§1集合的含義與表示

課后篇鞏固提升

A組基礎(chǔ)鞏固

1.下列各組對象能組成一個集合的是（）

。某中學高一年級所有聰明的學生;②在平面直角坐標系中，所有橫坐標與縱坐標相等的點；

③所有不小于3的正整數(shù);詢所有近似值.

B.③?C.領(lǐng)）

解析:加不符合集合中元素的確定性.故選C.

答案:C

2.下列集合中為。的是（）

A.{0}B.{0}

C.3/+4=0}D.{x\x+1W2x}

解析:集合{0}中有一個元素0;集合{。}中有一個元素。;集合{x|x+l〈2H表示滿足不等式

八十1W2A的人的集合，不是空集;集合Hid十4二0}表示方程/十4一0的解集，而該方程無解，故該

集合為0.

答案:C

3.（改編題）下列集合的表示方法中,不同于其他三個的是（）

A.{小=2018}

B.[2018）

C.{x=2018）

018）2=0}

解析:A,B,D對應(yīng)的集合中只有一個元素2018,故它們是相同的集合，而C中雖只有一個元素,

但該元素是用等式作為元素，而不是實數(shù)2018,故選項C與其他三個選項不同.

答案:C

4.由a\2-aA組成一個集合A/中含有3個元素，則實數(shù)。的取值可以是（）

A.lB.-2C.6D.2

解析:當a=\時，由〃=12°=1,4組成一個集合44中含有2個元素；

當a=-2時，由?2=4,2-?=4,4組成一1個集合A力中含有1個元素；

當a=6時，由672=36,2-?=-4,4組成一個集合A?A中含有3個元素；

當a=2時，由々2=4,2-斫0,4組成一個集合A/中含有2個元素.故選C.

答案:C

5.定義集合運算AO8={z|zf＞，a+j）/￡Aj￡B},設(shè)集合A={0,l},B={2,3},則集合AO3的所有

元素之和為（）

A.OB.6

C.12D.18

解析:根據(jù)4OB的定義，當x=0時z=0;當x=\時，若y=2,則z=6,若產(chǎn)3,則z=12.

因此集合AOB的所有元素和為18.

答案:D

6.由下列對象組成的集體屬于集合的是（填序號）.

仍超過10的所有正整數(shù);②高一（6）班中成績優(yōu)秀的同學;③*央一套播出的好看的電視居IJ;

④平方后不等于自身的數(shù).

解析:加中的對象是確定的,可以組成集合，儆沖的對象是不確定的，不能組成集合.

答案:&旗

7.用列舉法寫出集合=.

解析：丁￡ZK￡Z,

?：3能被3-x整除，即3?為3的因數(shù).

?：3-x=±l或3-x=±3.

?:=土3或=±1.

綜上可知「3,-1,1,3滿足題意.

答案:{?3,?1,1,3}

8.已知集合4=3加2+2^2=。)中有兩個元素，則實數(shù)相滿足的條件為.

解析:由題意知ni^O且△=4-8加>0,解得〃?〈,且加和.

答案:m〈，且〃#0

9.用另一種方法表示下列集合：

(1){-3,-1,1,3,5(;

⑵“至32,45…};

(3)已知M={2,3},P={(xj)|x￡M,yEM},寫出集合P;

(4)集合A-HeZ|-2W“W2},8二{/-1卜仁4},寫出集合'A

解：(l)3x=2JM,%￡Z,且?1W2W3}.

(2){X|X=〃2,〃￡N+}.

(3)P={(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}.

(4)因為A={2?l,01,2),

所以B={3,0,-l}.

10.(_D導學號85104002已知集合4由3個元素:*4+10構(gòu)成，且1￡人試求實數(shù)a

的值.

解:因為所以〃=1或a+l=L

若岸=1,則方土1.

當a=\時，集合A中的元素是1,2,0,符合要求；

當a=-\時，集合A中的元素是1,0。不符合元素的互異性.

若。+1=1,則。=0,集合4中的元素是0,1,0,不符合元素的互異性.

綜上可知，實數(shù)〃的值為1.

B組能力提升

1.若仍}={川*24；+]=0}3力￡1<),則a+b等于()

A.B.C.D.

解析：**{Z?}={x|av2-4x+l=0},

?：5Mx+l=0只有一個實數(shù)根.

當u=0時,=,此時a+b=;

當"0時,A=16?4a=0,

?：a=4,此時b=.

?：a+b=4+.故a+b=或a+b=.

答案:B

2.已知集合A的元素滿足條件:若a￡A,則￡4e),當￡A時,則集合4個元素的個數(shù)是()

A.lB.2C.3D.4

解析：：?WA,?：=2WA.

72￡A,,：=?3￡A

:'-3eA,.：=-￡A.

；W4,,：WA.

?：集合A中有-3,-,2四個元素.

答案:D

3.已知集合A={x|x=2a,?￡Z},B={x\x=2a+\,a￡Z},C={x|x=4〃+1￡Z}.若m￡A,n￡B,則有

（）

A.加+〃￡A

C.m+n^C

D.機+〃不屬于A,B,C中的任意一個

解析:由小￡4,可設(shè)m二2。1必￡2.由〃￡B,可設(shè)〃=2a2+l,s￡Z.所以得到〃?+〃=2（ai+a2）+l,且

ai+z^Z，所以加+〃￡8,故選B.

