo

【例2】（2023?全國?模擬預(yù)測）如圖所示，在一端封閉的光滑細(xì)玻璃管中注滿清水，水中放一紅蠟塊R（R

視為質(zhì)點）。將玻璃管的開口端用膠塞塞緊后豎直倒置且與），軸重合，R從坐標(biāo)原點開始運(yùn)動的軌跡如圖所

示，則紅蠟塊R在x、y方向的運(yùn)動情況可能是（）

A.x方向上做勻速直線運(yùn)動，），方向上做勻速直線運(yùn)動

B.文方向上做勻速直線運(yùn)動，），方向上做勻加速直線運(yùn)動

C.x方向上做勻減速直線運(yùn)動，y方向上做勻加速直線運(yùn)動

D.x方向上做勻加速直線運(yùn)動，y方向上做勻速直線運(yùn)動

【答案】D

【詳解】AB.由題圖圖像趨勢可知，若x方向做勻速直線運(yùn)動，則），方向應(yīng)做減速直線運(yùn)動，故AB錯誤；

C.若在x方向做勻減速直線運(yùn)動，y方向做勻加速直線運(yùn)動，則合力方向向左上方，圖像應(yīng)該向左.上凹，故

C錯誤；

D.由圖像趨勢可知，若在），方向做勻速直線運(yùn)動，則在x方向應(yīng)做加速運(yùn)動，故D正確。

故選D。

【例3】（2023?遼寧?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在一次施工中，塔吊將重物從。點吊起，從起吊開始計時，以。為

原點，設(shè)水平為x方向、豎直為）方向，重物相方向的運(yùn)動規(guī)律分別如圖甲、乙所示，則重物（）

_|

vv/(ms)

A.在水平方向做勻變速直線運(yùn)動

B.運(yùn)動軌跡為拋物線

C.0?8$內(nèi)的位移大小為40m

D.在相等時間內(nèi)的速度變化量不相等

【答案】B

【詳解】A.由圖甲可知重物在水平方向做勻速直線運(yùn)動，故A不符合題意；

B.重物在水平方向做勻速直線運(yùn)動，在豎直方向做勻加速直線運(yùn)動，所以重物的運(yùn)動軌跡為拋物線，故B

符合題意：

C.0?8s內(nèi)水平方向位移為24m,豎直方向位移為

A=Ax8x4m=16m

2

位移大小為

x=x/242+162m=8x/i3m

故C不符合題意：

D.重物加速度為

△v4「…，

a=-=—m/s~=0.5m/s-

\t8

重物在相等時間內(nèi)的速度變化量相等，故D不符合題意。

故選B。

【例4】（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）一質(zhì)量為m=0.5kg的物體（視為質(zhì)點）在坐標(biāo)系文3,中，從坐標(biāo)原點0

處計時開始沿/軸方向的匕―圖像如圖甲所示，沿）'軸方向做初速度為。的%圖像如圖乙所示，下列說

法正確的是（）

q/(m，2)

2-----------------------

o'-------------------------＞正

乙

A.物體受到的合力為2N

B.2s時物體沿>方向的分速度為4m/s

C.2s時物體的速度為12m/s

D.前2s內(nèi)物體的位移為46m

【答案】BD

【詳解】A.由甲圖可得

4—2.->_.■>

a,=------m/s-=2m/s

*1

則物體的加速度為

a=Ja：+a；=26m/s?

由牛頓第二定律可得

F=ma=V2N

A錯誤；

BC.，=2s時，物體分速度分別為

匕=%+aJ=6m/s,vv=ayt=4m/s

物體的速度為

v=Jv：+yJ=2x/l3m/s

BE確，C錯誤；

D.前1=2s內(nèi)，物體的分位移分別為

2

x=v07+—axt=8m,y=Ja，=4m

2-

物體的位移為

s=y1x2+y2=45/5m

D正確。

故選BDo

類型3運(yùn)動合成與分解思想的遷移應(yīng)用

【例1】(2023?全國?二模)如圖所示，一豎直桿固定在小車上，阡與小車總質(zhì)量為“。桿上套有一質(zhì)量為〃?

