學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1若a＞b（ab≠0），試比較與的大小。思路分析：不等式兩邊同乘以(或除以)一個不等于零的代數(shù)式時,要考慮此式的正負.利用分類討論思想進行討論，也可以直接作差，比較作差后的式子與0的大小關系,或者考慮函數(shù)y=的單調(diào)性.解法一：當ab＞0時，＞0,所以a×＞b×＞.當ab＜0時,＜0，所以a×＜b×＜。解法二：-=.因為a＞b,所以b＜ab-a＜0。所以,當ab＞0時,＜0,即-＜0。當ab＜0時，＞0,即—＞0＞。解法三：函數(shù)y=在區(qū)間（—∞,0)和（0,+∞)都是單調(diào)遞減的,當a＞b＞0或a＜b＜0時,;當a＞0＞b時，＞。黑色陷阱:本題很容易有這樣的誤解：一個數(shù)越大,則倒數(shù)越小，而由以上例題的結(jié)論，知這個結(jié)論只有在兩個數(shù)同號的時候才是成立的；在解決這類問題時還要注意,同時乘以一個數(shù)(或式子）要考慮所乘的數(shù)（或式子）的正負來決定相乘后是否改變符號。變式訓練已知a＞b,不等式(1)a2＞b2，(2)＞,（3)＞成立的個數(shù)是（）A。0B。1C.2思路解析:嚴格的按照不等式的性質(zhì)比較大小,也可以通過舉例，進行排除.(1)非負數(shù)兩邊才能平方,原來大的仍大，如a=1，b=—3時,a2＜b2。(2）需考慮的符號,當a＞b＞0時，.(3)-的符號不確定，所以也不能確定與的大小.答案:A例2已知a、b∈R，求證:a4+b4≥a3b+ab3。思路分析：本題可以采用作差法,然后對作差后的式子進行整理,比較與0的大小,由于本題比較復雜,主要是次數(shù)較高,所以，首先提取公因式，降次后再進行整理.證明：(a4+b4）—（a3b+ab3）=a3（a-b)+b3（b—a）=（a-b）(a3—b3）=(a-b）2(a2+ab+b2）=(a—b）2[(a+）2+b2].∵(a—b)2≥0，(a+)2+b2≥0,∴(a-b)2［(a+）2+b2］≥0.∴a4+b4≥a3b+ab3.綠色通道：比較法是證明不等式中最基本、最重要的方法,其步驟為：作差（或n次方作差）——變形——確定符號—-得出結(jié)論.其中，作差是依據(jù),變形是手段，確定差的符號是目的,至于證題的思路體現(xiàn)了數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想。這里，關鍵的步驟是對差式的變形.變式訓練設A=1+2x4,B=2x3+x2，x∈R,則A、B的大小關系是。思路解析：利用作差法比較大小,要注意觀察系數(shù)的特點進行因式分解.A-B=1+2x4—2x3-x2=2x3（x-1）—（x2-1）=（x-1）（2x3-x-1）=（x-1）［(x3—x）+(x3—1）］=（x-1）2（x2+x+x2+x+1）=(x—1）2(2x2+2x+1）≥0。所以A、B的大小關系是A≥B.答案：A≥B例3（1)如果30＜x＜36，2＜y＜6，求x—2y及的取值范圍；(2）若—3＜a＜b＜1,-2＜c＜—1,求（a—b）c2的取值范圍.思路分析：在判斷某些式子的取值范圍時,可靈活運用不等式的性質(zhì),如涉及兩個不等式的“相減”“相除”時，往往要將其轉(zhuǎn)化為不等式“相加”“相乘”的運算。解:(1)∵2＜y＜6,∴—12＜-2y＜-4.又∵30＜x＜36，∴30-12＜x—2y＜36—4，得18＜x—2y＜32.又∵2＜y＜6，∴＜＜?！?＜＜18.（2）∵—3＜a＜b＜1,∴-3＜a＜1,—3＜b＜1，a＜b.∴-4＜a—b＜0。又∵-2＜c＜-1，∴1＜c2＜4?！?16＜（a-b)c2＜0。黑色陷阱：很容易由2＜y＜6,得到4＜2y＜12,從而得出—26＜x—2y＜24。實際上這是錯誤的,因為y乘以2不改變不等號的方向,而y乘以—2就要改變符號，而此種解法就沒有考慮符號的改變,所以得出了錯誤的結(jié)論.變式訓練（1)若a＞b＞0,c＜d＜0，求證：。（2)已知≤α＜β≤，求的范圍.