答案:B

4.已知x,y,z為非零實數(shù),代數(shù)式的值所組成的集合是M則M=.

解析:若冬,,z都大于零，則代數(shù)式的值為4;若人都小于零，則代數(shù)式的值為4其他情況均為

0,故M={-4,0,4}.

答案:{40,4}

5.定義非空數(shù)集的一種運算:4%=[小=汨+為為￡4小￡8}.若/1={123},8={1,2},則4怨的所

有元素之和為.

解析:由定義可知4*8={2,3,4,5},故A法的所有元素之和為2+3+4+5=14.

答案：14

6.（開放題）對于一個集合S,若時，有WS,則稱這樣的數(shù)集為“可倒數(shù)集”，試寫出一個“可倒

數(shù)集”:.

答案：（答案不唯一）

7.給定集合A,若對于任意。力￡A,有a+Z??A且。功仁4,則稱集合A為閉集合，給出如下四個結(jié)

論:掘合4=[4-2。2,4}為閉集合;②正整數(shù)集是閉集合;③無理數(shù)集是閉集合;合

A={x|x=3A,kWZ}為閉集合，其中正確的是.（填序號）

解析:①中取。=?4力=4,則二?8e4,故①不成立;②+取。=1力=3,此時。功二-2不是正整數(shù)，故

助;成立；@中取4=1+力=1-,則4M>=2?A,故成立;@中取a=3島（舟GZ）力=3上（AzGZ）,則

。+6=3%+的￡A,a-b=3（攵1%）￡4,故④成立.

答案:@

8.（信息題）設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于代4若hlEA,且A+1WA則稱氏是4的一個“孤

立元'’.給定集合S={1,2,3,4,5,678},在由S的三個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集

合個數(shù)為.

解析:題目中的“孤立元”的含義就是不相鄰，所以不含"孤立元’’的集合中的元素必是連續(xù)的三

個數(shù)，共有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}這6個.

答案：6

9.設(shè)A是由一些實數(shù)構(gòu)成的集合，若則且修人

⑴若3WA,求集合A;

⑵證明:若a￡A,則1-￡A;

（3）集合A能否只有一個元素?若能，求出集合A;若不能，說明理由.

⑴解：丁3￡A,U,

.：￡4,

.：=3￡A,?:A=.

（2）證明：：ZeA,.：￡A,

?：=1-￡A.

（3）解:假設(shè)集合A只有一個元素，記A={〃},則。=抑/F+IR有且只有一個實數(shù)解

VA=（-l）2-4=-3<0,

.：廬4+1=（）無實數(shù)解.

這與a2-a+\=O有且只有一個實數(shù)解相矛盾，

.：假設(shè)不成立,即集合A不能只有一個元素.

10.（〕導學號85104003已知集合M^xia-aXFor+a-l）=。}中各元素之和等于3,

求實數(shù)〃的值,并用列舉法表示集合M.

解:根據(jù)集合中元素的互異性知,當方程（x0（P級+a-l）=0有重根時，重根只能算作集合的一

個元素，又M=[x\（x-a）（x-1）Lv-（a-1）]=0}.

當a=\時,M={1,0},不符合題意；

當a-l=l,即a=2時,M={1,2},符合題意；

當?shù)那襛#2時,a+1+4-1=3,則a=,M=，符合題意.

綜上所述，實數(shù)a的值為2或，

當a=2時,M={1,2};當?=nf,A/=.

§2集合的基本關(guān)系

課后篇鞏固提升

A組基礎(chǔ)鞏固

1.若集合4={小是等邊三角形},8=（小是三角形}，則下列關(guān)系正確的是（

RAGBB.心B

C.A=BD.BQA

解析:等邊三角形一定是三角形，但三角形不一定是等邊三角形，由真?子集定義知A些區(qū)

答案:B

2.下列命題中，正確的有（）

g集是任何集合的真子集;例A星機B是。，則A些C;?{壬何一個集合必有兩個或兩個以上的

真子集;彝。/，則A#。.

A.??B.②?C.??D.③?

解析:空集只是空集的子集而非真子集，故色湍;真子集具有傳遞性，故②正確;若一個集合是空

集,則沒有其子集，故3M誤;。是任何非空集合的其子集，故④正確.因此選C.

答案:C

3.已知集合M={xR>3},N={x|x>2},則M與N的關(guān)系可用Venn圖表示為（）

CD

解析:因為M={x|x>3},N={x|x>2),所以M屋N.

故D選項正確.

答案:D

4.設(shè)A={x|2WxW8},8=32^?+4},若照4,則實數(shù)?的取值范圍是()

A.{a|KW4}B.{〃|a>4}

C.{a\a^\}D.{a|l<tz<4}

解析:①當理。時，則有

解得lWaW4.

②當B=0時,2。>。+4,解得〃>4.

綜合&②得。21.故選C.

答案:C

5.已知集合4=,則集合A的子集的個數(shù)為.

解析:由二0,得解得x=2,所以A={2}.故A的子集為。,{2},共2個.

答案：2

6.若{a,0,1}=，則a=,b=,c=.

解析:r?1￡{a,0』},.：〃=/.

又0任，."一0.由二1得b-\.

綜上,a=-1,b=1,c=0.

答案：-110

7.已知集合A={-1,32〃-1}，集合8:{3附2}.若BGA,則實數(shù)m=.

解析：TBUA,且m2不可能取1,：M=2機〕解得m=1,經(jīng)驗證符合題意.

