專題06等差數(shù)列與等比數(shù)列

一、核心先導(dǎo)

二、考點再現(xiàn)

【考點11等差數(shù)列

1、等差數(shù)列的判斷方法：定義法4m-q=d(d為常數(shù))或j一%=q-%(〃>2)

2、等差數(shù)列的通項san=4+(n-l)d或an=am+(n-m)d。

①當(dāng)dwO時，等差數(shù)列的通項公式a“=q+(〃-10=飆+4々是關(guān)于〃的一次函數(shù)，且斜率為公差d；

3、等差數(shù)列的前〃和：5“二〃?；*,5〃=〃4+若24。

①前〃和，=〃％+3=Dd=&/+(&)〃是關(guān)于〃的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.

flII

4、等差中項：若a,A〃成等差數(shù)列，則A叫做。與Z?的等差中項，且A="。

2

①當(dāng)機+〃=〃+4時，則有4”+%=cj+4，特別地，當(dāng)相一〃二2〃時，則有冊+為=2’.

5、若｛可｝是等差數(shù)列，S”,S2〃-5〃,S3“-S2”，…也成等差數(shù)列.

【考點2】等比數(shù)列

1.等比數(shù)列的定義-------（證明或判斷等比數(shù)列）為=g（q為常數(shù)），

%

nm

2.等比數(shù)列的通項公式：4=%/或%=atuq-。

3.等比數(shù)列的前〃和：

①當(dāng)9=1時，s〃=叫；②當(dāng)4工1時，5“二4―

\-q\-q

4、等比中項：

⑴、若。,4力成等比數(shù)列，那么A叫做4與力的等比中項,A2=abo

⑵、當(dāng)m+〃=p+夕時,則有a】n,an=ap?aq。

5、若｛%｝是等比數(shù)列，S”,S2〃-S”,S3”-S2“，…也成等比數(shù)列.

三、解法解密

等差數(shù)列與等比數(shù)列作為兩種基本的數(shù)列，是高考中數(shù)列考查的重中之重，值得關(guān)注.考查的形式主

要有等差數(shù)列、等比數(shù)列的實際應(yīng)用以及等差數(shù)列、等比數(shù)列與其他知識的綜合.在復(fù)習(xí)中，要緊抓以下

幾個方面：

方法1.關(guān)注兩種基本方法:研究等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本方法就是“基本量法”及活用好它們的“對

稱性”；

方法2.領(lǐng)悟等差數(shù)列、等比數(shù)列的兩類本質(zhì)：等差數(shù)列、等比數(shù)列是兩類特殊數(shù)列，又是兩類特殊的函

數(shù),這種雙重身份，注定它們必然是高考中的重點、難點，故而，學(xué)習(xí)中，要從“函數(shù)”及“數(shù)列”這兩個方面

來認(rèn)識它們；

方法3.兩類數(shù)學(xué)思想:分類討論思想以及函數(shù)與方程的思想是解決數(shù)列問題所經(jīng)常使用的兩類數(shù)學(xué)思

想

四、考點解密

題型一:等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的計算

例L（1）、（2022?四川省遂寧市教育局模擬預(yù)測（文））若｛〃,｝為等差數(shù)列，S”是數(shù)列｛q｝的前〃項和，

4+4=14,5；=35,則%-4等于（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

【分析［根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,進(jìn)而建立方程組求解得4=2,再計算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為"，

因為《+4=14,5-=35

4+&=2。［+8d=14d=2

所以《解得

57=74+214=35

所以。3-4=2d=4.

故選：D

（2）、（2022?福建福州?高二期末）（多選題）已知等差數(shù)列｛叫的公差為d,前〃項和為5.，為=16,%=12.則

（）

A.d=-2B.4=20

C.生+4=28D.S.取得最大俏時，/?=11

【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用基本量代換，求出通項公式，即可驗證A、B、C；由通項公式判斷出〃410時，%>（）,%=。，〃之12

時，凡<0可以得至lJ$o=S”最大,即可判斷選項D.

【詳解】

a,=a,+2d=16fa,=20

因為%=16,%=12,所以「解得：1枚選項A、B正確；

所以=4-1）"=22-2〃.

對于C：因為q=22-2〃，所以牝+4=18+10=28,故C正確；

對干D：因為=22-2〃,所以4=22-2x11=0.

因為〃K10時，。”>0；〃之12時,an<0；所以用）=5”最大.故D錯誤.

