重難點(diǎn)02有理數(shù)與數(shù)軸的復(fù)雜應(yīng)用題1.通過數(shù)軸可以更直觀地理解一些重要的概念，如正數(shù)和負(fù)數(shù)、相反數(shù)、絕對值等；2.利用數(shù)軸可以比較有理數(shù)的大?。?.數(shù)軸使得數(shù)和點(diǎn)能夠相互轉(zhuǎn)化，因此，數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的“橋梁”，是第一個(gè)數(shù)形結(jié)合體，是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要工具．一.數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系：任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理教，還可以表示其他數(shù)，比如.要點(diǎn)詮釋：（1）一般地，數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示正數(shù)，左邊的點(diǎn)表示負(fù)數(shù)；反過來也對，即正數(shù)用數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)數(shù)用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，零用原點(diǎn)表示.（2）在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.二．?dāng)?shù)軸與相反數(shù)（1）互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩旁，且與原點(diǎn)的距離相等（這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱）.（2）互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0.三．?dāng)?shù)軸與絕對值1.定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|.要點(diǎn)詮釋：（1）絕對值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．即對于任何有理數(shù)a都有：（2）絕對值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，離原點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，絕對值越大；離原點(diǎn)的距離越近，絕對值越小．（3）一個(gè)有理數(shù)是由符號和絕對值兩個(gè)方面來確定的．一．選擇題（共2小題）1．（2022秋?鐘樓區(qū)校級月考）如圖，M、N、P、R分別是數(shù)軸上四個(gè)整數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)，其中有一點(diǎn)是原點(diǎn)，數(shù)b對應(yīng)的點(diǎn)在P與R之間，若|a|+|b|＝3，則原點(diǎn)可能是（）A．N或P B．M或R C．M或N D．P或R【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b之間的距離小于3，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵M(jìn)N＝NP＝PR＝1，∴a、b之間的距離小于3，∵|a|+|b|＝3，∴原點(diǎn)不在a、b之間，∴原點(diǎn)是M或R．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸，準(zhǔn)確識圖，判斷出a、b之間的距離小于3是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?鐘樓區(qū)校級月考）如圖，圓的周長為4個(gè)單位長度．在該圓的4等分點(diǎn)處分別標(biāo)上0、1、2、3，先讓圓周上表示數(shù)字0的點(diǎn)與數(shù)軸上表示﹣1的點(diǎn)重合，再將數(shù)軸按逆時(shí)針方向環(huán)繞在該圓上，則數(shù)軸上表示﹣2014的點(diǎn)與圓周上重合點(diǎn)的數(shù)字是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】首先找出圓圈與數(shù)軸重合數(shù)字的規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律計(jì)算即可解決問題．【解答】解：∵﹣1﹣（﹣2014）＝2013，2013÷4＝503…1，∴數(shù)軸上表示數(shù)﹣2014的點(diǎn)與圓周上的數(shù)字3重合．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸的知識點(diǎn)．找出圓運(yùn)動的周期與數(shù)軸上的數(shù)字的對應(yīng)關(guān)系是解答此類題目的關(guān)鍵．二．解答題（共15小題）3．（2022秋?邗江區(qū)月考）已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面．（1）若1表示的點(diǎn)與﹣1表示的點(diǎn)重合，則﹣6表示的點(diǎn)與6表示的點(diǎn)重合；（2）若﹣1表示的點(diǎn)與5表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：①數(shù)字7表示的點(diǎn)與﹣3表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為78（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，求A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是多少？【分析】（1）由題意可知數(shù)軸是關(guān)于原點(diǎn)折疊的，再求解即可；（2）①由題意可知數(shù)軸是關(guān)于2的點(diǎn)折疊的，再求解即可；②設(shè)A點(diǎn)表示的數(shù)為x，則B點(diǎn)表示的數(shù)為x+78，利用中點(diǎn)公式，可得方程＝2，求出x即可求解．【解答】解：（1）∵1表示的點(diǎn)與﹣1表示的點(diǎn)重合，∴數(shù)軸是關(guān)于原點(diǎn)折疊的，∴﹣6與6表示的點(diǎn)重合，故答案為：6；（2）①∵5表示的點(diǎn)與﹣1表示的點(diǎn)重合，∴數(shù)軸是關(guān)于2的點(diǎn)折疊的，∴數(shù)7表示的點(diǎn)與數(shù)﹣3表示的點(diǎn)重合；故答案為：﹣3；②設(shè)A點(diǎn)表示的數(shù)為x，則B點(diǎn)表示的數(shù)為x+78，∵A，B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，∴＝2，解得x＝﹣37，∴A點(diǎn)表示的數(shù)是﹣37，B點(diǎn)表示的數(shù)是41．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征，利用中點(diǎn)公式解決數(shù)軸折疊問題是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?興化市期末）“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．如圖，線段AB、CD都在數(shù)軸上，且AB＝2（單位長度），CD＝4（單位長度），點(diǎn)B從M出發(fā)沿射線MN方向，以6個(gè)單位長度/秒的速度運(yùn)動；同時(shí)，點(diǎn)C從N出發(fā)沿射線NM方向，以2個(gè)單位長度/秒的速度運(yùn)動，在點(diǎn)B、C運(yùn)動的過程中，線段AB、CD隨之運(yùn)動．已知點(diǎn)M在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣8，點(diǎn)N在數(shù)軸上表示的數(shù)是16．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)B、C分別與點(diǎn)M、N重合時(shí)，則點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣10，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)是20．（2）運(yùn)動t秒后．①點(diǎn)A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為﹣10+6t，點(diǎn)D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為20﹣2t（用含t的代數(shù)式表示）．②當(dāng)運(yùn)動到BC＝8（單位長度）時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)．（3）若點(diǎn)P是線段AB上的任意一點(diǎn)，在整個(gè)運(yùn)動過程中，是否存在PA+PC+PB+PD的值為定值？若存在，求出該定值以及定值所持續(xù)的時(shí)間；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)題意可得點(diǎn)B表示的數(shù)為﹣8，點(diǎn)C表示的數(shù)為16，再結(jié)合AB、CD的距離即可求解；（2）①由題意可得點(diǎn)A運(yùn)動的速度等于點(diǎn)B運(yùn)動的速度，點(diǎn)D運(yùn)動的速度等于點(diǎn)C運(yùn)動的速度，以此即可解答；②根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式列出方程，求解即可；（3）當(dāng)線段AB的端點(diǎn)均在線段CD上時(shí)，存在定值，此時(shí)PA+PC+PB+PD＝AB+CD＝2+4＝6，設(shè)持續(xù)時(shí)間為a秒，則6a+2+2a＝4，求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)B、C分別與點(diǎn)M、N重合時(shí)，∴點(diǎn)B表示的數(shù)為﹣8，點(diǎn)C表示的數(shù)為16，∵AB＝2（單位長度），CD＝4（單位長度），∴點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣10，點(diǎn)D表示的數(shù)為20；故答案為：﹣10，20；（2）①∵點(diǎn)B、C運(yùn)動的過程中，線段AB、CD隨之運(yùn)動，∴點(diǎn)A運(yùn)動的速度等于點(diǎn)B運(yùn)動的速度，點(diǎn)D運(yùn)動的速度等于點(diǎn)C運(yùn)動的速度，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣10+6t，點(diǎn)D表示的數(shù)為20﹣2t；故答案為：﹣10+6t，20﹣2t；②運(yùn)動t秒后，點(diǎn)B表示的數(shù)為﹣8+6t，點(diǎn)C表示的數(shù)為16﹣2t，∵BC＝8（單位長度），∴|16﹣2t﹣（﹣8+6t）|＝8，解得：t＝2或4，當(dāng)t＝2時(shí)，﹣8+6t＝4，當(dāng)t＝4時(shí)，﹣8+6t＝16，∴當(dāng)運(yùn)動到BC＝8（單位長度）時(shí)，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為4或16；③存在，定值為2+4＝6，當(dāng)線段AB的端點(diǎn)均在線段CD上時(shí)，存在定值，此時(shí)PA+PC+PB+PD＝AB+CD＝2+4＝6，設(shè)持續(xù)時(shí)間為a秒，則6a+2+2a＝4，解得：，∴存在PA+PB+PC+PD的值為定值6，定值持續(xù)的時(shí)間為秒．【點(diǎn)評】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用、兩點(diǎn)間的距離、列代數(shù)式等知識點(diǎn)，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合思想答題時(shí)解題關(guān)鍵．5．（2022秋?邗江區(qū)期中）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，則在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣2|的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間的距離．