答案：1

8.若集合A={x|2WxW3},集合8={x[G>2=0,aWZ},且BG4,則實數(shù)a-.

解析:當8=0時,a=0,滿足BQA;

當班0時,B=,

又8￡A,,：2WW3,

即WaWl,又a￡Z,,：a=l.

綜上知a的值為?；?.

答案：0或1

9.已知集合4={x|xv-l,或x>4},B={x|2a(xWa+3},若8忌4,求實數(shù)a的取值范圍.

解:當呂=。時，只需2?>a+3,即心3,滿足B室A.

當8#。時，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，

r-g-i^ir

2ac+3-1x

“r"^~|一r

42aa+3x

若匹A,則

解得a<-4或2<aW3.

綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為{川a<-4,或a>2}.

10.C—J導學號85104006已知集合P={xeR|x2+a￥+4=0(.

(1)若尸={2},求實數(shù)。的值；

(2)若{1狂P,求實數(shù)〃的值.

解:⑴因為尸二{2},所以方程/+?+4=0有兩個相等的實根R=%2=2,

因此22+勿+4=0,解得。=4

這時P={x￡R|*4x+4=0}={2},符合題意.

故a=-4.

(2)因為(1)呈產(chǎn),

所以集合P中含有元素1,即1是方程/+av+4=0的根，

所以F+axl+4=0,解得。=-5.

這時P={XWR|F-5X+4=0}={1,4},符合題意，故a=-5.

B組能力提升

1.設(shè)全集為R,集合M={x\y=2x+\}A={y|j=-x2),M()

A.MGNB.NGM

C.N=MD.MWN

解析:從代表元素入手，認識集合的意義,由一次函數(shù)的圖像知M二R,由二次函數(shù)的圖像知

N=(r),0],即NJM.

答案:B

2.若集合A={x|x=〃僧￡N},B=JM4與B的關(guān)系是()

A.4&8B.AQB

C.A-BD.AS8

解析：丁〃￡Z,.：A={x|x=〃,〃￡N}￡=8,故選B.

答案:B

3.設(shè)集合A={-1,1}，集合8={H/-2or+b=0},若8用,隨4則3/)不能是()

C.(0,-l)D.(l,l)

解析:當a=-\,b=\時,8={X*+2X+1=0}={?1},符合；

當a=b=\時,3={加2-&+1=0}={1},符合;

當a=0,b=-\時方={%*-1=0}={-1,1},符合；

當。=一]力=0時乃=3f+2x=0}={0,-2},不符合.

答案:B

4.(拓展探究)集合S={0』,2,3,4,5}4是S的一個子集，當時，若有"64,且X+1M,則稱

為A的一個“孤立元素”，則S中無“孤立元素”的4元子集的個數(shù)是()

A.4B.5C.6D.7

解析:依題意，可分為兩類:協(xié)元素為相鄰的四個數(shù)字，有{0,1,2,3},{1,2,3,4},{2,3,4,5);

例個元素分為兩組，每組兩元素相鄰，有{0,134},{0』,4,5},{1,2,4,5}.

故共有6個4元子集.

答案:C

5.若二{0,理,。+的,貝|J.2018+〃018=_

解析:據(jù)題意得。押,?：％=0,

?：{1,0,0}={0,*4},.：02=],解得。=]或a-.\

當a=\時,不滿足集合的互異性

.2238+按018=1.

答案：1

6.定義A%;{x|x￡A,且1至8},若4={1,3,5,7},8={2,3,5},則4*8的子集個數(shù)為.

解析:因為人*6={1,7},所以其子集為0,{1},{7},{1,7},個數(shù)為4.

答案：4

7.已知集合4={1,3,-川,8=住+2,1},是否存在實數(shù)二使得8是4的子集?若存在,求出集合48;

若不存在,請說明理由.

解:因為8是A的子集，

所以8中元素必是A中的元素，

若x+2=3,則x=l,符合題意.

若x+2=-3,則.P+x+2=0,

所以(x+D(f?x+2)=0.

因為理工+2和，所以x+1=0,所以x=-L

此時x+2=l,集合B中的元素不滿足互異性.

綜上所述，存在實數(shù)/=1,使得8是A的子集，

此時A={1,3,-1},8={1,3}.

222

8.C)導學號85104007二知A={2,4rr-5x+9),B={3^+av+?},C={x+(a+l)x-3,l}.

求：

(1)使4={2,3,4}的J的值;

(2)使2￡氏8忌4的的值；

(3)使B=C的dr的值.

解:⑴因為[2,41-5八十9}-{2,3,4),

所以f-5x+9=3,所以x=2或1=3.

(2)因為8忌4,所以3￡A,所以F5x+9=3.

由⑴知尸2或x=3.

又因為2￡5,所以x2+ax+a=2.

當x=2時,4+2a+a=2,得a=-.

當x=3時，由32+3。+。=2,得a=-.

所以x=2,a=-,或x=3,a=~.

(3)因為B=C,

所以

得

3.1交集與并集

課后篇鞏固提升

1.已知集合4={x|x>0},8:{x|-l《xW2},貝I]4UB=()

A.{小2-1}B.{小《2}

C.{x|0<x^2)D.{x|-lWxW2}

解析:借助數(shù)軸，易知AU}.