故選：ABC

【變式訓(xùn)練『1】、（2022?四川?宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知等比數(shù)列｛%｝中，4=4,

%=9,則%=.

【答案】6

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：諱=%%=36,

由等比數(shù)列中奇數(shù)項的符號相同，

所以e=6,

故答案為：6

【變式訓(xùn)練1-2】、（2021?云南?模擬預(yù)測（文））已知｛6｝為等差數(shù)列，S”為其前〃項和.若4=-7,邑=-15,

則4=?

【答案】7

【解^1?】

【分析】

根據(jù)題意得等差數(shù)列｛%｝的公差為4-2,再根據(jù)通項公式求解即可.

【詳解】

解：設(shè)等差數(shù)列的｝的公差為“，因為％=-70=75

4=—7

所以0°?…解得"=2,

53=3?1+3tz=-15

所以勺=2〃-9,所以4=2x8-9=7.

故答案為：7

題型二:等差中項與等比中項的應(yīng)用

例2.（1）、（2022.山東泰安.模擬預(yù)測）若等差數(shù)列滿足％-“9=6,則它的前13項和為（）

A.110B.78C.55D.45

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前〃項和公式即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的首項為4,公差為d,則

因為24-偈=6,所以2（4+7d）-（%+8d）=6,即4+6d=6.

13x31

所以S”=13q4.0-）t/=13（4+6d）=13x6=78.

故選：B.

（2）.（2022?河南焦作?一模（文））設(shè)｛an｝和也｝都是等差數(shù)列，前〃項和分別為S.和7；,若?+%+%=6,

4+。+4+4]=12,則｝=(

)

,II

n13

A.竺BD.—

33-1c?II

【答案】A

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)分別求得%=2,"=3,再利用等差數(shù)列前〃項和公式求解.

【詳解】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得q+-3%=6,

所以弓二2；

因為々+/+〃）+%=2b6+2/%=12,

所以％=3.

由等差數(shù)列的前〃項和公式可得5="（%+%）=曳心生=26,""（」+*）=山也=33,

LL*26

所以東■=￡1.

7|18

故選：A

【變式訓(xùn)練2-1】、（2022?安徽黃山?一模（文））在等比數(shù)列也｝中，％,心是方程丁-小+9=0的兩

根，則2生的值為（）

%

A.713B.3C.±713D.+3

【答案】B

【分析】利用韋達(dá)定理可得斗后=%4+%=13,從而得到4>0,%>°，即可得到的>。，再根據(jù)等比

數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)計算可得.

【詳解】因為是方程f—13x+9=O的兩根，所以。出=9,—13,

所以q>0,%>。，又｛4｝為等比數(shù)列，則的=4/>o,

所以443=。242=%2=9,所以為=3或%=-3（舍去），

所以絲&=%=3

%

故選：B.

【變式訓(xùn)練2-2】、（2022湖北荊門市龍泉中學(xué)二模〉正項等比數(shù)列｛%｝中，內(nèi)必，-%成等差數(shù)列，且存

在兩項勺，4”（，〃，〃eN.）使得4am?4=4q,則,+*的最小值是（）

mn

A.2B.-C.1+近D.不存在

43

【答案】B

【分析】由等比數(shù)列通項公式及等差中項的性質(zhì)可得4=2,進(jìn)而有利+〃=6,利用基本不等式T”的代換求

目標(biāo)式最小值，注意等號是否成立.

【詳解】由題設(shè)24=%-%，若如｝公比為4>。且可>。，則/-9-2=（4+1）（“-2）=0,

所以夕=2,

由亞方=4q，則a"""'?；,故2'"+"-2=]6，可得加+〃=6,

所以‘+2=’（工+3）（加+〃）=,（6+4+迦）2，（6+2\因-獨）=1+立,而什屈=甄二5”,故等

mn6mn6mn6Vwn32

號不成立，

工J1455，W（3,4）,故當(dāng)〃=3,〃?=3if；]—+—=2,n=4,tn=2—+—=—,

2ninmn4

71s7

顯然2>—,故〃=4,〃?=2時—I■—最小值為—.

4mn4

故選：B

題型三:求數(shù)列的前n項和

例3.（1）、（2022?山西運城?模隊預(yù)測（文））已知數(shù)列也｝中，《=4,凡M=；/（qi-3）+a,數(shù)歹U塞

的前〃項和為S”，則（）

33

A.0<S2022<1B.1<S2022V5C./<S2022V2D.2<S2022<3

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義及裂項相消法求出S”，進(jìn)而即可求解.