借助于數(shù)軸回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是3；數(shù)軸上表示﹣3和2兩點(diǎn)之間的距離是5；（2）數(shù)軸上表示數(shù)x與﹣2兩點(diǎn)之間的距離可以表示為|x+2|，若距離是3，那么x＝1或﹣5；（3）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣4與2之間，則|a+4|+|a﹣2|＝6；（4）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為﹣2、4，若點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)以每秒5個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)N從B點(diǎn)向右出發(fā)以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸勻速運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動時(shí)間為t秒，經(jīng)過多少秒后，M、N兩點(diǎn)間的距離為12個(gè)單位長度．【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離的求法直接寫出即可；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間距離的求法直接寫出，再由|x+2|＝3，求出x的值即可；（3）根據(jù)絕對值的幾何意義即可求解；（4）點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為﹣2+5t，N點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是4+4t，由題意可得|t﹣6|＝12，求出t的值即可．【解答】解：（1）∵4﹣1＝3，∴數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是3；∵|﹣3﹣2|＝5，∴數(shù)軸上表示﹣3和2兩點(diǎn)之間的距離是5；故答案為：3；5；（2）∵|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，∴數(shù)軸上表示數(shù)x與﹣2兩點(diǎn)之間的距離可以表示為|x+2|；∵|x+2|＝3，∴x+2＝3或x+2＝﹣3，解得x＝1或x＝﹣5，∴x的值為1或﹣5；故答案為：|x+2|；1或﹣5；（3）∵表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣4與2之間，∴|a+4|+|a﹣2|＝|﹣4﹣2|＝6，故答案為：6；（4）點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為﹣2+5t，N點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是4+4t，∴MN＝|﹣2+5t﹣4﹣4t|＝|t﹣6|，∵M(jìn)N＝12，∴|t﹣6|＝12，解得t＝18．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征，絕對值的幾何意義，數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的求法是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?如東縣期中）數(shù)軸是一種特定的幾何圖形，利用數(shù)軸能形象地表示數(shù)，在數(shù)軸的問題中，我們常常用到數(shù)形結(jié)合的思想，并借助方程解決問題．如圖1，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)﹣8，點(diǎn)C表示的數(shù)為2，點(diǎn)B表示的數(shù)為6．（1）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動，經(jīng)過多久兩點(diǎn)相遇？（2）如圖2，我們將圖1的數(shù)軸沿點(diǎn)O和點(diǎn)C各折一次后會得到一個(gè)新的圖形，與原來相比，線段AO和CB仍然水平，線段OC處產(chǎn)生了一個(gè)坡度，我們稱這樣的數(shù)軸為“坡數(shù)軸”，其中O為“坡數(shù)軸”原點(diǎn)，在“坡數(shù)軸”上，每個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)就是把“坡數(shù)軸”拉直后對應(yīng)的數(shù)．記“坡數(shù)軸”上A到B的距離為A和B拉直后距離：即＝AO+OC+CB，其中AO、OC、CB代表線段長度．在“坡數(shù)軸”上，上坡時(shí)點(diǎn)的移動速度變?yōu)樗铰肪€上移動速度的一半，下坡時(shí)移動速度變?yōu)樗铰肪€上移動速度的2倍．①點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿著“坡數(shù)軸”向右運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著“坡數(shù)軸”向左運(yùn)動，經(jīng)過多久，＝3？②點(diǎn)P從A處沿“坡數(shù)軸”以每秒2個(gè)單位長度的速度向右移動，當(dāng)移到點(diǎn)C時(shí)，立即掉頭返回（掉頭時(shí)間不計(jì)），在P出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)Q從B處沿“坡數(shù)軸”以每秒1個(gè)單位長度的速度向左移動，當(dāng)P重新回到A點(diǎn)所有運(yùn)動結(jié)束，設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為t秒，在移動過程中，何時(shí)＝3？直接寫出t的值．【分析】（1）設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t，利用路程＝速度×?xí)r間，再根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇，列關(guān)于t的一元一次方程，解方程即可；（2）①分點(diǎn)P在AO上，點(diǎn)Q在BC上和點(diǎn)P在OC上，點(diǎn)Q在AO上兩種情況，結(jié)合題意列出方程即可求解；②分別求出點(diǎn)Q的運(yùn)動時(shí)間，結(jié)合點(diǎn)P，點(diǎn)Q的不同位置，根據(jù)＝3列出方程求解即可．【解答】解：（1）設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇，∵點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動，∴2t+t＝14，解得：t＝，∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q經(jīng)過秒相遇；（2）①（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在AO上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)Q運(yùn)動的時(shí)間為t秒時(shí)，＝3，∵＝AO﹣AP+BC﹣BQ，8﹣2t+6﹣t＝3，解得：t＝；（Ⅱ）∵點(diǎn)P在OC上運(yùn)動速度為1個(gè)單位/秒，點(diǎn)Q在OC上運(yùn)動速度為2個(gè)單位/秒，結(jié)合（1），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到OC中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)O，此時(shí)，＝1，∵＝8，＝2，點(diǎn)P在AO上運(yùn)動速度為2個(gè)單位/秒，在OC上運(yùn)動速度為1個(gè)單位/秒，∴點(diǎn)P運(yùn)動到OC中點(diǎn)所需時(shí)間為：+1＝5秒，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動到OC中點(diǎn)后，繼續(xù)運(yùn)動使得＝3的時(shí)間為t′秒，∵點(diǎn)Q在AO上運(yùn)動速度為1個(gè)單位/秒，∵＝OQ+OP＝t′+1+t′＝3，∴t′＝1，∴經(jīng)過5+1＝6秒后，＝3，綜上，經(jīng)過秒或6秒，＝3；②（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在AO上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，＝PO+OC+CQ＝（8﹣2t）+2+（4﹣t）＝14﹣3t，＝8﹣2t，∵＝3，∴14﹣3t＝3（8﹣2t），∴t＝；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在OC上，設(shè)點(diǎn)P過AO，點(diǎn)Q過BC的4秒后，時(shí)間為t′秒，1）當(dāng)OP+QC＝OC，即t′+2t′＝2，即t′＝時(shí)，P，Q相遇，＝OC﹣OP﹣QC＝2﹣t′﹣2t′，＝t′，∵＝3，∴2﹣t′﹣2t′＝3t′，解得：t′＝，∴t＝4+＝；2）當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)P恰好到達(dá)OC中點(diǎn)，并繼續(xù)向上運(yùn)動2﹣1＝1秒，＝OP+OQ＝t′+（t′﹣1），＝t′，∵＝3，∴t′+（t′﹣1）＝3t′，t＝﹣1（舍去）；3）當(dāng)Q在OA上，P在OC向下運(yùn)動時(shí)，＝OP+OQ＝（t′﹣1）+[2﹣2×2（t′﹣2）]，＝2﹣2×2（t′﹣2），∵＝3，∴（t′﹣1）+[2﹣2×2（t′﹣2）]＝3×[2﹣2×2（t′﹣2）]，解得：t′＝，∴t＝4+＝；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)P重新運(yùn)動至OA上，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動至O點(diǎn)后的運(yùn)動時(shí)間為t″秒，在t″秒之間，點(diǎn)P，點(diǎn)Q已經(jīng)運(yùn)動4+2+＝秒，此時(shí)，點(diǎn)Q在OA上運(yùn)動﹣4﹣1＝秒，即OQ＝×1＝，1）＝OQ﹣OP＝（+t″）﹣2t″，＝2t″，∵＝3，∴（+t″）﹣2t″＝3×2t″，解得：t″＝，∴t＝+＝；2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)，超過點(diǎn)Q后，＝OP﹣OQ＝2t″﹣（+t″），＝2t″，∵＝3，∴2t″﹣（+t″）＝3×2t″，解得：t″＝﹣（舍），綜上，當(dāng)t＝或或或秒時(shí)，＝3．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系，一元一次方程在數(shù)軸上的運(yùn)用，路程，時(shí)間，速度三者的關(guān)系等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程的應(yīng)用，分類計(jì)算時(shí)不重不漏．7．（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）【閱讀】|4﹣1|表示4與1差的絕對值，也可以理解為4與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離：|4+1|可以看作|4﹣（﹣1）|，表示4與﹣1的差的絕對值，也可以理解為4與﹣1兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離．（1）|4﹣（﹣1）|＝5；（2）利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x+3|＝4，則x＝1或﹣7；（3）利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，這樣的整數(shù)是：﹣3，﹣2，﹣1，0，1．【分析】（1）由絕對值的概念，即可計(jì)算；（2）由|x+3|＝4，得x+3＝4或x+3＝﹣4，即可求x的值；（3）在數(shù)軸上，由兩點(diǎn)的距離公式，即可求解．【解答】解：（1）|4﹣（﹣1）|＝5，故答案為：5．（2）∵|x+3|＝4，∴x＝1或﹣7．故答案為：1或﹣7．（3）∵|x+3|+|x﹣1|＝4，∴|x﹣（﹣3）|+|x﹣1|＝4，∴﹣3≤x≤1，∴x取整數(shù)為：﹣3，﹣2，﹣1，0，1．故答案為：﹣3，﹣2，﹣1，0，1．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式，關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式：m，n兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為|m﹣n|．8．（2022秋?港閘區(qū)校級月考）數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．通過研究數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律，比如：數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B表示的數(shù)為a，b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|，若a＞b，則可化簡為AB＝a﹣b．