答案:A

2.已知M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)My=4},則MCN等于()

Au=3,y=-1B.(3,-l)

C.{3,-1}D.{(3,-1)}

解析：TM,N均為點集，由

.：A/nN={(3,-l)|.

答案:D

3.已知集合A二{-1,1},B={*mx=l},且AU8=A,則m的值為()

A.lB.-1

C.1或-1D.l或-1或0

解析：：XU8=4,.：8G4,

.：8=0,6={-1},8={1}.

當8=0時，加=0;當B={-1}時，制=-1;當B={1}時?：〃?的值是.故選D.

答案:D

4.已知集合A={x\x=2n+1￡N}方={1,3,6,8},C={3,6,9},則集合(ACW)UC=()

A.{1,3,8,9}B.{3,6,0}

C.[1,3,6,9}D.{136,8}

解析:因為4二{Mx=2〃+1,〃￡N}表示的是全體正奇數(shù)的集合，所以ACIB={1,3},所以(4n8)U

C={1,3)U{3,6,9(={1,3,6,9).

答案:C

5.設(shè)集合知={小<2018},2{萬04<1},則下列關(guān)系中正確的是()

A.MUN=R

B.A/n^={x|0<x<l)

C.NGM

D.Mf\N=0

解析：VM^{x\x<2018}^^{A|0<X<1},

?：NGMMnN=30vxvl},MUN={x|xv2018},故選B.

答案:B

6.設(shè)集合A二{)，￡倒)，=/+以￡用,8=作￡閔產(chǎn)%+1/￡川,則408=()

A.{(0,1),(1,2)}

C.{152}

D.{y￡R|y21)

解析:：X={y￡R|y21}/={>￡R|.”￡R},

?：An8={y￡R|y21},故選D.

答案:D

7.設(shè)集合4二{菱形}石={平行四邊形},C={矩形}，則ACKBUC尸.

解析：：'BUO{平行四邊形},

.：An(8UC)={菱形}=A

/Q*r.A

答案:A

8.已知集合P={xeZ|?lWxW1},M={y川,若PUM二P,則。的取值集合是.

解析:由已知得P={-l,0J}，因為PUM二尸，所以MGP,所以。=-1或方1,故a的取值集合是

{-14).

答案:{“1}

9.若集合M滿足MU{1,2}=[1,2,3,5},則集合M=.

解析:由已知得集合M必須含有元素3和5,而對于元素1和2,M中可以含有，也可以不含有,

因此M={3,5}或{1,3,5}或[2,3,5}或{1,2,3,5).

答案:{3,5}或{1,3,5}或{2,3,5}或{1,2,3,5}

10.已知集合4={4r<1,或x>5),8={x|aWxW。},且AU8=R/n8={x[5<xW6}4iJ

2a-b=.

解析:如圖可知a=1力=6,加功=4

1

答案：-4

11.(信息題淀義集合運算A%={xx￡A,且娃8},若4={1,234},8={3,4,5,6},則4%與8%的

元素之和為.

解析：74*8二{1,2},8*A={5,6},?：元素之和為1+2+5+6=14.

答案：14

12.已知集合A=(y\y=R},B={.y|j=-^+2x+13^eR},求AABAUB.

解:74={yl)=(x?l)2?4*￡R},

?：A={y|yX.

VB={y\y=-(X-1)2+14^GR},

?：8={y|yWl4}.

將集合A,B分別表示在數(shù)軸上，如圖所示，

-414y

?：AnB=3?4WyW14}AUB=R.

13.某班有36名同學參加數(shù)學、物理、化學課外探究小組,每名同學至多參加兩個小組，已知

參加數(shù)學、物理、化學小組的人數(shù)分別為26,15,13,同時參加數(shù)學和物理小組的有6人，同時

參加物理和化學小組的有4人,則同時參加數(shù)學和化學小組的有多少人？

解:設(shè)參加數(shù)學、物理、化學小組的人數(shù)構(gòu)成的集合分別為A,8,C,同時參加數(shù)學和化學小組

的有x人，由題意可得如圖所示的Venn圖.

由全班共36名同學參加課外探究小組可得(26-6-x)+6+(15-10)+4+(134x)+x=36,解得

工=8,即同時參加數(shù)學和化學小組的有8人.

14.設(shè)集合A={x|-l<xv4},B=,C={*l-2vxv2a}.

⑴求ACI8;

⑵若C,。,且CG(An研,求實數(shù)a的取值范圍.

解:⑴：2=3-14<4},8=408=.

(2)：3,

?：l-2a〈2a,,：a>.

由(1)次「4n5二，

且CG(ACB),

?:<a<.

即實數(shù)〃的取值范圍是.

1S(〕導學號85104010設(shè)月={川/+4工=0},8=卜評+2(。+1h+標_]=0}

⑴若4nB=8,求a的值；

(2)若AU8=B,求a的值.

解:⑴A={x|f+41=0}={0「4}.由于ACI8=B,則有故集合8可能為0,{0},{-4},{0,-4}.

窈8=。,則A=43+l)2-4(a2-l)v0,解得a<-l;

②若0￡氏代入得4=1,即。=土]，檢驗均滿足條件；

霹-4￡8,代入得薛8a+7=0,

.：4=1或4=7.

當。=7時,8={-4,-12）,不符合題意，舍去.4=1滿足條件；

④若0￡8且-4￡及此時a=\.

