專題2-2圓的方程11類重難點題型匯總直線與圓的方程式是一個承上啟下的章節(jié)，讓即將經(jīng)歷圓錐曲線毒打的同學(xué)們有個鋪墊直線與圓的方程作為解析幾何中的基礎(chǔ)，不僅幫助同學(xué)們構(gòu)建起圖形與代數(shù)之間的橋梁，更是通往更復(fù)雜曲線——如橢圓、雙曲線和拋物線等圓錐曲線研究的必經(jīng)之路。掌握好這兩類基本圖形的性質(zhì)及它們之間的位置關(guān)系，將為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)，讓同學(xué)們在面對更加抽象的概念時能夠游刃有余?？傆[總覽題型解讀【題型1】圓的方程 ②點在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補上已知圓，直線經(jīng)過點，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．（23-24高二上·湖南長沙·期中）過點的直線l與圓相切，則直線l的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或過坐標(biāo)原點作圓的兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B． C． D．2（2024·廣東韶關(guān)·二模）過點作斜率為的直線，若光線沿該直線傳播經(jīng)軸反射后與圓相切，則（

）A． B． C．2 D．【鞏固練習(xí)1】過點作圓的一條切線，切點為B，則（

）A．3 B． C． D．【鞏固練習(xí)2】已知圓C：，直線l恒過點若直線l與圓C相切，求l的方程【鞏固練習(xí)3】（23-24高二下·全國·隨堂練習(xí)）已知圓C：．若點，求過點的圓的切線方程；【鞏固練習(xí)4】（23-24高三上·河北秦皇島·開學(xué)考試）從點射出的光線經(jīng)軸反射后，與圓有公共點，則反射光線所在直線斜率的最小值為（

）A．1 B． C． D．【鞏固練習(xí)5】（23-24高二上·山西朔州·期末）戰(zhàn)國時期成書《墨經(jīng)》有載曰：“景，日之光反燭人，則景在日與人之間.”這是中國古代人民首次對平面鏡反射的研究，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧.在平面直角坐標(biāo)系中，一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（

）A．或 B．或 C． D．【題型4】求弦長以及由弦長求直線方程利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關(guān)系，這也是求弦長最常用的方法．直線與圓交于A，B兩點，則的面積為（

）A． B． C． D．已知直線與圓相交于兩點，若，則（

）A． B．1 C． D．2【鞏固練習(xí)1】（河北石家莊·期末）圓被直線截得的弦長等于.【鞏固練習(xí)2】兩平行直線與直線分別與圓M:相交于點，和，，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)3】已知圓C：，直線l恒過點當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點，且時，求l的方程.【鞏固練習(xí)4】（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圓關(guān)于直線對稱，且過點．(1)求證：圓與直線相切；(2)若直線過點與圓交于兩點，且，求此時直線的方程．【題型5】圓與圓的位置關(guān)系，公切線及公共弦1、圓和圓的五種位置關(guān)系：相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，并結(jié)合圖像掌握它們的代數(shù)表示方式以及公切線條數(shù)2、若兩圓相交，則它們方程相減即為公共弦所在直線的方程圓C：與圓的位置關(guān)系不可能（

）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．相交 D．外切已知圓與圓有4條公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．圓與圓相交所得公共弦長為．（多選）已知圓和圓的交點為，則下列說法正確的是（

）A．兩圓的圓心距OB．直線的方程為C．圓上存在兩點和，使得D．圓上的點到直線的最大距離為【鞏固練習(xí)1】若圓：與圓：內(nèi)切，則（）A．29 B．9 C． D．19【鞏固練習(xí)2】設(shè)，若圓與圓有公共點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)3】（23-24高二上·山東日照·期末）若兩圓：與：外離，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)4】已知圓與圓交于A，B兩點，則（