若點(diǎn)P為數(shù)軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)記為a，請你利用數(shù)軸解決以下問題：（1）若點(diǎn)P與表示有理數(shù)﹣2的點(diǎn)的距離是3個(gè)單位長度，則a的值為﹣5或1；（2）若數(shù)軸上點(diǎn)P位于表示﹣5的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間，則|a﹣2|+|a+5|＝7；（3）若數(shù)軸上比a小2的數(shù)用b表示，比a大5的數(shù)用c表示，則|b﹣2|+|c+5|的最小值為14；（4）若a1＝a，a2＝a，a3＝a，…，a9＝a．則式子|a1﹣1|+2|a2+2|+3|a3﹣3|+…+9|a9﹣9|的最小值為284．【分析】（1）由題意可得|a﹣（﹣2）|＝3，再解方程即可；（2）由題意可知|a﹣2|+|a+5|表示點(diǎn)P到2和﹣5的距離和，求出2和﹣5的距離即可求解；（3）由題意可得b＝a﹣2，c＝a+5，則|b﹣2|+|c+5|＝|a﹣4|+|a+10|，再由（2）可求最小值；（4）所以式子可化簡為|a﹣1|+|a+4|+|a﹣9|+…+|a﹣81|，當(dāng)a＝1時(shí)，式子有最小值．【解答】解：（1）∵點(diǎn)P與表示有理數(shù)﹣2的點(diǎn)的距離是3個(gè)單位長度，∴|a﹣（﹣2）|＝3，∴a+2＝3或a+2＝﹣3，解得a＝1或a＝﹣5，故答案為：1或﹣5；（2）∵點(diǎn)P位于表示﹣5的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間，∴|a﹣2|+|a+5|表示點(diǎn)P到2和﹣5的距離和，∵|﹣5﹣2|＝7，∴|a﹣2|+|a+5|＝7，故答案為：7；（3）∵數(shù)軸上比a小2的數(shù)用b表示，∴b＝a﹣2，∵比a大5的數(shù)用c表示，∴c＝a+5，∴|b﹣2|+|c+5|＝|a﹣4|+|a+10|，∵|a﹣4|+|a+10|表示數(shù)軸上點(diǎn)a到﹣10與4的距離之和，當(dāng)﹣10≤a≤4時(shí)，|a﹣4|+|a+10|有最小值14，故答案為：14；（4）∵a1＝a，a2＝a，a3＝a，…，a9＝a，∴|a1﹣1|+2|a2+2|+3|a3﹣3|+…+9|a9﹣9|＝|a﹣1|+2|a+2|+3|a﹣3|+…+9|a﹣9|＝|a﹣1|+|a+4|+|a﹣9|+…+|a﹣81|，根據(jù)絕對值的幾何意義，相當(dāng)于找一點(diǎn)a，使得這個(gè)點(diǎn)到，1，﹣4，9，，﹣16，……81距離和最小，只能取a＝1，當(dāng)a＝1時(shí)，|a﹣1|+|a+4|+|a﹣9|+…+|a﹣81|有最小值284，故答案為：284．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征，兩點(diǎn)間距離的求法，絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?洪澤區(qū)校級月考）如圖所示的數(shù)軸中，點(diǎn)A表示1，點(diǎn)B表示﹣2，試回答下列問題：（1）A、B兩點(diǎn)之間的距離是3；（2）觀察數(shù)軸，與點(diǎn)A的距離為5的點(diǎn)表示的數(shù)是6或﹣4；（3）若將數(shù)軸折疊，使點(diǎn)A與表示﹣3的點(diǎn)重合，則點(diǎn)B與表示數(shù)0的點(diǎn)重合；（4）若數(shù)軸上M，N兩點(diǎn)之間的距離為2022（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且M，N兩點(diǎn)經(jīng)過（3）中折疊后互相重合，則M、N兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是﹣1012和1010．【分析】（1）由數(shù)軸直接求出AB的距離即可；（2）與A點(diǎn)距離是5的點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)在A點(diǎn)左側(cè)，一個(gè)在A點(diǎn)右側(cè)，由此求解即可；（3）由題意可得數(shù)軸是沿著﹣1折疊的，則點(diǎn)B與表示數(shù)0的點(diǎn)重合；（4）設(shè)M點(diǎn)表示的數(shù)是x，則N點(diǎn)表示的數(shù)是x+2022，利用中點(diǎn)公式可得＝﹣1，求出x即可求解．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A表示1，點(diǎn)B表示﹣2，∴|1﹣（﹣2）|＝3，∴A、B兩點(diǎn)之間的距離是3，故答案為：3；（2）∵點(diǎn)A表示1，∴1+5＝6或1﹣5＝﹣4，∴與點(diǎn)A的距離為5的點(diǎn)表示的數(shù)是6或﹣4，故答案為：6或﹣4；（3）∵1與﹣3折疊后重合，∴數(shù)軸是沿著表示﹣1的點(diǎn)折疊的，∴點(diǎn)B與表示數(shù)0的點(diǎn)重合，故答案為：0；（4）設(shè)M點(diǎn)表示的數(shù)是x，則N點(diǎn)表示的數(shù)是x+2022，∴＝﹣1，解得x＝﹣1012，∴M點(diǎn)表示的數(shù)是﹣1012，則N點(diǎn)表示的數(shù)是1010，故答案為：﹣1012，1010．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征，利用中點(diǎn)公式解決數(shù)軸折疊問題是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?丹徒區(qū)期中）數(shù)軸上，點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為a，b，請利用刻度尺或圓規(guī)畫圖．（1）如圖1，若a+b＝0，請?jiān)跀?shù)軸上畫出原點(diǎn)O；（2）如圖2，若a＝2b，請?jiān)跀?shù)軸上畫出原點(diǎn)O；（3）如圖3，若a﹣b＝2，在數(shù)軸上畫出表示數(shù)a+b的點(diǎn)C；（4）如圖4，若a+b＝3，在數(shù)軸上畫出表示數(shù)a﹣b的點(diǎn)D．【分析】（1）原點(diǎn)在AB的中點(diǎn)處；（2）B是OA的中點(diǎn)；（3）以A為圓心，OB為半徑作圓與數(shù)軸交于點(diǎn)C，再以C為圓心，OA為半徑作圓，與數(shù)軸的交點(diǎn)即為a+b；（4）A點(diǎn)是3與a﹣b的中點(diǎn)，以A為圓心，a﹣3為半徑作圓，圓與數(shù)軸的交點(diǎn)為a﹣b．【解答】解：（1）如圖1：∵a+b＝0，∴A、B點(diǎn)互為相反數(shù)，∴原點(diǎn)O在AB的中點(diǎn)處；（2）如圖2：∵a＝2b，∴B點(diǎn)是OA的中點(diǎn)，∴以B點(diǎn)為圓心AB為半徑作圓，圓與數(shù)軸的交點(diǎn)為O點(diǎn)；（3）如圖3：∵a﹣b＝2，∴a＝b+2，∴a+b＝OA+BO，∴以A為圓心，OB為半徑作圓與數(shù)軸交于點(diǎn)C，再以C為圓心，OA為半徑作圓，與數(shù)軸的交點(diǎn)即為a+b；（4）如圖4：∵a+b＝3，∴a﹣3＝﹣b，∴a﹣b＝a+（﹣b）＝a+（a﹣3），∴（a﹣b）﹣a＝a﹣3，∴A點(diǎn)是3與a﹣b的中點(diǎn)，∴以A為圓心，a﹣3為半徑作圓，圓與數(shù)軸的交點(diǎn)為a﹣b．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征，會用尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?宜興市期中）已知數(shù)軸上三點(diǎn)A，B，C表示的數(shù)分別為﹣12，﹣5，5，P，Q兩點(diǎn)分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，點(diǎn)P的速度為4個(gè)單位/秒，點(diǎn)Q的速度為6個(gè)單位/秒．（1）點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離為17；（2）P，Q在數(shù)軸上的相遇位置對應(yīng)的數(shù)是﹣5.2；（3）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)間為t（s），當(dāng)點(diǎn)B到點(diǎn)Q的距離是點(diǎn)B到點(diǎn)P距離的2倍時(shí)，求t的值；（4）當(dāng)點(diǎn)P到A、B、C三點(diǎn)的距離之和為20個(gè)單位長度時(shí)，點(diǎn)P立即調(diào)頭返回．速度不變．當(dāng)P，Q兩點(diǎn)在數(shù)軸上相遇時(shí)，相遇位置對應(yīng)的數(shù)是﹣22．【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式解答；（2）根據(jù)路程和等于相距路程列出方程可得方程，解方程可得答案；（3）分別用含t的代數(shù)式表示出QB和PB，再列方程解答即可；（4）設(shè)P運(yùn)動m秒到A，B，C距離和為20，繼續(xù)運(yùn)動n秒后P，Q相遇，根據(jù)題意分情況解答即可．【解答】解：（1）A，B兩點(diǎn)之間的距離為：5﹣（﹣12）＝17．故答案是：17；（2）設(shè)運(yùn)動時(shí)間為x秒，由題意得，4x+6x＝5﹣（﹣12），解得x＝1.7，﹣12+4×1.7＝﹣5.2，答：P，Q在數(shù)軸上表示﹣5.2的點(diǎn)處相遇；故答案為：﹣5.2；（3）由題意得，t秒時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)是﹣12+4t，點(diǎn)Q表示的數(shù)是5﹣6t，∴QB＝|（5﹣6t）﹣（﹣5）|＝|10﹣6t|，BP＝|（﹣12+4t）﹣（﹣5）|＝|4t﹣7|，解得或t＝2．答：當(dāng)QB＝2BP時(shí)，t的值是或2；（4）設(shè)P運(yùn)動m秒到A，B，C距離和為20，繼續(xù)運(yùn)動n秒后P，Q相遇，當(dāng)P在AB之間時(shí)，由題意得7+17﹣4m＝20，解得m＝1，由5﹣6（n+1）＝﹣8﹣4n，可得n＝3.5，∴﹣8﹣4×3.5＝﹣22，當(dāng)P在BC之間時(shí)，由題意得17+4m﹣7＝20，解得m＝2.5，由5﹣6（n+2.5）＝﹣2﹣4n可得n＝﹣4，此時(shí)P，Q不能相遇．綜上，點(diǎn)P，Q能在數(shù)軸上相遇，相遇點(diǎn)是﹣22．【點(diǎn)評】本題考查一元一次方程是實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握行程問題中的等量關(guān)系并列出方程是解題關(guān)鍵．12．（2022秋?江陰市校級月考）已知數(shù)軸上順次有A、B、C三點(diǎn)，分別表示數(shù)a、b、c，并且滿足|b|＝|c|＝5，b＜c，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊且與點(diǎn)B距離8個(gè)單位長度．一只電子小蝸牛從A點(diǎn)向正方向移動，速度為3個(gè)單位/秒．（1）請求出A、B、C三點(diǎn)分別表示的數(shù)；（2）運(yùn)動多少秒時(shí)，小蝸牛到點(diǎn)B的距離為2個(gè)單位長度？（3）設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上點(diǎn)A的右邊，且點(diǎn)P分別到點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的距離之和是20，那么點(diǎn)P所表示的數(shù)是多少？【分析】（1）根據(jù)|b|＝|c|＝5，b＜c，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊且與點(diǎn)B距離8個(gè)單位長度，可以求得a、b、c的值，從而可以得到A、B、C三點(diǎn)分別表示的數(shù)；（2）根據(jù)題意可知，分兩種情況，一種到達(dá)點(diǎn)B之前相距2個(gè)單位長度，一種是到達(dá)點(diǎn)B之后相距2個(gè)單位長度，然后分別列出相應(yīng)的方程求解即可；（3）根據(jù)題意，可以先求出AC和BC的距離，然后判斷出點(diǎn)P所在的位置，再根據(jù)點(diǎn)P分別到點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的距離之和是20，即可列出相應(yīng)的方程，然后求解即可．