【詳解】由題得，凡+[-%=：凡（%-3）+3-q=1（q「3f..0,又4=4>3,

JJ

所以生-6>0.所以生>q>3,可得可討>%.所以數(shù)列｛為｝是遞增數(shù)列.

-以限-3>1,所以?！瓷稀?/p>

所以5"一『所

以0<S2O22<1.

故選:A.

（2）.（2022.安徽.合肥市第七中學(xué)高二期末）已知數(shù)列｛q｝的前〃項和5”=2,，-〃+1,則其通項公式凡=

2,〃=1

【答案】

An-3,n>2,neN'

【解析】

【分析】

利用當(dāng)時，勺=S,「S"T，可求出此時的通項公式，驗證〃=1時是否適合，可得答案.

【詳解】

當(dāng)“22時，4=S”―S_L2/—“+]_[2GLI）2_（,L1）+1]=4“―3,

當(dāng)〃=1時，4=2-1+1=2不適合上式，

.2,n=1

“4/2-3,/?>2,nsN*

2,/i=1

故答案為：〈

4n-3,n>2,neN*

【變式訓(xùn)練3-1】、（2022?四川綿陽?一模（理））已知等比數(shù)列｛〃“｝的各項均為正數(shù)，設(shè)S”是數(shù)列｛%｝的

前n項和，且。2=2,4=8，貝I」，=

【答案】31

【分析】利用等比數(shù)列通項公式，結(jié)合4>。，可求得公比夕=2,進(jìn)而得到q,利用等比數(shù)列求和公式可

求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,

Vdn>0,/.<7>0,又爐=幺=4,.?.4=2,.?.4="=1,

%q

故答案為：31.

【變式訓(xùn)練3-2】、（2022?河南?開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列｛可｝滿足

4=2,。,用一2=q+2〃(〃eN),則數(shù)列B-

的前2022項的和為.

……2022

【答案]^7

2023

【分析】利用累加法求數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消法求數(shù)列的前2022項的和即可.

【詳解】由題意可知,滿足q=2,小川一%=2〃+2,

當(dāng)〃22時，an-a?_]=2(〃-1)+2=2〃,

.?.令-4=4,%6,4-%=8,,〃”一勺_]=2〃，以上各式累加得,

q=4+(4-4)+3一生)+3-％)++(—)=2+4+6+8++2〃.

(2+2〃)/?

=n(n+1),

2

當(dāng)〃=1時，4=2,也滿足上式，+則｝二〃（〃[）=：-/y.

???數(shù)列鎮(zhèn)置1的前〃項和為o5“二1+丁1，+「11-51+51丁+廠1斯1=,|一1商二zn1

2022

2023

2（P2

故答案為：礪

題型四:判斷或證明等差、等比數(shù)列

例4、(2022.吉林長春.模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛qj滿足：q=2,〃％川+(〃+1)=(〃+2)%+(〃+/

(1)證明：數(shù)列+是等差數(shù)列；

Q)設(shè)2:坐貿(mào)，求數(shù)列他｝的前〃項和S”.

【答案】(1)證明見解析

SJ1

(2)n-2-(/i+l)-2n+,

【分析】(1)先根據(jù)遞推公式的特征，將其整理變形為

--獸r+=二再移項即可訐明：

(〃+1)(〃+2)n[n+2)+〃(〃+2)

⑵由(1)可得：4=〃2(〃+I),所以1=百一(,鬲).西,利用裂項求和的方法即可求解.

【詳解】(1)將〃*+(〃+1)=6+2)4+(〃+1)3兩側(cè)同除"5+1)5+2),

可得%?1二可?(〃+】)[_3________「=〃'2-=]

(n+l)(n+2)n(n+2)+〃("+2)(〃+1)("+2)n(w+l)〃(〃+2)

又因為3=1，

1x2

即數(shù)列是首項為1，，公差為1的等差數(shù)列.

(2)由(I)可知，磊=a+(〃-1)'1=〃，即4="(〃+1),

*<Ir4?11IX/

_"5+2)=〃+2_1________]

人n~2n^-n2(n+l)~n(n+l)2n+l+*

「

3=1111+,??+11

“1-2'2"2"3"n-2n(〃+1>2向

11

~2~(n+l)-2n+l,

【變式訓(xùn)練4-1】、（2022?河南?模擬預(yù)測（理））若數(shù)列｛4｝滿足4=2,4.「24=3"T.

