1.3集合的基本運算【知識點梳理】知識點一：集合的運算1.并集一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}Venn圖表示：知識點詮釋：（1）“xA，或xB”包含三種情況：“”；“”；“”．（2）兩個集合求并集，結果還是一個集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合(重復元素只出現(xiàn)一次).2.交集一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn圖表示：知識點詮釋：（1）并不是任何兩個集合都有公共元素，當集合A與B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是．（2）概念中的“所有”兩字的含義是，不僅“A∩B中的任意元素都是A與B的公共元素”，同時“A與B的公共元素都屬于A∩B”．（3）兩個集合求交集，結果還是一個集合，是由集合A與B的所有公共元素組成的集合.3.補集全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U.補集：對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集(plementaryset)，簡稱為集合A的補集，記作：，即補集的Venn圖表示：知識點詮釋：（1）理解補集概念時，應注意補集是對給定的集合和相對而言的一個概念，一個確定的集合，對于不同的集合U，補集不同．（2）全集是相對于研究的問題而言的，如我們只在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題，則為全集；而當問題擴展到實數(shù)集時，則為全集，這時就不是全集．（3）表示U為全集時的補集，如果全集換成其他集合（如）時，則記號中“U”也必須換成相應的集合（即）．4.集合基本運算的一些結論，若A∩B=A，則，反之也成立若A∪B=B，則，反之也成立若x(A∩B)，則xA且xB若x(A∪B)，則xA，或xB求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設條件，結合Venn圖或數(shù)軸進而用集合語言表達，增強數(shù)形結合的思想方法.【題型歸納目錄】題型一：集合的交集運算題型二：并集運算題型三：補集運算題型四：集合的交集、并集與補集的混合運算題型五：已知集合的交集、并集求參數(shù)題型六：韋恩圖在集合運算中的應用【典型例題】題型一：集合的交集運算例1.（2022·云南·高二期末（文））已知集合，，則（

）A． B． C． D．例2．（2022·青海玉樹·高三階段練習（理））設集合，則（

）A． B． C． D．例3．（2022·浙江·杭州市余杭高級中學高二學業(yè)考試）已知集合，則（

）A． B． C． D．例4．（2022·福建·廈門一中模擬預測）已知集合，，，，則的元素個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例5．（2022·北京·東北師范大學附屬中學朝陽學校高一階段練習）若集合，，則（

）A． B．C． D．【技巧總結】求集合A∩B的步驟與注意點(1)步驟：①弄清兩個集合的屬性及代表元素;②把所求交集的集合用集合符號表示出來，寫成“A∩B”的形式;③把化簡后的集合A，B的所有公共元素都寫出來即可(相同元素只寫一個).(2)注意:若A，B是無限連續(xù)的數(shù)集，可以利用數(shù)軸來求解.但要注意，利用數(shù)軸表示不等式時，含有端點的值用實點表示，不含有端點的值用空心點表示.題型二：并集運算例6.（2022·云南德宏·高一期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．例7．（2022·青?！ずＤ喜刈遄灾沃莞呒壷袑W高一期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．例8．（2022·安徽省六安中學高一期中）對于非空集合P，Q，定義集合間的一種運算“★”：且．如果，則（

）A． B．或C．或 D．或例9．（2018·全國·高一課時練習）當時，若，且，則稱為的一個“孤立元素”，由的所有孤立元素組成的集合稱為的“孤星集”，若集合的孤星集為，集合的孤星集為，則()A． B．C． D．【技巧總結】求集合并集的兩個方法(1)若集合元素個數(shù)有限，可根據(jù)定義直接寫出并集.(2)若集合元素個數(shù)無限，可借助于數(shù)軸分析，求出并集，但應注意端點是否能取得.題型三：補集運算例10．（2022·四川·寧南中學高一階段練習（理））已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．例11．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高一階段練習）設集合，則（

）A． B． C． D．例12．（2022·四川甘孜·高一期末）已知集合，，，則（

）A．{6，8} B．{2，3，6，8} C．{2} D．{2，6，8}例13．（2022·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學高一階段練習）已知全集，集合，，則（

）A．{1，2，3，4} B．{1，2，4，5} C．{1，4} D．{2}【技巧總結】補集的求解步驟及方法(1)步驟:①確定全集:在進行補集的簡單運算時，應首先明確全集;②緊扣定義求解補集.(2)方法:①借助Venn圖或數(shù)軸求解;②借助補集性質(zhì)求解.題型四：集合的交集、并集與補集的混合運算例14.（多選題）（2022·湖南·永州市第二中學高一階段練習）圖中的陰影表示的集合是（