【解答】解：（1）∵|b|＝|c|＝5，b＜c，∴b＝﹣5，c＝5，又∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊且與點(diǎn)B距離8個(gè)單位長度，∴a＝﹣5﹣8＝﹣13，即A、B、C三點(diǎn)分別表示的數(shù)為﹣13，﹣5，5；（2）當(dāng)小蝸牛運(yùn)動到點(diǎn)B前，與點(diǎn)B相距2個(gè)單位長度時(shí)，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為x秒，∵AB的距離為|﹣13﹣（﹣5）|＝8，∴3x+2＝8，解得：x＝2；當(dāng)小蝸牛運(yùn)動到點(diǎn)B后，與點(diǎn)B相距2個(gè)單位長度時(shí)，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為y秒，依題意得：3y＝8+2，解得：，綜上所述：經(jīng)過2秒或秒時(shí)，小蝸牛到點(diǎn)B的距離為2個(gè)單位長度；（3）設(shè)點(diǎn)P表示數(shù)為z，∵AC的距離是|﹣13﹣5|＝18，BC的距離為|5﹣（﹣5）|＝10，∴點(diǎn)P只能在AC之間，不可能在點(diǎn)C的右邊，又∵|PA|+|PB|+|PC|＝20，|PA|+|PC|＝|AB|+|BC|＝18，∴|PB|＝2，∴|z﹣（﹣5）|＝2，解得：z＝﹣7或z＝﹣3，即點(diǎn)P所表示的數(shù)是﹣7或﹣3．【點(diǎn)評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)求出a、b、c的值，找出題目中的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程．13．（2022秋?廣陵區(qū)校級月考）已知，a，b滿足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0，分別對應(yīng)著數(shù)軸上的A，B兩點(diǎn)．（1）a＝4，b＝16，并在數(shù)軸上畫出A，B兩點(diǎn)；（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度向數(shù)軸正半軸運(yùn)動，求運(yùn)動時(shí)間為多少時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)B距離的2倍；（3）數(shù)軸上還有一點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)為30，若點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A和點(diǎn)B出發(fā)，分別以每秒3個(gè)單位長度和每秒1個(gè)單位長度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動，P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后，再立刻以同樣的速度返回，運(yùn)動到終點(diǎn)A，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動．求點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動多少秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)之間的距離為4，并求此時(shí)點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，即可解決問題．（2）設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，根據(jù)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)B距離的2倍，分點(diǎn)P在點(diǎn)B的左、右兩側(cè)構(gòu)建方程即可解決問題．（3）設(shè)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動y秒，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C之前，點(diǎn)P表示的數(shù)為3y+4，點(diǎn)Q表示的數(shù)為y+16，可得方程|3y+4﹣（y+16）|＝|2y﹣12|＝4，求出y的值，即可得此時(shí)點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C后向終點(diǎn)A返回的過程中，點(diǎn)P表示的數(shù)為56﹣3y，點(diǎn)Q表示的數(shù)為y+16，可得方程|56﹣3y﹣（y+16）|＝|40﹣4y|＝4，求出y的值，即可得此時(shí)點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)．【解答】解：（1）∵a，b滿足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0，∴4a﹣b＝0，a﹣4＝0，∴a＝4，b＝16．故答案為：4；16．點(diǎn)A，B的位置如圖所示．（2）設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，則AP＝3t，點(diǎn)P表示數(shù)為4+3t，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，PB＝16﹣（4+3t）＝12﹣3t，∴3t＝2（12﹣3t），解得t＝；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，PB＝4+3t﹣16＝3t﹣12，∴3t＝2（3t﹣12），解得t＝8．∴運(yùn)動時(shí)間為秒或8秒時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離的2倍．（3）設(shè)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動y秒，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C之前，點(diǎn)P表示的數(shù)為3y+4，點(diǎn)Q表示的數(shù)為y+16，∴PQ＝|3y+4﹣（y+16）|＝|2y﹣12|＝4，解得y＝4或8，此時(shí)點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)為20或24；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C后向終點(diǎn)A返回的過程中，點(diǎn)P表示的數(shù)為56﹣3y，點(diǎn)Q表示的數(shù)為y+16，∴PQ＝|56﹣3y﹣（y+16）|＝|40﹣4y|＝4，解得y＝9或11，此時(shí)點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)為25或27．綜上所述，點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動4，8，9或11秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)之間的距離為4，此時(shí)點(diǎn)Q表示的數(shù)對應(yīng)為20，24，25或27．【點(diǎn)評】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、數(shù)軸上的動點(diǎn)問題、一元一次方程的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．14．（2022秋?江都區(qū)月考）已知：點(diǎn)A、B、P為數(shù)軸上三點(diǎn)，我們約定：點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離的k倍，則稱P是[A，B]的“k倍點(diǎn)”，記作：P[A，B]＝k．例如：若點(diǎn)P表示0，點(diǎn)A表示﹣2，點(diǎn)B表示1，則P是[A，B]的“2倍點(diǎn)”，記作：P[A，B]＝2．（1）如圖，A、B、P、Q、M、N為數(shù)軸上各點(diǎn)，如圖圖示，回答下面問題：①P[A，B]＝3②M[N，A]＝6；③若C[Q，B]＝1，則C表示的數(shù)為2．（2）若點(diǎn)A表示﹣1，點(diǎn)B表示5，點(diǎn)C是數(shù)軸上一點(diǎn)，且C[A，B]＝3，則點(diǎn)C所表示數(shù)為3.5或8．（3）數(shù)軸上，若點(diǎn)M表示﹣10，點(diǎn)N表示50，點(diǎn)K在點(diǎn)M和點(diǎn)N之間，且K[M，N]＝5．從某時(shí)刻開始，點(diǎn)M出發(fā)向右做勻速運(yùn)動，且M的速度為5單位/秒，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（t＞0），當(dāng)t為何值時(shí)，M[N，K]＝3．【分析】（1）分別根據(jù)新定義可解答；（2）根據(jù)新定義分兩種情況：C在AB上或C在AB的延長線上，可得結(jié)論；（3）先根據(jù)題意確定點(diǎn)K表示的數(shù)為40，根據(jù)點(diǎn)M運(yùn)動的速度可得M運(yùn)動t秒表示的數(shù)為﹣10+5t，分點(diǎn)M在K的左邊和右邊，根據(jù)新定義列方程可解答．【解答】解：（1）∵點(diǎn)P表示3，點(diǎn)A表示﹣3，點(diǎn)B表示5，∴PA＝3﹣（﹣3）＝6，PB＝5﹣3＝2，則P是[A，B]的“3倍點(diǎn)”，記作：P[A，B]＝3；故答案為：3；②∵點(diǎn)M表示﹣5，點(diǎn)N表示7，點(diǎn)A表示﹣3，∴MN＝7﹣（﹣5）＝12，MA＝﹣3﹣（﹣5）＝2，則M是[N，A]的“6倍點(diǎn)”，記作：M[N，A]＝6；故答案為：6；③∵C[Q，B]＝1，∴CQ＝CB，∵點(diǎn)Q表示﹣1，點(diǎn)B表示5，∴C表示的數(shù)為2；故答案為：2；（2）∵C[A，B]＝3，∴CA＝3CB，∵點(diǎn)A表示﹣1，點(diǎn)B表示5，∴BC＝1.5或3，∴點(diǎn)C所表示數(shù)為3.5或8；故答案為：3.5或8；（3）設(shè)點(diǎn)K在數(shù)軸上表示的數(shù)為a，∵K[M，N]＝5，∴KM＝5KN，∵點(diǎn)M表示﹣10，點(diǎn)N表示50，點(diǎn)K在點(diǎn)M和點(diǎn)N之間，∴a+10＝5（50﹣a），∴a＝40，∵M(jìn)[N，K]＝3，∴MN＝3KM，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)K的左邊時(shí)，50﹣（﹣10t+5t）＝3[40﹣（﹣10+5t）]，解得：t＝9（s）；當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到K和N之間時(shí)，50﹣（﹣10+50t）＝3（﹣10+5t﹣40），解得：t＝10.5（s）；綜上，當(dāng)t為9s或10.5s時(shí)，M[N，K]＝3．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、動點(diǎn)問題，動點(diǎn)問題中熟練應(yīng)用公式：路程＝速度×?xí)r間，認(rèn)真理解新定義是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋?鐘樓區(qū)校級月考）平移和翻折是初中數(shù)學(xué)兩種重要的圖形變換（1）平移運(yùn)動①把筆尖放在數(shù)軸的原點(diǎn)處，先向負(fù)方向移動4個(gè)單位長度，再向正方向移動1個(gè)單位長度，這時(shí)筆尖的位置表示什么數(shù)？用算式表示以上過程及結(jié)果是D．A．（+4）+（+1）＝+5B．（+4）+（﹣1）＝+3C．（﹣4）﹣（+1）＝﹣5D．（﹣4）+（+1）＝﹣3②一機(jī)器人從原點(diǎn)O開始，第1次向左跳1個(gè)單位，緊接著第2次向右跳2個(gè)單位，第3次向左跳3個(gè)單位，第4次向右跳4個(gè)單位，…，依次規(guī)律跳，當(dāng)它跳2022次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是1011．（2）翻折變換①若折疊紙條，表示﹣1的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)重合，則表示2022的點(diǎn)與表示﹣2020的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為2022（A在B的左側(cè)，且折痕與①折痕相同），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則A點(diǎn)表示﹣1010，B點(diǎn)表示1012．③一條數(shù)軸上有點(diǎn)A、B、C，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是﹣19、8，現(xiàn)以點(diǎn)C為折點(diǎn)，將數(shù)軸向右對折，若點(diǎn)A對應(yīng)的點(diǎn)A'落在點(diǎn)B的右邊，并且A'B＝2，求點(diǎn)C表示的數(shù)．【分析】（1）①讀懂題意，根據(jù)移動過程列算式計(jì)算；②讀懂題意，根據(jù)跳動過程列算式，再算式中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律計(jì)算即可；（2）①先通過折疊重疊在一起的兩個(gè)數(shù)，確定折疊的中心點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，再找與2022重合的點(diǎn)表示的數(shù)；②先根據(jù)①得到的折痕處的點(diǎn)表示的數(shù)，兩點(diǎn)間的距離，確定兩點(diǎn)表示的數(shù)；③先根據(jù)題意找到A'點(diǎn)表示的數(shù)，再根據(jù)AA'線段長，確定AA'的中點(diǎn)表示的數(shù)．