的物塊，桿與物塊間動摩擦因數(shù)為〃=。?5。對小車施加一水平力，同時釋放物塊，使小車和物塊均由靜止

開始加速運(yùn)動，測得，時刻小車的速度為1'二町，g為重力加速度，不計地面摩擦。則?時刻物塊的速度為

()

A.垃glB.5/C.2glD.國

【答案】B

【詳解】由于/時刻小車的速度為

v=gf

可知小車的加速度為g,方向水平向右，對物塊在水平方向有

N=mg

在豎直方向有

mg-卜iN=nui

vy=at

則i時刻物塊的速度

匕

解得

故選B。

【例2】（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，一內(nèi)壁光滑、上端開口下端封閉的絕緣玻璃管豎直放置，高

為爪管底有質(zhì)量為〃h電荷量為+q的小球，玻璃管以速度n沿垂直于磁場方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為仄方向

垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場中。在外力作用下，玻璃管在磁場中運(yùn)動速度保持不變，小球最終從上端管口飛

出，在此過程中，下列說法正確的是（）

A.洛倫茲力對小球做正功

B.小球做勻加速直線運(yùn)動

C.小球機(jī)械能的增加量小于qvBh

D.若玻璃管運(yùn)動速度越大，則小球在玻璃管中的運(yùn)動時間越小

【答案】D

【詳解】A.洛倫茲力的方向與速度方向垂直，永不做功，選項A錯誤；

B.玻璃管在水平方向做勻速運(yùn)動，小球受到的洛倫茲力在豎直方向的分力保持不變，即在豎直方向做勻加

速運(yùn)動，合運(yùn)動為勻加速曲線運(yùn)動，選項B錯誤；

C.由于管對球的支持力對小球做了功，小球的機(jī)械能是增加的，在豎直方向上，由牛頓第二定律

qvB-“ig=nm

由勻變速位移公式

h=-at-

2

小球離開管口的速度

vv=at

合速度

動能增量

重力勢能增量

△綜=mgh

聯(lián)立解得

AE=△4+AEp=qvBh

選項C錯誤；

D.小球的實際運(yùn)動速度可分解為水平方向的速度v和豎直方向的速度吵，豎直方向的洛倫茲力不變，在豎

直方向上，由牛頓第二定律

qvB-mg=ma

由勻變速位移公式

h=-ar

2

聯(lián)立解得

即玻璃管運(yùn)動速度越大，則小球在玻璃管中的運(yùn)動時間越小，選項D正確。

故選D。

【例3】（2023?天津?高三專題練習(xí)）殲-20是我國自主研制的一款具備高隱身性、高態(tài)勢感知、高機(jī)動性

等能力的重型殲擊機(jī)，該機(jī)將擔(dān)負(fù)中國空軍未來對空、海的主權(quán)維護(hù)任務(wù)。假設(shè)某次起飛時，飛機(jī)以水平

速度如飛離跑道后逐漸上升，此過程中飛機(jī)水平速度保持不變，同時受到重力和豎直向上的恒定升力（該

升力由其它力的合力提供，不含重力）的作用。已知飛機(jī)質(zhì)量為〃?，在水平方向上的位移為/時，上升高度

為九重力加速度為?上述過程中求:

（i）飛機(jī)受到的升力人??；

（ii）在高度〃處飛機(jī)的動能。

【答案】（i）mg（1+1*）;（ii）

【詳解】（i）飛機(jī)水平速度不變

/=VOt

y方向加速度恒定

,1

h=—at~2

2

在豎直方向上，由牛頓第二定律

F~mg=ma

解得

廠/I2h八

尸二/〃g(l+

（ii）在處有

v,2=2ah

1，2二浮+02

解得

萬1214/?2

線

=5,9+-)

【例4】.（2024秋?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）風(fēng)洞是研究空氣動力學(xué)的實驗設(shè)備。如圖，兩水平面（虛線）