）A． B．C． D．例15．（2022·天津·油田三中高一階段練習）已知全集，，，則______．例16．（2022·陜西·西安高級中學高一階段練習）若{|是小于9的正整數(shù)}，{|是奇數(shù)}，{|是3的倍數(shù)}，則______例17．（2022·北京市十一學校高一期中）設集合，則________.例18．（2020·內(nèi)蒙古·包頭市第四中學高一期中）已知全集U=R，，，P={x|x≤0或}，求(1)(2)【技巧總結】求解與不等式有關的集合問題的方法解決與不等式有關的集合問題時，畫數(shù)軸(這也是集合的圖形語言的常用表示方式)可以使問題變得形象直觀，要注意求解時端點的值是否能取到.題型五：已知集合的交集、并集求參數(shù)例19．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學高一階段練習）已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.(1)求A∪B，；(2)若A∩C≠?，求a的取值范圍.例20．（2022·湖北·車城高中高一階段練習）已知集合，.(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.例21．（2022·福建省德化第一中學高一階段練習）設全集，集合(1)求；(2)若集合，且，求a的取值范圍．例22．（2022·江蘇省江陰市第一中學高一期中）已知集合，，且.(1)求集合的所有非空子集；(2)求實數(shù)的值組成的集合.例23．（2022·遼寧·大連市第十五中學高一階段練習）已知集合，，若，求實數(shù)的取值集合.例24．（2022·湖南·高一課時練習）設R為全集，，，且，求的取值范圍．例25．（2022·浙江湖州·高一期末）已知集合，．(1)當時，求；(2)若，求實數(shù)m的取值范圍．例26．（2022·廣西·高一階段練習）設全集，，且，求實數(shù)p的值．【技巧總結】利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的方法及關注點(1)方法:利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時，常常遇到A∪B=B，A∩B=A等這類問題，解答時常借助交集、并集的定義及已知集合間的關系去轉(zhuǎn)化為集合間的關系求解，如A∩B=A?A?B，A∪B=B?A?B.(2)關注點:當集合A?B時，若集合A不確定，運算時要考慮A=?的情況，否則易漏解.題型六：韋恩圖在集合運算中的應用例27．（2022·江蘇·徐州市第七中學高一期中）學校舉辦運動會時，高一（1）班共有28名同學參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，同時參加由徑和球類比賽的有___________人?只參加游泳一項比賽的有___________人?例28．（2022·湖南·高一課時練習）市場調(diào)查公司為了解某市市民在閱讀報紙（日報和晚報）方面的取向，抽樣調(diào)查了500個市民，調(diào)查結果顯示：訂閱日報的有334人，訂閱晚報的有297人，其中兩種都訂的有150人．試問：(1)只訂日報不訂晚報的有多少人？(2)只訂晚報不訂日報的有多少人？(3)至少訂一種報紙的有多少人？(4)有多少人不訂報紙？例29．（2020·全國·高一課時練習）設全集，若，，，則__________．【同步練習】一、單選題1．（2022·青海玉樹·高三階段練習（文））已知集合，則（

）A． B． C． D．2．（2022·貴州·凱里一中高一期中）已知且，若集合，，則（

）A． B． C． D．3．（2022·湖北·模擬預測）非空集合A、B滿足，，，則（

）A． B．R C．A D．B4．（2022·江蘇省天一中學高二期中）已知集合，則（

）A． B． C． D．5．（2022·陜西·西安中學模擬預測（理））如圖，全集，集合，集合，則陰影部分表示集合（

）A． B．C． D．6．（2022·浙江·杭師大附中模擬預測）已知集合，則（

）A． B．C．或 D．7．（2022·全國·高三專題練習（理））已知集合，滿足，，全集，則下列說法中不可能正確的有（

）A．沒有最大元素，有一個最小元素 B．有一個最大元素，沒有最小元素C．有一個最大元素，有一個最小元素 D．沒有最大元素，也沒有最小元素8．（2022·全國·高三專題練習（理））設，，若，則實數(shù)的值不可以是（）A．0 B． C． D．2二、多選題9．（2022·遼寧·遼師大附中高二階段練習）集合，且，實數(shù)a的值為（

）A．0 B．1 C． D．210．（2022·浙江·杭州市富陽區(qū)實驗中學高二階段練習）已知集合，則下列結論錯誤的是（）A． B．C． D．11．（2022·湖南·高一課時練習）(多選)已知集合，．若，則實數(shù)m的值為（

）A．0 B．1C．3 D．312．（2022·全國·高一期末）在整數(shù)集中被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，????.則下列結論正確的是（

）A．B．C．D．“整數(shù)?屬于同一類”的充要條件是“”三、填空題13．（2022·山西運城·高二階段練習）設集合，若，則實數(shù)a的取值范圍為____．14．（2022·上海市復興高級中學高三階段練習）若全集，集合，，則___________.15．（2022·全國·高一專題練習）某校有17名學生，每人至少參加全國數(shù)學?物理?化學三科競賽中的一科，已知其中參加數(shù)學競賽的有11人，參加物理競賽的有7人，參加化學競賽的有9人，同時參加數(shù)學和物理競賽的有4人，同時參加數(shù)學和化學競賽的有5人，同時參加物理和化學競賽的有3人，則三科競賽都參加的有___________人.16．（2022·黑龍江·大慶實驗中學高一期末）設集合，對其子集引進“勢”的概念；①空集的“勢”最?。虎诜强兆蛹脑卦蕉?，其“勢”越大；③若兩個子集的元素個數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢”就越大.最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢”就越大，以此類推.若將全部的子集按“勢”從小到大順序排列，則排在第位的子集是_________.四、解答題17．（2022·湖南·高一課時練習）設，，，求：(1)，，；(2)，，．18．（2022·廣西欽州·高一期末）已知全集，，集合．(1)求；(2)求．19．（