（1）證明:血+「女才是等比數(shù)列;

⑵沒｛外｝的前〃項和為5“，求滿足S”<2023的〃的最大值.

【答案】（I）證明見解析

（2）?

【分析】（1）根據(jù)題意構(gòu)造數(shù)列證明等比，求出首項及公比即可，

（2）巾⑴求出｛-—%“｝的通項公式，與題中等式聯(lián)立，求出｛q｝通項公式，進(jìn)而求出前〃項和為S“，代數(shù)使得

S”<2023即可求出〃的最大值.

【詳解】⑴證明：因為--21=3”T,

所以八一21=3"必弓.弓?卡，

3

又4=2,則%=5,%-3q=-1,

故也用-3q｝是以一1為苜項,2為公比的等比數(shù)歹ij.

(2)由⑴得凡*一34=-2二①,

又%-2%=產(chǎn)②，

②一①得4=2”-，3”，

故5”=%+%++4

=(20+2'+..+2,,-|)+(3°+3,++32)

=r-i+-(3rt-i)=2;,+—

2Vf22

易得｛S“｝為遞增數(shù)列，

xS7=1220<2023.Sg=3535>2023,

5.<2023,故〃的最大值為7.

題型五:綜合應(yīng)用

例5.（1）、（2022?河南省葉縣高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））中國公民身份號碼編排規(guī)定，女性公民的順序

碼為偶數(shù)，男性為奇數(shù)，反映了性別與數(shù)字之間的聯(lián)系；數(shù)字能譜以1，2,3,4,5,6,7代表音階中的7

個基本音階，反映了音樂與數(shù)字之間的聯(lián)系，同樣我們可以對幾何圖形賦予新的含義，使幾何圖形與數(shù)字

之間建立聯(lián)系.如圖1，我們規(guī)定1個正方形對應(yīng)1個三角形和1個正方形，1個三角形對應(yīng)1個正方形，在

圖2中，第1行有1個正方形和1個三角形，第2行有2個正方形和1個三角形，則在第9行中的正方形

的個數(shù)為（）

…第1行

人..…第2行

圖1圖2

A.53B.55C.57D.59

【答案】B

【分析】根據(jù)題意將題中所給的信息轉(zhuǎn)化為數(shù)列遞推公式關(guān)系〃用=凡+2,2%,通過遞推從而得出

結(jié)果.

【詳解】設(shè)％為第〃行中正方形的個數(shù)，5為第〃行中三角形的個數(shù)，由于每個正方形產(chǎn)生下?行的1個

三角形和1個正方形,

每個三角形產(chǎn)生下一行的1個正方形，則有%=a.

整理得4f+]=4+4“（〃之2）,且0=1,%=2,

則%=%+%=3,4=/+。2=5,見=%+%=8,=^+￡74=13,

Oj=a6+a5=2\,。8=%+4=34,%=%+%=55.

故選：B.

（2）、（2021?全國?模擬預(yù)測）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)凡是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免

疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù).凡一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次

接觸過程中傳染的概率決定.假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)4=3（注：對于4>1的傳染病，要隔離感染

者，以控制傳染源，切斷傳播途徑），那么由1個初始感染者經(jīng)過六輪傳染被感染（不含初始感染者）的

總?cè)藬?shù)為（注：初始感染者傳染凡）個人為第一輪傳染，這幾個人每人再傳染幾個人為第二輪傳染……）

【答案】1092

【解析】由題意分析，傳染模型為?個4=1國=a.=3等比數(shù)列，可解.

【詳解】由題意：4=1,。=凡=3

所以=3'T

第六輪的傳染人數(shù)為由

所以前六輪被傳見的人數(shù)為S?-。=--1=1092.

1-3

故答案為：1092

【點睛】數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見考查形式：

求解應(yīng)用性問題時，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語

言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

【變式訓(xùn)練5-1J.(2022?浙江寧波?一模)南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于?把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、

體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題“，在他的專著《詳解九章算法?商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立

體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3

I11

個，第三層放6個，第四層放10個第〃層放劣個物體堆成的堆垛，則一+—++—=.

4a2ai0

【答案】Y7

【分析】由累加法即可求得凡,再利用裂項相消法即可求解.

