第39講頻率分布直方圖、總體取值規(guī)律、總體百分位數(shù)的估計5種常考題型【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：頻率分布直方圖作頻率分布直方圖的步驟①求極差：極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.②決定組距與組數(shù)將數(shù)據(jù)分組時，一般取等長組距，并且組距應(yīng)力求“取整”，組數(shù)應(yīng)力求合適，以使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來.③將數(shù)據(jù)分組④列頻率分布表各小組的頻率＝eq\f(小組頻數(shù),樣本容量).⑤畫頻率分布直方圖縱軸表示eq\f(頻率,組距)，eq\f(頻率,組距)實(shí)際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的高度，小長方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率.考點(diǎn)二：頻率分布直方圖的性質(zhì)①因?yàn)樾【匦蔚拿娣e＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率.這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小.②在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1.③eq\f(頻數(shù),相應(yīng)的頻率)＝樣本容量.④頻率分布直方圖反映了樣本在各個范圍內(nèi)取值的可能性，由抽樣的代表性利用樣本在某一范圍內(nèi)的頻率，可近似地估計總體在這一范圍內(nèi)的可能性.考點(diǎn)三：常見統(tǒng)計圖表的特點(diǎn)與區(qū)別扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例，條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率，條形圖適用于描述離散型數(shù)據(jù)，直方圖適用于描述連續(xù)型數(shù)據(jù).折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢.考點(diǎn)四：百分位數(shù)①百分位數(shù)定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.②常用的百分位數(shù)1.四分位數(shù)：第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)，第75百分位數(shù).2.其它常用的百分位數(shù)：第1百分位數(shù)，第5百分位數(shù)，第95百分位數(shù)，第99百分位數(shù).③計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟如下：第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第2步，計算i＝n×p%；第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).【題型目錄】題型一：頻率分布表題型二：頻率分布直方圖題型三：總體百分?jǐn)?shù)的估算題型四：頻率分布直方圖平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計算題型五：頻率分布直方圖中的方差、標(biāo)準(zhǔn)差【典型例題】題型一：頻率分布表【例1】已知樣本數(shù)據(jù):10，8，6，10，13，8，10，12，11，7，8，9，11，9，12，9，10，11，12，11.那么頻率為0.2的是（

）A． B． C． D．【例2】考查某校高三年級男同學(xué)的身高，隨機(jī)地抽取50名男同學(xué)，測得他們的身高（單位：cm）如下表所示：171170165169167167170161164167171163163169166168168165160168158160163167173168169170160164171169167159151168170174160168176157162166158164180179169169(1)這組數(shù)據(jù)的極差為______，數(shù)據(jù)160的頻數(shù)為______，數(shù)據(jù)171的頻率為______；(2)填寫下面的頻率分布表：身高頻數(shù)頻率(3)畫出該校高三年級男同學(xué)身高的頻率分布直方圖．【題型專練】1．根據(jù)中國銀行的外匯牌價，第一季度的個工作日中，歐元的現(xiàn)匯買入價（歐元的外匯可兌換人民幣）的分組和各組的頻數(shù)如下：，；，；，；，；，；，；，.(1)列出歐元的現(xiàn)匯買入價的頻率分布表；(2)估計歐元的現(xiàn)匯買入價在內(nèi)的頻率；(3)若歐元的現(xiàn)匯買入價不超過的頻率的為，求.2．某制造商生產(chǎn)一批直徑為40的乒乓球，現(xiàn)隨機(jī)抽樣檢查20個，測得每個球的直徑（單位：，保留兩位小數(shù)）如下：40.03