之間的距離為，，其間為風(fēng)洞的區(qū)域，物體進(jìn)入該區(qū)間會受到水平方向的恒力，自該區(qū)域下邊界的。點將

質(zhì)量為機(jī)的小球以一定的初速度豎直上拋，從M點離開風(fēng)洞區(qū)域，小球再次從N

點返回風(fēng)洞區(qū)域后做直線運(yùn)動，落在風(fēng)洞M域的下邊界P處，NP與水平方向的夾角為45。，不計空氣阻力，

重力加速度大小為g，求：

（1）風(fēng)洞區(qū)域小球受到水平方向恒力的大小；

（2）小球運(yùn)動過程中離風(fēng)洞下邊界0P的最大高度；

（3）0P的距離。

三/M/7\_____________7

風(fēng)三XH

—?45人

OP

1Q

【答案】（1）mg；（2）-W；（3）-H

JJ

【洋解】（1）因為小球做直線運(yùn)動，合力方向與速度方向在同一條直線上，有

駕=345。

r

可得

F=mg

（2）在最高點，小球的速度沿水平方向，設(shè)該速度為口則小球在M、N點的水平方向速度也為y,設(shè)小球

在M、N點豎直方向的速度為所，在。點的初速度為%,由0到例的時間為/,水平方向有

v=g/

在P點，水平方向有

vtl=v+?r=2v

在豎直方向上，小球在從。點到P點做上拋運(yùn)動，豎直方向上速度相等，此時速度方向與水平方向夾角為

45°,可得

%=2v

由N到P小球做直線運(yùn)動，設(shè)在N點豎直方向速度為沙2,則有

Vy2_V

%%

可得

「%

設(shè)最高點為Q點，則在豎直方向上，由Q到N,有

A

山N到P，有

vo-y=^

可得

在豎直方向上，有

為2=/?

2

可得

h=-H

3

(3)水平方向，由。到M,有

x.=~1

12

由M到乂有

占=2”

由N到P,有

v+2v

七二丁

由(2)可知

，4口

%=2叭vQt=-H

聯(lián)立可得

8〃

x=x,+x-,+x,=-H

【例5】.(2023?高三課時練習(xí))如圖所示，豎直面內(nèi)虛線所示的兩水平面之間存在大小恒定的水平風(fēng)力，

在該區(qū)域上方距離卜邊界為/的0點將質(zhì)量為機(jī)的小球以一定初速度水平拋出，小球從風(fēng)力區(qū)域上邊界的

A點進(jìn)入，風(fēng)力區(qū)域下邊界的8點位于A點正下方。若風(fēng)力沿水平向左方向，小球在重力和風(fēng)力的共同作

用下，從。點離開時的速度方向恰好豎直向下，若風(fēng)力沿水平向右方向，小球在重力和風(fēng)力的共同作用下，

恰好做直線運(yùn)動，并從0點離開。豎直方向只受重力作用，且重力加速度大小為g。求：

(1)小球運(yùn)動到Q點時速度的大小V；

(2)小球在風(fēng)力區(qū)域中沿水平方向的位移x與x之比。

?工?--?------■

BQP

【答案】(1)向;(2)I：3

【詳解】(1)小球從。到A做平摘運(yùn)動，豎直方向做加速度為3的加速運(yùn)動，進(jìn)入虛線區(qū)域后，豎直方向

的加速度仍為g不變，則運(yùn)動到。點時速度

v向

(2)無論風(fēng)力向左還是向右，小球在豎直方向的運(yùn)動不變，則運(yùn)動時間相等，設(shè)為設(shè)小球在水平風(fēng)力

作用下的加速度大小為。，進(jìn)入虛線區(qū)域時的水平速度為口，則

亭F

由小球從Q點離開時的速度方向恰好豎直向下，得

解得

題型三小船渡河問題

【解題指導(dǎo)】1.船的實際運(yùn)動：是水流的運(yùn)動和船相對靜水的運(yùn)動的合運(yùn)動.

2.三種速度：船在靜水中的速度u船、水的流速u水、船的實際速度上

3.兩種渡河方式

方式圖示說明

1/?

