龍文教育學科老師個性化教案教師學生姓名上課日期學科年級教材版本類型知識講解□：考題講解□本人課時統(tǒng)計第（）課時共（）課時學案主題課時數(shù)量（全程或具體時間）共（）課時第（）課時授課時段教學目標教學內容個性化學習問題解決教學重點、難點考點分析教學過程學生活動教師活動不等式的證明知識清單不等式的性質1、實數(shù)的運算性質和大小順序間的關系；；2、不等式的基本性質①（反對稱性）如果，那么；如果，那么②（傳遞性）如果且，那么如果且，那么③（可加性）如果，那么（移項原則）如果，那么④（可乘性）如果且，那么；如果且，那么3、不等式的運算性質①（加法法則）如果，，那么②（減法法則）如果，，那么③（乘法法則）如果，，那么④（除法法則）如果，，那么⑤（乘方法則）如果，那么（且）⑥（開方法則）如果，那么（且）⑦（倒數(shù)法則）如果，，那么4、①重要不等式：如果，那么②均值定理：如果是正數(shù)，那么說明：①常用的不等式：，，，，②注意點：和定積最大，積定和最??；一正、二定、三相等不等式的證明（方法）一、比較法：比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的證明方法有兩種：1．作差比較法（1）應用范圍：當欲證的不等式兩端是多項式、分式或對數(shù)式時，常用此法。（2）方法：欲證A>B,只需要證A-B>0（3）步驟：“作差----變形----判斷符號”。（4）使用此法作差后主要變形形式的處理：○將差變形為常數(shù)或一個常數(shù)與幾個平方和的形式常用配方法或實數(shù)特征a2≥0判斷差的符號。○將差變形為幾個因式的積的形式，常用因式分解法?！鹑糇冃魏蟮玫蕉稳検剑Ｓ门袆e式定符號?？傊?，變形的目的是有利于判斷式子的符號，而變形方法不限定，也就是說，關鍵是變形的目標。2．作商比較法（1）應用范圍：當要證的式子兩端是乘積的形式或冪、指數(shù)時常用此法。（2）方法：要證A>B,常分以下三種情況：若B>0，只需證明；若B=0，只需證明A>0；若B<0，只需證明。（3）步驟：“作商-----變形-----判斷商數(shù)與1的大小”例1已知a，b∈R，且a+b=1.求證：.解析：用作差比較法即（當且僅當時，取等號）例2：已知0<x<1,0<a<1，試比較的大小。解析：法1：用作差比較法∵0<1x2<1,∴∴法2：用作商比較法∵0<1-x2<1,1+x>1,∴∴∴二、綜合法：用綜合法證明不等式，就是利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，借助不等式的性質和有關定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證

明的不等式，其特點和思路是“由因導果”，從“已知”看“可知”，逐步推出“結論”綜合法屬邏輯方法范疇，它的嚴謹體現(xiàn)在步步注明推理依據(jù)。常用的不等式有：（1）（2）（3）（4）例3：若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：解析：根據(jù)本題的條件及要證明的結論，可用綜合法證明。又a,b,c,為不全相等的正數(shù)，故有三、分析法：分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。分析法一般用于綜合法難以證明的不等式。分析法屬邏輯方法范疇，它的嚴謹體現(xiàn)在分析過程步步可逆。例7：若0<a<c,,b<c,求證：解析：原不等式形式復雜，不宜直接由一端過渡到另一端，故可作等價變形，用分析法證明。要證只要證也即a2-2ac<-ab∵a>0,∴只要證a+b<2c由題設條件，顯然有a+b<2c成立。所以，原不等式成立。四、反證法：可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式Ａ>Ｂ，先假設Ａ≤Ｂ，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定Ａ>Ｂ。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法。例9：已知a>0,b>0,且a+b>2解析：由于題目結論是：至少有一個小于2，情況較復雜，討論起來比較繁，宜采用反證法?！遖>0,b>0,∴1+b≥2a,1+a≥2b,兩式相加可得1+b+1+a≥2（a+b）即a+b≤2,這與已知a+b>2矛盾。故假設不成立五：換元法：換元法是將所證的不等式的字母作適當?shù)拇鷵Q，以達到簡化證題的目的方法。它主要有兩種換元形式：(1)三角換元法：多用于條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變量都有同一個參數(shù)表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復雜的代數(shù)問題轉化為三角問題根據(jù)具體問題，(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。例12：若，求證：解析：由x2+y2≤1，聯(lián)想到三角函數(shù)的性質，考慮用三角換元法。設，則六：放縮法：要證明不等式Ａ<Ｂ成立，借助一個或多個中間變量通過適當?shù)姆糯蠡蚩s小達到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。例15：求證：解析：舍掉(或加進)一些項進行放縮?！摺唷咀兪健俊摺嗾f明：本題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據(jù)具體題型分別對待，即放不能太寬、縮不能太窄，真正做到恰到好處。七：構造法：在不等式的證明中，可根據(jù)不等式的結構特點，恰當?shù)臉嬙煲粋€與不等式相關的數(shù)學模型，如構造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量等，實現(xiàn)問題的轉化，從而使不等式得到證明。例19：已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=，求證x，y，z∈［0，］解析：根據(jù)題目的特點考慮構造方程求解。由x+y+z=1，x2+y2+z2=，得x2+y2+(1－x－y)2=，整理成關于y的一元二次方程得2y2－2(1－x)y+2x2－2x+=0，∵y∈R，故Δ≥0∴4(1－x)2－4×2(2x2－2x+)≥0，得0≤x≤，∴x∈［0，］同理可得y，z∈［0，］八：數(shù)學歸納法法：當不等式是一個與自然數(shù)n有關的命題，可以利用數(shù)學歸納法進行證明。例26：比較2n與n2的大?。╪∈N*）解析：比較兩數(shù)（或式）大小的常用方法本題不適用，故考慮用歸納法推測大小關系，再用數(shù)學歸納法證明解：當n=1時，21＞12，當n=2時，22=22，當n=3時，23＜32，當n=4時，24=42，當n=5時，25＞52，猜想：當n≥5時，2n＞n2下面用數(shù)學歸納法證明：（1）當n=5時，25＞52成立（2）假設n=k（k∈N*，k≥5）時2k＞k2，那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+（1+1）k＞k2+C+C+C=k2+2k+1=（k+1）2∴當n=k+1時，2n＞n2由（1）（2）可知，對n≥5的一切自然數(shù)2n＞n2都成立綜上，得當n=1或n≥5時，2n＞n2；當n=2，4時，2n=n2；當n=3時，2n＜n2教學過程學生活動教師活動課堂練習課后作業(yè)學生成長記錄本節(jié)課教學計劃完成情況：照常完成□提前完成□延后完成□____________________________學生的接受程度：54321______________________________學生的課堂表現(xiàn)：很積極□比較積極□一般積極□不積極□___________