專題06導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性一、考情分析二、考點梳理1．函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個區(qū)間內(nèi)，如果___________，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果___________，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．注意：在某個區(qū)間內(nèi)，（）是函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（減）的充分條件，而不是必要條件．函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增（減）的充要條件是（）在內(nèi)恒成立，且在的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0．2．函數(shù)圖象與之間的關(guān)系一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較___________，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快，這時，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)的圖象就“平緩”一些．三、題型突破重難點題型突破一、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明一個函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實質(zhì)上就是判斷或證明不等式（）在給定區(qū)間上恒成立．一般步驟如下：①求導(dǎo)數(shù)；②判斷的符號；③給出單調(diào)性結(jié)論．（2）在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解題過程中，只能在定義域內(nèi)討論，定義域為實數(shù)集可以省略不寫．在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點外，還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點和不可導(dǎo)點．（3）當(dāng)求得的單調(diào)區(qū)間不止一個時，單調(diào)區(qū)間要用“，”或“和”字等隔開，不要用符號“∪”連接．例1．（1）、若函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令解不等式即可得答案.【詳解】解：因為函數(shù)，所以，令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故選：C.【變式訓(xùn)練11】、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令，解不等式即可得答案.【詳解】解：因為函數(shù)，所以，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：C.例2．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在、上遞增，在上遞減；(2).【解析】(1)由題設(shè)，且定義域為，則，當(dāng)或時，；當(dāng)時，.所以在、上遞增，在上遞減.(2)由題設(shè)，在上恒成立，所以在上恒成立，當(dāng)時，滿足題設(shè)；當(dāng)時，，可得.綜上，.【變式訓(xùn)練21】、已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增(2)【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，再求單調(diào)區(qū)間即可；（2）分離變量，求函數(shù)的最大值，即可求得的取值范圍.(1)函數(shù)的定義域為，，令，即，解得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，即，解得，則的單調(diào)遞減；(2)∵恒成立，等價于恒成立，設(shè)，則，設(shè)，，∴在單調(diào)遞減，又∵，∴在上，在上∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴在出取得最大值，∴，∴，∴，故的取值范圍是.重難點題型突破二、函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系判斷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)圖象間對應(yīng)關(guān)系時，首先要弄清所給圖象是原函數(shù)的圖象還是導(dǎo)函數(shù)的圖象，其次對于原函數(shù)，要注意其圖象在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大于零，在哪個區(qū)間內(nèi)小于零，并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致．例3．（1）、偶函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷出正確答案.【詳解】由圖象可知，的圖象從左往右，是增減增，由此排除AD選項，由圖象可知，當(dāng)時，增長越來越快，由此排除C選項.故選：B（2）．若函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的圖象可知其單調(diào)性情況，再由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系即可得解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時，從左向右函數(shù)先增后減，故時，從左向右導(dǎo)函數(shù)先正后負，故排除AB；當(dāng)時，從左向右函數(shù)先減后增，故時，從左向右導(dǎo)函數(shù)先負后正，故排除D.故選：C.【變式訓(xùn)練31】、下面四圖是某三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象，則正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號決定原函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】對于A、B，二次函數(shù)的符號是先正后負再正，原函數(shù)應(yīng)先增后減再增，故A、B錯誤；對于C，導(dǎo)數(shù)變號的地方是單調(diào)性發(fā)生變化的地方，C不滿足；對于D，符合導(dǎo)函數(shù)的符號與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系；故選：D【變式訓(xùn)練32】、函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的有（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的圖像可知，將用表示，分析從而可得出答案.【詳解】解：，由圖可知，，則，故C正確；，，兩式相減得，即，，則，所以，則，所以，故AB正確；則，故D錯誤.故選：ABC.重難點題型突破三、導(dǎo)數(shù)在解決單調(diào)性問題中的應(yīng)用（1）已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍問題，是一類非常重要的題型，其基本解法是利用分離參數(shù)法，將或的參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．（2）利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點問題時，一般先由零點的存在性定理說明在所求區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，再利用導(dǎo)數(shù)判斷在所給區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，由此求解．例4．已知函數(shù)f(x)＝－2x2＋lnx(a>0)，若函數(shù)f(x)在[1,2]上為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知或在[1,2]上恒成立，將問題再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解即可.【詳解】，若函數(shù)f(x)在[1,2]上為單調(diào)函數(shù)，即或在[1,2]上恒成立，即或在[1,2]上恒成立.令，則h(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，所以或,即或，又a>0，所以或a≥1,故答案為：【變式訓(xùn)練41】、．若函數(shù)在[1，3]單調(diào)遞增，則a的取值范圍___．【答案】【解析】【分析】由在區(qū)間上恒成立來求得的取值范圍.【詳解】依題意在區(qū)間上恒成立，在上恒成立，所以.故答案為：例5．已知函數(shù)，.討論的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】【分析】對求導(dǎo)并確定定義域，進而構(gòu)造，討論其對應(yīng)、情況下的符號，進而判斷的符號，即可確定的單調(diào)性；【詳解】由的定義域為，且.令，則.①當(dāng)，即時，對任意的有，則，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時，有兩個不等的實根，設(shè)為、，且，令，解得，.解不等式，可得；解不等式，可得或.此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為；例6．已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】【分析】對求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)定義域，構(gòu)造，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，討論、、判斷的符號，進而確定的單調(diào)性.【詳解】由題設(shè)，且定義域為，記.當(dāng)時，因為有，則，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，因為有，則，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，即得，由，即得或，所以在上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增.