*

渡河時間當(dāng)船頭垂直河岸時，渡河時間最短，最短時間向「=包

\

。合./C

最短%

7777777777777777777777.7

〃〃“〃〃〃〃〃/?〃//

訃、

卜」

1

渡河位移論當(dāng)y水Vy船時，如果滿足u水一UfinCOS0=。，渡河位移最

1

最短短，-Vmin=d

〃〃力〃〃〃〃〃//

當(dāng)V水＞丫船時，如果船頭方向（即U船方1可山合速度方向

渡河位Xmin

e融/TcI

,沙式）““1垂直，渡河位移最短，最短渡河位移為汨.一如

移最短

。水

【例1】（多選）小明、小美、園園和小紅去劃船，碰到一條寬90m的小河，他們在靜水中劃船的速度為3m/s,

現(xiàn)在他們觀察到河水的流速為5m/s,關(guān)于渡河的運(yùn)動，他們有與自的看法，其中正確的是（）

A.小紅說：要想到達(dá)正對岸就得船頭正對河岸劃船

B.小美說：不論怎樣調(diào)整船頭方向都不能垂直到達(dá)止對岸

C.小明說：渡過這條河的最短距離是150m

D.園園說：以最短位移渡河時，需要用時30s

【思維建構(gòu)】

【動態(tài)圖解法】

類比于只有?個力方向發(fā)生變化的動態(tài)平衡問題，可應(yīng)用動態(tài)矢量三角形解決問題。

1.固定水速矢量箭頭不動，將船速矢量箭頭繞水速矢量箭頭的末端轉(zhuǎn)動，如圖所示，則船速矢量箭頭的末端

在一個圓周上移動，根據(jù)三角形定則，合速度矢量的末端也就在這個圓周上移動。

2.當(dāng)合速度n_Li，船時，合速度v與河岸夾角最大，位移最小。

【答案】BC

【規(guī)范分析】

如圖⑴所示，船頭正對對岸劃船，合速度方向傾斜，無法到達(dá)正對岸，選項A錯誤；如圖⑵若要垂直到達(dá)

正對岸，需要滿足水，該題中u水＞丫船，所以不論怎樣調(diào)整船頭方向都不能垂直到達(dá)正對岸，選項B

正確；如圖（3）所示，當(dāng)丫，、，加時，合速度u與河岸夾角最大，位移最小。根據(jù)三角形相似烏=受，解得

3I水

5=150in,選項CIE確;以最短位移渡河時，所需時間/=37.5s.選項D錯誤。

〈謙一施

圖（1）圖（2）圖（3）

【方法感悟】

所有矢量運(yùn)算都滿足平行四邊形定則和三角形定則。當(dāng)碰到一個矢量大小方向不變，另一個矢量要么大小

不變，要么方向不變，求解第二個矢量時，我們就可以大膽嘗試用這種動態(tài)圖解法畫圖，往往垂直"出”最小。

【例2】（2023秋?遼寧沈陽?高三校聯(lián)考期中）如圖，有一條寬為100m的河道，一小船從岸邊的某點渡河,

渡河過程中保持船頭指向與河岸始終垂直。已知小船在靜水中的速度大小為4m/s,水流速度大小為3nVso

下列說法正確的是（）

」丞二

河岸

A.小船在河水中航行的軌跡是曲線B.小船渡河過程中的位移大小為100m

C.小船在河水中的速度是7m/sD.小船渡河的時間是25s

【答案】D

【詳解】A.小船垂直于河岸方向做勻速直線運(yùn)動，沿河岸方向也做勻速直線運(yùn)動，所以小船的實際運(yùn)動為

勻速直線運(yùn)動，A錯誤；

D.由于渡河過程中保持船頭指向與河岸始終垂直，故

解得

r=—=25s

船

D正確；

B.小船到達(dá)河對岸時，垂直于河岸的位移為KX）m,沿河岸方向的位移為

x2=u水［=75m

合位移為

x=71OO2+752m=125m

B錯誤;

C.小船在河水中的速度為

v=yj4~+32nVs=5m/s

C錯誤。

故選Do

【例3】（2023春?重慶沙坪壩?高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）有?條兩岸平直、河水均勻流動的大河，?艘

船行駛時船頭始終垂直于河岸且其相對靜水的速率不變，現(xiàn)由于上游水電站開閘放水，船運(yùn)行到河中央位

置時水速突然變?yōu)樵瓉淼?倍，則下列說法正確的是（）

A.過河的路程不變B.過河的路程變長

C.過河的時間變?yōu)樵瓉淼膅D.過河的時間變?yōu)樵瓉淼?倍

【答案】B

【洋解】小船同時參與兩個運(yùn)動，一個是垂直河岸方向的勻速運(yùn)動，二是沿河水方向向下漂移，垂直河岸

方向的位移不變.過河的時間不變,沿河水方向的位移與水的流速有關(guān)，船運(yùn)行到河中央位置時水速突然

變?yōu)樵瓉淼?倍，沿河水方向的位移變大，合位移將變大，過河的路程變長。

故選B。

【例4】?（2023秋?海南?高三統(tǒng)考期末）小船沿垂直于河岸方向，勻速渡河到達(dá)正對岸，已知水流的速度大

小為3m/s,小船相對河岸速度為4m/s,河岸寬為100m,sin37°=0.6,則（）

A.船在靜水中的速度為4m/s

B.開始運(yùn)動時船頭與河岸的夾角為53。

C.小船渡河的時間為20s

D.若水流速度略微變大，小船渡河到正對岸的時間變短

【答案】B

【詳解】AB.根據(jù)題意分析可知，合速度與船速及水流速度之間的關(guān)系如下圖所示。設(shè)船頭與垂直河岸的

夾角為則由圖可得

n船cos0-v

tan0=—=—

v4

解得

<9=37°

%=5m/s

故船頭與河岸的夾角為53。，故A錯誤，B正確;