40.00

39.98

40.00

39.99

40.00

39.9840.01

39.98

39.99

40.00

39.99

39.95

40.0140.02

39.98

40.00

39.99

40.00

39.96（1）完成下面的頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖；分組頻數(shù)頻率合計（2）假定乒乓球的直徑誤差不超過0.02為合格品.若這批乒乓球的總數(shù)為10000，試根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果估計這批產(chǎn)品的合格個數(shù).3．對某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：壽命/小時100~200200~300300~400400~500500~600個數(shù)2030804030（1）完成頻率分布表；分組頻數(shù)頻率100~200200~300300~400400~500500~600合計（2）畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖；（3）估計電子元件壽命在100~400小時以內(nèi)的頻率；題型二：頻率分布直方圖【例1】關(guān)山中學(xué)為了調(diào)查該校學(xué)生對于新冠肺炎疫情防控的了解情況，組織了一次新冠肺炎疫情防控知識競賽，并從該學(xué)校1200名參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，并統(tǒng)計了這100名學(xué)生成績情況（滿分100分，其中90分及以上為優(yōu)秀），得到了樣本頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布直方圖推測，這1200名學(xué)生中競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)大約為（

）A．8 B．28 C．96 D．336【例2】有一個容量為60的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：，2；，4；，5；，16；，11；，12；，7；，3．根據(jù)樣本的頻率分布估計數(shù)據(jù)落在的頻率約是（

）A． B． C． D．【例3】在樣本頻率分布直方圖中，共有9個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他8個長方形的面積和的，且樣本容量為140，則中間一組的頻數(shù)為____________．【例4】特崗教師是中央實(shí)施的一項(xiàng)對中西部地區(qū)農(nóng)村義務(wù)教育的特殊政策，通過公開招聘高校畢業(yè)生到中西部地區(qū)"兩基"攻堅(jiān)縣、縣以下農(nóng)村學(xué)校任教，進(jìn)而提高農(nóng)村教師隊(duì)伍的整體素質(zhì)，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某市招聘特崗教師需要進(jìn)行筆試和面試，一共有600名應(yīng)聘者參加筆試考試，從中隨機(jī)抽取了100名應(yīng)聘者，記錄他們的筆試分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，得到如圖所示頻率分布直方圖.(1)若該市計劃168人進(jìn)入面試，請估計參加面試的最低分?jǐn)?shù)線；(2)已知樣本中筆試分?jǐn)?shù)低于40分的有5人，試估計總體中筆試分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù).【例5】某學(xué)校1000名學(xué)生參加信息技術(shù)學(xué)分認(rèn)定考試，用按性別比例分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取了100名學(xué)生的成績，記錄他們的分?jǐn)?shù)，并將數(shù)據(jù)分成8組：，，，，整理得到如下頻率分布直方圖：(1)求圖中的值，并估計全校學(xué)生中成績不低于70分的學(xué)生人數(shù)；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)不低于70的男生占樣本中全部男生人數(shù)的，且樣本中分?jǐn)?shù)不低于70的男生與女生人數(shù)之比為，求總體中男生人數(shù)和女生人數(shù)之比.【題型專練】1．某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們在某一天課外閱讀所用時間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用頻數(shù)直方圖（如圖）表示，則課外閱讀時間在內(nèi)的學(xué)生的頻率為（

）A．10 B．15 C．0.2 D．0.32．為了評估某家快遞公司的服務(wù)質(zhì)量，某評估小組進(jìn)行了客戶滿意度調(diào)查，從該公司參與調(diào)查的客戶中隨機(jī)抽取名客戶的評分，評分均在區(qū)間上，分組為、、、、、，其頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定評分在分以下表示對該公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意，則這名客戶中對該公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶的人數(shù)為________.3．一個容量為20的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：2個；3個；x個；5個；4個；2個；根據(jù)樣本的頻率分布估計，數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率約為__________.4．如圖，是某校高三年級100名學(xué)生的體育綜合測試成績的頻率分布直方圖（百分制），其中，成績分組區(qū)間是：(1)求圖中a的值：(2)求這100名學(xué)生中，體育成績不小于80分的概率.5．某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如下：(1)求直方圖中的值；(2)在月平均用電量為[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220，240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？6．2022年是黨的二十大召開之年，黨的二十大是我們黨進(jìn)入全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家、向第二個百年奮斗目標(biāo)進(jìn)軍新征程的重要時刻所召開的一次重要的代表大會．某社區(qū)對100名熟悉“黨史”的群眾的年齡（單位：歲）做了數(shù)據(jù)統(tǒng)計，并繪制成如圖所示的不完整的頻率分布直方圖．統(tǒng)計員在繪制頻率分布直方圖的過程中所搜集的數(shù)據(jù)只能確定年齡在與的熟悉“黨史”的人數(shù)之和是年齡在的熟悉“黨史”的人數(shù)的3倍，且組的頻率比組的頻率多0.15．(1)分別求，，組對應(yīng)的頻率；(2)求年齡在的熟悉“黨史”的人數(shù)．題型三：總體百分?jǐn)?shù)的估算【例1】高二某班參加了“中國神舟十三號載人飛船航空知識答題”競賽，10位評委的打分如下：5，6，6，7，7，8，9，9，10，10，則（

