數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)舒城一中

高二（7）*2.5.1直線與圓的位置關(guān)系2024/11/16第二章直線和圓的方程（第2課時(shí)）問(wèn)題1：如何利用方程判斷直線與圓的位置關(guān)系？直線與圓的方程代數(shù)運(yùn)算直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為研究平面直角坐標(biāo)系創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

圓心(a,b),半徑r

實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)d

與

r直線與圓的位置關(guān)系利用方程判斷直線與圓的位置關(guān)系:創(chuàng)設(shè)情境，引入新課①若曲線是軸對(duì)稱圖形，則可選它的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸.②常選特殊點(diǎn)作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn).③盡量使已知點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上.問(wèn)題2：建立平面直角坐標(biāo)系應(yīng)遵循的原則有哪些？建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.本節(jié)課來(lái)學(xué)習(xí)用直線與圓的方程解決實(shí)際問(wèn)題.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

APOB例題講解例1

如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐,求支柱A2P2的高度(精確到0.01m).AOBP追問(wèn)1點(diǎn)O是圓拱所在圓的圓心嗎？追問(wèn)2如何建立比較適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系？追問(wèn)3以上兩種方案是否較為適當(dāng)？有沒(méi)有更好的建系方案？yxx2+(y-b)2=r2例題講解

分析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，要得到支柱A2P2的高度，只需求出點(diǎn)P2的縱坐標(biāo).

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)圓拱所在圓的圓心坐標(biāo)為(0,b)，圓的半徑為r，則圓的方程為

解:

由題意，點(diǎn)P,B在圓上，且它們的坐標(biāo)分別為(0,4),(10,0)，則有解得

所以，圓的方程是

ABPA1A2A3A4P2Oxy

例題講解過(guò)C

作

于M,在Rt△AOC中,設(shè)圓拱所在圓的半徑為r,則有解得r=14.5.N追問(wèn)4：還有其他方法解決這一問(wèn)題嗎？

在Rt△中,(m).

例題講解建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素，如點(diǎn)、線、圓，把平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；第一步問(wèn)題3：坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的基本步驟是什么？通過(guò)代數(shù)計(jì)算，解決代數(shù)問(wèn)題；第二步把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.第三步例題小結(jié)

例2：一個(gè)小島周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿直線返航，那么它是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)？例題講解解：以小島中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，南北方向?yàn)閥軸建立直角坐標(biāo)系，則港口所在位置坐標(biāo)（0，3）,船所在位置坐標(biāo)（4，0）.例2、一個(gè)小島周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿直線返航，那么它是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)？例題講解

例題講解

方程組無(wú)解.所以直線l與圓O相離，輪船沿直線返航不會(huì)有觸礁危險(xiǎn).d

圓心C(0,0)到直線l的距離所以直線l與圓O相離，輪船沿直線返航不會(huì)有觸礁危險(xiǎn).方法三：

所以輪船沿直線返航不會(huì)有觸礁危險(xiǎn).因?yàn)檫^(guò)O

作于H,在Rt△AOB中,

例2、一個(gè)小島周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿直線返航，那么它是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)？例題講解鞏固練習(xí)P951.趙州橋的跨度是37.4m，圓拱高約為7.2m.求這座圓拱橋的拱圓的方程.ABPOxy解:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)圓拱所在圓的圓心坐標(biāo)為(0,b)，圓的半徑為r，則圓的方程為

由題意，點(diǎn)P,B在圓上，且它們的坐標(biāo)分別為(0,

7.2),(18.7,0)，則有故所求圓拱的方程為解得鞏固練習(xí)P952.某圓拱橋的水面跨度20m,拱高4m.現(xiàn)有一船,寬10m,水面以上高3m.這條船能否從橋下通過(guò)?ABPOxyCFED解:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)圓拱的圓心坐標(biāo)為(0,b)，圓的半徑為r，則圓的方程為由題意，點(diǎn)P,B在圓上，且它們的坐標(biāo)分別為(0,

4),(10,0)，則有故所求圓拱的方程為解得把

代入上式，得因?yàn)榇谒嬉陨系母叨葹?m，3<3.1，所以該船可以從船下穿過(guò).3.在一個(gè)平面上,機(jī)器人從與點(diǎn)C(5,－3)的距離為9的地方繞點(diǎn)C順時(shí)針而行,在行進(jìn)過(guò)程中保持與點(diǎn)C的距離不變,它在行進(jìn)過(guò)程中到過(guò)點(diǎn)A(－10,0)與B(0,12)的直線的最近距離和最遠(yuǎn)距離分別是多少?22lA(0,12)?C(5,-3)xOy?B(-10,0)?解：依題意得,機(jī)器人在以C(5,－3)為圓心,9為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),其圓的方程為經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－10,0)與B(0,12)的直線方程為∴點(diǎn)C到直線AB的距離為∴圓C上的點(diǎn)到直線AB的最近距離為d－r＝鞏固練習(xí)P95最遠(yuǎn)距離為d＋r＝第二步：解決代數(shù)問(wèn)題第一步：幾何—代數(shù)實(shí)際問(wèn)題—幾何第三步:代數(shù)—幾何幾何—實(shí)際問(wèn)題輪船沿直線返航不會(huì)有觸礁危險(xiǎn).直線l與圓O相離輪船沿直線返航是否有危險(xiǎn)？直線l與圓O位置關(guān)系？d問(wèn)題4：你能總結(jié)一下坐標(biāo)法解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟？歸納總結(jié)例題講解例3求經(jīng)過(guò)直線x＋y＝0與圓x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－1，－2)的圓的方程．解：

設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋2x－4y－8＋λ(x＋y)＝0，又點(diǎn)P(－1，－2)在圓上，將(－1，－2)代入圓的方程得(－1)2＋(－2)2＋2×(－1)－4×(－2)－8＋λ(－1－2)＝0，解得λ＝1.故所求圓的方程為x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋y＝0，即x2＋y2＋3x－3y－8＝0.求過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程的方法(1)聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)求方程；(2)設(shè)圓系方程求參數(shù)，一般地，過(guò)直線l：Ax＋By＋C＝0與圓O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交點(diǎn)的圓系方程可設(shè)為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.

例題小結(jié)鞏固練習(xí)4.已知圓C經(jīng)過(guò)直線x＋y＋2＝0與圓x2＋y2＝4的交點(diǎn)，且圓C的圓心在直線2x－y－3＝0上，求圓C的方程．設(shè)所求圓的方程為(x2＋y2－4)＋a(x＋y＋2)＝0，即x2＋y2＋ax＋ay－4＋2a＝0，因?yàn)閳A心在直線2x－y－3＝0上，所以a＝－6.所以圓的方程為x2＋y2－6x－6y－16＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝34.解：例題講解DA(2,0)B