C.小船做勻速直線運(yùn)動，故渡河時間為

故C錯誤：

D.若水流速度略微變大，若船的靜水速度不變，船仍然沿垂直河岸方向渡河，則船頭與河岸的夾角減小，

船速在垂直河岸方向的分速度減小，而河寬不變，故小船渡河到正對岸的時間變大。故D錯誤。

故選B。

題型四實際運(yùn)動中的兩類關(guān)聯(lián)速度模型

【解題指導(dǎo)】關(guān)聯(lián)速度問題一般是指物拉繩（或桿）和繩（或桿）拉物問題。高中階段研究的繩都是不可伸長的，

桿都是不可伸長且不可壓縮的，印繩或桿的長度不會改變。繩、桿等連接的兩個物體在運(yùn)動過程中，其速

度通常是不一樣的，但兩個物體沿繩或桿方向的速度大小相等，我們稱之為關(guān)聯(lián)速度。

I.解決關(guān)聯(lián)速度問題的一般步驟

第一步：先確定合運(yùn)動，即物體的實際運(yùn)動。

第二步：確定合運(yùn)動的兩個實際作用效果，一是沿繩（或桿）方向的平動效果，改變速度的大?。欢茄卮怪?/p>

于繩（或桿）方向的轉(zhuǎn)動效果，改變速度的方向。即將實際速度正交分解為垂直于繩（或桿）和平行于繩（或桿）

方向的兩個分量并作出運(yùn)動矢量圖。

第三步：根據(jù)沿繩（或桿）方向的速度相等列方程求解。

2.常見的兩種模型分析

（I）繩牽聯(lián)模型

單個物體的繩子末端速度分解：如圖甲所示，以一定要正交分解在垂直于繩子方向，這樣玄的大小就是拉

繩的速率，注意切勿將繩子速度分解

甲乙

兩個物體的繩子末端速度分解：如圖乙所示兩個物體的速度都需要正交分解，其中兩個物體的速度沿著繩

子方向的分速度是相等的，即％〃=町〃。

如圖丙所示，將圓環(huán)的速度分解成沿繩方向和垂直于繩方向的分速度，B的速度與A沿繩方向的分速度相

等，即l,4/Z=Vfi//o

(2)肝牽聯(lián)模型

如圖丁所示，將桿連接的兩個物體的速度沿桿和垂直于桿的方向正交分解，則兩個物體沿桿方向的分速度

大小相等，即1/〃=妙8〃。

3.繩(桿)端關(guān)聯(lián)速度分解問題的?？寄Ｐ?/p>

類型1繩端關(guān)聯(lián)速度的分解問題

【例1】(2023春?江蘇?高三校聯(lián)考階段練習(xí))如圖所示，一輕繩通過無摩擦的小定滑輪。與拖車相連，另

一端與河中的小船連接，定滑輪與拖車之間的連繩保持水平，小船與拖車的運(yùn)動在同一豎直平面內(nèi)，拖車

沿平直路面水平向右運(yùn)動帶動小船，使小船以速度y沿水面向右勻速運(yùn)動，若船在水面上運(yùn)動受到的阻力

保持不變.則在上述運(yùn)動過程中()

A.當(dāng)拉船的輕繩與水平面的夾角為例時，拖車運(yùn)動的速度為psin。

B.小船受到繩的拉力不斷減小

C.小船受到繩的拉力的功率不斷增大

D.拖車的動能不斷減小

【答案】D

【詳解】AD.船的速度沿繩方向的分?jǐn)?shù)與拖車速度相等，拖車運(yùn)動的速度為

v'=vcos^

0增大時，拖車速度減小，拖車動能減小，A錯誤，D正確；

B.由平衡條件

可知，。增大時，繩拉力增大，B錯誤；

C.小船做勻速運(yùn)動，受到繩的拉力的功率等于克服阻力做功的功率，保持不變，C錯誤。

故選D。