易錯(cuò)點(diǎn)09平面向量平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是解決實(shí)際問題強(qiáng)有力的工具，是近年來高考的熱點(diǎn)之一．對向量問題的考查，往往與不等式、解析幾何、數(shù)列、平面幾何等知識結(jié)合起來．本文通過對近十年全國新課標(biāo)卷試題進(jìn)行分析、匯總，希望同學(xué)們能夠?qū)ζ矫嫦蛄康目枷?、考法、考試題型、難易程度有更加清晰的認(rèn)識，避免走彎路，錯(cuò)路，以提高復(fù)習(xí)的效率．易錯(cuò)點(diǎn)1：忽略零向量；易錯(cuò)點(diǎn)2：利用向量的數(shù)量積計(jì)算時(shí)，要認(rèn)真區(qū)別向量SKIPIF1<0與實(shí)數(shù)a·b；易錯(cuò)點(diǎn)3：利用向量的數(shù)量積計(jì)算時(shí)，判斷向量夾角的大小時(shí)要牢記“起點(diǎn)相同”；(1)求夾角的大?。喝鬭，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題．（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角.易錯(cuò)點(diǎn)4：向量數(shù)量積SKIPIF1<0的幾何意義中SKIPIF1<0的叫做SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的正射影的數(shù)量，它是一個(gè)數(shù)量，它可正，可負(fù)，也可以為0，要注意區(qū)分.易錯(cuò)點(diǎn)5：向量數(shù)量積SKIPIF1<0>0并不等價(jià)于向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角；易錯(cuò)點(diǎn)6：三點(diǎn)共線問題1.若A、B、C三點(diǎn)共線，且SKIPIF1<0,則SKIPIF1<02.SKIPIF1<0中SKIPIF1<0確定方法（1）在幾何圖形中通過三點(diǎn)共線即可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進(jìn)而確定SKIPIF1<0（2）若題目中某些向量的數(shù)量積已知，則對于向量方程SKIPIF1<0，可考慮兩邊對同一向量作數(shù)量積運(yùn)算，從而得到關(guān)于SKIPIF1<0的方程，再進(jìn)行求解（3）若所給圖形比較特殊（矩形，特殊梯形等），則可通過建系將向量坐標(biāo)化，從而得到關(guān)于SKIPIF1<0的方程，再進(jìn)行求解3.(1)證明向量共線：對于非零向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a=λb，則a與b共線．(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使SKIPIF1<0，則A，B，C三點(diǎn)共線．【注】證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說明共線的兩向量有公共點(diǎn).易錯(cuò)點(diǎn)7：向量與三角形的綜合(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來．(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用．(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果.題組1：線性運(yùn)算1（2018年新課標(biāo)1卷）在ΔABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up5(→))=()A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up5(→))-eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up5(→))-eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up5(→))+eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up5(→))+eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up5(→))【答案】A【解析】SKIPIF1<0故選A2．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)設(shè)D為QUOTEABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)SKIPIF1<0，則 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解析：由題知SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故選A．3.（2014新課標(biāo)1）設(shè)SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的三邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0,故選A4.(2013新課標(biāo)2理科)已知正方形的邊長為,為的中點(diǎn),則．【答案】2【解析】在正方形中，,,所以題組2：共線定理的應(yīng)用5．（2021新高考1卷）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則A．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的周長為定值B．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】BD【解析】由點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，可知點(diǎn)SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0內(nèi)．A選項(xiàng)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可知點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)．SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此周長SKIPIF1<0不為定值，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可知點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)．由圖可知，線段SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離處處相等，SKIPIF1<0的面積是定值，所以三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值，所以選項(xiàng)B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，分別取線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)．很顯然若點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0或SKIPIF1<0重合時(shí)，均滿足題意，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤．D選項(xiàng)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，分別取線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)．此時(shí)，有且只有點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0點(diǎn)重合時(shí)，滿足題意.所以選項(xiàng)D正確．因此，答案為BD.6．（2020年江蘇卷）在△ABC中，SKIPIF1<0D在邊BC上，延長AD到P，使得AP＝9，若SKIPIF1<0（m為常數(shù)），則CD的長度是________．【答案】0或SKIPIF1<0.【解析】∵SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，∴可設(shè)SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴根據(jù)余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的長度為SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合，此時(shí)SKIPIF1<0的長度為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合，此時(shí)SKIPIF1<0，不合題意，舍去.故答案為：0或SKIPIF1<0.7．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖則，，，，連結(jié)，過點(diǎn)作于點(diǎn)在中，有即所以圓的方程為可設(shè)由可得所以，所以其中，所以的最大值為，故選A．法二：通過點(diǎn)作于點(diǎn)，由，，可求得又由，可求得由等和線定理可知，當(dāng)點(diǎn)的切線（即）與平行時(shí)，取得最大值又點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到直線的距離相等，均為而此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為所以，所以的最大值為，故選A．另一種表達(dá)：如圖，由“等和線”相關(guān)知識知，當(dāng)點(diǎn)在如圖所示位置時(shí)，最大，且此時(shí)若，則有，由三角形全等可得，知，所以選A．法三：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)根據(jù)等面積公式可得圓的半徑是，即圓的方程是，若滿足即，，所以，設(shè)，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故選A．法四：由題意，畫出右圖．設(shè)與切于點(diǎn)，連接．以為原點(diǎn)，為軸正半軸，為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系則點(diǎn)坐標(biāo)為．∵，．∴．切于點(diǎn)．∴⊥．∴是中斜邊上的高．即的半徑為．∵在上．∴點(diǎn)的軌跡方程為．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，可以設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)滿足的參數(shù)方程如下：而，，．∵∴，．兩式相加得：(其中，)當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最大值3．題組3:共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算8．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】依題意可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．9．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)設(shè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不平行，向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)橄蛄縎KIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．題組4：垂直向量10．(2021年高考全國乙卷理科)已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．11．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知單位向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的夾角為45°，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，則k=__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意可得：SKIPIF1<0，由向量垂直的充分必要條件可得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．題組5：向量的數(shù)量積運(yùn)算11．（2021上海卷）如圖，正方形SKIPIF1<0的邊長為3，求SKIPIF1<0________．【答案】9【解析】由題意得:SKIPIF1<0.12. （2021新高考2卷）已知向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，平方可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.題組6：求夾角13．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知向量a，b滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0．故選：D．14．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為 ()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．15．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為單位向量，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0．【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．16．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故選A.題組6：求向量的模17．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)SKIPIF1<0為單位向量，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0為單位向量，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<018．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知向量,的夾角為,,,則__________．【答案】【解析】法一:所以．法二(秒殺解法):利用如下圖形,可以判斷出的模長是以為邊長的菱形對角線的長度,則為．法三:坐標(biāo)法依題意,可設(shè),,所以所以．題組8：求最值19.（2020?新全國1山東）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范用是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的取值范圍是SKIPIF1<0，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0的模與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的乘積，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：A.20.（2017新課標(biāo)2卷）已知SKIPIF1<0是邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小是_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】以BC為SKIPIF1<0軸，以BC邊上的高為SKIPIF1<0軸建立坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01．在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．-5 B．-4 C．-3 D．-2【答案】A【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：A2．正方形SKIPIF1<0中，P，Q分別是邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0故選：C．3．如圖，平面四邊形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】C【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：C.4．已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B.5．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】由題設(shè)，SKIPIF1<0.故選：B.6．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：D7．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．5 B．7 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，所以SKIPIF1<0.故選：D．8．已知向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角大小為（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【解析】SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0