【詳解】由題可知：4=1,“2=3,%=6LL,

即有4一/一I=〃(〃22),

所以4=%+(%-4)+(%-4)++(%-《一)

"2+3+4+-+〃=智，當(dāng)成立

222

所以/E

〃+1

I1

所以一+一十

4a24。223341()11

故答案為：YY

【變式訓(xùn)練5-2】、（202式可南鄭州?三模（文））1967年,法國數(shù)學(xué)家蒙德爾布羅的文章《英國的海岸線

有多長？》標(biāo)志著幾何概念從整數(shù)維到分?jǐn)?shù)維的飛躍.1977年他正式將具有分?jǐn)?shù)維的圖形成為“分形”，并建

立了以這類圖形為對象的數(shù)學(xué)分支一分形幾何.分形幾何不只是扮演著計算機藝術(shù)家的角色，事實表明

它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具.下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1,

線段4B的長度為1,在線段AB上取兩個點C,D,使得==以CO為一邊在線段A8的上方

做一個正三角形，然后去掉線段8,得到圖2中的圖形；對圖2中的線段EC、￡力作相同的操作，得到圖

3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下?系列圖形：

____J\_

ACDBACDB

圖1圖2圖3圖4

記第〃個圖形（圖1為第一個圖形）中的所有線段長的和為S”，對任意的正整數(shù)〃，都有S.V。，則〃的最

小值為.

【答案】2.

【分析】根據(jù)圖形之間的關(guān)系可得S”的遞推關(guān)系，從而可求｛SJ的通項公式，故可求〃的最小值.

【詳解】設(shè)第〃個圖形中新出現(xiàn)的等邊三角形的邊長為4,則當(dāng)〃22時,

設(shè)第〃個圖形中新增加的等邊三角形的個數(shù)為“，則當(dāng)〃22時，”=2"-2,

故x2”“，其中〃22,

「，一2「

由累加法可得s“=i+T圖+圖++停）=i4x3x啕

,7=1時，￡=1也符合該式，故S“=2-

故S.<2對任意的〃>1恒成立，故心2即4的最小值為2.

故答案為：2.

【點睛】方法點睛：與圖形相關(guān)的數(shù)列的計算問題，?般根據(jù)相鄰圖形的變化關(guān)系尋找目標(biāo)數(shù)列的遞推關(guān)

系，再根據(jù)其形式得到通項，從而解決圖形的計算問題.

五、分層訓(xùn)練

A組基礎(chǔ)鞏固

1.（2022?全國?安陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測（理））我國《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方，如圖

所示，將I,2,3,…，9填入3x3的方格內(nèi)，使得三行、三列、對角線的三個數(shù)之和都等于15,便得到一

個3階幻方；一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,…，/填入〃k〃個方格中，使得每行、每列、每條對角

線上的數(shù)的和都相等，這個正方形叫作〃階幻方.記〃階幻方的數(shù)的和（即方格內(nèi)的所有數(shù)的和）為S”，

如$3=45,那么10階幻方每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和均為（）

A.555B.101C.505D.1010

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列求和公式得到Ro=5050,進(jìn)而求出10階幻方每行、每列、每條對角線I：的數(shù)的和.

0000

【詳解】由題意得：5|0=1+2+3++100J",）=5050,

故10階幻方每行、每列、每條對角線.1二的數(shù)的和均為5050+10=505.

故選:C

2.（2022?四川省遂寧市教育局模擬預(yù)測（理））設(shè)數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，3是數(shù)列｛4｝的前〃項和，4+4=14,

S?=35,則邑等于（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件求出等差數(shù)列｛q｝的首項及公差即可得解.

【詳解】因數(shù)列｛〃”｝是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)知：4=生|%=7,

而用=￡^、7=7。4=35,則《=5,

等差數(shù)列｛〃"｝公差d=%=2,首項6=4-3d=-1,

:

貝IjS5=5ay+—-----d=-5+20=15.

故選:B.

3.（2022.四川綿陽?一模（理））已知S”是等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項和，若品=57,則3%-q-4=（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】利用等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合等差中項的性質(zhì)，解得?=3,根據(jù)等差數(shù)列整理所求代數(shù)式，可

得答案.

【詳解】由題意，1=19（。廣）=史爭=%。=57,解得4o=3,設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為"，

則3%一4一包=3（%+44）-4-（q+3d）=q+94=4）=3.

故選：B.

4.（2022?黑龍江?哈九中模擬預(yù)測（理））在等差數(shù)列｛〃“｝中S.為前〃項和，％=2&-4，則衛(wèi)=（）

A.28B.30C.32D.36

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得6=4,由等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，等差數(shù)列｛4｝中，若弓=24-4,則24-%=4,

即生+4一〃7=4、即4=4,

則品="此9…,

故選：D.