思路分析:嚴格按照不等式的性質(zhì)進行變形，除法要轉(zhuǎn)化成乘法,減法轉(zhuǎn)化成加法。（1)證明:-ac＞—bd,又c＜0,d＜0＞.（2）解：∵≤α＜β≤,∴≤α＜，＜β≤。∴—π＜α+β＜π。∴＜＜。∵≤—β＜，≤α＜，α＜β，∴α-β＜0.∴-π≤α-β＜0.∴≤＜0.例4甲、乙兩人同時從寢室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半時間步行,一半時間跑步。如果兩人步行速度、跑步速度均相同，問甲、乙兩人誰先到達教室？思路分析：本題牽涉到物理問題中的速度和路程的相關知識,首先應根據(jù)條件，表示出甲、乙兩人到達教室的時間表達式，然后作差比較他們所用時間的多少，所用時間少的先到。解:設總路程為s，步行速度為v1,跑步速度為v2.甲到教室所用的時間為t1,則t1=,乙到教室所用時間為t2,則(v1+v2)=s。∴t2=.∴t1-t2=?！遶1＜v2,∴t1＞t2?！嘁蚁鹊浇淌?。變式訓練某單位組織職工去某地參觀學習,需包車前往.甲車隊說:“如領隊買全票一張,其余人可享受半票優(yōu)惠.”乙車隊說：“你們屬團體票，按的原價優(yōu)惠。"這兩車隊的原價、車型是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù),比較兩車隊的收費哪家更優(yōu)惠.思路分析：根據(jù)條件寫出兩車隊收費的函數(shù)關系，再作差進行比較,收費少的車隊比較優(yōu)惠，注意對自變量的大小進行討論.解:設該單位除領隊外有x個人，甲、乙兩車隊的收費總額為y甲和y乙，則y甲=a+ax(a為原每張票價),y乙=（x+1)a，則y甲-y乙=(2-x)，∴x＞2時，甲車隊更優(yōu)惠；x=2時，兩車隊收費相同；x＜2時，乙車隊更優(yōu)惠。例5已知-4≤a—b≤—1，—1≤4a—b≤5，求9a—b的取值范圍.思路分析：注意9a-b與a-b和4a-b的關系，它們都是關于實數(shù)a，b的一次式,所以，它們?nèi)齻€之間也具有一次線性關系,因此可以用a—b和4a—b表示9a-b,再根據(jù)不等式的性質(zhì)得出結(jié)果。解：設9a—b=m（a-b)+n(4a-b)=(m+4n)a-（m+n)b，令m+4n=9，—(m+n)=-1，解得m=,n=.由-4≤a-b≤—1，得≤（a-b）≤.由-1≤4a-b≤5，得≤(4a-b）≤。以上兩式相加，得—1≤9a—b≤20。綠色通道:在整體思想的指導下,采用待定系數(shù)法，首先建立待求范圍的整體與已知整體的等量關系，然后通過“一次線性”不等關系的運算,求得待求的范圍.黑色陷阱：根據(jù)條件可以看出a,b不是相互獨立的，而是相互制約的，因此不能直接求出a,b的取值范圍.如果先求出a,b的范圍，再用不等式的性質(zhì)求9a—b的范圍,所求的范圍將擴大，主要原因是變形不是等價變形.變式訓練已知f(x）=ax2—b，且—4≤f（1）≤—1,—1≤f(2）≤5，試求f(3)的取值范圍.思路分析:根據(jù)條件把f(3）表示為f(1）和f（2)的關系式，再根據(jù)所給f（1）和f（2)的范圍及不等式的性質(zhì)可以得出f(3)的范圍。解法一：設f(3)=mf（1)+nf(2），∵f（x)=ax2-b，∴9a—b=m(a—b）+n（4a-b）.比較a、b的系數(shù)可得∴f(3）=f(1)+f（2）.又—4≤f（1)≤-1,-1≤f（2）≤5,∴≤f（1）≤,≤f(2）≤。∴—1≤f（3）≤20.解法二：由∴f（3)=3［f（2)—f（1）］+f(1）—f（2）=9a—b=f(2)f（1）.以下同解法一.問題探究問題甲、乙、丙、丁四人利用不等式的性質(zhì)給出了以下四個不同的不等式：甲:a＞bc-a＜c—b。乙:a＞b+c（a-c)2＞b2。丙:a＞b＞c＞0（a-c)b＞（b-c)b。?。篴＞b＞0,c＜d＜0.你認為他們說的正確嗎？請說明理由。導思:尋找前提與結(jié)論的聯(lián)系，由前提出發(fā)，正確使用性質(zhì)看能否得到結(jié)論,若能,則結(jié)論正確,若