綜合①^庵）④得a=l或

（2）因為4U5=8,所以AGB.又4={-4,0},而B中至多只有兩個根，因此應(yīng)有A=B,?：a=L

3.2全集與補集

課后篇鞏固提升

1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}X={4T23K￡N}JUJCM=()

A.{1,2}B.{3,4,5,6,7}

C.”,3,4,7}D.[1,4,7}

解析：：7/={123,4,5,6,7},A={小卬￡N}={3,4,5,6,7},

?：CuA={l,2}.

答案:A

2.設(shè)集合尸一口|A>4},。—口卜2〈]<2},則()

A.PWQB.QGP

C.P3(CR。)D.QU(CRP)

解析：7Q=3-2〃v2},且CR尸={x|/W4},

,在(CRP).

答案:D

3.已知全集U=R4={x|x<l,或%>3},8={x|x<機}，且(Ct/A)C8=0,則實數(shù)m的取值范圍是(

A.〃?W1B.w<l

Cm23D./H>3

解析：CM={X|1WXW3},用數(shù)軸表示CM,比如圖所示，

由數(shù)軸得，要使（CM）nB=。成立，需有mWL

所以m的取值范圍為mW1.

答案:A

4.已知全集（/={1,2,標3+3}4={1,4},1〃={3},則實數(shù)。等于（）

A.0或2B.OC.1或2D.2

解析:由題意，知則4=2.

答案:D

5.已知集合尸=3/+26+。＜0},若2CP,則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.t?>-B?a2?

C.a<-D.aW-

解析:由22P,知2《CRP,即2￡{x|f+2at+420},

因此2滿足不等式f+Zar+aeo,

即22+4。+。20,融簞得

答案:B

6.設(shè)全集（/={1,2,3,4,5},若408={2},（（：附08={4},（（：源）0（（：曲）={1,5}廁下列結(jié)論正確的是

A.30A,且3cBB.3S8,但3￡4

C.3cAB.3WA,且3WB

解析:根據(jù)題意有AC8二{2},故2金民且2￡A,(CuA)nB={4},所以4亡6但

4CA,(CM)n(Cu8)=CMAU8)={1,5],故1C/MCB且5CA,5CB,所以3￡8,但3GA.

答案:B

7.若全集U=R,集合A={x\x^1)U{x|xWO},則CuA=.

解析:全集U二R,借助數(shù)軸及補集的定義可知CM=3O〈x<l}.

答案：3(Kr<l}

8.設(shè)A={0,2,4,6},CM={1-3』,3}&8={-1,0,2},則8=.

解析:：[={024,6},CM={-l,-31,3),

?：U={-3,-1,0』23,4,6}.

:S={-l,0,2),,：8=[31,3,4,6}.

答案:{-3,1,346}

9.若非空集合A={x|2a+1?3a.5},8={小<3,或x>22},則能使4￡(CRB)成立的所有。的集合

是?

解析:78={小<3,或x>22},

?:CR6—*|3WXW22).

又A/0,且AG(CRB),

?：?：6WaW9.

答案:{a|6WaW9}

10.已知集合4二{川4(]<6},3={川3<工<15},求：

(DAUB;

(2)(CRA)AB.

解:(1)AU3={X|4WX〈6}U{M3<XV15}={4|3<XV15}.

(2)丁CRA={小<4,或口26},

?KCRAXIB={x[3<x<4,或6W】vl5}.

11.(—J導學號85104012已知集合4={x|?lWxW3},集合8={1|加2WxW機+2u《R}.

(1)若AnB={x[0Wx<3},求實數(shù)m的值；

(2)若4n(CR8)=A,求實數(shù)m的取值范圍.

解:(1)因為AnB={x|0WxW3},

所以所以所以m=2.

(2)CRB={x|x<機-2,或x>，〃+2},由已知可得AG(CRB),

所以m-2>3或m+2<-l,

所以w>5或w<-3,

故實數(shù)機的取值范圍為{〃”機>5,或m<-3].

12.CD導學號85104013(信息題)我們知道，如果集合AGU,那么U的子集4的補集

為CM={x|x￡U,且通4}.類似地，對于集合A,民我們把集合{小￡4,且在8}叫作A與8的差集,

記作A-A例如<={1,2,3,5,8},5={4,5,6,7,8},則A-B={1,2,3},B-A={4,6,7).

據(jù)此，回答以下問題：

(1)若U是高一(1)班全體同學的集合4是高一(1)班女同學組成的集合，求U-A及G/A；

(2)在圖中，分別用陰影表示集合A-B;

(3)如果A-8=。,那么A與8之間具有怎樣的關(guān)系？

解：(1)U-A={x|x是高一(1)班的男生},Q/A={x|x是高一(1)班的男生}.

(2)陰影部分如下圖所示.

(3)若4-8=0,則

§1生活中的變量關(guān)系

課后篇鞏固提升

L俗語”名師出高徒”說明()

A.名師與高徒之間具有依賴關(guān)系

B.名師與高徒之間具有函數(shù)關(guān)系

C.名師是高徒的函數(shù)

D.高徒是名師的函數(shù)

答案:A

2.下列變量之間是函數(shù)關(guān)系的是()

A.某十字路口，通過汽車的數(shù)量與時間的關(guān)系

B.家庭的食品支出與電視機價格之間的關(guān)系

C.高速公路上行駛的汽車所行駛的路程與時間的關(guān)系

D.某同學期中考試的數(shù)學成績與物理成績的關(guān)系

解析:高速公路上行駛的汽車所行駛的路程與時間這兩個變量存在依賴關(guān)系，且對于每一個時

間的值，路程是唯一確定的，因此它們之間存在函數(shù)關(guān)系，且時間是自變量，路程是因變量.