5.（2022?云南云南?模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S.,3%+2《=35,則（）

A.56B.63C.67D.72

【答案】B

【分析】結(jié)合等差數(shù)列通項公式億簡等式，可求得火,再結(jié)合59=駕匈=史笠=9%求值即可;

【詳解】設(shè)應(yīng)｝的公差為d,則網(wǎng)+2%=3（4+2d）+2（4+7d）=5（4+4J）=5%=35,所以的=7,所以

2

故選：B

6.（2022?北京北師大實驗中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列g(shù)“｝的前〃項和為S.，若4=9,6+4=2,則當(dāng)S。

取最大值〃等于（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】根據(jù)題中等式求解出等差數(shù)列的公差，進(jìn)而求解出數(shù)列的前〃項和S“，最后根據(jù)S”的表達(dá)式求解

出結(jié)果

【詳解】設(shè)公差為乩則a4+4=2n4=l=9+4d=l=d=—2,

因此S“=9〃+gx〃（〃—l）x（_2）=T『+10〃，所以當(dāng)〃=5時，S”取最大值

故選：B

7.（2022?山東淄博?三模）已知正項等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，且-4,￡,邑成等差數(shù)列.若存在兩項

金，/（〃?，wN'）使得-4=8%,則'+?的最小值是（）

inn

in8

A.16B.2C.—D.—

33

【答案】B

【分析】由一知條件及等差中項的性質(zhì)可得4=2,結(jié)合百花=8%可得〃-〃=8,再應(yīng)用基本不等式“1”

的代換求目標(biāo)式的最小值，注意等號成立條件.

【詳解】由題設(shè)252=53，，即2（q十七）=勺+%=次％十%），又｛%｝為正項等比數(shù)列,

所以g=2,a?>0t

w+rt2

由弧百=軸，則。4*1=64/,gp2-=64,

所以〃?+〃=8,

則-!-+2=_!_乂（"!-+2）（機+〃）=_1X（10+巴+也）2,又（10+2^^^）=2,

inn8mn8mn8Vmn

當(dāng)且僅當(dāng)九=3/n=6時等號成立,滿足N*,

19

所以上+己的最小值為2.

mn

故選：B

8.（2022?全國?模擬預(yù)測（文））在數(shù)列｛〃“｝中，％=1,〃（〃+l）（%+|-4）=1（〃eN*）,plljaX22=（）

4043「2021—4040、2020

A.----B.----C.----D.----

2022202220212021

【答案】A

【分析】變形給定的等式，利用累加法及裂項相消法求解作答.

【詳解】因為〃5+1)(4+]-4,)=1，則.(J1)=：一='

(1\\(11、，1'

當(dāng)〃N2時，a=(a-a_)+(a_-a_)++(a-a)+a=--――+—-------+++1

nnnxnxn221]、〃一[n)\-z〃-i/\z/

=_'+1+1=上，顯然4=1滿足上式，即有為=上，

nnn

4043

卜力以。2022=

2022

故選：A

9.(2022?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測(理))已知數(shù)列｛q｝的前〃項和S“滿足S”=〃(4〃+D(〃€N')，

若數(shù)列也,、滿足a二ci%+上3，則病1+1病+…+廠I廠=()

4*2帥3-

A^21B2020c2021口

?202?,2021"2022'8088

【答案】D

【分析】已知工=4〃2+〃，則有品=4〃2—7〃+3,做差求%,再檢驗〃=1,求出｛4｝的通項公式，代入

求也,｝,裂項法求和計算結(jié)果.

【詳解】S.=47+〃，

當(dāng)〃22時，S〃7=4(〃-1)2+〃-1=4〃2-7,?+3

4,二S”-S,i=8〃一3(〃22),

當(dāng)〃=1時，q=5,S；=5,q=S1,所以?！?8〃-3

,?！?38〃-3+3.

b=———=----------=2n.

”44

!，.I二IJ1=1(1L)

”)也.I2/t-2(n+l)4+n+l)

1111111I111、1、120212021

結(jié)2b2b3%0%必412232020202120212022J412022J420228088

故選：D.