）A． B．5 C． D．模塊二模塊二中檔題型【題型6】軌跡問題（阿氏圓，相關(guān)點法，定義法）求與圓有關(guān)軌跡方程的常用方法1．定義法當(dāng)題目條件符合圓的定義時，可直接利用定義確定其圓心和半徑，寫出圓的方程．2．直譯法直接將題目條件翻譯成代數(shù)方程，求解軌跡方程．3．直接法當(dāng)題目條件中含有與該點有關(guān)的等式時，可設(shè)出該點的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示等式，直接求解軌跡方程．4．幾何法利用圖形的幾何性質(zhì)，確定等量關(guān)系，設(shè)點、列式，求解軌跡方程．5．代入法(或相關(guān)點法)當(dāng)題目條件中已知某動點的軌跡方程，而要求的點與該動點有關(guān)時，常找出要求的點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式求軌跡方程動圓的圓心的軌跡方程是．已知圓：，若，點是圓上的動點，求線段中點的軌跡方程，并說明表示什么曲線．已知點、，過、作兩條互相垂直的直線和，則和的交點的軌跡方程為（化為標(biāo)準(zhǔn)形式）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點到兩個定點，的距離之比等于．（1）求點的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；（2）已知點為所求軌跡上任意一點，求的最大值．【鞏固練習(xí)1】已知線段的端點的坐標(biāo)是，端點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程為．【鞏固練習(xí)2】（24-25高三上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知曲線，設(shè)曲線上任意一點與定點連線的中點為，則動點的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【鞏固練習(xí)3】已知兩定點、的坐標(biāo)分別為：、，動點滿足．求動點的軌跡方程.【鞏固練習(xí)4】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圓C：，直線l：.(1)設(shè)l與圓C交于不同的兩點A，B，求弦AB的中點M的軌跡方程；(2)若定點分弦AB為，求此時直線l的方程.

【題型7】圓的4類?？甲钪祮栴}

求解與圓有關(guān)的最值問題，其通法是數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化化歸思想，與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化（23-24高三上·河南駐馬店·期末）若點是圓:上一點,則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8當(dāng)圓截直線所得的弦長最短時，實數(shù)（

）A． B． C． D．1（23-24高二上·江蘇無錫·期中）若圓被直線平分，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．設(shè)點，，直線，于點，則的最大值為.【鞏固練習(xí)1】若實數(shù)滿足，則的最大值是．【鞏固練習(xí)2】若點在圓上，則的最小值為.【鞏固練習(xí)3】已知直線與圓相交于A，B兩點，則|的最小值為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)4】已知點為圓上一點，記為點到直線的距離.當(dāng)變化時，的最大值為.【鞏固練習(xí)5】已知圓關(guān)于直線（a，b為大于0的數(shù)）對稱，則的最小值為，此時直線方程為．【鞏固練習(xí)6】已知直線：，：，，若和交于點，則的最大值是.【題型8】直線與半圓的交點個數(shù)問題一、半圓方程例：化簡曲線移項后兩邊平方得，通過方程看曲線是整圓，但要滿足的條件所以曲線其實是右半圓.

這就提醒我們,比如：“兩邊平方”、“分式化整”、“實際問題情境”等，要留意是否恒等變形.二、觀察交點個數(shù)觀察動直線是斜率為定值還是直線過定點.當(dāng)直線斜率為定值時，此直線在平移的過程中，利用圖形，抓關(guān)鍵點，什么時候是有一個和兩個公共點，相交相切位置要清楚，然后利用點到直線的距離與半徑的不等關(guān)系得出參數(shù)的范圍.當(dāng)直線恒過定點時，直線在旋轉(zhuǎn)，方法和平移類似，抓關(guān)鍵點和位置直線與曲線有兩個公共點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．若曲線與直線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是.【鞏固練習(xí)1】直線與半圓有兩個交點，則的值是．【鞏固練習(xí)2】若曲線與直線有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是.【鞏固練習(xí)3】若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是.【題型9】雙切線模型與切點弦方程1、切點弦方程（二級結(jié)論）：圓外一點向圓作切線，兩個切點A,B的連線方程為（類似的其余圓錐曲線都有此類方程）2、雙切線性質(zhì)：OP⊥l時候①切線長最??；②切點四邊形面積最小；③切點弦AB最短；④切線夾角最大；⑤AB平行l(wèi)3、切點弦的方程的常規(guī)求法：如圖，易知PAOB四點共圓，且PO為圓的直徑，而AB為兩圓的公共弦已知圓外一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為和，則直線的方程為.（23-24高二上·四川南充·階段練習(xí)）已知圓，點為軸上一個動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為.過點作圓的兩條切線，圓心坐標(biāo)為C，設(shè)切點分別為A，B，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．（高二上·湖北黃石·期末）已知點是直線上的一點，過點作圓的切線，切點分別為、，則直線恒過定點，四邊形面積的最小值.【鞏固練習(xí)1】若過點向圓C：作兩條切線，切點分別為A，B，求直線AB的方程【鞏固練習(xí)2】已知圓M：和點，過點P作圓M的切線，切點分別為A，B，則三角形PAB外接圓的方程為.【鞏固練習(xí)3】設(shè)點P為直線上任意一點，過點P作圓的切線，切點分別為A，B，則直線必過定點【鞏固練習(xí)4】已知圓，為直線上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為和，當(dāng)四邊形的面積最小時，則直線的方程為.【題型10】直線與圓的聯(lián)立：韋達定理計算解決直線與圓相交問題，韋達定理題型常用步驟：(1)得出直線方程，設(shè)交點為：(2)聯(lián)立直線與圓方程，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程；(3)寫出韋達定理：(4)將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；(5)代入韋達定理求解（23-24高二上·遼寧大連·期中）已知圓是圓上的兩點，點，且，則的值為（