答案:C

3.

如圖所示為某市某一天的溫度隨時間變化情況的圖像.由圖像可知，下列說法錯誤的是()

A.這天15時的溫度最高

B.這天3時的溫度最低

C.這天的最高溫度與最低溫度相差13r

D.這天21時的溫度是30℃

解析:這天的最高溫度與最低溫度相差為36-22=14℃,故C錯.

答案:C

4.向高為H的水瓶中注水，注滿為止.如果注水量V與水深〃的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖①所示，

那么水瓶的形狀是圖②中的()

圖②

解析:通過圖像反映的兩個變量。與V的變化情況知，注水量隨高度的變化是先快后慢，再結(jié)合

選項中四個容器的形狀來判斷，只有B符合要求.

答案:B

5.給出下列關(guān)系：

①人的年齡與他(她)擁有的財富之間的關(guān)系；

孰物線上的點的縱坐標與該點的橫坐標之間的關(guān)系；

③橘子的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；

@某同學在6次考試中的數(shù)學成績與他的考號之間的關(guān)系.

其中不是函數(shù)關(guān)系的有.(填序號)

答案：運￡>

6.如圖所示為某市一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖.

(1)上午8時的氣溫是多少?全天的最高、最低氣溫分別是多少？

(2)大約在什么時刻,氣溫為0℃?

(3)大約在什么時刻內(nèi),氣溫在0℃以上?兩個變量有什么特點，它們具有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？

解:(1)上午8時氣溫是0°C，全天最高氣溫是9℃，在14時達到，全天最低氣溫是-2°C,在4時

達到.

(2)大約在8時和22時,氣溫為0°C.

(3)在8時到22時之間汽溫在0C以上.變量04W24,變量-2W0W9,由于圖像是連續(xù)的,

可知它們之間具有隨著時間的增加，氣溫先降再升再降的變化趨勢，所以0與1具有依賴關(guān)系,

也具有函數(shù)關(guān)系.

7??輛汽車在某段路程中的行駛速度v與時間t的關(guān)系如所示.

(1)試求圖中陰影部分的面積,說明面積的實際含義，并分析面積與時間是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系？

(2)假設(shè)汽車里程表在行駛這段路程前的讀數(shù)為。km,當1VW2時，試建立汽車里程表的讀數(shù)

s(單位:km)與時間”單位:h)的函數(shù)關(guān)系式.

解:⑴陰影部分的面積為5=50+80+90+70+60=350,陰影部分的面積表示汽車在這5個小時

內(nèi)行駛的總路程為350km.由于對于時間/的每一個取值，都有唯一的面積的值與之對應(yīng)，因此

面積與時間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.

(2)根據(jù)圖像可得石=80修1)+。+50(1＜忘2).

8.〈加學號85104024心理學家發(fā)現(xiàn)，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的

時間M單位:分)之間有如下關(guān)系:(其中0WxW20)

提出概念所

257101213141720

用時間(X)

對概念的接

47.853.556.35959.859.959.858.355

受能力(y)

(1)上表中反映了哪兩個變量之間的關(guān)系?哪個是自變量?哪個是因變量？

(2)當提出概念所用時間是10分鐘時，學生的接受能力是多少？

(3)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，你認為提出概念幾分鐘時，學生的接受能力最強？

(4)從表格中可知，當時間”在什么范圍內(nèi)時,學生的接受能力逐步增強?當時間x在什么范圍內(nèi)

時,學生的接受能力逐步降低？

解:(1)反映了提出概念所用的時間x和對概念的接受能力y兩個變量之間的關(guān)系;其中x是自

變量j是因變量.

(2)由題中表格可知，當提出概念所用時間為10分鐘時，學生接受能力是59.

(3)提出秘念所用的時間為13分鐘時，學生的接受能力最強.

(4)當x在2分鐘至13分鐘的范圍內(nèi)時，學生的接受能力逐步增強:當x在13分鐘至20

分鐘的范圍內(nèi)時,學生的接受能力逐步降低.

2.1函數(shù)概念

課后篇鞏固提升

A組基礎(chǔ)鞏固

1.對于函數(shù))，守U),下列命題正確的個數(shù)為()

份是X的函數(shù)；

②對于不同的X值,)，值也不同；

顏。)表示當時函數(shù)式幻的值,是一個常量；

@x)一定可以用一個具體的式子表示.

A.lB.2C,3D.4

解析:①?正確.對于②,不同的x值可對應(yīng)同一個y值，如y三不一定是函數(shù)關(guān)系式，也可以

用圖像或表格等形式來體現(xiàn).

答案:B

2.函數(shù)_/(%)=的定義域是()

A.[2,3)B.(3,+oo)

C.[2,3)U(3,+oo)D.(2,3)U(3,+oo)

解析油解得x22,且*3.故函數(shù)段)的定義域為[2,3)U(3,+8).