10.(2022.遼寧.模擬預(yù)測)如圖是美麗的“勾股樹”，將一個直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方形

而得到如圖①的第I代“勾股樹”，重復(fù)圖①的作法，得到如圖②的第2代“勾股樹”，…,以此類推,記第〃

代“勾股樹”中所有正方形的個數(shù)為%,數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，若不等式S.>2022恒成立，則〃的最小

值為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)第1代“勾股樹”，第2代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)，以此類推，得到第〃代“勾股樹”中所有

正方形的個數(shù),即勺，從而得到個求解.

【詳解】解:第1代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)為3=2“一，第2代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)為7=22“一，…,

以此類推，第〃代"勾股樹''中所有正方形的個數(shù)為2e-1，即可=2--1,

所以S.J。2-

"1-2

因為勺>0,所以數(shù)列6｝為遞增數(shù)列，

又$8=1012<2022,S9=2035>2022,

所以〃的最小值為9.

故選：C.

11.（2022?河南?模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和S〃滿足S“=〃2,記數(shù)列」—的前〃項和為

Tn,則使得乃。的值為（）

19c38-20n40

A?—B.—C.—D.—

39394141

【答案】C

【分析】先求出4=2n-l,再用裂項相消法求出乃0.

【詳解】對于殍=〃2,

當(dāng)片1時，6=5=1：

當(dāng)〃22時，/=S“_S“T=n2-(n-\)2=2n-\：

經(jīng)檢驗，q=2，?-1對〃=1也成立，所以%=2〃-1.

所以上=______!__=10___O,

—+i(2/2-1)(2/z+1)2\ln—\2n+l)

所y以％=萬If1.一彳I+彳1-彳I++而1一1句1=2彳0

故選：C

12.(2022?山東濟南?模擬預(yù)測)設(shè)｛q｝是首項為1的等比數(shù)列，S”是其前〃項和，若%4-2牝=0,則S$=

【答案】31

【分析】設(shè)｛4｝的公比為4,根據(jù)已知條件求出q的值，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得邑的值.

【詳解】設(shè)｛叫的公比為夕，因為。必一2%=0,所以qV-2q/=0,即爐一2/=0,

解得夕=2,所以S，=—彳=31.

故答案為：31.

13.(2022.四川省南充高級中學(xué)模擬預(yù)測(文))記S”為正項等比數(shù)列｛q｝的前〃項和，若$3=14,4=2,

a,+4

則：的值為.

【答案】2

【分析】設(shè)正項等比數(shù)列｛〃“｝的公比為q,根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式，即可求出公比q,再根據(jù)等比數(shù)

列的性質(zhì)可知&產(chǎn)=夕，由此即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列｛4｝的公比為

當(dāng)q=l時，邑=14,6=2不能同時成立；

當(dāng)9工I時，因為I為正項等比數(shù)列｛q｝的前〃項和，且?=14嗎=2,

所以a二吐I”即(1-訥十4%

\-q\-q

所以d+”1=7,所以夕=2(q=-3(舍去))，

又山=昆』,所以T的值為2

故答案為：2.

14.(2022?山東泰安?二模)已知數(shù)列｛4｝是公差大于0的等差數(shù)列，4=2,且4+2,。4,%-4成等比

數(shù)列，則％。=.

【答案】20

【分析】先利用。：=(6+2)(4-4)解出公差"，再通過等差數(shù)列計算與即可.

【詳解】設(shè)公差為d,則〃;=(%+2)(4—4),即(2+34)2=(2+24+2)(2+54-4),化簡得1+4,/-12=(),

解得d=2或d=-6,又4>0,故1=2,則4o=4+9d=2O.

故答案為：20.

15.(2022?新疆石河子一中模擬預(yù)測(理))等差數(shù)列｛4｝的公差為2,前〃項和為S.,若勺，%構(gòu)

成等比數(shù)列，則S“=.

【答案】〃(〃+1)

【分析1根據(jù)等比中項的性質(zhì)有《=%%，結(jié)合等差數(shù)列通項公式求基本量外,再利用等差數(shù)列前〃項和公

式求

【詳解】由題設(shè)，裙=4必，則(4+6)2=(4+2)(4+14),可得q=2,

所以。“=%+(〃一Dd=2%故s“=〃(％；%)=〃(〃+])

故答案為：〃(〃+1)

16.(2022.廣東.模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛〃“｝是首項為1的等差數(shù)列，其前〃項和為S“，且2s9-306=54,記

,1，、

n=(a.1)(//.41)-則數(shù)列出｝的前〃項和＜=

n

【答案】

4/2+4

【分析】利用等差數(shù)列前〃項和的基本量運算可得d=2,然后利用裂項相消法即得.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為"，則由<=1，2S9-356=54,

得2，堂士蚓-3、如山辿=54,

22

解得d=2.