）A．該組數(shù)據(jù)第60百分位數(shù)為8 B．該組數(shù)據(jù)第60百分位數(shù)為8.5C．該組數(shù)據(jù)中位數(shù)為7和8 D．該組數(shù)據(jù)中位數(shù)為8【例2】（多選題）某科技學(xué)校組織全體學(xué)生參加了主題為“創(chuàng)意之匠心，技能動天下”的文創(chuàng)大賽，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法正確的是（

）A．在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生有160人B．圖中的值為0.020C．估計全校學(xué)生成績的中位數(shù)約為86.7D．估計全校學(xué)生成績的80%分位數(shù)為95【例3】一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為_____．【例4】杭州市某高中從學(xué)生中招收志愿者參加迎亞運(yùn)專題活動，現(xiàn)已有高一540人、高二360人，高三180人報名參加志愿活動.根據(jù)活動安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報名的志愿者中抽取120名.對抽出的120名同學(xué)某天參加運(yùn)動的時間進(jìn)行了統(tǒng)計，運(yùn)動時間均在至分鐘之間，其頻率分布直方圖如下：(1)需從高一、高二、高三報名的學(xué)生中各抽取多少人?(2)（i）請補(bǔ)全頻率分布直方圖;（ii）求這120名學(xué)生運(yùn)動時間的第80百分位數(shù)是多少?【題型專練】1．已知某組數(shù)分別為，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是______．2．為了解某校高三年級男生的體重，從該校高三年級男生中抽取17名，測得他們的體重數(shù)據(jù)如下（按從小到大的顧序排列，單位：）56

56

57

58

59

59

61

63

64

65

66

68

69

70

73

74

83據(jù)此估計該校高三年級男生體重的第75百分位數(shù)為______3．?dāng)?shù)據(jù)的第63百分位數(shù)是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.4．如圖所示是將高三某班60名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績（成績均為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布直方圖，則此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)是_____．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）題型四：頻率分布直方圖平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計算【例1】在剛剛進(jìn)行的全校體能測試中，錦一高三某班40名同學(xué)體能成績恰在內(nèi)，繪成如下頻率分布直方圖（滿分100分），下列說法正確的是（

）A．該班學(xué)生體能成績的中位數(shù)是75分B．該班占40%的同學(xué)體能成績達(dá)到優(yōu)秀（80分及以上為優(yōu)秀）C．該班學(xué)生體能成績的平均數(shù)是77分D．該班學(xué)生體能成績的眾數(shù)是78分【例2】眼睛是心靈的窗戶，然而隨著網(wǎng)絡(luò)、、平板電腦等電子產(chǎn)品的普及，越來越多的青少年的視力情況堪憂，因此，為了喚醒大家對視力損害的重視，每年的6月6日被定為全國愛眼日，每年10月的第二個星期四被定為世界愛眼日．某小學(xué)為了了解在校學(xué)生的視力情況，對所有在校學(xué)生的視力進(jìn)行檢測，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示，則該小學(xué)所有學(xué)生視力的中位數(shù)約為（