答案:C

3.下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是()

A.J(x)=g(x)=O2

B.J(x)=ig(x)=x+\

C.j(x)=\x\,g(x)=

D<x尸,g(x)=

解析:對于A選項4》)的定義域為氏8。)的定義域為[0,+8),,：不是同一函數(shù).對于B選項

的定義成為{人居4},以人)的定義域為R,.：不是同一函數(shù).對TC選項人V)的定義域為R,g。)的

定義域為R,且兩函數(shù)解析式化簡后為同一解析式，,：是同一函數(shù).對于D選項次》)的定義域為

[l,+8),g(x)的定義域為(-oo,-l]UU,+oo),,：不是同一函數(shù).故選C.

答案:C

4.下列式子不能表示函數(shù)的是()

A.jc=y1+1B.^=2x2+1

CJC-2J=6D.x=

解析:B中j=2?+l是二次函數(shù);C中,y=x-3;D中J=/K20;A中,y=上,y不是x的函數(shù).

答案:A

5.已知?r)r2-3x,且大〃)=4,則實數(shù)a等于()

A.4B.-1

C.4或/D.-4或1

解析:由已知可得a2_3a=4,即a2_3a-4=0,解得a=4或a=-\.

答案:C

6.下表表示y是X的函數(shù)，則當k6時，對應(yīng)的函數(shù)值是.

XOvxWl1<XW55<xW10￥>10

y1234

解析：75v6W10,.：6對應(yīng)的函數(shù)值是3.

答案：3

7.函數(shù)外)=/2訃￡{.2",0,1}的值域為.

解析:因為代2)=(-2)2-(-2)=6扉-1)=(-1)2-2X(-1)=3次0)=02_2x0=0川)=12-2xl=-l,所以的值

域為{6,3,0,4}.

答案:(630,-1}

8.已知函數(shù)人￥)二.

(I)求42);

⑵若/(小)=2,求m的值.

解：(1加2)二.

(2)：7(〃?)==2,?：m=-3.

9.求下列函數(shù)的定義域：

(1求1)二；

(2颯=+2;

(3次r)=.

解：(1)當x-川知,即|川:加，也即xvO時危)有意義，故函數(shù)兒I)的定義域為(8,0).

(2)要使函數(shù)有意義,應(yīng)滿足

解得.故函數(shù)火幻的定義域為[1,4].

(3)要使函數(shù)凡1)有意義,應(yīng)滿足解得xW1,且*-1.

故函數(shù)段)的定義域為

10.求下列函數(shù)的值域：

(1)7=1-；

(2)產(chǎn)；

(3Mx)=3-2x^e[0,2].

解:⑴:?函數(shù)的定義域為口以20},?：20.

.函數(shù))=1?的值域為(-8」].

(2):?尸二2一,

且其定義域為即)￥2.

?：函數(shù)丁=的值域為{ylyWR,且月2}.

(3)r0WxW2,?：0W2xW4.

,1lW3?2t/3,即?l9/(x)W3,

故函數(shù)40的值域是[-1,3].

B組能力提升

1.如圖所示，可表示函數(shù)了守醫(yī))的圖像的是()

解析:由函數(shù)定義可知D正確.

答案:D

2.已知g(x)=1-2x?g(_r))=(/0),則/等于()

A.lB.3C.15D.30

解析:由已知I-2x=,.：x=,.：/=15,故選C.

答案:C

3.若函數(shù))，成共2)的定義域為[0,1],則函數(shù)產(chǎn)/⑴的定義域為()

A.[2,3]C.[-2,-l]D.[O,-1J

解析:解決此類問題的關(guān)鍵要弄清函數(shù)定義域是指x的變化范圍,而借助的理論依據(jù)是y=吠x)

中對應(yīng)關(guān)系了所施加的對象取值是一致的.對于本題函數(shù)y可㈤的定義圾其實為函數(shù))，可&+2)

中“x+2”的整體范圍，因此可得丁習2的定義域為[2,3].

答案:A

4(得學號85104026(信息題)若一系列函數(shù)的關(guān)系式相同，值域相同，但定義域不

同廁稱這些函數(shù)為“攣生函數(shù)”，那么函數(shù)關(guān)系式為產(chǎn)2rM,值域為{1,7}的“攣生函數(shù)”共有

()

A.10個B.9個C.8個D.4個

解析:由2A1=1,得產(chǎn)±1;由Zr2-1=7，得尸子2.

因此當y=2^-l的定義域為

{-2,-1},{-1,2)4-2,1},{1,2},{-2,2,1},{-2,2,-1},{2,-1,1},{-2,-1,1},{?1,1,2,?2}時，函數(shù)值域均為

”,7}.

答案:B

5.函數(shù)?r)=的值域為.

解析:由解得戶201&

所以函數(shù)的定義域為{2018}.

顯然?2018)=0+0=0.所以函數(shù)的值域為{0}.

答案:{0}

6.有下列三個命題:⑥=卜口￡{-2,-1,0,1,2,3},則它的值域是{0』,4,9};⑼二,則它的值域為R;③

y二,則它的值域為{5僅20}.其中正確命題的序號是.

解析:對于⑷當A-2,-1,0,1,2,3時，

|x|=2J,0,l,2,3.

因此函數(shù)的值域為{0』,2,3).故①不正確.

對于②：＞==x+l(^l),

即值域為(-oo,2)U(2,+8).故②不正確.

對于③：3=20,二其值域為。+8)，故③正確.

答案:③

7.已知函數(shù)兀0=爐+%-1.

⑴求人2)/

⑵若yu)=5,求工的值.

解:(1/2)=22+2-1=5內(nèi)=.

(2)：務(wù))=—,

.：/+工?6=0,.：戶2或x=-3.