四、課堂訓(xùn)練（30分鐘）1．不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】結(jié)合不等式特點，構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性，從而求出解集.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．原不等式可化為，即，結(jié)合，可得，所以原不等式的解集為．故選：B2．若函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】分析可知對任意的恒成立，利用參變量分離法結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知，對任意的恒成立，則，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，，故.故選：A.3．已知函數(shù)，則（）A．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增B．有2個不同的零點C．若a，，則D．若且，則【答案】AD【解析】【分析】對函數(shù)進行求導(dǎo)，解導(dǎo)數(shù)不等式，利用零點存在性定理，利用作差法比較大小，利用極值點偏移，即可得到答案；【詳解】對A，，，，當(dāng)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A正確；對B，，，故B錯誤；對C，，故C錯誤；對D，不妨設(shè)，，要證，設(shè)，函數(shù)在單調(diào)遞增，且，恒成立，，，且在單調(diào)遞增，，故D正確；故選：AD4．已知函數(shù)，則()A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，D．方程有兩個不同的解【答案】BC【解析】【分析】對于，分析的單調(diào)性可判斷；對于，令，求導(dǎo)分析其單調(diào)性，可判斷；對于，令，求導(dǎo)分析其單調(diào)性，可判斷；對于，令，求導(dǎo)分析其單調(diào)性與零點情況，可判斷．【詳解】對于，在上單調(diào)遞增，，故錯誤；對于，令，則，當(dāng)，時，，在，上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，故正確；對于，令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，即，故正確；對于，令，則，在上單調(diào)遞增，又，(1)，故在有零點，且只有一個零點，故方程，即只有一解，故錯誤，故選：BC．5．已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）A．在R上單調(diào)遞增 B．C．方程有實數(shù)解 D．存在實數(shù)k，使得方程有4個實數(shù)解【答案】BCD【解析】【分析】對求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的符號可判斷的單調(diào)性，即可判斷選項A；比較，以及的單調(diào)性即可判斷選項B；令，由零點存在定理可判斷選項C；等價于，有一個根為，所以原方程有4個根等價于方程有個實數(shù)解，令，對求導(dǎo)判斷單調(diào)性，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷選項D，進而可得正確選項.【詳解】解：由可得，由可得：，由可得：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故選項A不正確；對于選項B：，在單調(diào)遞增，因為，所以，即，故選項B正確；對于選項C：令，因為，，，根據(jù)零點存在定理可知存在使得，所以方程有實數(shù)解，故選項C正確；對于選項D：方程即，有一根為，所以原方程有4個根等價于方程有個非零實數(shù)解，令，則，令可得或，令可得，所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，作出的圖形如圖所示：所以存在時，方程有個實數(shù)解，此時方程有4個實數(shù)解.故選：BCD【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，由（或）解出相應(yīng)的的范圍，對應(yīng)的區(qū)間為的增區(qū)間（或減區(qū)間）；（2）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，解方程，利用的根將函數(shù)的定義域分為若干個子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論的正負，由符號確定在子區(qū)間上的單調(diào)性.6．已知函數(shù)，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】由奇偶性定義、導(dǎo)數(shù)判斷的奇偶性及單調(diào)性，再應(yīng)用奇函數(shù)、單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】由題設(shè)，且定義域為，故為奇函數(shù)，又，在定義域上遞增，∴，可得，∴，解得，∴原不等式解集為.故答案為：.7．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.【答案】【解析】【分析】先求定義域，求導(dǎo)后令求得不等式解集，結(jié)合定義域最終求得結(jié)果.【詳解】函數(shù)定義域為，，令得：，結(jié)合定義域，可知的單調(diào)遞增區(qū)間為故答案為：8．已知在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)在區(qū)間上不單調(diào)，即函數(shù)在上有零點，即方程在上有解，分離參數(shù)，從而可得出答案.【詳解】解：因為函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以在上有零點，即方程在上有解，即在上有解，所以.故答案為：.9．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是__________．【答案】，【解析】【分析】對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，由求解.【詳解】解：因為，所以的定義域為，則，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減區(qū)間是，故答案為：，10．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時，利用求得的單調(diào)區(qū)間.（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值大于零，從而證得不等式成立.(1)當(dāng)時，，且，又與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)因為，所以，要證，只需證當(dāng)時，即可.，易知在上單調(diào)遞增，又，所以，且，即，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，，所以.【點睛】在證明不等式的過程中，直接證明困難時，可考慮證明和兩個不等式成立，從而證得成立.11．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：對任意正整數(shù)n，．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】(1)由，令，得，或