3.1.1橢圓及其標準方程（第1課時）第3章

圓錐曲線的方程

問題1

用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側面的交線）是一個圓.如果改變截面與圓錐的軸所成的角，會得到怎樣的截口曲線呢？橢圓拋物線雙曲線圓我們通常把橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線導入問題2

在直線和圓的方程的學習中，我們研究了哪些問題？思考1:

類似的，如何研究橢圓？直線直線的方程與直線有關的位置關系，距離等問題圓的概念圓的方程與圓有關的位置關系，距離等問題、實際應用橢圓的概念橢圓的方程橢圓的性質(zhì)、實際應用導入導入在日常生活與學習中，可以見到很多有關橢圓的形象．導入我們還知道，圓是平面內(nèi)到圓心的距離等于半徑的點的集合，圓上的點的特征是：任意一點到圓心的距離都等于半徑.那么，你能說說到底什么是橢圓嗎？橢圓上任意一點的特征是什么？導入問題3

取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖,這時筆尖(動點)畫出的軌跡是一個什么圖形？·rO

如果把細繩的兩端分別固定在圖板的兩點F1，F(xiàn)2，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？F1F2探究新知問題4

你能用精確的數(shù)學語言刻畫橢圓嗎？F1F2M1、橢圓的定義符號表述：

將常數(shù)記為2a，焦距記為2c，且2a>2c；探究新知（

）追問3：在這一過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關系？追問2：在這一過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？追問1：在畫出一個橢圓的過程中，F(xiàn)1，F(xiàn)2的位置是固定的還是運動的？追問4：在這一過程中，移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？︳F1F2︱=2c︱MF1︳+︱MF2︳>︳F1F2︱2a>2c2a>2c︱MF1︳+︱MF2︳=2a探究新知注意①在平面內(nèi)----(這是前提條件)；②定點F1,F2；③定長：動點M到兩個定點F1,F2的距離之和是常數(shù)；

動點M的軌跡是線段F1F2

；動點M沒有軌跡.④F1F2M??探究新知下面我們根據(jù)橢圓的幾何特征,選擇適當?shù)淖鴺讼?建立橢圓的方程.橢圓.探究新知OXy2.設點3.列方程4.化簡5.得到標準方程化簡兩點間距離公式1.把圓放到坐標系探究新知OXy圓心不在原點OXy圓心在原點簡潔探究新知F1F2

以經(jīng)過橢圓兩焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系O-xy.OXy1.把橢圓放到坐標系探究新知2.設點1.把橢圓放到坐標系圓心：圓上任意一點：

F1F2OyccX焦距：橢圓上任意一點：

OXy半徑：r探究新知2.設點1.把橢圓放到坐標系F1F2OyccX3.列方程由橢圓的定義可知，橢圓可看作點集P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

所以

.因為探究新知2.設點1.把橢圓放到坐標系3.列方程

4.化簡移項后平方移項化簡平方化簡探究新知2.設點1.把橢圓放到坐標系3.列方程

4.化簡簡潔對稱OyX探究新知①焦點在x軸上y

xoF2F1M②焦點在y軸上

探究新知定義焦點位置圖形方程特點共同點不同點F1F2M??xyOF1F2M??xyO焦點在x軸上焦點在y軸上概念歸納則a＝

，b＝

，焦點在

軸上；則a＝

，b＝

，焦點在

軸上；則a＝

，b＝

，焦點在

軸上；則a＝

，b＝

，焦點在

軸上.534632練習求出a、b的值，并判斷焦點的位置xyxy注意：x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上

練習例1、用定義判斷下列動點M的軌跡是否為橢圓。1.到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為6的點的軌跡.2.到F1(0,-2)、F2(0,2)的距離之和為4的點的軌跡.3.到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為3的點的軌跡.解:(1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故點M的軌跡為橢圓.(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故點M的軌跡不是橢圓(是線段F1F2).(3)因|MF1|+|MF2|=3<|F1F2|=4，故點M的軌跡不成圖形.例題鞏固例題鞏固焦點在x軸上的橢圓焦點在y軸上的橢圓橢圓圓若橢圓焦點位置不確定，可設為mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n)總結(法1)(法2)點代入方程a,b,c的關系橢圓定義求2a求a,b定型定量焦點位置例題鞏固(法1)(法2)未知焦點位置:巧設方程例題鞏固(法1)(