【解答】解：（1）①根據(jù)移動過程可得：（﹣4）+（+1）＝﹣3，故選：D．②如果向左為“﹣”，向右為“+”，機(jī)器人跳動過程可以用算式表示為：﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣...﹣2021+2022＝＝1011，∴當(dāng)機(jī)器人跳2022次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是1011；故答案為：1011；（2）①∵表示﹣1的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)重合，∴折痕處的點(diǎn)表示的數(shù)為1，∴表示2022的點(diǎn)與表示﹣2020；故答案為：﹣2020；②∵數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為2022，A、B兩點(diǎn)到折痕1處的距離都是1011，∴B點(diǎn)表示數(shù)為1012，A點(diǎn)表示的數(shù)為﹣1010；故答案為：﹣1010，1012；③根據(jù)題意可知A'點(diǎn)表示的數(shù)為8+2＝10，∵點(diǎn)A、A'表示的數(shù)分別是﹣19、10，點(diǎn)C為折點(diǎn)，∴點(diǎn)C表示的數(shù)：10﹣＝﹣4.5．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸，折疊與對稱，有理數(shù)的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸知識，折疊對稱，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算．16．（2022秋?靖江市月考）如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓上有一點(diǎn)與數(shù)軸上原點(diǎn)重合，兩圓在數(shù)軸上做無滑動的滾動，小圓的運(yùn)動速度為每秒π個(gè)單位，大圓的運(yùn)動速度為每秒2π個(gè)單位．（1）若大圓沿?cái)?shù)軸向左滾動1周，則該圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)是﹣4π；（2）若大圓不動，小圓沿?cái)?shù)軸來回滾動，規(guī)定小圓向右滾動時(shí)間記為正數(shù)，向左滾動時(shí)間記為負(fù)數(shù)，依次滾動的情況記錄如下（單位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8①第幾次滾動后，小圓離原點(diǎn)最遠(yuǎn)？②當(dāng)小圓結(jié)束運(yùn)動時(shí)，小圓運(yùn)動的路程共有多少？此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離是多少？（結(jié)果保留π）（3）若兩圓同時(shí)在數(shù)軸上各自沿著某一方向連續(xù)滾動，滾動一段時(shí)間后兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間相距6π，求此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)．【分析】（1）該圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)，就是大圓的周長；（2）①分別計(jì)算出第幾次滾動后，小圓離原點(diǎn)的距離，比較作答；②先計(jì)算總路程，因?yàn)榇髨A不動，計(jì)算各數(shù)之和為﹣10，即小圓最后的落點(diǎn)為原點(diǎn)左側(cè)，向左滾動10秒，距離為10π；（3）分四種情況進(jìn)行討論：大圓和小圓分別在同側(cè)，異側(cè)時(shí)，表示出各自與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)．根據(jù)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間相距6π列等式，求出即可．【解答】解：（1）若大圓沿?cái)?shù)軸向左滾動1周，則該圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)是﹣2π?2＝﹣4π，故答案為：﹣4π；（2）①第1次滾動后，|﹣1|＝1，第2次滾動后，|﹣1+2|＝1，第3次滾動后，|﹣1+2﹣4|＝3，第4次滾動后，|﹣1+2﹣4﹣2|＝5，第5次滾動后，|﹣1+2﹣4﹣2+3|＝2，第6次滾動后，|﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8|＝10，則第6次滾動后，小圓離原點(diǎn)最遠(yuǎn)；②1+2+4+3+2+8＝20，20×π＝20π，﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8＝﹣10，∴當(dāng)小圓結(jié)束運(yùn)動時(shí)，小圓運(yùn)動的路程共有20π，此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離是10π；（3）設(shè)時(shí)間為t秒，分四種情況討論：i）當(dāng)兩圓同向右滾動，由題意得：t秒時(shí)，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)：2πt，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為：πt，2πt﹣πt＝6π，2t﹣t＝6，t＝6，2πt＝12π，πt＝6π，則此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)分別為12π、6π．ii）當(dāng)兩圓同向左滾動，由題意得：t秒時(shí)，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)：﹣2πt，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)：﹣πt，﹣πt+2πt＝6π，﹣t+2t＝6，t＝6，﹣2πt＝﹣12π，﹣πt＝﹣6π，則此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)分別為﹣12π、﹣6π．iii）當(dāng)大圓向右滾動，小圓向左滾動時(shí)，同理得：2πt﹣（﹣πt）＝6π，3t＝6，t＝2，2πt＝4π，﹣πt＝﹣2π，則此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)分別為4π、﹣2π．iiii）當(dāng)大圓向左滾動，小圓向右滾動時(shí)，同理得：πt﹣（﹣2πt）＝6π，t＝2，πt＝2π，﹣2πt＝﹣4π，則此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)分別為﹣4π、2π．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸及圓的幾何變換，還考查了一元一次方程的應(yīng)用，用方程解決此類問題比較簡單，同時(shí)又利用了分類討論的思想，明確向右移動坐標(biāo)加的關(guān)系，向左移動坐標(biāo)減的關(guān)系．17．（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）在數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C，它們表示的有理數(shù)分別為a、b、c．已知a是最大的負(fù)整數(shù)，且|b+4|+（c﹣2）2＝0．（1）求A、B、C三點(diǎn)表示的有理數(shù)分別是多少？（2）填空：①如果數(shù)軸上點(diǎn)D到A，C兩點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)D表示的數(shù)為；②如果數(shù)軸上點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離為2，則點(diǎn)E表示的數(shù)為1或﹣3；（3）在數(shù)軸上是否存在一點(diǎn)F，使點(diǎn)F到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)F到點(diǎn)B的距離的2倍？若存在，請直接寫出點(diǎn)F表示的數(shù)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的概念求出a，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出b、c的值，然后寫出A、B、C三點(diǎn)表示的數(shù)即可；（2）①設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為x，然后表示出點(diǎn)D到點(diǎn)A、C的距離并列出方程求解即可；②設(shè)點(diǎn)E表示的數(shù)為y，然后列出絕對值方程求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)F表示的數(shù)為z，然后列出絕對值方程，再求解即可．【解答】解：（1）∵a是最大的負(fù)整數(shù)，∴a＝﹣1，由題意得，b+4＝0，c﹣2＝0，解得b＝﹣4，c＝2，所以，點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別為﹣1、﹣4、2；（2）①設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為x，由題意得，x﹣（﹣1）＝2﹣x，解得x＝，所以，點(diǎn)D表示的數(shù)為；②設(shè)點(diǎn)E表示的數(shù)為y，由題意得，|y﹣（﹣1）|＝2，所以，y+1＝2或y+1＝﹣2，解得y＝1或y＝﹣3，所以，點(diǎn)E表示的數(shù)為1或﹣3；故答案為：；1或﹣3．（3）設(shè)點(diǎn)F表示的數(shù)為z，∵F到點(diǎn)A的距離為|z﹣（﹣1）|，到點(diǎn)B的距離為|z﹣（﹣4）|，點(diǎn)F到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)F到點(diǎn)B的距離的2倍，∴|z﹣（﹣1）|＝2|z﹣（﹣4）|，所以，z+1＝2（z+4）或z+1＝﹣2（z+4），解得z＝﹣7或z＝﹣3，所以，點(diǎn)F表示的數(shù)為﹣7或﹣3．【點(diǎn)評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的表示，準(zhǔn)確列出方程是解題的關(guān)鍵．一．解答題（共14小題）1．（2021秋?溧水區(qū)期末）【數(shù)學(xué)概念】如圖，A、B為數(shù)軸上不重合的兩個(gè)點(diǎn)，P為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，我們比較線段PA和PB的長度，將較短線段的長度定義為點(diǎn)P到線段AB的“靠近距離”．特別地，若線段PA和PB的長度相等，則將線段PA或PB的長度定義為點(diǎn)P到線段AB的“靠近距離”．【概念理解】如圖①，點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣4，點(diǎn)B表示的數(shù)是2．（1）若點(diǎn)P表示的數(shù)是﹣2，則點(diǎn)P到線段AB的“靠近距離”為2；（2）若點(diǎn)P表示的數(shù)是m，點(diǎn)P到線段AB的“靠近距離”為3，則m的值為﹣7或﹣1或5（寫出所有結(jié)果）；【概念應(yīng)用】（3）如圖②，在數(shù)軸上，點(diǎn)P表示的數(shù)是﹣6，點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣3，點(diǎn)B表示的數(shù)是2．點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)B以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P到線段AB的“靠近距離”為2時(shí)，求t的值．【分析】（1）由“靠近距離”的定義，可得答案；（2）點(diǎn)P到線段AB的“靠近距離”為3時(shí)，分情況列出方程即可；（3）按照PA＝2和PB＝2分類討論計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣4，點(diǎn)B表示的數(shù)是2，若點(diǎn)P表示的數(shù)是﹣2，∴PA＝﹣2+4＝2，PB＝2+2＝4，∴則點(diǎn)P到線段AB的“靠近距離”為2，故答案為：2；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離可得，PA＝|m+4|，PB＝|2﹣m|，∴當(dāng)|m+4|＝3時(shí)，解得m＝﹣7或﹣1，當(dāng)|2﹣m|＝3時(shí)，解得m＝5或﹣1，故m的值為﹣7或﹣1或5；（3）當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)是2t﹣6，點(diǎn)B表示的數(shù)是t+2，∴PA＝|2t﹣6+3|＝|2t﹣3|，PB＝|（2t﹣6）﹣（t+2）|＝|t﹣8|，∴當(dāng)|2t﹣3|＝2時(shí)，解得t＝2.5或0.5，當(dāng)|t﹣8|＝2時(shí)，解得t＝10或6，綜上，t的值為2.5或0.5或10或6．