）．A．4.50 B．4.93 C．5.10 D．4.87【例3】（多選題）為推動學(xué)校體育運(yùn)動發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極參與體育鍛煉，增強(qiáng)健康管理意識，某校根據(jù)性別比例采用分層抽樣方法隨機(jī)抽取了120名男生和80名女生，調(diào)查并分別繪制出男、女生每天在校平均體育活動時間的頻率分布直方圖（如圖所示），則（

）A． B．該校男生每天在校平均體育活動時間中位數(shù)的估計值為75C．估計該校至少有一半學(xué)生每天在校平均體育活動時間超過一小時 D．估計該校每天在校平均體育活動時間不低于80分鐘的學(xué)生中男、女生人數(shù)比例為【例4】某企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：，得到如下頻率分布直方圖．(1)求出直方圖中的值；(2)在樣本中，有的個體小于或者等于中位數(shù)，同時也有的個體大于或者等于中位數(shù)，所以在頻率分布直方圖中，在中位數(shù)的左邊和右邊直方圖的面積相等．請利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)(精確到)．【例5】從某校參加數(shù)學(xué)競賽的試卷中抽取一個樣本，考查競賽的成績分布，將樣本分成6組，得到頻率分布直方圖如圖所示，從左到右各小組的小長方形的高的比為，最右邊的一組的頻數(shù)是8.(1)求樣本的容量及直方圖中的值；(2)估計參加這次數(shù)學(xué)競賽成績的眾數(shù)?中位數(shù)?平均數(shù).【題型專練】1．某次考試后，甲、乙兩班的數(shù)學(xué)老師分別統(tǒng)計了各自班級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績（百分制，均位于內(nèi)），并將所得數(shù)據(jù)按照，，，，，分組得到如圖所示的頻率分布直方圖.在兩個班級參考人數(shù)相等的前提下，下列說法正確的是（

）A．乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)的估計值高于甲班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）B．乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的最高分高于甲班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的最高分C．甲班學(xué)生數(shù)學(xué)成績不及格（60分以下）的人數(shù)多于乙班D．甲班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)的估計值小于乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)的估計值2．已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計值為（

）A．64 B．65 C．64.5 D．663．統(tǒng)計局就某地居民的月收入情況調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本頻率分布直方圖，每個分組包括左端點(diǎn)，不包含右端點(diǎn)，如第一組表示收入在元之間．(1)求a的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù).4．第19屆亞運(yùn)會將于2022年9月在杭州舉行，志愿者的服務(wù)工作是亞運(yùn)會成功舉辦的重要保障.某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.(1)求a，b的值；(2)計算本次面試成績的眾數(shù)和平均成績；(3)根據(jù)組委會要求，本次志愿者選拔錄取率為19%，請估算被錄取至少需要多少分.5．某校從參加某次知識競賽的同學(xué)中，選取60名同學(xué)將其成績（百分制，均為整數(shù)）分成，，，，，六組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題：(1)求分?jǐn)?shù)內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個頻率分布直方圖；(2)從頻率分布直方圖中，估計本次考試成績的眾數(shù)和中位數(shù)和平均數(shù)．題型五：頻率分布直方圖中的方差、標(biāo)準(zhǔn)差【例1】某學(xué)校為了了解高二年級學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，對高二年級的200名學(xué)生進(jìn)行了一次測試.已知參加此次測試的學(xué)生的分?jǐn)?shù)全部介于45分到95分之間，該校將所有分?jǐn)?shù)分成5組：，，，，，，，整理得到如下頻率分布直方圖（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表）.(1)求的值，并估計此次校內(nèi)測試分?jǐn)?shù)的平均值；(2)試估計這200名學(xué)生的分?jǐn)?shù)的方差，并判斷此次得分為52分和94分的兩名同學(xué)的成績是否進(jìn)入到了范圍內(nèi)？（參考公式：，其中為各組頻數(shù)；參考數(shù)據(jù)：【例2】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量數(shù)據(jù)得到頻率分布直方圖如圖所示．(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖；(2)若同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)