所以=1+2(〃-1)=2〃-1,

助以'(?！?1)(4川+1)4〃(〃+1)〃+1,

,、11I11)n

所以數(shù)列也｝的前〃項和7；=公1--+---+??+-------=-------

■乙乙Dnn+\)4n+4

故答案為:

4〃+4

17.(2022?陜西?西安中學(xué)模擬預(yù)測(文))在等差數(shù)列｛4｝中，%=15,生+生=18,若數(shù)列｛(-1)”可｝的前

〃項之和為S",則S］的=.

【答案】100

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)計算首項、公差，再借助并項求和法求解作答.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛勺｝公差為d,由24=%+延=18得：4=9,則〃=*￡=(2=2,

/，-1

4=%+(〃-4)d=2〃+l,當(dāng)〃為偶數(shù)時,(-1)an_x+(-1)/'an=a,,-an_i=d=2,

所以Si?=(%一4)+(，-4)++(goo-。)=5()x2=I(X).

故答案為：100

18.(2022.內(nèi)蒙古.赤峰二中模擬預(yù)測(理))如圖所示，是畢士哥拉斯(Py由。goras)的生長程序：正方

形上連接著一個等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角邊上再連接正方形，…，如此繼續(xù)，若一共能得

到1023個正方形.設(shè)初始正方形的邊長為灰，則最小正方形的邊長為.

=<x>

【答案】士

16

【分析】記初始正方形的邊長為《，經(jīng)過n-1次生長后的正方形的邊長為%,經(jīng)過n-1次生長后正方形的

個數(shù)為2,結(jié)合題意得到數(shù)列｛4｝是以貶為首項，乎為公比的等比數(shù)列，"=l+2+2?++2〃T,由此

即可求出最小正方形的邊長.

【詳解】記初始正方形的邊長為《，經(jīng)過n-1次生長后的正方形的邊長為氏,經(jīng)過n-1次生長后正方形的

個數(shù)為“，

由題可知，數(shù)列｛4｝是以血為首項，9為公比的等比數(shù)列,

由題可知，b=1+2+2?++2,1-|=1—1=2H-1?

"2-1

令"=2"-1=1023,解得〃=10,

I-31

二?最小正方形的邊長為4。=22=—,

16

故答案為：—.

Io

【點睛】本題以圖形為載體，考查了等比數(shù)列的通項公式和求和公式，是數(shù)列的應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于提煉

出等比數(shù)列的模型，正確利用相應(yīng)的公式，屬于中檔題.

19.（2022?河南?模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列｛/｝為等比數(shù)列，公比^＞。，首項4=1,前三項和為7,

q%Lan=1024,貝lj〃=.

【答案】5

【分析】首先利用條件求等比數(shù)列的通項公式，再根據(jù)通項公式，列式求〃的值.

【詳解】由條件可知，4+/+。3=7,即1+9+^=7,q＞°,

解得：q=2,所以凡=2小，

（“-3（n-l）n

2510

axa2...an=1-2?2?2???=2~^~=1024，即—=*

得〃2-〃-20=0,解得：〃=5或也=一4（舍）.

故答案為：5

20.（2022?湖南益陽?模擬預(yù)測）在單調(diào)遞增數(shù)列｛%｝中，已知％=1,%=2,且生“T，出”,電用成等比數(shù)

列，生“?見“+2成等差數(shù)列那么Goo=.

【答案】2550

【分析［根據(jù)條件，推導(dǎo)1M2”+1之間的關(guān)系，再計算出通項公式即可.

【詳解】因為數(shù)列｛q｝單調(diào)遞增，4=1,故勺＞。，

由已知條件得2%““=a2n+a2rn2,a；n=⑸.冉山(〃eN”)，aln^=%“+G+3

化簡可得2電,用=4—+3，

在等式左右兩邊同時除以向二，化簡得27^1=向二+向二，

故數(shù)列｛向:｝(〃eN)為等差數(shù)列,q=y=4A,

4

所以數(shù)列｛瘋二｝的首項為石=1,公差為-施=1,

故=1+〃-1=必，即

aa

因為*=2n-t2^，可得a2n=Ql+lf=〃(〃+1),

故當(dāng)〃為偶數(shù)時，％=；〃(〃+2)