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程在數(shù)軸上的動點(diǎn)問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并分類討論，是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?海陵區(qū)校級月考）如圖在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)表示數(shù)b，a、b滿足|a+2|+|b﹣8|＝0．（1）點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2；點(diǎn)B表示的數(shù)為8；（2）若在原點(diǎn)O處放一擋板，一小球甲從點(diǎn)A處以1個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動；同時(shí)另一小球乙從點(diǎn)B處以2個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看作一點(diǎn)）以原來的速度向相反的方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t（秒），①當(dāng)t＝1時(shí)，甲小球到原點(diǎn)的距離＝1；乙小球到原點(diǎn)的距離＝6；當(dāng)t＝5時(shí)，甲小球到原點(diǎn)的距離＝3；乙小球到原點(diǎn)的距離＝2；②試探究：甲，乙兩小球到原點(diǎn)的距離可能相等嗎？若不能，請說明理由．若能，請直接寫出甲，乙兩小球到原點(diǎn)的距離相等時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間．【分析】（1）由絕對值的定義得到a+2＝0或b﹣8＝0，分別求出a、b即可；（2）①t＝1時(shí)，甲球此時(shí)在表示﹣1的點(diǎn)處，乙求此時(shí)在表示6的點(diǎn)處，t＝5時(shí)，甲球此時(shí)在表示﹣3的點(diǎn)處，乙球此時(shí)在表示2的點(diǎn)處，由此可求解；②分三種情況討論：當(dāng)0＜t≤2時(shí)，2﹣t＝8﹣2t，解得t＝6（舍）；當(dāng)2＜t≤4時(shí)，t﹣2＝8﹣2t，解得t＝；當(dāng)t＞4時(shí)，t﹣2＝2t﹣8，解得t＝6．【解答】解：（1）∵|a+2|+|b﹣8|＝0，∴a+2＝0或b﹣8＝0，解得a＝﹣2，b＝8，故答案為：﹣2，8；（2）∵t＝1，∴甲球向右運(yùn)動1個(gè)單位長度，乙球向左運(yùn)動2個(gè)單位長度，∴甲球此時(shí)在表示﹣1的點(diǎn)處，乙求此時(shí)在表示6的點(diǎn)處，∴甲小球到原點(diǎn)的距離為1，乙小球到原點(diǎn)的距離為6，∵t＝5，∴甲球向右運(yùn)動2秒到達(dá)擋板后開始向左運(yùn)動3個(gè)單位長度，乙球向左運(yùn)動4秒到達(dá)擋板后開始向右運(yùn)動2個(gè)單位長度，∴甲球此時(shí)在表示﹣3的點(diǎn)處，乙球此時(shí)在表示2的點(diǎn)處，∴甲小球到原點(diǎn)的距離為3，乙小球到原點(diǎn)的距離為2，故答案為：1，6，3，2；②甲，乙兩小球到原點(diǎn)的距離可能相等，理由如下：當(dāng)0＜t≤2時(shí)，2﹣t＝8﹣2t，解得t＝6（舍）；當(dāng)2＜t≤4時(shí)，t﹣2＝8﹣2t，解得t＝；當(dāng)t＞4時(shí)，t﹣2＝2t﹣8，解得t＝6；綜上所述：t的值為或6時(shí)，甲，乙兩小球到原點(diǎn)的距離相等．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征，根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動情況能確定對應(yīng)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?宜興市校級月考）如圖，點(diǎn)A在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為2．（1）點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)且距點(diǎn)A為3個(gè)單位長度，則點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)為﹣1，請?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)B的位置；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動，點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到5所在的點(diǎn)處時(shí)停止運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)B也停止運(yùn)動，求此時(shí)A，B兩點(diǎn)間距離；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)A不動，點(diǎn)B沿?cái)?shù)軸開始向右運(yùn)動，經(jīng)過t秒A，B兩點(diǎn)相距3個(gè)單位長度，求t值；（4）在（1）的條件下，點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度同時(shí)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動到所對應(yīng)的數(shù)為m時(shí)停止運(yùn)動，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)A所對應(yīng)的數(shù)為；若點(diǎn)A繼續(xù)運(yùn)動，請直接寫出當(dāng)AB＝2時(shí)，點(diǎn)A繼續(xù)運(yùn)動的距離為或．（用含m的式子表示）【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸的意義，即在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)B的位置；（2）首先分析點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間，然后根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動速度和運(yùn)動方向表示出點(diǎn)B所表示的數(shù)，從而求解；（3）經(jīng)過t秒，點(diǎn)B在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為2t﹣1，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式列出方程解答便可；（4）點(diǎn)B運(yùn)動的距離為﹣1﹣m，則時(shí)間為，即可得點(diǎn)A所對應(yīng)的數(shù)，再分類討論求解即可．【解答】解：（1）∵點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)且距點(diǎn)A為3個(gè)單位長度，∴點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)為2﹣3＝﹣1，點(diǎn)B的位置如圖所示：故答案為：﹣1；（2）根據(jù)題意，點(diǎn)A運(yùn)動了5﹣2＝3個(gè)單位長度，∴點(diǎn)A運(yùn)動用時(shí)3÷1＝3（秒），∴點(diǎn)B運(yùn)動了：3×2＝6（個(gè)長度單位），∴點(diǎn)B在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為﹣1﹣6＝﹣7，∴A，B兩點(diǎn)間距離為5﹣（﹣7）＝12（個(gè)長度單位）；（3）經(jīng)過t秒，點(diǎn)B在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為2t﹣7，根據(jù)題意得：|2t﹣7﹣5|＝3，即2t﹣12＝3或2t﹣12＝﹣3，解得t＝或t＝，即t的值為或；（4）根據(jù)題意，點(diǎn)B運(yùn)動的距離為﹣1﹣m，∴點(diǎn)B的運(yùn)動時(shí)間為（秒），∴點(diǎn)A所對應(yīng)的數(shù)為2﹣＝；①當(dāng)點(diǎn)A繼續(xù)運(yùn)動到點(diǎn)B的右側(cè)，此時(shí)點(diǎn)A所對應(yīng)的數(shù)為m+2，∴點(diǎn)A繼續(xù)運(yùn)動的距離為﹣（m+2）＝，②當(dāng)點(diǎn)A繼續(xù)運(yùn)動到點(diǎn)B的左側(cè)，此時(shí)點(diǎn)A所對應(yīng)的數(shù)為，∴點(diǎn)A繼續(xù)運(yùn)動的距離為﹣（m﹣2）＝，綜上，點(diǎn)A繼續(xù)運(yùn)動的距離為或，故答案為：；或．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸，一元一次方程的應(yīng)用，整式的加減混合運(yùn)算的應(yīng)用，行程問題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)行程的問題的數(shù)量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．4．（2021秋?崇川區(qū)校級月考）數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離等于這兩點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)的差的絕對值．例：如圖所示，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別對應(yīng)的數(shù)為a、b，則A、B兩點(diǎn)間的距離表示為|AB|＝|a﹣b|．根據(jù)以上知識解題：（1）若數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B表示的數(shù)為x、﹣1，①A、B之間的距離可用含x的式子表示為|x+1|；②若該兩點(diǎn)之間的距離為2，那么x值為﹣3或1；（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值為3，此時(shí)x的取值是﹣1≤x≤2；（3）已知|x+1|+|x﹣2|＝7時(shí)，x的取值是﹣3或4；（4）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2021|的最小值為1021110，此時(shí)x的取值是1011．【分析】（1）①根據(jù)題目已知中的A、B兩點(diǎn)間的距離表示為|AB|＝|a﹣b|，代入即可解答；②使①中的式子等于2，解出即可；（2）求|x+1|+|x﹣2|的最小值，由線段的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，可知當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，|x+1|+|x﹣2|有最小值，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可求出最小值及x的取值；（3）分兩種情況討論可求x的取值；（4）原式表示x的點(diǎn)到表示1、2、3...2021的點(diǎn)的距離之和，根據(jù)兩點(diǎn)的距離可得結(jié)論．【解答】解：（1）①A、B之間的距離可用含x的式子表示為|x+1|；②依題意有|x+1|＝2，x+1＝﹣2或x+1＝2，解得x＝﹣3或x＝1，故x值為﹣3或1；故答案為：①|(zhì)x+1|；②﹣3或1；（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值為3，此時(shí)x的取值是﹣1≤x≤2；故答案為：3，﹣1≤x≤2；（3）當(dāng)x在﹣1的左邊時(shí)，﹣1﹣x+2﹣x＝7，解得：x＝﹣3；當(dāng)x在2的右邊時(shí)，x﹣2+x﹣（﹣1）＝7，解得：x＝4；綜上所述，x的取值是﹣3或4；故答案為：﹣3或4；（4）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2021|表示x的點(diǎn)到表示1、2、3...2021的點(diǎn)的距離之和，∴當(dāng)x＝＝1011時(shí)，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+...+|x﹣2021|最小值是：1+2+3+…+1010+0+1+2+3+…+1010＝（1+2+3+…+1010）×2＝（1+1010）×1010＝1021110．