8.已知函數(shù)次x)=.

(1)求?1)42)4/的值；

(2)證明:/W+/等于定值；

⑶求川)M2)tA3)+…420⑻切#…4/的值.

⑴解式1)=；

心)=工

所以穴2)步1.

⑵證明:工

所以式x)步1,為定值.

⑶解:由⑵知府)步1.

所以人1)十/(2)七/(3)+…十穴2018)W+…V

M1)+［購旬］+［幽旬］+…+［次20⑻旬］二.

2.2函數(shù)的表示法

課后篇鞏固提升

A組基礎(chǔ)鞏固

1.已知函數(shù),?x),g(x)分別由下表給出:

V123

心)211

123

式幻321

則德⑴)=()

A.2B.lC.3D.不確定

解析:由已知得g(l)=3,所以八g(l))M3)=l.

答案:B

2.若外)對于任意實數(shù)尸恒有機r)-〃(f)=5x+l,則於)=()

AJ+1BJC-1

C.2r+1D.3x+3

解析:因為:y(x)-?/(-x)=5x+l,所以浜㈤-〃>)=-5x+l,解得|x)=x+L

答案:A

3.已知函數(shù)戶以)的定義域為[-1,5],則在同一坐標系中，函數(shù)形)的圖像與直線尸1的交點個數(shù)

為()

A.OB.lC.2D.0或I

答案:B

4.已知函數(shù)人幻=則42)=()

A.-lB.OC.1D.2

解析J2)M2-l)=i/U)=l-2=?L

答案:A

解析：：3=x+

?：選項C中的圖像適合此函數(shù)解析式.

答案:C

6.已知函數(shù)危尸若人機)=16,則m的值等于.

解析:當620時次=4〃?=16,得/刀=4;當〃?<0時｛"?)=〃/=]6,得/n=-4(/,?7=4舍去)，故m的值為

4或-4.

答案：4或-4

7.對于定義域為R的函數(shù))，=加),部分x與y的對應(yīng)關(guān)系如下表：

X-2-1012345

y02320-102

則火煩0)))=.

解析:由列表表示的函數(shù)可得用))=3,

則歡)))寸3)=-1喇0)))/-1)=2.

答案：2

8.(用學號85104029若危尸則函數(shù)｛r)的最大值、最小值分別

為..

解析:若1WXW2,則8W2r+6W10;

若-IWxvl,則64+7V8.

?：函數(shù)的值域為[6,8)U[8,l0]=[6,10].

?:危)的最大值為10,最小值為6.

答案：106

9.根據(jù)下列條件,求函數(shù)的解析式：

(l)/(x+l)=3x+2;

(2)2f(x)+f=x.

解:⑴令x+1=t,則x=b1,由題意得購=3(f-1)+2=3f-1,故fix)=3xA.

(2)由于"x)47=x,

因此以代替“得2f+J(x)=y

于是可得

解得負幻三j

10.已知函數(shù)人x)二

⑴求的的值；

(2)作出函數(shù)逐%)的圖像；

(3)求函數(shù)yu)的值域.

解:函數(shù)的定義域為[?l,0)U[0,l)UU,2]=[?l,2].

(1)因為-1Wx<0時<x)=-x,

所以戶

因為OWxvl時々用三三

所以f

因為1WxW2時7(%)=x,所以工

(2)函數(shù)4x)的圖像如圖所示.

(3)由(2)中函數(shù)式外的圖像可知，函數(shù)人用的值域為10,2].

11.某市出租車的計價標準是:4km以內(nèi)10元(含4km),超出4km且不超過18km的部分1.2

元/km;超出18km的部分1.8元/km.

(1)試寫出車費與行車里程的函數(shù)解析式；

⑵如果某人乘車行駛了20km,試計算他要付的車費是多少？

解:⑴設(shè)車費為y(單位:元),路程為M單位:km),

則y=

即產(chǎn)

(2?=1.8x20-5.6=30.4(元).

故此人要付30.4元的車費.

B組能力提升

1.小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步,他從點A出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過點8跑到點C,共用時

30s,他的教練選擇了一個固定的位置觀察小明跑步的過程，設(shè)小明跑步的時間為心)，他與教

練間的距離為y(m),表示y與f的函數(shù)關(guān)系的圖像大致如圖2所示，則這個固定位置可能是圖

1中的()

解析:由圖知固定位置到點A距離大于到點C距離，所以舍去兩點，不選A,B;若是點P,則

從最高點到點C依次遞減，與圖1矛盾，因此取點。，即選D.

答案:D

2.下列函數(shù)中，不滿足人標)=道工)的是()

A.y(x)=|x|B.^x)=x-kl

C.J(x)=x+1DJ(x)=-x

解析:A中，若ZU)=|x|,則y(2x)=|2r|=2|H=4(x);

B中，若危)二x-|川，則./(2r)=2r-2|x|二2(x-|x|)=?/(x);

C中，若?r)=x+l,則42r)=2x+l先危)；

D中，若危)=-x,則42x)=-2x=?/(x).

因此只有C不滿足人公尸認取故選C.

答案:C

3.定義在R上的函數(shù)?x)滿足危尸則式3)=()

A.-4B.-lC.1D.4

解析：大3)J2)次1)習0)十0)避1)=次0)=4

答案:A

4.若xe&/U)是y=2-^y=x這兩個函數(shù)中的較小者，則火x)的最大值為(