§2離散型隨機變量及其分布列

概率是描述隨機事件發(fā)生可能性大小的度量,如在擲一枚骰子的古典概型中,關(guān)心事件“出現(xiàn)1點”的概率,在描述新生兒性別的概型中,關(guān)心事件“新生兒是女孩”的概率,…這些不同概率模型中所提及的事件有什么共同特點?是否可以建立一個統(tǒng)一的概率模型來刻畫這些隨機事件?情境導(dǎo)入一般地,一個試驗如果滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不只一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個,但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果;這種試驗就是一個隨機試驗,為了方便起見,也簡稱試驗.1.“隨機試驗”的概念

一般地,設(shè)A,B是非空的數(shù)集,如果使對于集合A中的任意一個數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng),那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作：y=f(x),x∈A隨機試驗的樣本空間與實數(shù)集之間能否建立某種對應(yīng)關(guān)系呢？2.函數(shù)的概念2離散型隨機變量及其分布列1.理解隨機變量及離散型隨機變量的含義.2.會求某些簡單的離散型隨機變量的分布列.課標(biāo)要求1.通過離散型隨機變量及其分布列的概念與性質(zhì)的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2.借助分布列的求法,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).素養(yǎng)要求求隨機事件的概率時,我們往往需要為隨機試驗建立樣本空間,并會涉及樣本點和隨機事件的表示問題,類似函數(shù)在數(shù)集與數(shù)集之間建立對應(yīng)關(guān)系,如果我們在隨機試驗的樣本空間與實數(shù)集之間建立某種對應(yīng),將不僅可以為一些隨機事件的表示帶來方便,而且能更好地利用數(shù)學(xué)工具研究隨機試驗.探究點1離散型隨機變量探究導(dǎo)學(xué)

有些隨機試驗的樣本空間與數(shù)值有關(guān)系,我們可以直接與實數(shù)建立關(guān)系.任意拋擲一枚均勻的骰子擲出的點數(shù),可能出現(xiàn)的結(jié)果共有6個,其樣本空間為{擲出點數(shù)i,i=1,2,…,6},可簡記為{1,2,3,4,5,6}.但是,還有一些試驗的樣本空間不是用數(shù)值而是用屬性刻畫的.例如,拋擲一枚均勻的硬幣觀察其結(jié)果,其樣本空間是{正面,反面},如果引入變量X,對應(yīng)于試驗的兩個結(jié)果,將出現(xiàn)正面和反面時的X值分別規(guī)定為1和0,這樣,樣本點就和數(shù)值對應(yīng)起來.隨著試驗結(jié)果的確定,X的取值也就確定了.有些隨機試驗的樣本空間與數(shù)值沒有直接關(guān)系,可以根據(jù)問題的需要為每個樣本點指定一個數(shù)值.例如,隨機抽取一件產(chǎn)品,有“抽到次品”和“抽到正品”兩種可能結(jié)果它們與數(shù)值無關(guān).如果“抽到次品”用1表示,“抽到正品”用0表示,即

在隨機試驗中,我們確定了一個對應(yīng)關(guān)系,使得樣本空間的每一個樣本點都用一個確定的數(shù)值表示.在這個對應(yīng)關(guān)系下,數(shù)值隨著試驗結(jié)果的變化而變化.像這種取值隨著試驗結(jié)果的變化而變化的量稱為隨機變量.隨機變量常用字母X,Y,ξ,η等來表示.抽象概括例1:已知在10件產(chǎn)品中有2件不合格品.試驗E：從這10件產(chǎn)品中任取3件,觀察不合格品的件數(shù).(1)寫出該隨機現(xiàn)象可能出現(xiàn)的結(jié)果；(2)試用隨機變量來描述上述結(jié)果.例題精講解:(1)依題意知這10件產(chǎn)品中有2件不合格品,8件合格品.因此,從10件產(chǎn)晶中任取3件,所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是:“沒有不合格品”“恰有1件不合格品”“恰有2件不合格品”.(2)令隨機變量X表示取出的3件產(chǎn)品中的不合格品的件數(shù),則X所有可能的取值為0,1,2,對應(yīng)著任取3件產(chǎn)品所有可能的結(jié)果.即{X=0}表示“沒有不合格品”；{X=l}表示“恰有1件不合格品”；{X=2}表示“恰有2件不合格品”.例2

連續(xù)拋擲一枚均勻的硬幣2次,用X表示這2次拋擲中出現(xiàn)正面的次數(shù),則X是

一個隨機變量.分別說明下列集合所代表的隨機事件：(1){X=0}；(2){X=l}；(3){X≤1}； (4){X>0}.解:(1){X=0}表示使得隨機變量對應(yīng)于0的那些結(jié)果組成的事件,即2次都是出現(xiàn)反面.所以{X=0}表示“2次都是出現(xiàn)反面”.(2){X=1}表示“恰有1次出現(xiàn)正面”.(3){X<1}表示“至多1次出現(xiàn)正面(4){X>0}表示“至少1次岀現(xiàn)正面”.隨機變量的特點隨機變量的特點可以用數(shù)字表示試驗之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值在試驗之前不可能確定取何值P197練