故答案為：1021110，1011．【點(diǎn)評】考查了列代數(shù)式，絕對值和數(shù)軸，借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題．5．（2021秋?高港區(qū)校級月考）【操作感知】如圖1，長方形透明紙上有一條數(shù)軸，AB是周長為4的圓的直徑，點(diǎn)A與數(shù)軸原點(diǎn)重合，將圓從原點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸正方向滾動1周，點(diǎn)A落在數(shù)軸上的點(diǎn)A'處；將圓從原點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸負(fù)方向滾動半周，點(diǎn)B落在數(shù)軸上的點(diǎn)B′處，折疊長方形透明紙，使數(shù)軸上的點(diǎn)A′與點(diǎn)B′重合，此時(shí)折痕與數(shù)軸交點(diǎn)表示的數(shù)為1．【建立模型】折疊長方形透明紙，使得數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)C與表示數(shù)b的點(diǎn)D重合，則折痕與數(shù)軸交點(diǎn)表示的數(shù)為．（用含a，b的代數(shù)式表示）【問題解決】如圖2，點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣10，點(diǎn)Q表示的數(shù)為20，如果點(diǎn)M從點(diǎn)P的位置出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)Q運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)Q時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）若點(diǎn)M到P，Q兩點(diǎn)中一點(diǎn)的距離為到另一點(diǎn)距離的兩倍，求t值．（2）若點(diǎn)M從點(diǎn)P出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)Q開始運(yùn)動，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)P運(yùn)動，并與點(diǎn)M同時(shí)停止，請求出當(dāng)點(diǎn)M，N，P中其中一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)距離相等時(shí)t的值．【分析】【操作感知】根據(jù)圓的周長及圓滾動的周數(shù)，確定A'表示的數(shù)是4，B'表示的數(shù)是﹣2，求出A'B'的中點(diǎn)即可求解；【建立模型】CD的中點(diǎn)即為折痕點(diǎn)；【問題解決】（1）由題意可知M點(diǎn)表示的數(shù)為﹣10+2t，則MP＝2t，QM＝30﹣2t，當(dāng)MP＝2QM時(shí)，t＝10；當(dāng)QM＝2MP時(shí)，得t＝5；（2）由題意可知，M點(diǎn)表示的數(shù)為﹣10+2t，N點(diǎn)表示的數(shù)為20﹣t，則MN＝|﹣30+3t|，NP＝30﹣t，MP＝2t，當(dāng)MN＝MP時(shí)，t＝6；當(dāng)MN＝NP時(shí)，t＝15；當(dāng)MP＝NP時(shí)，t＝10．【解答】解：【操作感知】∵圓的周長為4，∴圓的周長為4，∴A'表示的數(shù)是4，B'表示的數(shù)是﹣2，∴A'B'的中點(diǎn)為1，∴折痕與數(shù)軸交點(diǎn)表示的數(shù)為，故答案為：1；【建立模型】∵表示數(shù)a的點(diǎn)C與表示數(shù)b的點(diǎn)D重合，∴CD的中點(diǎn)為，∴折痕與數(shù)軸交點(diǎn)表示的數(shù)為，故答案為：；【問題解決】（1）∵運(yùn)動時(shí)間為t秒，∴M點(diǎn)表示的數(shù)為﹣10+2t，∴MP＝﹣10+2t+10＝2t，QM＝20﹣（﹣10+2t）＝30﹣2t，當(dāng)MP＝2QM時(shí)，2t＝2（30﹣2t），解得t＝10；當(dāng)QM＝2MP時(shí)，30﹣2t＝4t，解得t＝5；綜上所述：t的值為5或10；（2）∵點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)Q時(shí)停止運(yùn)動，∴0＜t≤15，由題意可知，M點(diǎn)表示的數(shù)為﹣10+2t，N點(diǎn)表示的數(shù)為20﹣t，∴MN＝|﹣30+3t|，NP＝20﹣t+10＝30﹣t，MP＝2t，當(dāng)MN＝MP時(shí)，|﹣30+3t|＝2t，解得t＝30（舍）或t＝6；當(dāng)MN＝NP時(shí)，|﹣30+3t|＝30﹣t，解得t＝15或t＝0（舍）；當(dāng)MP＝NP時(shí)，2t＝30﹣t，解得t＝10；綜上所述：t的值為6或10或15．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征，會求數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，分類討論是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋?興化市校級月考）如圖，請回答問題：（1）點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣2，點(diǎn)C表示的數(shù)是6．（2）折疊數(shù)軸，使數(shù)軸上的點(diǎn)B和點(diǎn)C重合，則點(diǎn)A與數(shù)字9重合．（3）m、n兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為|m﹣n|，如5與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為|5﹣（﹣2）|，從而很容易就得出在數(shù)軸上表示5與﹣2兩點(diǎn)之間的距離是7．①若x表示一個(gè)有理數(shù)，則|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝3．②若x表示一個(gè)有理數(shù)，且|x﹣4|+|x+3|＝7，則滿足條件的所有整數(shù)x的和是4．③當(dāng)x＝4時(shí)，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．④當(dāng)x取何值時(shí)，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值為多少？【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，直接求解即可；（2）由折疊可知，折痕點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是2，再由對稱性可知點(diǎn)A與數(shù)字9重合；（3）①當(dāng)3≤x≤6時(shí)，|x﹣3|+|x﹣6|有值最??；②|當(dāng)﹣3≤x≤4時(shí)，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值為7，再求出符合條件的整數(shù)即可求解；③找到2，2，3，3，4，4，4，4的中間數(shù)即為所求；④由2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，可求4個(gè)，3個(gè)，1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)3的中間數(shù)是，當(dāng)x＝時(shí)，式子有最小值．【解答】解：（1）由圖可得，點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣2，點(diǎn)C表示的數(shù)是6，故答案為：﹣2，6；（2）∵折疊后點(diǎn)B和點(diǎn)C重合，∴BC的中點(diǎn)為折痕點(diǎn)，∴折痕點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是2，∴點(diǎn)A與數(shù)字9重合，故答案為：9；（3）①|(zhì)x﹣3|+|x﹣6|表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示3的點(diǎn)和6的點(diǎn)的距離之和，∴當(dāng)3≤x≤6時(shí)，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小，∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值為3，故答案為：3；②|x﹣4|+|x+3|表示數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示﹣3的點(diǎn)和4的點(diǎn)的距離之和，∴當(dāng)﹣3≤x≤4時(shí)，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值為7，∵|x﹣4|+|x+3|＝7，∴x的整數(shù)值為﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，∴滿足條件的所有整數(shù)x的和是4，故答案為：4；③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距離，2倍的x到3的距離，5倍的x到4的距離之和，∴2，2，3，3，4，4，4，4的中間數(shù)是4，∴當(dāng)x＝4時(shí)，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值；故答案為：4；④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，表示4倍的x到的距離，3倍x到的距離，x到的距離，2倍x到的距離，3倍x到3的距離之和，∴4個(gè)，3個(gè)，1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)3的中間數(shù)是，∴當(dāng)x＝時(shí)，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值為．【點(diǎn)評】本題考查絕對值的幾何意義，根據(jù)絕對值的幾何意義，探索出最小值存在時(shí)x的取值的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?姜堰區(qū)校級月考）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，則在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|b﹣a|．所以式子|x﹣2|的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間的距離．借助于數(shù)軸回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是3，數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離是4．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝2或﹣4．（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且數(shù)a，b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)A，點(diǎn)B，則A，B兩點(diǎn)間的最大距離是8，最小距離是2．（4）①若數(shù)軸上表示x的點(diǎn)位于﹣3與1之間，則|x﹣1|+|x+3|＝4.②若|x﹣3|+|x+1|＝8，則x＝5或﹣3．【分析】（1）根據(jù)距離公式即可解答；（2）利用數(shù)形結(jié)合思想依據(jù)絕對值的幾何意義解答即可；（3）根據(jù)絕對值的意義先求a和b的值，再根據(jù)數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|，求出答案即可；（4）①根據(jù)絕對值的意義和兩點(diǎn)的距離可求出答案；②根據(jù)絕對值的意義分三種情況進(jìn)行討論，列方程解方程可得結(jié)論．【解答】解：（1）數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是：|5﹣2|＝3，數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離是：|1﹣（﹣3）|＝4；故答案為：3，4；（2）|x+1|＝3，∴x+1＝±3，∴x＝﹣1±3，∴x＝2或﹣4；故答案為：2或﹣4；（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，∴a﹣3＝±2，b+2＝±1，∴a＝3±2，b＝﹣2±1，∴a＝5或1，b＝﹣1或﹣3，∴A，B兩點(diǎn)間的最大距離是：5﹣（﹣3）＝8，最小距離是：1﹣（﹣1）＝2；故答案為：8，2；（4）①若數(shù)軸上表示x的點(diǎn)位于﹣3與1之間，則|x﹣1|+|x+3|＝|﹣3﹣1|＝4；故答案為：4；②當(dāng)x＞3時(shí)，x﹣3+x+1＝8，解得，x＝5；當(dāng)x＜﹣1時(shí)，3﹣x﹣x﹣1＝8，解得，x＝﹣3；當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，3﹣x+x+1＝8，無解；綜上，x＝5或﹣3；故答案為：5或﹣3．