）A． B．7 C． D．8（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知直線與圓，設(shè)O為坐標(biāo)原點，若直線l與圓C交于兩點，且直線的斜率分別為，，則=．（23-24高三下·遼寧·階段練習(xí)）已知直線與圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點，則，.【鞏固練習(xí)1】在平面直角坐標(biāo)系中，過點的直線與圓交于，兩點，其中點在第一象限，且，則直線的傾斜角為.【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上·湖北·期中）已知圓的半徑為2，圓心在軸正半軸上，直線與圓相切．(1)求圓的方程；(2)若過點的直線與圓交于不同的兩點，，且，為坐標(biāo)原點，求直線的方程．【鞏固練習(xí)3】（23-24高二上·陜西西安·階段練習(xí)）已知圓，過點的直線與交于點，，且.(1)求的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點，求.【題型11】直線與圓的綜合：定點，定值，定線模型一、定點問題1．證明直線過定點，一般情況下，通過題中條件，尋找直線中的函數(shù)關(guān)系，或者設(shè)參，求解出含參直線方程，再求解出含參直線所過的定點。2．證明定點，可以通過特殊化法先確定定點坐標(biāo)，再證明定點適合題意。二、定值問題探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)：②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，理清問題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值。三、定直線問題定直線問題往往是動點所在的定直線、動圓的定切線，含有多個參數(shù)，其幾何特征不明顯，解決時常常不知從何入手，此時，須緊扣等量關(guān)系恒成立，應(yīng)用待定系數(shù)法來處理。四、?？寄Ｐ停?）：模型（極點極線背景）形態(tài)1：如圖，已知圓O：，M，N為圓O與x軸左右交點，直線AB交圓O于A,B兩點直線AM與直線BN交于點P結(jié)論一：若點P在直線上運動，連接PM得到點A,連接PN得到點B，則直線AB過定點結(jié)論二：若直線過定點，則P點軌跡為

形態(tài)2：如圖，已知圓O：，直線AB交圓O于A,B兩點，交x軸于Q點，點K為圓外x軸上一點結(jié)論三：①點；②點；③(即x軸平分∠AKB)，以上3個條件知二得一形態(tài)3：如圖，已知圓O：，直線AB交圓O于A,B兩點，交x軸于點K，點Q為圓內(nèi)x軸上一點結(jié)論三：①點；②點；③(即∠1=∠2)，以上3個條件知二得一

五、?？寄Ｐ停?）：手電筒模型（平移齊次化）如圖，P，A,B為圓上三點（P點也可以在圓外）結(jié)論一：若直線AB過定點，則或為定值結(jié)論二：若或為定值則直線AB過定點（23-24高二上·天津南開·期中）點M是直線上的動點，O是坐標(biāo)原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（

）．A．和 B．和C．和 D．和（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知圓C的圓心坐標(biāo)為，且該圓經(jīng)過點.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線m交圓C于M，N兩點，若直線AM，AN的斜率之和為0，求證：直線m的斜率是定值，并求出該定值.如圖所示，已知圓與軸交于、兩點，過點的直線與圓交于、兩點，探究直線、交點是否在定直線上．若是，請求出該直線；若不是，請說明理由．（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）已知圓C與直線相切于點，且圓心C在x軸的正半軸上.(1)求圓C的方程；(2)過點作直線交圓C于M，N兩點，且M，N兩點均不在x軸上，點，直線BN和直線OM交于點G.證明：點G在一條定直線上，并求此直線的方程.（2024高二·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓和直線（其中和均為常數(shù)，且），為l上一動點，為圓與軸的兩個交點，直線與圓的另一個交點分別為.(1)若，M點的坐標(biāo)為,求直線方程；(2)求證：直線過定點，并求定點的坐標(biāo)．（23-24高二上·山東淄博·期中）已知動點與兩個定點的距離的比為.(1)求動點的軌跡；(2)過點作直線，交曲線于兩點，不在軸上．①過點作與直線垂直的直線，交曲線于兩點，記四邊形的面積為，求的取值范圍：②已知，設(shè)直線相交于點，試討論點是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．

【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上·山東·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的方程：，點B，C是圓上關(guān)于軸對稱的兩點，點P是圓上任意一點，直線PB與軸交于點M，直線PC與軸交于點N，則的值為（

）A．4 B．2 C．6 D．3【鞏固練習(xí)2】已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．(1)求圓C的方程．(2)過點M（1，0）的直