函數

第一節(jié)函數及其性質一、函數的概念二、函數的表示法三、函數的幾種特性一、函數的概念1.常量與變量

在某過程中不發(fā)生變化而保持一定數值的量稱為常量;在某過程中可以取不同數值的量稱為變量.常量通常用字母等表示,變量通常用字母等表示.2.函數的概念

定義1

設是兩個變量,是一個給定的數集.如果有一個對應法則,使得對于每一個數值

,變量都有唯一確定的數值與之對應,則稱變量是變量的函數,記為其中稱為自變量,稱為因變量.集合稱為函數的定義域,記為.

當自變量取數值時,與對應的的值稱為函數在點處的函數值,記為或,函數值組成的數集稱為函數的值域,記為.

函數的兩要素:定義域和對應法則.如果兩個函數具有相同的定義域和對應法則,那么它們是相同的函數.例1

下列函數是否相同，為什么？解

⑴

與不是相同的函數,因為定義域不同.⑵

與是相同的函數,因為定義域與對應法則都相同.注

求函數定義域時應注意的一般規(guī)律開偶次方,根號內的表達式不小于零;

對數中的真數必須大于零;

分式中的分母不能為零;

反正弦和反余弦符號下的表達式的絕對值不能大于1;

分段函數的定義域是各段定義域的并集.二、函數的表示法1.解析法例2

作自由落體運動的物體下落時間為,下落的距離為,假定開始下落的時刻為,那么與之間的依賴關系由下式給出:當時間變化時,距離作相應的變化.

有些函數在其定義域上的對應法則不能由一個式子表示,即在定義域的不同范圍內用不同的解析式表示,這成為分段函數.如符號函數如圖1.圖1時間（月）123456產量（噸）1032102410271038105710472.表格法例3

某煉鋼廠上半年生產的鋼產量如下表，這里的時間(月)和產量(噸)之間是兩個相互依賴的變量.對每個月份,都有唯一一個與相應的產量.3.圖像法例4

某自動記錄儀記錄的某電容放電的電容情況,如圖2所示的曲線.圖2

根據此曲線,就可知道某電容隨時間的變化情況.三、函數的幾種特性1.函數的奇偶性

設函數的定義域關于原點對稱,對于任意的,若,則稱為奇函數;若,則稱為偶函數.注①奇函數的圖像關于原點對稱,偶函數的圖像關于軸對稱;②一個函數可以既不是奇函數,也不是偶函數,

如函數.2.函數的周期性

設函數的定義域為,如果存在一個常數,使得對任意有,且

,則稱函數為周期函數,稱為的周期.

顯然,若是周期函數的周期,則也是的周期,通常說的周期就是最小正周期.

如函數和都是以為周期的周期函數.3.函數的單調性

設函數在區(qū)間上有定義,對內的任意兩點,當時,若有,則稱在上是單調增加的;若有,則稱在上是單調減少的.它們統(tǒng)稱為單調函數.使函數保持單調性的自變量的取值區(qū)間稱為該函數的單調區(qū)間

.

如函數在內是單調增加的,函數在內是單調減少的.4.函數的有界性

設函數在區(qū)間上有定義,如果存在正常數,使得對于區(qū)間內所有,恒有,則稱函數在區(qū)間上有界.如果這樣的不存在,則稱在區(qū)間上無界.

如函數在區(qū)間內是有界的.這是因為對于任意的都有成立.而函數在區(qū)間內是無界的.第二節(jié)初等函數一、基本初等函數三、初等函數四、反函數與隱函數二、復合函數一、初等函數1.基本初等函數

⑴冪函數(為實數);⑵指數函數(是常數且);⑶對數函數(是常數且);⑷三角函數⑸反三角函數arccot二、復合函數

定義2

設是的函數,而又是的函數.如果對于的定義域中某些值所對應的值,函數有定義,則通過也成為的函數,稱為由及復合而成的復合函數,記為,其中稱為中間變量.

注只有當時,復合函數才有意義.如無意義,因為內函數的值域與外函數的定義域沒有公共部分,不能復合.例1

函數是有哪些較簡單的函數復合而成的?解是由三個較簡單的函數復合而成的.

由常數和基本初等函數經過有限次四則運算或有限次的函數復合步驟所構成,并可用一個解析式表示的函數稱為初等函數.

如等都是初等函數.三、初等函數

在工程技術中常常用到雙曲函數,其定義如下:

雙曲正弦雙曲余弦雙曲正切雙曲余切

關于雙曲函數的一些恒等式：四、反函數與隱函數1.反函數

設是定義在上的一個函數,其值域為.如果對每一數值,有確定的且滿足的數值與之對應,其對應法則記為

,則定義在上的函數稱為函數的反函數.

習慣上用表示自變量,表示因變量,故常把的反函數記為例2

求的反函數.解由得交換和,得所以是的反函數.

注函數與其反函數的圖形關于直線對稱.2.隱函數

由二元方程確定的二元函數稱為隱函數.如

前面學習的形如的函數稱為顯函數.

注有的隱函數可以改寫為顯函數的形式,如的顯函數形式為而