【點(diǎn)評】此題主要考查了整式的加減，兩點(diǎn)的距離以及絕對值的含義和求法，考查了分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握．8．（2021秋?沛縣校級月考）在學(xué)習(xí)絕對值后，我們知道，|a|表示數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．如：|5|表示5在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|也可理解為5、0在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．類似的，|5﹣3|表示5與3之差的絕對值，也可理解為5與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．如|x﹣3|的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)3的點(diǎn)與表示數(shù)x的點(diǎn)之間的距離，一般地，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a、b，那么A、B之間的距離可表示為|a﹣b|．請根據(jù)絕對值的意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和3的兩點(diǎn)之間的距離是1；數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示﹣2的點(diǎn)之間的距離表示為|a+2|；（2）數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)是2，P、Q兩點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)Q表示的數(shù)是5或﹣1；（3）數(shù)軸上有一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)a，則|a+1|+|a﹣3|+|a+8|的最小值為11；（4）a、b、c、d在數(shù)軸上的位置如圖所示，若|a﹣d|＝12，|b﹣d|＝7，|a﹣c|＝9，則|b﹣c|等于4．【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式直接計(jì)算即可；（2）設(shè)點(diǎn)Q表示的點(diǎn)為x，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到關(guān)于x的方程，解方程即可；（3）分a≥3，﹣1≤a＜3，﹣8≤a＜﹣1，a＜﹣8四種情況討論即可（4）根據(jù)題意，得到一個(gè)四元一次方程組，解方程組即可解答．【解答】解：（1）根據(jù)題意，得：|3﹣2|＝1，|a﹣（﹣2）|＝|a+2|，故答案為：1，|a+2|；（2）設(shè)點(diǎn)Q表示的點(diǎn)為x，根據(jù)題意，得：|x﹣2|＝3，∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，解得：x＝5或x＝﹣1，故答案為：5或﹣1；（3）需要分類討論：當(dāng)a≥3時(shí)，|a+1|+|a﹣3|+|a+8|＝3a+6≥15，當(dāng)﹣1≤a＜3時(shí)，11≤|a+1|+|a﹣3|+|a+8|＜15，當(dāng)﹣8≤a＜﹣1時(shí)，11＜|a+1|+|a﹣3|+|a+8|≤18，當(dāng)a＜﹣8時(shí)，|a+1|+|a﹣3|+|a+8|＞18，綜上，當(dāng)a＝﹣1時(shí)，最小值為11；故答案為：11；（4）根據(jù)題意，可知：，①﹣③，得：d﹣c＝3④，④﹣②，得：b﹣c＝﹣4，∴|b﹣c|＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評】本題主要考查絕對值與數(shù)軸的綜合應(yīng)用，解決此題時(shí)，能夠熟練掌握絕對值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對值是它本身，0的絕對值是0，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)是解決此題的關(guān)鍵．9．（2021秋?如東縣月考）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是3；表示﹣3和2兩點(diǎn)之間的距離是5；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝2或﹣4；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是，8，最小距離是2．（4）利用數(shù)軸，找出所有符合條件的整數(shù)x，使|x+2|+|x?5|＝7．則所有符合條件的整數(shù)x有8個(gè)．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于|m﹣n|求解即可；（2）根據(jù)絕對值的含義可得x+1＝±3，再分別解出x的值即可；（3）根據(jù)絕對值的特點(diǎn)分別求出a、b的值，再求出距離的最大值和最小值；（4）根據(jù)分類討論的數(shù)學(xué)思想可以解答本題；【解答】解：（1）由數(shù)軸可知，4和1之間的距離為4﹣1＝3，﹣3和2之間的距離為|﹣3﹣2|＝5；數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于|m﹣n|．故答案為：3，5，|m﹣n|；（2）|x+1|＝3，∴x+1＝3或x+1＝﹣3，∴x＝2或x＝﹣4．故答案為：2或﹣4；（3）|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，∴a﹣3＝2或﹣2，b+2＝1或﹣1，∴a＝5或1，b＝﹣1或﹣3，∴當(dāng)a＝5，b＝﹣3時(shí)，有最大距離為8，當(dāng)a＝1，b＝﹣1時(shí)，有最小距離為2，故答案為：8，2．（4）當(dāng)x+2＝0時(shí)，x＝﹣2；當(dāng)x﹣5＝0時(shí)，x＝5，當(dāng)x＞5時(shí)，|x+2|+|x﹣5|＝x+2+x﹣5＝2x﹣3＞7，當(dāng)﹣2≤x≤5時(shí)，|x+2|+|x﹣5|＝x+2+5﹣x＝7，當(dāng)x＜﹣2時(shí)，|x+2|+|x﹣5|＝﹣x﹣2﹣x+5＝﹣2x+3＞7，∴使得|x+2|+|x﹣5|＝7的所有整數(shù)為：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5共8個(gè)．故答案為：8．【點(diǎn)評】本題主要考查絕對值的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握絕對值的性質(zhì)．10．（2021秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，線段AB＝28厘米，點(diǎn)D和點(diǎn)C在線段AB上，且AC：BC＝5：2，DC：AB＝1：4．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以4厘米/秒的速度沿射線AD向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C所在位置后立即按照原路原速返回，到達(dá)點(diǎn)D所在位置后停止運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運(yùn)動，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D所在的位置后停止運(yùn)動．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q運(yùn)動的時(shí)間為t秒．（1）求線段AD的長度；（2）當(dāng)點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)PQ＝7厘米時(shí)，求t的值．【分析】（1）根據(jù)線段間的比例可得AD和DC的長，再根據(jù)線段的和差可得答案；（2）分三種情況：當(dāng)0≤t≤5時(shí)，PC＝20﹣4t，CQ＝8﹣t；當(dāng)5＜t≤時(shí)，PC＝4t﹣20，CQ＝8﹣t，當(dāng)＜t≤15時(shí)，PC＝DC＝7，CQ＝8﹣t，再分別列出方程即可；（3）①當(dāng)0≤t≤5時(shí)，4t+t＝28﹣7；②當(dāng)5＜t≤時(shí)，8+4t﹣20﹣t＝7；③當(dāng)＜t≤15時(shí)，7＝15﹣t．【解答】解：（1）∵AB＝28cm，AC：BC＝5：2，∴AC＝28×＝20cm，BC＝28﹣20＝8cm．∵DC：AB＝1：4，∴DC＝28×＝7cm，∴AD＝AC﹣DC＝20﹣7＝13cm；（2）①當(dāng)0≤t≤5時(shí)，PC＝20﹣4t，CQ＝8﹣t，∴20﹣4t＝8﹣t，解得t＝4；②當(dāng)5＜t≤時(shí)，PC＝4t﹣20，CQ＝8﹣t，∴4t﹣20＝8﹣t，解得t＝5.6；③當(dāng)＜t≤15時(shí)，PC＝DC＝7，CQ＝8﹣t，∴7＝8﹣t，解得t＝1（舍去）．綜上，當(dāng)點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)時(shí)，t的值是4或5.6；（3）①當(dāng)0≤t≤5時(shí)，4t+t＝28﹣7，解得t＝4.2；②當(dāng)5＜t≤時(shí)，8+4t﹣20﹣t＝7，解得t＝；③當(dāng)＜t≤15時(shí)，7＝15﹣t，解得t＝8．綜上，當(dāng)PQ＝7厘米時(shí)，t的值是4.2或或8．【點(diǎn)評】此題考查絕對值與非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、解一元一次方程、列一元一次方程解應(yīng)用題、數(shù)軸上的動點(diǎn)問題的求解等知識與方法，解題的關(guān)鍵是把握線段中點(diǎn)的定義，弄清點(diǎn)在運(yùn)動時(shí)的出發(fā)點(diǎn)、方向、速度以及兩個(gè)動點(diǎn)的運(yùn)動屬于相遇問題還是追及問題等．11．（2021秋?射陽縣校級月考）認(rèn)真閱讀下面的材料，完成有關(guān)問題：材料：在學(xué)習(xí)絕對值時(shí)，我們已了解絕對值的幾何意義，如|5﹣3|表示5、3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；又如|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．因此，一般地，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，那么A，B之間的距離（也就是線段AB的長度）可表示為|a﹣b|．因此我們可以用絕對值的幾何意義按如下方法求|x﹣1|+|x﹣2|的最小值；|x﹣1|即數(shù)軸上x與1對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，|x﹣2|即數(shù)軸上x與2對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，把這兩個(gè)距離在同一個(gè)數(shù)軸上表示出來，然后把距離相加即可得原式的值．請你借助數(shù)軸進(jìn)行以下探索：（1）數(shù)軸上表示5與﹣2兩點(diǎn)之間的距離是7．（2）數(shù)軸上表示x與2的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為|x﹣2|．（3）如果|x﹣2|＝5，則x＝7或﹣3．（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)到﹣3和1所對應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，請你找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，這樣的整數(shù)是﹣3、﹣2、﹣1、0、1．（5）由以上探索猜想對于任何有理數(shù)x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接寫出最小值；如果沒有，說明理由．【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，即可求出距離；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，即可求出距離；（3）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，即可求出x；（4）利用絕對值及數(shù)軸求解即可；（5）根據(jù)絕對值的幾何意義，即可解答．【解答】解：（1）數(shù)軸上表示5與﹣2兩點(diǎn)之間的距離是：|5﹣（﹣2）|＝7；故答案為：7；（2）數(shù)