習(xí)1.用隨機變量來描述下列隨機現(xiàn)象可能的結(jié)果:(1)連續(xù)拋擲一枚均勻的硬幣3次,出現(xiàn)正面的次數(shù);(2)一個口袋中裝有除顏色外完全相同的8個紅球和3個黃球,任意摸出兩球,摸到黃球的個數(shù).2.用X表示10次射擊中命中目標(biāo)的次數(shù),分別說明下列集合所代表的隨機事件:(1){X=8};(2){1<X≤9};(3){X>1};(4){X<1}.3.同時拋擲兩枚均勻的骰子,記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)之差為ξ,則{ξ>4}表示的隨機事件是().B.第一枚擲出5點,第二枚擲出1點

A.第一枚擲出6點,第二枚擲出2點D.第一枚擲出6點,第二枚擲出1點

C.第一枚擲出1點,第二枚擲出6點課堂練習(xí)探究點2離散型隨機變量的分布列

知道了上述兩點,拋擲一枚均勻的骰子擲出點數(shù)的規(guī)律也就弄明白了.我們也常將上式列成表：取值能夠一一列舉出來的隨機變量稱為離散型隨機變量.若離散型隨機變量X的取值為x1,x2…,xn,…,隨機變量X取xi的概率為Pi(i=1,2,…,n,…),記作P(X=xi)=Pi(i=1,2,…,n,…)①①式也可以列成表,如表xix1x2…xn…P(X=xi)p1p2…pn…抽象概括隨機變量X的分布列完全描述了隨機現(xiàn)象的規(guī)律:了解了隨機變量X的分布列,就了解了這個隨機變量的所有可能取值及取各個值的概率例3:籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分,不中得0分.已知某運動員罰球命中的概率為0.7,求他罰球一次得分的分布列.解:用隨機變量X表示每次罰球所得的分值.根據(jù)題意,X的可能取值為1,0,且取這兩個值的概率分別為0.7,0.3,因此所求的分布列如表：X10P0.70.3若在某個試驗中,每次試驗只有兩個相互對立的結(jié)果,可以分別稱為“成功〃和“失敗,每次“成功”的概率均為p,每次“失敗”的概率均為1-p,則稱這樣的試驗為伯努利試驗.如果隨機變量X的分布列如表：X10Ppq其中0<p<1,q=l-p,那么稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布(又稱0-1分布或伯努利分布).例3中籃球運動員每次罰球所得的分值服從p=0.7的兩點分布.兩點分布不僅是最簡單的,也是最重要的概率分布模型,在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用.抽象概括例4:連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子兩次,用X表示擲出的點數(shù)之和,試求X的分布列.解:我們用(i,j)表示拋擲的結(jié)果,其中i表示第一次擲出的點數(shù),j表示第二次擲出的點數(shù).例如,(3,4)表示第一次擲出的點數(shù)為3,第二次擲岀的點數(shù)為4.于是,連續(xù)拋擲一枚

均勻的骰子兩次,共有36種結(jié)果,結(jié)果如表6-6：例題精講

例5:一袋中裝有6個完全相同的黑球,編號分別為1,2,3,4,5,6,現(xiàn)從中隨機取出3個球,用X表示取出球的最大編號,求X的分布列.

1.隨機變量與函數(shù)的關(guān)系相同點隨機變量和函數(shù)都是一種映射.區(qū)別隨機變量是隨機試驗的結(jié)果到實數(shù)的映射，函數(shù)是實數(shù)到實數(shù)的映射.聯(lián)系隨機試驗結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域.課堂小結(jié)2.離散型隨機變量的特征(1)可用數(shù)值表示.(2)試驗之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值.(3)在試驗之前不能確定取何值.(4)試驗結(jié)果能一一列出.3.在利用分布列的性質(zhì)解題時的注意點(1)X=xi的各個取值所表示的事件是互斥的;(2)不僅要注意,而且要注意0≤p<l,i=1,2,…,n4.求離散型隨機變量分布列的步驟1).明確隨機變量的所有可能取值以及取每個值所表示的意義；2).利用概率的有關(guān)知識,求出隨機變量每個取值的概率；3).按規(guī)范形式寫出分布列.P201練

習(xí)1.①

某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)為X;

②某通信公司官方客服一天內(nèi)接聽電話的總次數(shù)為X;

③

一天中某時刻的溫度為X;

④

一射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊,命中得1分,未命中得0分,用X表示射手在一次射擊中的得分.上述問題中的X是離散型隨機變量的是().A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④

P201習(xí)題6-2A組1.袋中有除顏色外完全相同的紅球6個和白球5個,從袋中每次任意不放回地取出一個球,直到取出的球是白球為止.設(shè)隨機變量X表示所需要的取球次數(shù),則X的可能取值為().A.1,2,…,6B.1,2,…,7C.1,2,…,11D.1,2,3,…2.同時拋擲兩枚均勻的骰子,設(shè)X表示擲出的點數(shù)之和,則{X=4)表示的隨機試驗結(jié)果是().

A.一枚擲出3點,一枚擲出1點

B.兩枚都擲出2點C.兩枚都擲出4點

D.一枚擲出3點,一枚擲出1點或兩枚都擲出2點

X45678910P0.020.040.060.09a0.290.225.從6名男生和4名女生中隨機選出3名同學(xué)參加一項競技測試.(1)求選出的3名同學(xué)中至少有1名女生的概率;(2)設(shè)ξ表示選出的3名同學(xué)中男生的人數(shù),求ξ的分布列.6